数学知识的理解与教学章建跃

2．教概念的意义
• 李邦河院士：数学根本上是玩概念的，不 是玩技巧．技巧不足道也！
3．概念教学的核心
• 概念教学的核心是概括：将凝结在数学概 念中的数学家的思维打开，以典型丰富的 实例为载体，引导学生展开观察、分析各 事例的属性、抽象概括共同本质属性，归 纳得出数学概念。
4．理论依据
• 概括是人们掌握概念的直接前提； • 概括是思维的速度、灵活迁移程度、广度和深度
（1）c=a，d=－b时为平方差公式； （2）c=a，d=b时为完全平方和公式；等。 从一般到特殊，归纳的思想，“考察特例”
是数学研究的“基本套路”。
用运算律对这些符号进行形式运算，
还可以归纳地得到：
(a+b)3 =a3+3a2b+3ab2+b3； (a+b)4 =a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；
• 先行组织者：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中， a，b，c，d可以是数、式或别的什么。数 学中，经常要通过考察特殊情况来获得对 问题的进一步认识，例如在两条直线的位 置关系中，我们特别研究了平行、垂直两 种特殊的位置关系，得到了一些有用的结 论。类似的，在多项式乘法中，也有一些 特殊情形值得研究。
• 解题教学注重“题型+技巧”，学生机械重复 、模仿记忆，缺少独立思考的机会，数学 思维发展迟缓，并导致学生数学课业负担 过重；
• 学生学习方法单一、被动，缺少归纳、抽 象等活动，对培养学习习惯、数学能力、 数学素养以及创新精神等不利。
三、课堂教学的高立意与低起点
• 立意不高——许多教师的“匠气”太浓， “题型+技巧”的教学，弥漫着“功利”， 缺少思想、精神的追求。
• 什么叫性质？从哪几个方面研究性质？具体切 入点在哪里？
• 一类数学对象的共性就是性质，变化中的不变 性、规律性就是性质；
• 几何要素以及相关要素之间的位置关系、度量 关系。
• 先概括三角形中研究的问题、线索和基本 方法：定义（组成元素、分类）—三角形 的性质（变化中的不变性、规律性，从度 量关系和位置关系入手）—三角形的全等 （确定三角形的条件）—特殊三角形的研 究（角特殊—直角三角形、边特殊—等腰 三角形，性质、判定）—相似三角形（性 质、判定）——……
三项注意”的方式，在概念的背景引入上 着墨不够，没有给学生提供充分的概括本 质特征的机会，认为让学生多做几道题目 更实惠． • 有些老师不知如何教概念．
危害
• 以解题教学代替概念教学的做法严重偏离 了数学的正轨．学生在数学上耗费大量时 间、精力，结果可能是对数学的内容、方 法和意义知之甚少，“数学育人”终将落 空．
• 数学的“育人”功能如何体现？——挖掘 数学知识蕴含的价值观资源，在教学中将 知识教学与价值观影响融为一体。
• 关键：提高思想性。 • “技术”：加强“先行组织者”的使用。
例3 体现几何研究“基本套路”的 四边形起始课
• 从具体事例中抽象出“基本图形”后按照如下 “套路”展开：
• 定义——表示——分类——性质（判定）—— 特例
• 2．公式的探究
• 问题2 (x+b)(x+d)可以利用公式直接写出结 果。它是(a+b)(c+d)在a=c=x时的特例。在 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，你认为还有哪 些特殊情形？你能得到什么？
• 设计意图：通过“先行组织者”，渗透从 一般到特殊，考察特例，深入认识数学对 象的方法；在让学生自主活动之前，先指 出已有特例(x+b)(x+d)，使学生有一个类比 对象，明确思考方向。
• 特殊的平行四边形：角的特殊——矩形， 边的特殊——菱形，边角都特殊——正方 形，都要研究性质和判定。
• 研究的方法：化归为三角形、平行线的性 质等已有知识；
• 特殊的平行四边形的研究要注意特殊的三 角形的知识：矩形——直角三角形；菱形 ——等腰三角形；
• 梯形……
这段教材有什么问题?
