3.1人口增长模型
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t
值如何，人口总数均以xm为极限， 其中x=xm是图形x(t)的水平渐进线.
dx x 时， r (1 ) x 0 dt xm
（2）当0<x<x
，
x(t)是单调增加的.
2 xm d 又由（5.7）式知，当 x 时， 2x 0 ; 2 dt
xm 当 x 2
时，
d 2x 0 2 dt
按假设k1-k2为常数r，再设初始人口数
为x0，便构成一个初值问题
dx rx , x(0) x0 dt
模型求解
x(t)=x0ert
(5.2)
模型分析、评价与检验
1961年世界人口总数为3.06×109， 在1961—1970年这段时间内，每年平均 的人口增长率为2%，代入（5.2）式，得
由此，分析人口总数x(t)的变化规
律:
2
d x x 2x 2 r (1 )(1 ) x 2 dt xm xm
人口总数x(t)的变化规律:
dx/dt
2
0
xm/2
xm x
x xm
xm/2 x0 0 t
x(t)~S形曲线, x增加先快后慢
（1） lim x(t ) xm , 即无论人口初
△t间隔内的死亡人数=k2x(t) △t
其中k1，k2分别为出生率和死亡率.
代入（5.1）式，得到△t间隔 内人口的增量为 x(t+ △t)-x(t)=(k1-k2)x(t)△t
或
1 x(t t ) x(t ) k1 k 2 x(t ) t
令△t→0 ，得
1 dx k1 k 2 x dt
亡.
模型修改与重建
1.将增长率r表示为人口x的函数r(x)，按 前面的分析，r(x)应为x的减函数.假定 其为x的线性函数
r(x)=r-sx
其中r,s>0，这里r相当于x=0时的增长率， 称为固有增长率. 显然，对任意的x>0,r(x)<r.
2.设定自然资源和环境条件等因素 所能容纳的最大人口数量为xm
称为阻滞增长模型或逻辑斯蒂克
（Logistic）人口增长模型.
用可分离变量方程的解法可得其解 为
x(t )
xm xm rt 1 ( 1)e x0
（5.6）
4.模型解的再分析与检验 对（5.6）式求二阶导数可得
d x x 2xLeabharlann Baidu2 r (1 )(1 ) x （5.7） 2 dt xm xm
人口增长数=出生人口数
-死亡人口数
+迁入人口数
-迁出人口数
由假设3，上式后两项忽略. 于是 人口增长数=出生人口数 -死亡人口数 （5.1）
又出生或死亡人口数均依赖于两 个因素： （1）时间间隔△t的长短. （2）时间间隔开始时的人口总数x(t), 且均为正比例关系，即
△t间隔内的出生人数=k1x(t) △t
第5讲
建模实例—— 人口增长模型
背景
世界人口增长概况
年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60 中国人口增长概况 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0 研究人口变化规律 控制人口过快增长
，
xm 即 x 是 x(t) 图形的拐点. 2
人口变化率函数
dx dt
xm 在 x 处取 2
到最大值.
（3）xm要根据人口统计资料以及自
然环境等因素来确定，因而当条件
改变时， xm也将随之改变.
小结 利用平衡原理建立了人口增长模型
按照五步建模法全过程展现了数学
建模的基本步骤
（也称最大人口容量）. r ( s ) xm
故
x r ( x) r (1 ) xm
（5.4）
x r ( x) r (1 ) xm
其中常数 r，xm要根据人口统计
数据确定.
3.将指数模型中r的换为（5.4）式便 得到新模型
x dx r (1 ) x 0 xm (5.5) dt x(0) x 0
x(t)=3.06×109e0.02(t-1961) (5.3)
当t=2670时，x=4.4×1015, 即达到4400万亿人，这相当于地球上每平 方米至少要容纳8个人.
模型假设
1.时刻t的人口函数是连续可微的.
2.人口的增长率是常数. 3.人口数量的变化是封闭的，即人口数量
的增减只取决于人口中个体的生育和死
问题提出
马尔萨斯（Malthus）人
口增长模型或指数增长模型.
模型假设
1.时刻t的人口函数是连续可微的.
2.人口的增长率是常数. 3.人口数量的变化是封闭的，即人口数量
的增减只取决于人口中个体的生育和死
亡.
