高中数学-直线的交点坐标与距离公式教案
人教版高中必修23.3直线的交点坐标与距离公式教学设计
人教版高中必修23.3直线的交点坐标与距离公式教学设计一、教学目标1.掌握直线的交点坐标公式和距离公式；2.能够灵活运用公式求出直线的交点坐标和点到直线的距离；3.培养学生的数学思维能力和实际问题解决能力。
二、教学重点和难点1.教学重点：直线的交点坐标公式和距离公式的理解和应用；2.教学难点：如何将公式应用于实际问题中。
三、教学过程1. 导入（5分钟）通过观察教室内的椅子、桌子等物体，引导学生认识坐标系，并回顾直线的一般式方程。
2. 演示（10分钟）给出两条直线的一般式方程，演示如何求出它们的交点坐标。
然后再给出一条直线和一点的坐标，演示如何求出点到直线的距离。
3. 讲解和演练（35分钟）3.1 直线的交点坐标公式讲解直线的交点坐标公式的推导过程，并给出一些例题进行演练。
3.2 点到直线的距离公式讲解点到直线的距离公式的推导过程，并给出一些例题进行演练。
4. 拓展应用（25分钟）展开一些拓展问题，如求解平面内两条直线的夹角、平面内直线与圆的交点坐标等，鼓励学生自己思考解决方法。
5. 总结（5分钟）总结直线的交点坐标公式和点到直线的距离公式的应用及相关知识点，强调掌握了这些知识对解决实际问题的重要性。
四、教学建议1.考虑学生的实际情况，设计具有生活化的例题，让学生能够将所学知识应用到实际问题中。
2.考虑学生的数学基础，适当调整难度，不能让学生感到过于困难或过于简单，要保持适当的挑战性。
3.培养学生的自主学习能力，鼓励学生在课堂外进行练习和思考，加深对知识点的理解和掌握。
五、教学评价方式1.课堂练习：通过一些例题、探究活动等进行现场评价；2.作业：难度适当，涵盖各个知识点，既要求计算又要求应用；3.月考、期中考等：涵盖本单元所有的知识点，既考查基础知识掌握情况，又考查应用能力。
六、教学资源1.主要教材：人教版高中数学必修3；2.辅助教材：蒙奇数学教学网、题海网等；3.教具：PPT、黑板、白板等。
高中数学-直线的交点坐标与距离公式学案
高中数学-直线的交点坐标与距离公式学案课程标准 1、能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；2、探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
学习目标重点难点 重点：1、求两直线交点坐标的方法；2、求三种距离的方法。
难点：点到直线的距离公式的推导。
学习过程学习内容（任务）及问题 学习活动及行为【模块一】两条直线的交点坐标问题1、一元二次方程组的解与两直线交点坐标之间有什么关系？问题2、已知两条直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=相交，怎么求出它们的交点坐标？【例题讲解】例1、求下列两条直线的交点坐标：1:3420l x y +-=，2:220l x y ++=。
例2、判断下列各对直线的位置关系。
如果相交，求出交点的坐标。
⑴1:0l x y -=，2:33100l x y +-=； ⑵1:340l x y -+=，2:6210l x y --=； ⑶1:3450l x y +-=，2:68100l x y +-=。
【即时训练】教材104P 练习1,2问题3、当λ变化时，方程342(22)0x y x y λ+-+++=表示什么图形？图形有何特点？ 评价：学生能正确求出两直线的交点坐标。
【模块二】两点间的距离问题1、已知平面上的两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，如何推导这两点间的距离公式12||PP ？问题2、已知111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12||______________PP =。
【例题讲解】例3、已知点(1,2)A -，(2,7)B ，在x 轴上求一点P ，使得||||PA PB =，并求||PA 的值。
【即时训练】教材106P 练习1,2例4、证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
问题3、利用解析法解决问题的基本步骤有哪些是什么？评价：学生能正确运用两点间的距离公式解题。
高中数学 3.3直线的交点坐标与距离公式教案二 新人教A版必修2
两条直线的交点坐标三维目标知识与技能：1．直线和直线的交点 2．二元一次方程组的解过程和方法：1．学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法。
2．掌握数形结合的学习法。
3．组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断，归纳过定点的直线系方程。
情态和价值：1．通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内的联系。
2．能够用辩证的观点看问题。
教学重点，难点重点：判断两直线是否相交，求交点坐标，理解两直线的交点与方程组的解之间的关系.难点：两直线相交与二元一次方程的关系，理解两直线的交点与方程组的解之间的关系. 教学方法：启发引导式教学过程：一、复习准备：[1. 讨论：如何用代数方法求方程组的解?2. 讨论：两直线交点与方程组的解之间有什么关系？[二、讲授新课：1. 教学直线上的点与直线方程的解的关系：①讨论：直线上的点与其方程AX+BY+C=0的解有什么样的关系？②练习：完成书上P102的填表.③直线L上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解。
反之直线L的方程的每一组解都表示直线上的点的坐标。
2. 教学两直线的交点坐标与方程组的解之间的关系及求两直线的交点坐标①讨论：点A（-2,2）是否在直线L1：3X+4Y-2=0上？点A（-2,2）是否在直线L2：2X+Y+2=0上？②A在L1上，所以A点的坐标是方程3X+4Y-2=0的解，又因为A在L2上，所以A点的坐标也是方程2X+Y+2=0的解。
即A的坐标（-2,2）是这两个方程的公共解，因此（-2,2）是方程组 3X+4Y-2=02X+Y+2=0 的解.③讨论：点A和直线L1与L2有什么关系？为什么？④出示例1：求下列两条直线的交点坐标 L1：3X+4Y-2=0 L2：2X+Y+2=0 3．教学如何利用方程判断两直线的位置关系？①如何利用方程判断两直线的位置关系？②两直线是否有公共点，要看它们的方程是否有公共解。
3.3直线的交点坐标与距离公式-教案
直线的交点坐标与距离公式教学目标：直线和直线的交点，二元一次方程组的解；掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题；体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题；理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式.教学重点，难点：判断两直线是否相交，求交点坐标；两直线相交与二元一次方程的关系。