这一段教材的问题
n
……
ab
n
Cni anibi
i0
。
(a2+ab+b2)(a－b) =a3－b3；
(a3+a2b+ab2+b3)(a－b) =a4－b4；
n
…… anibi i0
ab
。 an1 bn1
教学过程设计
• 1．复习与引入 • 问题1 前面我们学习了单项式、多项式的
乘法，你能说说运算法则吗？这些运算的 依据是什么？ • 设计意图：回顾运算法则，强化“用运算 律计算”的意识。
• 目的：给学生一个类比对象，使他们知道 研究的“基本套路”。
• 再提出问题：你能类比给出“四边形”研究的问 题、线索和方法吗？
• 一般四边形：组成元素、度量（内角和、外角 和）；
• 特殊四边形：从边的特殊性和角的特殊性入手；
• 边的特殊性——平行四边形：性质和判定；“性 质”研究的是在“平行四边形”的条件下，它的 组成元素有什么普遍规律，如边的大小关系、内 角的关系、对角线的关系等；“判定”研究的是 具备什么条件的四边形才是平行四边形；其他度 量问题；
• 片面理解“学生的现实”，只讲“生活的现实”， 忽视“数学的现实”；
• 违背数学的基本精神——简单问题复杂化； • 丧失培养学生“发现和提出问题能力”的机会； • 破坏数学的内在逻辑，使学生失去逻辑推理训练
的机会，削弱数学的育人功能； • 人为编造情境，不仅造成理解困难，而且使学生
产生对数学的不良感受； • 误导师生——以为这就是数学的探究过程； • ……
数学知识的理解和教学
人民教育出版社 章建跃 zhangjy@pep.com.cn
一、教师专业发展的三大基石
• 理解数学，理解学生，理解教学。 • “三个理解”的内涵：掌握丰富的数学学
科知识；中小学数学课程结构体系、教学 重点的知识；学生数学学习难点的知识； 关于重点知识的教学解释的知识；关于评 估学生的知识理解水平的知识；等。 • 特别是，“内容所反映的数学思想方法” 的理解水平决定了教学所能达到的水平和 效果。
例1 数系扩充的基本思想是什么
• 数学推广过程的一个重要特性是：使得在 原来范围内成立的规律在更大的范围内仍 然成立。
• 数系的扩充：引入一种新的数，就要定义 其运算；定义一种运算，就要研究其运算 律。
• 扩充的基本原则是：使算术运算的运算律 保持不变。
• 为什么说在有 理数乘法法则 的教材设计中 ，渗透了数系 扩充的基本思 想——原有数 系的运算和运 算律保持不变 ？
• 要充分重视构建本章的基本研究思路的教 学，为整章学习做好准备。
• 解决好两个问题：第一，为什么要学习本 章内容；第二，从哪里入手。
为什么要学习本章？
• 已有的函数模型不能解决“周而复始”的 变化规律的刻画问题。
• “周而复始”现象中，最本质的就是匀速 圆周运动。数学中，研究一类现象，往往 从简单而本质的情形入手。因此，可以进 一步地把刻画单位圆上的匀速圆周运动作 为研究“周而复始”现象的起点。
例2 等式、不等式的基本性质的 本质是什么？
• 等式两边同加（减、乘、除）同一个数（ 式），等式不变；
• 不等式两边同加（减、乘、除）同一个数 （式），不等式不变；
• 它们的共同点是什么？
二、功利化环境下数学教育的问题
• 应试占据主导地位的数学教育，注重考试 分数、升学率等眼前利益，忽视理性精神 、数学能力等长期利益，已经变成了“唯 分数”的功利化教育，违背了德育为先、 能力为重、全面发展的要求。
• 提高课堂教学的立意，是落实“教育中的 科学发展观”，全面关注学生的发展。
• 当前，社会功利化、各级政府的教育行政 主管部门等以升学率为主要考核标准的不 良导向，导致教育的短期行为愈演愈烈， “全面关注”变成了“只关注分数”，而 且为了分数可以不择手段——竭泽而渔。
四、提高概念的教学水平
1．当前概念教学的问题 • 概念教学走过场，常常采用“一个定义，
• 问题3 请你用自己的语言表述平方差公式、 完全平方公式。
• 设计意图：帮助学生理解公式。
• 3．例题
• 本环节主要目的是通过变式（字母a，b取 数、式等各种变形），让学生体会公式在 “形式化运算”中的作用。另外，通过适 当反例，纠正学生可能的疏忽。最终要让 学生明确：第一，具备形式(a+b)(a－b)或 (a±b)2，就可以用公式；第二，要注意哪 个代表a，哪个代表b。