模型建立
设t时刻的人口数为x(t),增长率为r （常数）.依平衡原理，在时间段△t内， 有
值如何，人口总数均以xm为极限， 其中x=xm是图形x(t)的水平渐进线.
dx x 时， r (1 ) x 0 dt xm
（2）当0<x<x
，
x(t)是单调增加的.
2 xm d 又由（5.7）式知，当 x 时， 2x 0 ; 2 dt
xm 当 x 2
时，
d 2x 0 2 dt
按假设k1-k2为常数r，再设初始人口数
为x0，便构成一个初值问题
dx rx , x(0) x0 dt
模型求解
x(t)=x0ert
(5.2)
模型分析、评价与检验
1961年世界人口总数为3.06×109， 在1961—1970年这段时间内，每年平均 的人口增长率为2%，代入（5.2）式，得
由此，分析人口总数x(t)的变化规
律:
2
d x x 2x 2 r (1 )(1 ) x 2 dt xm xm
人口总数x(t)的变化规律:
dx/dt
2
0
xm/2
xm x
x xm
xm/2 x0 0 t
x(t)~S形曲线, x增加先快后慢
（1） lim x(t ) xm , 即无论人口初
△t间隔内的死亡人数=k2x(t) △t
其中k1，k2分别为出生率和死亡率.
代入（5.1）式，得到△t间隔 内人口的增量为 x(t+ △t)-x(t)=(k1-k2)x(t)△t
或
1 x(t t ) x(t ) k1 k 2 x(t ) t
令△t→0 ，得
1 dx k1 k 2 x dt
亡.
模型修改与重建
1.将增长率r表示为人口x的函数r(x)，按 前面的分析，r(x)应为x的减函数.假定 其为x的线性函数
r(x)=r-sx
其中r,s>0，这里r相当于x=0时的增长率， 称为固有增长率. 显然，对任意的x>0,r(x)<r.
2.设定自然资源和环境条件等因素 所能容纳的最大人口数量为xm
称为阻滞增长模型或逻辑斯蒂克
（Logistic）人口增长模型.
用可分离变量方程的解法可得其解 为
x(t )
xm xm rt 1 ( 1)e x0
（5.6）
4.模型解的再分析与检验 对（5.6）式求二阶导数可得
d x x 2xLeabharlann Baidu2 r (1 )(1 ) x （5.7） 2 dt xm xm
人口增长数=出生人口数
-死亡人口数
+迁入人口数
-迁出人口数
由假设3，上式后两项忽略. 于是 人口增长数=出生人口数 -死亡人口数 （5.1）
又出生或死亡人口数均依赖于两 个因素： （1）时间间隔△t的长短. （2）时间间隔开始时的人口总数x(t), 且均为正比例关系，即
△t间隔内的出生人数=k1x(t) △t
第5讲
建模实例—— 人口增长模型
背景
世界人口增长概况
年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60 中国人口增长概况 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0 研究人口变化规律 控制人口过快增长
，
xm 即 x 是 x(t) 图形的拐点. 2
人口变化率函数
dx dt
xm 在 x 处取 2
到最大值.
（3）xm要根据人口统计资料以及自
然环境等因素来确定，因而当条件
改变时， xm也将随之改变.
小结 利用平衡原理建立了人口增长模型
按照五步建模法全过程展现了数学
建模的基本步骤
（也称最大人口容量）. r ( s ) xm
故
x r ( x) r (1 ) xm
（5.4）
x r ( x) r (1 ) xm
其中常数 r，xm要根据人口统计
数据确定.
3.将指数模型中r的换为（5.4）式便 得到新模型
x dx r (1 ) x 0 xm (5.5) dt x(0) x 0
x(t)=3.06×109e0.02(t-1961) (5.3)
当t=2670时，x=4.4×1015, 即达到4400万亿人，这相当于地球上每平 方米至少要容纳8个人.
模型假设
1.时刻t的人口函数是连续可微的.
2.人口的增长率是常数. 3.人口数量的变化是封闭的，即人口数量
的增减只取决于人口中个体的生育和死
问题提出
马尔萨斯（Malthus）人
口增长模型或指数增长模型.
模型假设
1.时刻t的人口函数是连续可微的.
2.人口的增长率是常数. 3.人口数量的变化是封闭的，即人口数量
的增减只取决于人口中个体的生育和死
亡.
模型建立
设t时刻的人口数为x(t),增长率为r （常数）.依平衡原理，在时间段△t内， 有