两点间距离公式的推导；应用两点间距离公式证明几何问题；点到直线距离公式及公式的理解与应用.两条直线的交点坐标已知两条直线：l 1：A 1x+B1y +C1=0, l2：A2x+B2y+C2=0相交，如何求这两条直线的交点坐标？看表，并填空。
如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？般地：将两条直线的方程联立，得方程组：A1x B1y C1 0有下列结论：A2x B2 y C2 0①若二元一次方程组有唯一解，l1与l2相交。
②若二元一次方程组无解，则l1 与l2 平行。
③若二元一次方程组有无数解，则l1与l2 重合已知平面上两点P1（x1,y1）, P2（x2,y2），如何求两点P1、P2的距离| P1P2|？从P1、P2分别向y轴和x轴作垂线，垂足分别为N1 0，y1 ，M2 x2，0 直线P1N1与P2N2相交于点Q。
222在直角VABC中，P1P22 P1Q2 QP22，为了计算其长度，过点P1向x轴作垂线，垂足为M1 x1，0 过点P2向y轴作垂线，垂足为N2 0，y2 ，于是有P1Q2M 2M1 2 2x2 x1 ，QP2 2 2 2N1N2 y2 y12所以，P1P22P1Q2QP2= x2 x1 y2 y1 。
由此得到两点间的距离公式P1P2 x2 x2 2y2 y1例1 已知点A（-1，2），B（2，7 ），在x 轴上求一点，使PA PB ，并求PA 的值。
解：设所求点P（x，0），于是有x 1 2 0 2 2 x 2 2 0 7由PA PB 得x22x 5 x24x 11 解得x=1。
直线的交点坐标和距离公式教案
直线的交点坐标和距离公式教案介绍直线是平面几何中非常基础且重要的概念，我们常常会遇到需要求直线的交点坐标或者计算点到直线的距离的问题。
本教案将详细介绍直线的交点坐标和距离公式，帮助学生理解并掌握相关知识。
一、直线的交点坐标公式1.1 基本概念在二维平面直角坐标系(x, y)中，一条直线可以用一般式方程表示为：Ax + By +C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不同时为0。
1.2 直线的交点坐标公式两条直线的交点坐标可以通过求解方程组得到。
假设有两条直线L1和L2，它们的一般式分别为：L1: A1x + B1y + C1 = 0L2: A2x + B2y + C2 = 0由于交点的坐标(x, y)满足L1和L2的方程组，所以可以联立方程组求解得到交点坐标。
具体步骤如下：1.将L1和L2的一般式方程转化为标准式方程。
2.根据L1和L2的标准式方程，列方程组。
3.解方程组，得到交点坐标(x, y)。
要注意的是，当L1和L2平行或者重合时，它们没有交点。
二、点到直线的距离公式2.1 基本概念点到直线的距离是指从给定点到直线的最短距离。
对于坐标系中的点P(x0, y0)和一般式方程为Ax + By + C = 0的直线L，点到直线的距离可以通过公式计算得到。
2.2 点到直线的距离公式点P(x0, y0)到直线L: Ax + By + C = 0的距离公式为：d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)其中，|Ax0 + By0 + C|表示点P到直线L的有向距离，√(A^2 + B^2)表示直线L的斜率的模。
三、示例题目3.1 求直线的交点坐标假设有两条直线L1：2x - 3y + 4 = 0和L2：4x + 5y - 6 = 0，求它们的交点坐标。
解答步骤：1.将L1和L2的一般式方程转化为标准式方程：L1: x - (3/2)y + 2 = 0L2: 4x + 5y - 6 = 02.根据L1和L2的标准式方程，列方程组：x - (3/2)y + 2 = 0 (1)4x + 5y - 6 = 0 (2)3.解方程组，得到交点坐标(x, y)。
直线的交点坐标与距离公式教案
直线的交点坐标与距离公式教案教案标题：直线的交点坐标与距离公式教案教学目标：1. 理解直线的交点坐标的计算方法2. 掌握直线之间的距离公式3. 能够应用所学知识解决实际问题教学重点：1. 直线的交点坐标的计算2. 直线之间的距离公式的应用教学难点：1. 多个直线的交点坐标的计算2. 距离公式在实际问题中的运用教学准备：1. 教学投影仪2. 教学PPT3. 相关教学案例和练习题教学过程：1. 引入：通过一个生活中的实际问题引入直线的交点坐标和距离公式的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解：首先介绍直线的交点坐标的计算方法，包括两条直线的交点坐标和多条直线的交点坐标的计算方法。
然后讲解直线之间的距离公式，包括点到直线的距离和直线之间的距离的计算方法。
3. 示例分析：通过几个实际案例，演示直线的交点坐标和距离公式的应用方法，引导学生理解和掌握相关知识。
4. 练习：让学生进行相关练习，巩固所学知识，提高解决问题的能力。
5. 拓展：引导学生应用所学知识解决更复杂的实际问题，拓展他们的思维和应用能力。
6. 总结：对本节课所学内容进行总结，并强调学生在日常生活中的应用价值。
教学反馈：1. 针对学生在练习和课堂表现中存在的问题，进行及时的指导和反馈。
2. 鼓励学生在实际生活中应用所学知识，并分享应用案例。
教学评价：1. 通过课堂练习和作业考察学生对直线的交点坐标和距离公式的掌握程度。
2. 观察学生在解决实际问题时的应用能力和思维拓展情况。
教学延伸：1. 鼓励学生进行更多的实际应用探究，拓展知识的应用范围。
2. 引导学生深入了解相关数学理论，拓展数学知识面。
直线交点坐标与距离公式(单元教学设计)-高中数学新教材选择性必修第一册
“直线的交点坐标与距离公式”的单元教学设计一、内容和内容解析（一）内容1.两条直线的交点坐标.2.距离公式.（二）内容解析内容本质：1.平面内两条不重合的直线位置关系有相交和平行，如果相交，可以借助直线方程，通过解方程组把交点位置精确入微地求解出来，并且反过来，可以通过直线方程联立的方程组的解的情况，反推出两条直线的位置关系，其本质就是在平面直角坐标系中，直线与方程方程的解建立了一一对应的关系：直线上点的坐标都是这条直线方程的解，以直线方程的解为坐标的点都在这条直线上，因此，两条直线的交点坐标是这两条直线方程的公共解，也就是这两条直线的方程组成的方程组的解，所以解两条直线的方程组成的方程组就可以得到是这两条直线的交点2.度量是几何的本质所在，而长度是度量的根本，两点之间线段最短是欧氏几何的本质所在，把两点所确定的线段定义为这两点之间的距离，以此为基础解决几何中的各种距离问题，两点间距离公式是解析几何的基本公式之一，点到直线的距离公式是知识的交汇点，承上启下.蕴含的思想与方法：通过求解两条直线的交点坐标，让学生体会几何直观与代数运算之间的对应关系，初步领悟方程与曲线的含义；通过距离公式的不同的推导及其运用，让学生体会向量在几何中的运用，体会图形的特征在代数计算中的简化作用；学生通过寻找求点到直线的距离的不同方法中，促进不同知识之间的联系，有效促进学生理解数学的整体性；本单元内容蕴含了对应的思想，数形结合的思想，等价转换，设而不求以及分类讨论的数学方法，在教学中要根据问题引领，让学生的理性思维得到提升.知识点上下位关系：初中学生已经具备求解二元一次方程组的知识，也定性地研究了相交直线与平行直线。
