中国计量学院历年高数试卷答案

中国计量学院2009 ~ 2010 学年第二学期

高等数学 参考答案及评分标准

开课二级学院： 理学院 ，学生班级： ，教师： 一、单项选择题（每小题3分, 共15分) 1．B 2．C 3．C 4．D 5．B 二、填空题（每小题3分，共15分)

1．12dx dy + 2．5

3

3．2(,)x f a b '

4．230+-=y z 5．18π 三、计算题(每题7分；共56分)

1．解： 设平面方程为 0+++=Ax By Cz D

根据题意有0

00+++=⎧⎪

-+=⎨⎪++=⎩

A B C D B C D A B C （4分）

所以有0=D ；::2:1:1=-A B C 所求平面方程为 20--=x y z （3分） 2．解：

21212()2()4,z z u z v

u v x y x y x x u x v x

∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅=++-= （3分）

()21212(

)2()4.z z u z v

u v x y x y y y u y v y ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅-=+--= （

4分） 3解：D 是由22y x =及21y x =+所围成的闭区域 也就是{

}22

(,)11,21=-≤≤≤≤+D x y x x y x

（3分）

()

{}

2

2

2

2

1

11

11

20

212

240

(2)(2)2232

2

1415

++-+=+==+-=

⎰⎰⎰

⎰

⎰⎰

⎰x x x x D

x y dxdyD dx x y dy dx ydy

x x dx （4分）

4．解：计算三重积分:zdxdydz Ω

⎰⎰⎰，其中Ω是由旋转抛物面221()2z x y =+及平面1z =所围成的闭区域．

解： {}

(,,)(,),01z x y z x y D z Ω=∈≤≤,其中z D ：222x y z +≤ (+2分)

故

10

z

D zdxdydz zdz dxdy Ω

=⎰⎰⎰⎰⎰⎰1

2

22 3

z dz π

π==

⎰ (+5分) 5．解： 设2222

(,),(,)y x P x y Q x y x y x y =

=-++，因为()()

22

:111L x y -+-=， 所以2

2

0x y +≠，而且有()22222Q x y P

x y

x y ∂-∂==∂∂+， .(3分) 故由格林公式得22 L

ydx xdy

I x y -=+⎰

0xy D Q P dxdy x y ⎛⎫∂∂=-= ⎪∂∂⎝

⎭⎰⎰ .(4分) 6．解：计算

⎰⎰

∑

++dxdy z dzdx y dydz x 2

22，∑是抛物面22y x z +=被平面1=z 所截下的有限部分的下侧。 解：由对称性知：

22

0x dzdy y dxdz ∑

∑

==⎰⎰⎰⎰ （3分） 3

20

1

52

π

θπ-

=-=⎰⎰⎰⎰∑

dr r d dxdy z .(4分)

7．解：211111()43(1)(3)213f x x x x x x x ⎛⎫

=

==- ⎪++++++⎝⎭

11111111221412214124x x x x ⎛⎫

⎪⎛⎫ ⎪=-=- ⎪--+-+-⎛⎫⎛

⎫ ⎪⎝⎭++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

. (3分) ()()00

11111111113, 1,35114428841124

n n

n n n n x x x x x x ∞∞==--⎛⎫⎛⎫

=--<<=--<< ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭++

∑∑

所以原式()()00

1111()11 4284n n

n n n n x x f x ∞∞==--⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑

()()

2230

1

1111322n

n

n n n x x ∞

++=⎛⎫=----<< ⎪⎝⎭∑ （4分)

8．解 11lim 11n R n n →∞==+，所以收敛半径为1；在端点1=x 处，级数为11

n n

∞=∑，发散；

在端点1=-x 处，级数为

()

1

1n

n n

∞

=-∑

为收敛的交错级数．所以收敛域为[1,1)- （2分）

令1()n

n x S x n

∞

==∑，则当1x <时有 111()1n n S x x x ∞-='==-∑， （2分）

因(0)0S = 于是在[0,]x 上积分得：()ln(1),[1,1)=--∈-S x x x ． (3分)

四、应用题（8分）

解：设球面方程为222a x y z

--=，(),,x y z 是它的内接长方体在第一卦限内的顶点，则

长方体的长、宽、高分别为2,2,x y z 体积为4V xyz = （3分）

做辅助函数()

2222

(,,,)4F x y z xyz x y z a λλ=+++-则有方程组

2222420420

420x x

x F yz x F xz y F xy z x y z a =+=⎧⎪=+=⎪⎨

=+=⎪⎪++=⎩

解得3a x y z ===为唯一驻点 （3分） 根据实际问题可知，这种长方体的体积为最大，所以当长、宽、高分别为

222,,333a a a x y z =

==体积最大3

433

V a =。 （2分） 五、证明题（6分）

证明: 证明：因为级数2

1n

n u ∞

=∑、211n n ∞

=∑均收敛，所以2

1n n u ∞=∑+211n n

∞

=∑

即

22

1

1()n n u n

∞

=+

∑收敛 （2分） 因为2

2112n n u u n n +≥ （2分） 因此112n n u n ∞

=∑收敛，即11

n n u n

∞

=∑绝对收敛。 （2分）