数学建模复习资料

（题号前有*的老师没给答案的）

一、简答题 6*10=60分

1. 什么是数学模型？

数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构．简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律．

*2. 什么是数学建模？

数学建模就是构造数学模型的过程，即用数学的语言——公式、符号、图表等刻画和描述一个实际问题，然后精经过数学的处理——计算、迭代等得到定量的结果，以供人们作分析、预报、决策和控制。

3. 简述数学模型的分类？

按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型、扩散模型等． 按研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等．

4. 请给出最小生成树的定义与Kruskal 算法的内容。

最小生成树： 在赋权图G 中，求一棵生成树，使其总权最小，称这棵生成树为图G 的最小生树.Kruskal 算法思想及步骤：Kruskal （1959）提出了求图的最小生成树的算法，其中心思想是每次添加权尽量小的边，使新的图无圈，直到生成一棵树为止，便得最小生成树，其算法步骤如下：（1）把赋权图G 中的所有边按照权的非减次序排列；（2）按（1）排列的次序检查G 中的每一条边，如果这条边与已得到的边不产生圈， 这一条边为解的一部分.（3）若已取到n-1条边，算法终止，此时以V 为顶点集，以取到的1 n 条边为边集的图即为最小生成树.

5. 适合于计算机仿真的问题有哪些？

在下列情况中，计算机仿真能有效地解决问题：(1) 难以用数学表示的系统，或者没有求解数学模型的有效方法；(2) 虽然可以用解析的方法解决问题，但数学的分析与计算过于复杂，这时计算机仿真可能提供简单可行的求解方法；(3) 希望能在较短的时间内观察到系统发展的全过程，以估计某些参数对系统行为的影响；(4) 难以在时间环境中进行实验和观察时，计算机仿真是唯一可行的方法，

例如太空飞行的研究；(5) 需要对系统或过程进行长期运行的比较，从大量方案中寻找最优方案。

6. 简述数学建模的基本步骤。

1）建模准备：确立建模课题的过程；2）建模假设：根据建模的目的对原型进行抽象、简化。有目的性原则、简明性原则、真实性原则和全面性原则；3）构造模型：在建模假设的基础上，进一步分析建模假设的各条款，选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出根据已知条件和数据，分析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解模型的数学刻划实际问题的数学模型.；4）模型求解：构造数学模型之后，方法和算法，并借助计算机完成对模型的求解；5）模型分析：根据建模的目的要求，对模型求解的数字结果，或进行稳定性分析，或进行系统参数的灵敏度分析，或进行误差分析等。；6）模型检验：模型分析符合要求之后，还必须回到客观实际中去对模型进行检验，看它是否符合客观实际；7）模型应用：模型应用是数学建模的宗旨，将其用于分析、研究和解决实际问题，充分发挥数学模型在生产和科研中的特殊作用.

7. MATLAB中变量的命名规则是什么？

（1）变量名必须是不含空格的单个词；（2）变量名区分大小写；（3）变量名最多不超过19个字符；（4）变量名必须以字母打头，之后可以是任意字母、数字或下划线，变量名中不允许使用标点符号.

8. 在MATLAB中的命令窗口可以直接输入矩阵的元素，但是有三个原则，分别是什么？

(1)各元素之间用空格或逗号相间隔

(2)用中括号“[]”把所有的元素括起来

(3)用分号“；”或回车键表示一行结束。

9. 请叙述最优化问题分类情况。

最优化问题种类繁多，因而分类的方法也有许多。可以按变量的性质分类，按有无约束条件分类，按目标函数的个数分类等等。一般来说，变量可以分为确定性变量，随机变量和系统变量等等，相对应的最优化问题分别称为：普通最优化问题，统计最优化问题和系统最优化问题。按有无约束条件分类：无约束最优化问题，有约束最优化问题。按目标函数的个数分类：单目标最优化问题，多目标最优化问题。按约束条件和目标函数是否是线性函数分类：线性最优化问题（线性规划），非线性最优化问题（非线性规划）。按约束条件和目标函数是否是时间的函数分类：静态最优化问题和动态最优化问题（动态规划）。

10. 为什么要进行计算机仿真？

进行计算机仿真的原因主要有以下几点：(1) 在一个实际系统还没有建立起来之前，要对系统的行为或结果进行分析研究时，计算机仿真是一种行之有效的方法；(2) 在有些真实系统上做实验会影响系统的正常运行。例如在生产中任意改变工艺可能会导致废品，在经济活动中随意将一个决策付诸行动可能会引起经济混乱；(3) 当人是系统的一部分时，他的行为往往会影响实验的效果，这时最好对系统进行模拟研究；(4) 在实际系统上做实验时，很难保证每次的操作条件相同，因而对实验结果的好坏很难做出正确的判断；(5) 实验时间太长，费用太大，或者有危险，使得实验不易进行；(6) 有些系统一旦建立起来后就无法复原。例如要投资建设一个大型企业，要分析它建成后的经济效益和社会效益，不能用建起来试试看的方法，因为建成后就无法再回到原来的状态。

11. 数学建模是利用数学工具解决实际问题的手段，数学模型有许多优点，也有弱点。建模需要丰富的知识，经验和技能，同时还应该掌握相应的分寸，请给出数学建模的若干特点。

建模的逼真性和可行性由于实际问题的复杂性,希望用数学语言完完本本地把实际问题描述出来几乎是不可能的,一个非常逼真的数学模型在数学上通常是难于处理的,也达不到通过建模对现实问题进行分析﹑预报、提供决策方案或控制措施的目的,即实用上是不可行的；另一方面,越逼真的模型常常越复杂,即使数学上能处理,这样的模型应用时所需要的“费用”也是相当高的,而高“费用”不一定与复杂模型取得的“效益”想匹配。所以建模时往往需要在模型的逼真性与可行性﹑“费用”与“效益”之间作出折中和抉择。

模型的渐进性稍微复杂一点的模型通常不可能一次成功,需要经过修正﹑提炼,包括由简到繁,也包括删繁就简过程,以便获得越来越满意的模型。在科学发展过程中随着人们认识和实践能力的提高以及科学技术水平的提高,各学科中出现的数学模型也存在着一个不断完善和推陈出新的过程。

模型的稳定性模型的结构和参数常常是由对象的信息如数据等确定的,而观测数据是有误差的。好的模型应该具有下述意义的稳定性:当观测数据(或其它信息)有微小改变时,或者模型结构和参数只有微小变化时,一般只能导致模型求解的结果仅有微小变化,否则就应该修正模型。

模型的可转移性模型是现实对象的抽象化﹑理想化的产物,它不为对象的所属领域所独有,可以转移到另外的领域。比如在生态﹑经济﹑社会等领域内的模型就常常借用物理领域中的模型。模型的这种性质显示了它的极端广泛性。

模型的非预测性虽然已经发展了许多应用广泛的模型,但是实际问题是各种各样的﹑千变万化的,不可能把各种模型做成预制品供你建模时使用,模型的这种非