建立直线方程之后，可以用代数的方法判断直线之间的位置关系，如果相交，能够求出交点坐标，能找到交点在坐标系中的具体位置；如果平行，可以求出它们之间的距离；求交点坐标的思想方法是后续研究直线与圆锥曲线的位置关系、曲线与曲线的交点的基础；前面学生学习的平面向量、空间向量与立体几何内容为学习两点之间的距离以及推导点到直线的距离公式提供了知识和思想方法的准备，两点间距离公式是解析几何的基本公式之一，圆锥曲线方程的建立是在此基础上展开的，两条平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离.育人价值：通过求两条直线的交点坐标及其相关内容，感悟解析几何的思想，体会平面几何的综合法与解析几何坐标法的差异，提升学生直观想象与数学抽象的核心素养；通过距离公式的推导，让学生体会如何将所求距离的几何定义和步骤一步步地翻译成代数表达，通过对“自然求法”的改进以及不同求法的探究，培养学生由特殊到一般、合理地解决问题，因为不同的解法的实质是知识的不同联系方式，学生能想到新的方法，就意味着对相关知识及其蕴含的思想方法具有较为深刻的理解，以距离问题为核心，将向量、三角、最值等相关知识联系起来，可以形成一个结构化的知识体系，从而提升学生的的逻辑推理以及数学运算的核心素养；通过距离公式的运用，体会解析几何解决问题的三部曲，能更好地用数学的知识解决所遇到的问题.教学重点：1.两条直线的交点坐标.2.点到直线的距离公式及距离公式的运用二、目标和目标分析（一）单元目标1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.2.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.（二）目标解析达成上述目标的标志是：1.学生能求出两条相交直线的交点坐标，并能根据方程组解的个数判断两条直线的位置关系.2.学生能提出求点到直线距离的思路，能改进算法或能说出不同求法的依据，能自觉运用距离公式求距离，以及解决相关问题.三、教学问题诊断分析1.学生虽然已经在函数内容的学习中已经非常熟悉，可以通过解方程求出两个函数图像交点的坐标，但是对于其在解析几何中的含义依然理解不清，这是第一个教学问题，要通过点拨，要学生加深理解方程与曲线对应关系的认识.2.学生虽然在平面几何中已经知道”点到直线的距离”的定义，但是按步骤将定义代数化，在求出距离公式的过程中其计算是困难的，这是第二个教学问题，这涉及到数学运算核心素养，因此需要老师在关键的节点处点拨，引导学生反思计算过程，改进计算方法，引进计算技巧，3.学生虽然在空间向量与立体几何里就知道距离的本质就是垂直，也知道可以通过向量来表达距离，但是具体如何运用投影向量的数量积来计算点到直线的距离（课本上给出的第二种推导）是非常困难的，这是第三个教学问题，需要设计一系列问题，引导学生数形结合，按照步骤，逐步展开.教学难点：点到直线距离公式的推导.四、教学支持条件分析1.学生虽然在初中已经具备初步的平面几何的知识以及解二元一次方程组的有关知识，也学习了三角函数、平面向量、立体几何中的相关距离定义及其向量表达的基础知识，了解向量是解决距离问题的有力工具，但是教学时也要评估学生原有的基础，进行必要复习与完善.2.利用网络平台（比如：Hp数学实验室、ipad等）在课堂检测、学生展示等环节中，让教师及时了解学生的反馈信息，适时作出评价和引导.五、课时教学设计本单元共4节课，具体分配如下：第1课时：2.3.1两条直线的交点坐标；第2课时2.3.2两点间的距离公式；第3课时2.3.3点到直线的距离公式；第4课时2.3.4两条平行直线间的距离；。
人教课标版高中数学必修二《直线的交点坐标与距离公式》教案-新版
直线的交点坐标与距离公式一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，学会通过直线方程把握直线上的点，用代数方法研究直线上的点，学会对直线进行代数研究，掌握简单的坐标法思想，学会用代数方法解决简单的几何问题，体会数形结合这种解析几何最核心的思想方法． （二）学习目标1．能用解方程组的方法求两直线交点坐标，会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系． 2．探索并掌握两点间的距离公式并会简单应用，了解坐标法处理几何问题的基本步骤． （三）学习重点1．利用解方程组的方法求两直线交点坐标，及过两直线交点的直线系方程． 2．两点间距离公式的证明与应用． （四）学习难点1．掌握过两直线交点的直线系方程． 2．两点间距离公式的应用．3．解析几何问题中数形结合思想的应用． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第102页至第106页，填空：用代数方法求两条直线的交点坐标，只需写出这两条直线的方程，然后 联立求解 ．联立两直线方程：11122200A x B y C A x B y C ì++=ïí++=ïî，若方程组有唯一解，则两条直线 相交 ，此解就是 交点 的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线 平行 ；若方程组中两方程可以化为同一个方程，，此时两条直线 重合 ．平面上两点111222(,),(,)P x y P x y平面上点(,)P x y 到原点(0,0) 平行四边形的四条边的平方和等于 两条对角线的平方和 ．用解析法处理平面几何问题的基本步骤可以概括为：2．预习自测1.直线12:0,:20l x y l x y -=+-=的交点坐标为（ ） A ．(0,1) B ．(1,0) C ． (1,1) D ．(1,1)-- 答案：C ．解析：【知识点】直线交点． 【解题过程】联立求解． 点拨：联立求解．2.直线12:10,:2220l x y l x y --=--=的位置关系为（ ） A ．相交 B ．平 C ．重合 D ．不确定 答案：C ．解析：【知识点】直线位置关系． 【解题过程】直线方程相同，直线重合． 点拨：直线方程相同．3.两点(1,1),(3,4)-间的距离为（ ） A ．5 B ．C ．3D．答案：A ．解析：【知识点】两点间距离公式．【解题过程】利用两点间距离公式直接求解． 点拨：利用两点间距离公式直接求解． (二)课堂设计 1．问题探究探究一 结合联立直线方程，认清几何与代数间的联系，体验坐标法的思想★ ●活动① 认清二元一次方程组的解及其几何意义看下表，并填空：【设计意图】通过对二元一次方程组的认识，体会直线方程的解为直线上的点（坐标形式），所以两条直线方程所组成的方程组的解即为两条直线的交点坐标．●活动② 分类讨论，理清直线位置关系研究方程组：11122200A x B y C A x B y C ì++=ïí++=ïî的解的个数，解的个数不同对应着直线的不同的位置关系．若方程组没有解，说明两条直线没有交点，则这两条直线平行； 若方程组有唯一解，说明两条直线有唯一交点，则这两条直线相交；若方程组无数解，此时两个方程为同一方程，则这两条直线为同一直线，则这两条直线重合． 【设计意图】分类讨论，从方程的角度再次清楚认识直线间关系．●活动③拓展直线交点问题，研究过已知两直线交点的直线系方程判断直线12:3420,:220l x y l x y +-=++=的位置关系． 两条直线相交，交点为(2,2)-．