中国计量学院历年高数试卷答案

中国计量学院2009 ~ 2010 学年第二学期
高等数学 参考答案及评分标准
开课二级学院： 理学院 ，学生班级： ，教师： 一、单项选择题（每小题3分, 共15分) 1．B 2．C 3．C 4．D 5．B 二、填空题（每小题3分，共15分)
1．12dx dy + 2．5
3
3．2(,)x f a b '
4．230+-=y z 5．18π 三、计算题(每题7分；共56分)
1．解： 设平面方程为 0+++=Ax By Cz D
根据题意有0
00+++=⎧⎪
-+=⎨⎪++=⎩
A B C D B C D A B C （4分）
所以有0=D ；::2:1:1=-A B C 所求平面方程为 20--=x y z （3分） 2．解：
21212()2()4,z z u z v
u v x y x y x x u x v x
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅=++-= （3分）
()21212(
)2()4.z z u z v
u v x y x y y y u y v y ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅-=+--= （
4分） 3解：D 是由22y x =及21y x =+所围成的闭区域 也就是{
}22
(,)11,21=-≤≤≤≤+D x y x x y x
（3分）
()
{}
2
2
2
2
1
11
11
20
212
240
(2)(2)2232
2
1415
++-+=+==+-=
⎰⎰⎰
⎰
⎰⎰
⎰x x x x D
x y dxdyD dx x y dy dx ydy
x x dx （4分）
4．解：计算三重积分:zdxdydz Ω
⎰⎰⎰，其中Ω是由旋转抛物面221()2z x y =+及平面1z =所围成的闭区域．
解： {}
(,,)(,),01z x y z x y D z Ω=∈≤≤,其中z D ：222x y z +≤ (+2分)
故
10
z
D zdxdydz zdz dxdy Ω
=⎰⎰⎰⎰⎰⎰1
2
22 3
z dz π
π==
⎰ (+5分) 5．解： 设2222
(,),(,)y x P x y Q x y x y x y =
=-++，因为()()
22
:111L x y -+-=， 所以2
2
0x y +≠，而且有()22222Q x y P
x y
x y ∂-∂==∂∂+， .(3分) 故由格林公式得22 L
ydx xdy
I x y -=+⎰
0xy D Q P dxdy x y ⎛⎫∂∂=-= ⎪∂∂⎝
⎭⎰⎰ .(4分) 6．解：计算
⎰⎰
∑
++dxdy z dzdx y dydz x 2
22，∑是抛物面22y x z +=被平面1=z 所截下的有限部分的下侧。

解：由对称性知：
22
0x dzdy y dxdz ∑
∑
==⎰⎰⎰⎰ （3分） 3
20
1
52
π
θπ-
=-=⎰⎰⎰⎰∑
dr r d dxdy z .(4分)
7．解：211111()43(1)(3)213f x x x x x x x ⎛⎫
=
==- ⎪++++++⎝⎭
11111111221412214124x x x x ⎛⎫
⎪⎛⎫ ⎪=-=- ⎪--+-+-⎛⎫⎛
⎫ ⎪⎝⎭++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. (3分) ()()00
11111111113, 1,35114428841124
n n
n n n n x x x x x x ∞∞==--⎛⎫⎛⎫
=--<<=--<< ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭++
∑∑
所以原式()()00
1111()11 4284n n
n n n n x x f x ∞∞==--⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑
()()
2230
1
1111322n
n
n n n x x ∞
++=⎛⎫=----<< ⎪⎝⎭∑ （4分)
8．解 11lim 11n R n n →∞==+，所以收敛半径为1；在端点1=x 处，级数为11
n n
∞=∑，发散；
在端点1=-x 处，级数为
()
1
1n
n n
∞
=-∑
为收敛的交错级数．所以收敛域为[1,1)- （2分）
令1()n
n x S x n
∞
==∑，则当1x <时有 111()1n n S x x x ∞-='==-∑， （2分）
因(0)0S = 于是在[0,]x 上积分得：()ln(1),[1,1)=--∈-S x x x ． (3分)
四、应用题（8分）
解：设球面方程为222a x y z
--=，(),,x y z 是它的内接长方体在第一卦限内的顶点，则
长方体的长、宽、高分别为2,2,x y z 体积为4V xyz = （3分）
做辅助函数()
2222
(,,,)4F x y z xyz x y z a λλ=+++-则有方程组
2222420420
420x x
x F yz x F xz y F xy z x y z a =+=⎧⎪=+=⎪⎨
=+=⎪⎪++=⎩
解得3a x y z ===为唯一驻点 （3分） 根据实际问题可知，这种长方体的体积为最大，所以当长、宽、高分别为
222,,333a a a x y z =
==体积最大3
433
V a =。

（2分） 五、证明题（6分）
证明: 证明：因为级数2
1n
n u ∞
=∑、211n n ∞
=∑均收敛，所以2
1n n u ∞=∑+211n n
∞
=∑
即
22
1
1()n n u n
∞
=+
∑收敛 （2分） 因为2
2112n n u u n n +≥ （2分） 因此112n n u n ∞
=∑收敛，即11
n n u n
∞
=∑绝对收敛。

（2分）。