• 两个多项式的乘积就是用分配律把它归于 单项式的乘积之和来计算，单项式的乘积 是用乘法的交换律、结合律和指数法则来 计算——运算法则；
• 乘法公式是一类特殊的多项式乘法问题， 是一个模式。
乘法公式蕴含的思想方法
• 乘法公式是研究一般多项式乘法基础上对 “特例”的考察，寻找一个模式：
• 在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，字母a，b， c，d有某些特殊关系时的特殊形式，即
• 概念的“精致”——纳入概念系统，建立与相关 概念的联系。
例5 三角函数起始课——任意角
• 立意：以数学概念的发生发展过程为载体， 使学生经历完整的数学研究过程，逐步学 会认识和解决问题的方法。
明确问题，获得对象， 确定内容，选取方法， 实施过程，获得结论。
(1)如何“开篇”
• 本课是“三角函数”的“开篇”，应发挥 “先行组织者”的作用。
具体表现
• 数学教学“不自然”，强加于人，压抑了学生的 数学学习兴趣；
• 缺乏问题意识，不利于创新精神和实践能力的 培养；
• 不善于甚至不重视基本概念、数学思想方法的 教学，缺少必须的抽象、概括活动，不利于学 生数学素养的提高；
• 重结果轻过程，概念教学搞“一个定义，三项 注意”，缺少一以贯之的逻辑思考和数学推理 活动，损害数学思维过程的完整性，不利于数 学思维能力的培养；
、创造程度等思维品质的基础； • 概括是科学研究的关键机制； • 学习和应用知识的过程也是概括的过程； • 数学概括能力是数学学科能力的基础，概括能力
的训练是数学能力训练的基础； • 概括与归纳、类比等直接相关，是培养创造力的
基础。Hale Waihona Puke Baidu
5.概念教学的基本环节
• 概念的引入——借助具体事例，从数学概念体系 的发展过程或解决实际问题的需要引入概念；
新版教材做出的调整
• 平行四边形的性质的教学过程——“试验+论 证”，注意从定义出发，强调“对平行四边形 的几何要素和相关要素的位置关系、大小度量 的研究”；
• 平行四边形的判定的教学过程——“试验+猜 想+论证”，注意利用判定与性质的关系，从 性质直接猜想判定，再加以论证；
• 菱形的教学过程——从定义出发，研究特殊的 平行四边形“特在什么地方”，“猜想+论证 ”。
• 概念属性的归纳——提供典型丰富的具体例证， 进行属性的分析、比较、综合，归纳不同例证的 共同特征；
• 概念的明确与表示——下定义，给出准确的数学 语言描述（文字的、符号的）；
• 概念的辨析——以实例为载体分析关键词的含义 （恰当使用反例）；
• 概念的巩固应用——用概念作判断的具体事例， 形成用概念作判断的具体步骤；
• 4．公式的多元联系表示
• 问题4 如果a，b表示线段的长，则a2，b2分 别表示正方形的面积。你能根据公式的形 式，自己构造一个图形表示上述乘法公式 吗？
• 设计意图：通过构造几何模型表示公式， 以开拓学生的思路。通过数形结合、图形 直观，以加深理解、增强记忆。
• 5．小结
• （1）请你总结一下本节课讨论问题的基本 过程。
例4 体现代数研究基本套路的乘 法公式教学
• 代数研究的基本套路：
• 背景（实际需要、数学概念发展的需要） ——定义——分类（如数的分类、代数式 的分类、方程的分类、数列的分类、函数 的分类等）——运算法则、运算律——性 质——特例
乘法公式的理解及教学设计
• 多项式运算就是含有字母符号的算式之间 的运算（字母代表数，数满足运算律，所 以字母也满足运算律）；
• 设计意图：引导学生总结“基本套路”， 即“多项式乘法（一般）——乘法公式（ 特殊）——公式特征分析——与相关知识 的联系”。
• （2）你能说说公式的结构特点吗？应用时 应注意哪些问题？
• 设计意图：注重知识的使用条件。
• （3）能否循着上述思路，再提出一些值得 研究的问题？
• 设计意图：引导学生自主研究。必要时可 作提示，如公式(a+b)2=a2+2ab+b2中，推广 “次数”，可以研究(a+b)3，(a+b)4……； 或推广字母个数(a+b+c)2。虽不是“课标” 的要求，但对学生思维发展是有好处的。