拓展：当l 变化时，方程342(22)0x y x y l +-+++=表示什么图形？该图形有何特点？ 表示直线，且过定点(2,2)-． 该直线有可能恰好是12,l l 吗？ 可以表示1l ，不能表示2l ． 那你可以得到更一般的结论么？结论：若直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=相交，交点为P ，则过点P 的直线系为：111222()0A x B y C A x B y C l +++++=（2l 除外）．【设计意图】由特殊到一般，认识过定点的直线的方程的共有形式． 探究二 初步认识坐标法，探索两点间距离公式 ●活动① 从特殊到一般、分类讨论研究两点间距离平面上两点111222(,),(,)P x y P x y 间的距离：（1）若12||PP x 轴（即12y y =时），两点12,P P 间的距离为多少呢？ 1212PP x x =-．（2）若12PP y 轴（即12x x =时），两点12,P P 间的距离为多少呢？1212PP y y =-．（3）那一般情况下，两点12,P P 间的距离为多少呢？过12,P P 两点，分别做x 轴，y 轴的垂线，得到垂线的交点为,A B ，则为矩形12P AP B 的对角线，矩形的边长分别为1212,x x y y --，由勾股定理，所以；（4）点(,)P x y 到原点的距离为d ．【设计意图】通过从特殊到一般，不仅要掌握两点间距离公式的一般形式，还应掌握一些特殊形式．●活动② 温故知新，体会向量方法在解析几何中的应用呢？（讨论） （向量方法）122121(,)PP x x y y =--(PP x =【设计意图】初步体会向量方法在解析几何中的应用．探究三 平面几何问题坐标化，利用数形结合处理平面几何问题★▲ ●活动① 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．为将此问题进行坐标化处理，应该如何建立坐标系呢？又该如何处理各点的坐标呢？建立如图所示的坐标系，利用平行四边形的性质设出各点坐标，则四边平方和为222222222()AB AD a b c +=++，由两点间距离公式，得对角线的平方和为222222()()AC BD a b c a b c +=+++-+，所以平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．【设计意图】对两点间距离公式进行简单应用，体会坐标法给证明带来的简洁思路，并让学生体会解析法处理平面几何问题的一般步骤． ●活动② 互动交流、一问多解在向量的学习中，我们学习过平行四边形法则，是否可以用向量方法完成活动①中的证明呢？由平行四边形法则可知AB AD AC +=，平方2222AB AD AB AD AC ++=，AB AD DB -=，平方2222AB AD AB AD DB +-=，将两式相加可得，222222AB AD DB AC +=+，进而命题得证．【设计意图】通过一问多解，拓展学生思维，体会向量方法在平几问题中的强大作用，达到温故而知新的目的． 探究四 师生共研，巩固提升●活动① 巩固基础，检查反馈例1 已知三条直线280,4310,210ax y x y x y ++=+=-=交于一点，则a 的值为（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．-2【知识点】联立方程组求直线交点． 【数学思想】【解题过程】联立4310210x y x y ì+=ïí-=ïî得交点为(4,2)-，代入280ax y ++=，解得1a =-．【思路点拨】方程组的解即为交点坐标．【答案】B ．同类训练 对任意的实数l ，直线2(22)0y x y l -+++=恒过定点 ． 【知识点】恒过已知两直线交点的直线系． 【数学思想】方程的观点处理几何问题．【解题过程】联立20220y x y ì-=ïí++=ïî，可得定点(2,2)-．【思路点拨】用方程的观点处理直线过定点问题． 【答案】(2,2)-．例2 求经过直线240,50x y x y -+=-+=的交点，且垂直于直线20x y -=的直线方程为（ ） A ．280x y +-=B ．280x y --=C ．280x y ++=D ．280x y -+=【知识点】直线方程的综合应用． 【数学思想】整体处理．【解题过程】法一、联立直线方程可得交点坐标为(1,6)，所求直线方程可设为20x y m ++=，将(1,6)代入可得8m =-；法二、将直线方程设为24(5)0x y x y l -++-+=，直线斜率221k λλ+=-=+，可得43λ=-，代入化简直线方程为280x y +-=． 【思路点拨】可先整体处理设直线方程可规避解方程组．【答案】A ．同类训练 求经过直线240,50x y x y -+=-+=的交点，且过原点的直线方程为（ ） A ．20x y += B ．20x y -=C ．60x y +=D ．60x y -=【知识点】过两直线交点的直线系方程． 【数学思想】整体处理．【解题过程】将直线方程设为24(5)0x y x y l -++-+=，将原点坐标代入，可得45λ=-，代入化简直线方程为60x y -=． 【思路点拨】整体设置直线方程． 【答案】C ．【设计意图】巩固训练．●活动② 强化提升、灵活应用例3 已知两点(1,1),A B -（2,3），在x 轴上求一点P ，（1）使得PB PA +最小； （2）使得PB PA -最大． 【知识点】对称点的坐标的求解，三角形的基本性质，两点间距离公式． 【数学思想】数形结合．【解题过程】点(1,1)A -关于x 轴的对称点为'(1,1)A --，连接'A B ，在三角形'A BP 中，三边基本关系，''PA PB A B +≥,即'PA PB A B +≥，（当三点',,A P B 共线时取等），所以PB PA +的5=，此时P 的坐标为1(,0)4P -；连接BA 并延长x 轴交于点0P ，在三角形ABP 中，三边基本关系，PB PA AB -≤,（当三点,,A P B共线时取等），所以PB PA -的最大值为=，此时P 的坐标为( 2.5,0)P -．【思路点拨】通过对称将距离的最值问题转化为共线问题，再利用两点间距离公式求得最值． 【答案】（1）1(,0)4P -；（2）( 2.5,0)P -．同类训练 已知两点(1,0),(1,3)A B -，在直线y x =上求一点P ，使得PB PA +最小，并求出此时的坐标P ．，11(,)33P ．解析：【知识点】对称点的求解，两点间距离公式，两点间直线距离最短原理． 【数学思想】数形结合．【解题过程】点(1,0)A -关于直线y x =的对称点为'(0,1)A -，，当三点'A PB 共线时取得，此时直线'A B 的方程为41y x =-，联立41y x y x =-⎧⎨=⎩，可得11(,)33P ．点拨：利用对称转化为两点间距离的问题．【设计意图】直线交点与两点间距离公式的综合应用． 3. 课堂总结 知识梳理（1）联立两直线方程：1112220A x B y C A x B y C ì++=ïí++=ïî，若方程组有唯一解，此解就是交点的坐标；（2）平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ．（3）平面上点(,)P x y 到原点(0,0) 重难点归纳（1）将平面几何问题坐标化，并能用本课所学处理简单的平几问题． （2）在求解距离和最值的问题上，要注意利用对称变换将问题进行转化．（三）课后作业 基础型 自主突破1．直线3y x =+与直线2y x =的交点坐标为_________. 答案：(3,6)．解析：【知识点】直线的交点坐标． 【数学思想】方程的思想【解题过程】联立方程解方程组得(3,6)． 点拨：联立方程．2．两点(2,3),(1,)a 间距离的最小值为_______. 答案：1．解析：【知识点】两点间距离公式． 【数学思想】函数思想【解题过程】2222(21)(3)(3)1d a a =-+-=-+，所以距离的最小值为1． 点拨：求二次函数的最值．3．点,A B 分别在坐标轴上，若AB 的中点坐标为(1,1)答案：解析：【知识点】中点坐标公式与两点间距离公式． 【数学思想】方程思想．【解题过程】设(,0),(0,)A x B y ，则1,122x y==，所以(2,0),(0,2)A B ，可得AB =． 点拨：利用中点坐标公式求出,A B 坐标，再利用距离公式求解．4．若两条直线2,y x y x m =-=-+的交点在第一象限，则实数m 的取值范围为_______． 答案：2m >．解析：【知识点】直线交点． 【数学思想】方程思想．【解题过程】联立方程，直线的交点坐标为22(,)22m m+-，在第一象限2222mm+⎧>⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩，解得2m>．点拨：联立方程求交点．5．已知平行四边形ABCD的两组对边分别长1,2，若对角线3AC=，则BD=________．答案：1．解析：【知识点】平行四边形四边长与对角线长关系．【解题过程】有平行四边形性质可得222222112210AC BD+=+++=，所以1BD=．点拨：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．6．已知三条直线2380,10,0x y x y x ky++=--=+=交于一点，则k=________．答案：12k=-．解析：【知识点】直线交点．【数学思想】方程思想．【解题过程】联立238010x yx y++=⎧⎨--=⎩可得交点为(1,2)--，代入0x ky+=，可得12k=-．点拨：联立解方程然后代入求解．能力型师生共研7．()f x=）A．1 B．2C．D．4答案：C．解析：【知识点】两点间距离公式．【数学思想】数形结合．【解题过程】()f x=，所以()f x的几何意义为(,0)x到点(1,1),(1,1)--的距离之和，由数形结合可得()f x=．点拨：将问题转化为几何问题，利用两点间直线距离最短求得．8．点(cos ,sin ),(1,2)θθ之间距离的最小值为_______．1-．解析：【知识点】两点间距离公式．【数学思想】函数思想．【解题过程】d ===所以d 的最小值为1d ==-．点拨：将问题转化为三角函数的最值问题．探究型 多维突破9．求过直线20,60x y x y -=+-=的交点且与直线3x y =垂直的直线方程．答案：310y x =-+．解析：【知识点】直线交点．【数学思想】方程思想，待定系数．【解题过程】由于直线与直线3x y =垂直，所以它的斜率为3-，法一，直线20,60x y x y -=+-=的交点为(2,4)，由点斜式可得43(2)y x -=--，即310y x =-+；法二，设所求直线方程为2(6)0x y x y λ-++-=，它的斜率为231k λλ+==--，解得52λ=，代入化简得310y x =-+．点拨：可考虑整体设置方程，待定系数求解． 10．已知平行四边形的两条边所在直线方程为10,340x y x y +-=-+=，且它的对角线的交点是(3,3)M ，求这个平行四边形的其他两边所在直线的方程．答案：:3160BC x y --=，:110CD x y +-=．解析：【知识点】直线交点，直线方程．【数学思想】方程思想．【解题过程】如图，联立10,340x y x y +-=-+=，求得37(,)44A -，又由M 为AC 中点，由中点坐标公式解得2717(,)44C ，由平行关系可得1727:3()44BC y x -=-，化简得:3160BC x y --=，同理，可解得:110CD x y +-=．点拨：结合平行关系，利用斜率相等和交点求解．自助餐1．已知点(,5),(0,10)A a B -间的距离为17，则a 的值为_______．答案：8a =．解析：【知识点】两点间距离公式．17=，解得8a =．点拨：列式求解．2．经过两条直线30,230x y x y -+=+-=的交点，且过原点的直线方程为________． 答案：20x y +=．解析：【知识点】过两直线交点的直线系．【数学思想】待定系数．【解题过程】设所求直线方程3(23)0x y x y λ-+++-=，将原点坐标代入得1λ=，所求直线方程为20x y +=．点拨：整体设置直线，求解待定系数．3.经过两条直线23100,3420x y x y -+=+-=的交点，且垂直于直线3240x y -+=的直线方程为________．答案：2320x y +-=．解析：【知识点】直线间位置关系，直线交点．【数学思想】待定系数．【解题过程】设所求直线方程2310(342)0x y x y λ-+++-=，化简(23)(43)+10x λλ++- 20λ-=，由垂直关系可得3(23)2(43)0x λλ+--=，解得12λ=-，代入整理得直线2320x y +-=．点拨：整体设置直线，求解待定系数．4．点(1,1)P --到曲线1(0)xy x =>上任意一点距离的最小值为________．答案：解析：【知识点】两点间距离公式．【数学思想】不等式思想．【解题过程】在曲线上任意取点1(,)x x ，则d ==≥1x =时取得．点拨：列式，利用均值不等式求最值．5．已知,a b 为单位向量，则a b a b -++的最大值为__________．答案：解析：【知识点】平行四边形的四边平方和等于对角线的平方和．【数学思想】不等式．【解题过程】由向量的平行四边形法则和平行四边形的四边平方和等于对角线的平方和可知224a b a b -++=，由不等式,2a b a b +>≥，可得a b a b -++的最大值为． 点拨：由平行四边形的四边平方和等于对角线的平方和得到定值条件，再利用均值不等式求解．6．已知(0,1),(0,1)x y ∈∈，求证：≥． 答案：见解题过程．解析：【知识点】两点间距离公式．【数学思想】转化思想．【解题过程】如图所示，(,)P x y 为正方形内任意一点，由根式的几何意义可知，，所以问题转化为求证2PO PA PC PB +++≥，在三角形POB OB上取得，同理，在三角形PAC AC 上取得，所以当P 在,OB AC 交点处11(,)22时，PO PA PC PB +++取得最小值，所以≥． 点拨：利用根式的几何意义将问题转化为几何最值求解．。
直线的交点坐标与距离公式教案
直线的交点坐标与距离公式教案教案：直线的交点坐标与距离公式一、教学目标：1.理解直线的交点坐标与距离公式的概念和含义；2.掌握利用直线的方程求交点坐标的方法；3.掌握利用直线的方程求点到直线的距离的方法；4.运用所学知识解决实际问题。
二、教学准备：1.教师准备相应的教学材料和习题；2.准备黑板和白板。
三、教学过程：步骤一：导入新知1.引入直线的概念，并复习直线的方程；2.提出问题：两条直线的交点坐标和点到直线的距离可以通过什么公式来求解？步骤二：学习直线的交点坐标公式1.引导学生思考两直线相交时，交点坐标存在哪些特点；2.引入直线的方程，并通过示意图说明两直线相交时，所对应的方程组；3.讲解如何通过解方程组，求解两直线的交点坐标；4.指导学生进行练习，加深对交点坐标公式的理解。
步骤三：学习点到直线的距离公式1.引导学生思考点到直线的距离与直线的方程之间的关系；2.引入点到直线的距离公式：设直线的方程为Ax+By+C=0，点的坐标为(x0,y0)，则点到直线的距离公式为：d=，Ax0+By0+C，/√(A^2+B^2)；3.通过示意图和具体例子，讲解点到直线的距离公式的意义和应用；4.指导学生进行练习，加深对点到直线的距离公式的理解。
步骤四：综合练习与解决实际问题1.设计一些综合性的问题，要求学生综合运用直线的交点坐标公式和点到直线的距离公式；2.指导学生通过已知条件，列出方程组或距离公式，并解答问题；3.分组或个人展示解题过程和结果，互相交流。
四、教学评价：1.教师观察学生对于直线的交点坐标与距离公式的理解程度和运用能力；2.学生完成的作业和解答实际问题的能力；3.学生对于教学内容的理解与反馈。
五、教学拓展：1.强化练习：提供更多的题目，让学生进行反复练习；2.拓展教学：引入向量的概念，讲解向量表示直线的交点坐标和点到直线的距离。
直线的交点坐标和距离公式教学设计
直线的交点坐标和距离公式教学设计一、引言直线的交点坐标和距离公式是解决平面几何中直线相交问题的基础知识之一。
学好这个知识点对于解决类似的几何题目非常重要。
本文将以教学设计的形式，详细介绍直线的交点坐标和距离公式的教学过程。
二、教学目标•掌握直线交点坐标的求解方法；•熟练运用交点坐标和距离公式解决实际问题；•培养学生的数学思维和解决问题的能力。
三、教学内容1. 直线的交点坐标公式•给出两个直线的方程，学生要能够通过联立方程解得直线的交点坐标；•引导学生通过代入法，消元法等方法得到交点坐标的具体计算步骤。
2. 直线的距离公式•介绍计算直线距离的概念；•提供不同解题情境下计算直线距离的公式；•引导学生分析题目，选择合适的距离公式进行计算。
四、教学过程1. 导入与引入（5分钟）•引入直线的基本概念，并与学生共同回忆直线的定义和性质。
2. 直线交点坐标的求解方法（15分钟）•提供一个简单的例子，用具体的数字代入方程然后解得交点坐标，引导学生分析求解过程；•解释代入法和消元法两种常用的解方程的方法；•进一步提供一些实际问题情境，引导学生尝试应用这两种方法去解决。
3. 直线距离的计算（20分钟）•介绍直线距离的概念，引导学生思考如何计算直线之间的距离；•根据不同的题目情境，提供几种直线距离的计算公式，并让学生分析问题并选择合适的公式计算；•提供一些实际问题情境，让学生应用所学的公式进行计算。
4. 练习与应用（15分钟）•提供一套练习题，包括直线交点坐标的求解和直线距离的计算；•引导学生自主解题，教师在一旁进行指导和辅助。
5. 总结与归纳（5分钟）•总结直线交点坐标的求解方法和直线距离的计算公式；•鼓励学生提出问题和思考，加深对知识点的理解。
五、课后作业•布置一些相关的课后作业，包括直线交点坐标的计算和直线距离的应用题目；•指导学生如何应用公式解决实际问题。
六、教学评价•根据学生的课堂表现、课堂练习情况和课后作业的完成情况进行评价；•督促学生课后复习和巩固。
直线的交点坐标与距离公式教学设计
直线的交点坐标与距离公式教学设计一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够： 1. 理解直线的定义和基本特征； 2. 理解直线的斜率和截距的概念； 3. 掌握求解直线交点坐标和距离的方法； 4. 能够应用所学知识解决实际问题。
二、教学重点和难点教学重点： 1. 直线的斜率和截距的计算方法； 2. 直线交点坐标的求解方法； 3. 直线间距离的计算公式。
教学难点： 1. 运用所学知识解决复杂实际问题。
三、教学内容和学习活动1.直线的斜率和截距教师介绍直线的基本概念，并引导学生思考直线的斜率和截距的意义。
然后，通过具体例子，讲解如何计算直线的斜率和截距，并与学生进行互动讨论。
学习活动： - 学生观察教师提供的直线图形，猜测直线斜率的计算方法； - 学生自愿上台解释直线斜率的计算方法； - 教师给出具体直线方程，引导学生计算直线的截距。
2.直线交点坐标的求解方法教师通过实例，介绍求解直线交点坐标的方法。
首先，讲解如何联立两条直线的方程，然后通过方程组的解法，得到交点坐标。
学习活动： - 学生观察教师提供的两条直线图形，猜测求解直线交点坐标的方法； - 学生自愿上台解释求解直线交点坐标的方法； - 教师给出具体方程组，引导学生计算交点坐标。
3.直线间距离的计算公式教师介绍直线间距离的概念，并给出计算公式。
通过具体例子，展示如何利用距离公式计算直线的间距离，并与学生进行互动讨论。
学习活动：- 学生观察教师提供的两条直线图形，猜测直线间距离的计算公式；- 学生自愿上台解释直线间距离的计算公式； - 教师给出具体直线方程，引导学生计算直线间距离。
四、教学评价和讲解策略1.教学评价策略•持续观察学生的课堂表现，如积极参与讨论、回答问题的准确性等；•在学习活动结束时，布置小作业，检查学生对知识掌握程度；•根据学生的学习情况，给予及时的反馈和指导。
2.讲解策略•通过引导学生观察实例、参与讨论等方式，激发学生学习兴趣；•采用示范、讨论、实践等多种教学方法，促使学生从多个角度理解知识；•在教学过程中，引导学生发现问题、解决问题，培养学生的自主学习能力。
直线的交点坐标与距离公式教案
(2)利用两条平行直线间的距离公式 时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直
线中x，y的系数要保持一致.
二、典型例题（见学案）
三、练习（见学案）
教务处检查签字：
日期：年月日
课后
评价
一、学生对于本次课的评价
○特别满意○满意○一般○差
龙文教育一对一个性化教案
学生姓名
教师
姓名
授课
日期
月日
授课
时段
课题
直线的交点坐标与距离公式
重点难点
1.掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标.
2..掌握两点间距离公式，点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离.
教
学
步
骤
及
教
学
内
容
一．复习
1直线的交点：
求两直线 与 的交点.若有 ，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有 ，则方程组无解，此时两直线平行；若有 ，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标.
2两点间的距离公式
两点 间的距离公式为 .
3点到直线的距离公式
点 到直线 的距离为 .
两平行线间的距离
本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线 与直线 的距离为 .
注意：
1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一
二、教师评定
1、学生上次作业评价：
○好○较好○一般○差
2、学生本次上课情况评价：
直线的交点坐标与距离公式(教案)
直线的交点坐标与距离公式（教案）教学目的一. 考纲考情1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直．2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．二.知识梳理知识点一 两条直线的交点设两条直线的方程为l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0（ ）.l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，（ ）. (1)直线l 1与l 2相交的充要条件是.(2) 怎么求这两条直线交点坐标？知识点二 几种距离公式(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝ .(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝.三.考点自测1. 1.已知直线l 1:3x+4y-5=0与l 2:3x+5y-6=0相交,.3.直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是________．4.已知点A (1, 3)，B (3, 1)，C (－1, 0)，求△ABC 的面积.2222A +B 0≠2211A +B 0≠2.已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是，则直线l 1的 方程为_________________________.四.典例精讲热点一两条直线相交问题【例1】求经过直线l1：x＋y＋1＝0与直线l2：x－y＋3＝0的交点P，且与直线l3：2x－y＋2＝0垂直的直线l的方程．【总结反思】跟踪训练;求经过两条直l1: x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点,且和直线2x-y+6=0平行的直线l的方程.热点二距离问题例2（1）直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为____________________.【总结反思】五课后作业1直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是________．2.(2016·忻州训练)已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，若l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a＋b＝________.3.求直线l1:3x-y+12=0和l2:3x4.点P(2,1)到直线l：mx－y－3＝0(m∈R)的最大距离是________.5.(2016·绵阳模拟)若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________.6.对任意实数a，直线y＝ax－3a＋2所经过的定点是( )A．(2,3) B．(3,2) C．(－2,3) D．(3，－2)。
直线的交点坐标与距离公式教案
直线的交点坐标与距离公式教案引言几何学中的直线是一条无限延伸的连续曲线。
当两条直线相交时，它们会在某一点上相交，这个点被称为交点。
在几何学中，我们常常需要计算直线的交点坐标和直线之间的距离。
本教案将介绍计算直线交点坐标和距离的公式。
一、直线的交点坐标公式当给定两条直线的方程式时，我们可以使用消元法或代入法来求解它们的交点坐标。
下面是两种常用的情况：1.1 垂直直线如果两条直线的斜率乘积为 -1，那么它们是垂直直线。
垂直直线的交点坐标可以通过以下公式来求解：假设第一条直线的方程为y = m1x + c1，第二条直线的方程为y = m2x + c2，其中 m1 和 m2 分别是两条直线的斜率，c1 和 c2 是它们在 y 轴上的截距。
则交点的 x 坐标可以计算为：x = (c2 - c1) / (m1 - m2)。
将 x 的值代入任意一条直线的方程，可以计算出交点的 y 坐标。
1.2 平行直线如果两条直线的斜率相等且截距不同，那么它们是平行直线。
平行直线之间没有交点。
二、直线之间的距离公式直线之间的距离可以通过以下公式来计算：假设给定直线的方程为Ax + By + C = 0。
则点 (x0, y0) 到该直线的距离可以计算为：d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2)。
其中 |z| 表示取 z 的绝对值，sqrt(z) 表示求 z 的平方根。
三、实例演练3.1 求解两条直线的交点坐标给定两条直线的方程如下：直线 1: y = 2x + 3直线 2: y = -3x + 4分别计算两条直线的斜率和截距：直线 1 的斜率和截距分别为 m1 = 2，c1 = 3。
直线 2 的斜率和截距分别为 m2 = -3，c2 = 4。
计算交点的 x 坐标：x = (c2 - c1) / (m1 - m2) = (4 - 3) / (2 - (-3)) = 1/5将 x = 1/5 代入其中一条直线的方程，计算交点的 y 坐标：y = 2x + 3 = 2 * (1/5) + 3 = 13/5所以两条直线的交点坐标为 (1/5, 13/5)。
《直线的交点坐标与距离公式》教案(人教A版必修2)(6)
点到直线的距离
课时
1
课型
新授
教
学
目
标
知识与技能：
⑴理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式
⑵会用点到直线距离公式求解两平行线距离．
过程方法与能力：
通过点到直线距离的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣．
情感态度与价值观：
认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题，在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会数、形的统一美，激发学生学习数学的兴趣，对学生进行对立统一的辩证唯物主义观点的教育，培养学生勇于探索、勇于创新的精神
师生活动
四、课堂练习：
1.求原点到下列直线的距离：
(1)3＋2－26＝0；(2)＝
解：(1).(2)∵原点在直线＝上，∴d＝0
2.求下列点到直线的距离：
(1)A（－2，3），3＋４＋3＝0;(2)B（1，0），＋－＝0；
(3)C（1，－2），４＋3＝0.
解：(1) (2)
(3)
3.求下列两条平行线的距离：
作直线通过点，并且与直线垂直，设垂足为，
则直线的方程：，
又在直线上，则：， （1）
又在直线上，则，即
所以
即 （2）
即：
点到直线的距离为
方案二：设A≠0，B≠0，这时与轴、轴都相交，过点P作轴的平行线，交于点；
教学过程与内容
师生活动
作轴的平行线，交于点，
由得.
所以，1)2＋3－８＝0，2＋3＋1８＝0，
(2)3＋４＝10，3＋４＝0.
解：(1)在直线2＋3－８＝0上取一点P（４，0），则点P到直线2 ＋3＋1８的距离就是两平行线的距离，∴d＝
(2)在直线3＋４＝0上取一点O（0，0），则点O到直线3＋４＝10的距离就是两平行线的距离，∴＝2
直线的交点坐标与距离公式的教案
直线的交点坐标与距离公式的教案引言直线是几何学中的基本概念之一，研究直线的特性和交点坐标是几何学的重要内容之一。
了解直线的交点坐标和距离公式有助于学生更好地理解几何学中的相关概念和解题方法。
本教案将介绍直线的交点坐标和距离公式，并提供几个例题进行讲解。
一、直线的交点坐标公式两条直线的交点坐标可以通过联立直线的方程求解。
在平面直角坐标系中，一条直线可以用一元一次方程表示，形式为 y = ax + b，其中 a 和 b 是常数。
当两条直线相交时，可将两个方程联立，解出 x 和 y 的值，得到交点的坐标。
例如，给定直线 L1：y = 2x + 1 和直线 L2：y = -3x + 4。
要求求出它们的交点坐标。
解法如下： 1. 将直线方程联立，得到 2x + 1 = -3x + 4。
2. 将方程两边整理，得到 5x = 3，进而得到 x = 3/5。
3. 将 x 的值带入其中一个方程，得到 y = 2(3/5) + 1，进而得到 y = 13/5。
4. 因此，两条直线的交点坐标为 (3/5, 13/5)。
二、直线间的距离公式直线间的距离是指两条直线之间的最短距离，也可以称为垂直距离。
直线间的距离可以通过求解两条直线的垂直距离得到。
设有一条直线 L1 的一般方程为 Ax + By + C1 = 0，另一条直线 L2 的一般方程为Dx + Ey + C2 = 0。
直线 L1 和直线 L2 之间的距离可以通过以下公式求解：d = |(C2 - C1)/√(A^2 + B^2)|其中，|x| 表示取 x 的绝对值。
例如，给定直线 L1：2x - 3y + 4 = 0 和直线 L2：3x - 4y - 5 = 0。
要求求出它们之间的距离。
解法如下： 1. 根据直线一般方程，得到 A = 2，B = -3，C1 = 4，D = 3，E = -4，C2 = -5。
2. 将这些值代入距离公式，得到 d = |(-5 - 4)/√(2^2 + (-3)^2)|。
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第一课时 3.3-1两直线的交点坐标教案一、教学目标（一）知能目标：1。
直线和直线的交点2．二元一次方程组的解（二）情感目标：1。
通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内的联系。
2．能够用辩证的观点看问题。
二、教学重点，难点重点：判断两直线是否相交，求交点坐标。
难点：两直线相交与二元一次方程的关系。
三、教学过程：（一）课题导入用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系。
课堂设问一：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？（二）探研新知分析任务，分组讨论，判断两直线的位置关系已知两直线L1：A1x+B1y +C1=0,L2：A2x+B2y+C2=0如何判断这两条直线的关系？教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看表一，并填空。
几何元素及关系代数表示点A A（a，b）直线L L：Ax+By+C=0点A在直线上直线L1与 L2的交点A课堂设问二：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组有何关系？（1） 若二元一次方程组有唯一解，L 1与L2 相交。
（2） 若二元一次方程组无解，则L 1与 L2平行。
（3） 若二元一次方程组有无数解，则L 1 与L2重合。
课后探究：两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系？1． 例题讲解，规范表示，解决问题 例题1：求下列两直线交点坐标 L1 ：3x+4y-2=0L1：2x+y +2=0解：解方程组 34202220x y x y +-=⎧⎨++=⎩得 x=-2，y=2所以L1与L2的交点坐标为M （-2，2），如图3。
3。
1。
642-2-4-55yx教师可以让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后才进行讲解。
同类练习：书本114页第1，2题。
例2 判断下列各对直线的位置关系。
如果相交，求出交点坐标。
（1）L1：x-y=0，L2：3x+3y-10=0（2）L1：3x-y=0，L2：6x-2y=0（3）L1：3x+4y-5=0，L2：6x+8y-10=0这道题可以作为练习以巩固判断两直线位置关系。
二．启发拓展，灵活应用。
课堂设问一。
当λλ变化时，方程 3x+4y-2+λ（2x+y+2）=0表示何图形，图形有何特点？求出图形的交点坐标。
（1）可以一用信息技术，当取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点。
（2）找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论。
（3）结论，方程表示经过这两条直线L1 与L2的交点的直线的集合。
（三）小结：直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为代数问题来解决，并能进行应用。
（四）练习及作业：a)光线从M（-2，3）射到x轴上的一点P（1，0）后被x轴反射，求反射光线所在的直线方程。
b)求满足下列条件的直线方程。
经过两直线2x-3y+10=0与3x+4y-2=0的交点，且和直线3x-2y+4=0垂直。
板书设计：略第二课时 3.3.2两点间距离教案一、教学目标（一）知能目标：掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题。
（二）情感目标：体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题二、教学重点，难点：重点，两点间距离公式的推导。
难点，应用两点间距离公式证明几何问题。
三教学过程：（一）课题导入课堂设问一：回忆数轴上两点间的距离公式，同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题 平面直角坐标系中两点()(21222217PP x x y y =-+-x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为()()112200N y M x ，，， （二）探研新知直线12PN N 12与P 相交于点Q 。
在直角ABC V 中，2221212PP PQ QP =+，为了计算其长度，过点1P 向x 轴作垂线，垂足为 ()110M x ， 过点 向y 轴作垂线，垂足为()220N y ， ，于是有 2222221212121221PQ M M x x QP N N y y ==-==-， 所以，2221212PP PQ QP =+=222121x x y y -+-。
由此得到两点间的距离公式()()22122221PP x x y y =-+-在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到。
例题解答，细心演算，规范表达。
例1 ：以知点A （-1，2），B （27），在x 轴上求一点，使 PA PB =,并求 PA 的值。
解：设所求点P （x ，0），于是有()()()()2222102207x x ++-=-+-由 PA PB =得2225411x x x x ++=-+解得 x=1。
所以，所求点P （1，0）且 ()()22110222PA =++-=通过例题，使学生对两点间距离公式理解。
应用。
解法二：由已知得，线段AB 的中点为12⎛ ⎝⎭２＋７Ｍ，２，直线AB 的斜率为k=()()12⎛⎫ ⎪⎝⎭２２７－２２＋７３＝ｘ－ＰＡ＝１＋２＋０－２＝２２３２２－７７－２３线段AB 的垂直平分线的方程是 y-12⎛⎫• ⎪⎝⎭２＋７＝ｘ－２－７ 在上述式子中，令y=0，解得x=1。
所以所求点P 的坐标为（1，0）。
因此()()２２ＰＡ＝１＋２＋０－２＝２２同步练习：书本116页第1，2 题（三） 巩固反思，灵活应用。
（用两点间距离公式来证明几何问题。
） 例2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。
这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。
证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴，建立直角坐标系，有Ａ（０，０）。
设Ｂ（ａ，０），Ｄ（ｂ，ｃ），由平行四边形的性质的点Ｃ的坐标为（ａ＋ｂ，ｃ），因为22222222AB a CD a AD b c BC ===+=，，()2AC a b =+２２，＋ｃ()２２２ＢＤ＝ｂ－ａ＋ｃ所以，()２２２２２２２ＡＢ＋ＣＤ＋ＡＤ＋ＢＣ＝２ａ＋ｂ＋ｃ()２２２２２ＡＣ＋ＢＤ＝２ａ＋ｂ＋ｃ所以，２２２２２２ＡＢ＋ＣＤ＋ＡＤ＋ＢＣ＝ＡＣ＋ＢＤ因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下： 第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量。
第二步：进行有关代数运算。
第三步；把代数结果“翻译”成几何关系。
思考：同学们是否还有其它的解决办法？ 还可用综合几何的方法证明这道题。
课堂小结：主要讲述了两点间距离公式的推导，以及应用，要懂得用代数的方法解决几何问题，建立直角坐标系的重要性。
课后练习1.：证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等2.在直线x-3y-2=0上求两点，使它与（-2，2）构成一个等边三角形。
3．（1994全国高考）点（0，5）到直线y=2x的距离是——。
板书设计：略。
第三课时 3．3．3 点到直线的距离3、3、4 两条平行线间的距离教案一、教学目标：（一）知能目标：1. 理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式；2 、会用点到直线距离公式求解两平行线距离（二）情感目标：1。
认识事物之间在一定条件下的转化。
用联系的观点看问题二、教学重点、难点教学重点：点到直线的距离公式教学难点：点到直线距离公式的理解与应用.三、教学过程（一）课题导入前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式。
逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离。
用POWERPOINT 打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学。
要求学生思考一直线上的计算？能否用两点间距离公式进行推导？两条直线方程如下：⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A . （二）探研新知 1．点到直线距离公式：点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2200BA CBy Ax d +++=（2）数行结合，分析问题，提出解决方案学生已有了点到直线的距离的概念，即由点P 到直线l 的距离d 是点P 到直线l 的垂线段的长.这里体现了“画归”思想方法，把一个新问题转化为一个曾今解决过的问题，一个自己熟悉的问题。
（1）提出问题在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为),(00y x ，直线＝0或B ＝0时，以上公式0:=++C By Ax l ，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢?学生可自由讨论。
画出图形，分析任务，理清思路，解决问题。
方案一：设点P 到直线l 的垂线段为PQ ，垂足为Q ，由PQ ⊥l 可知，直线PQ 的斜率为AB（A ≠0），根据点斜式写出直线PQ 的方程，并由l 与PQ 的方程求出点Q 的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ ｜，得到点P 到直线l 的距离为d此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨别一种方法方案二：设A ≠0，B ≠0，这时l 与x 轴、y 轴都相交，过点P 作x 轴的平行线，交l 于点),(01y x R ；作y 轴的平行线，交l 于点),(20y x S ，由⎩⎨⎧=++=++0020011C By Ax C By x A 得B CAx y A C By x --=--=0201,. 所以，｜P Ｒ｜＝｜10x x -｜＝ACBy Ax ++00｜PS ｜＝｜20y y -｜＝BCBy Ax ++00｜ＲS ｜＝ABB A PS PR 2222+=+×｜C By Ax ++00｜由三角形面积公式可知：d ·｜ＲS ｜＝｜P Ｒ｜·｜PS ｜所以2200BA CBy Ax d +++=可证明，当A=0时仍适用这个过程比较繁琐，但同时也使学生在知识，能力。
意志品质等方面得到了提高。
3．例题应用，解决问题。
例1 求点P=（-1，2）到直线 3x=2的距离。
解：()223125330⨯--=+ 例2 已知点A （1，3），B （3，1），C （-1，0），求三角形ABC 的面积。
解：设AB 边上的高为h ，则S ABC V =12AB h • ()()22311322AB =-+-=AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离 AB 边所在直线方程为311331y X --=--即x+y-4=0。