运筹学课件 第四节 最大流问题 PPT

网络系统中最大流问题就是在给定的网络上寻
求一个可行流f,其流量w(f)达到最大值。
设流f ={fij}是网络G上的一个可行流。我们把G 中fij=cij的弧叫做饱和弧，fij<cij的弧叫做不饱和弧， fij>0的弧为非零流弧，fij=0的弧叫做零流弧 .
最大流问题实际是个线性规划问题。
v1
（2）
{(v4 ,v3)}.
v1
2
v2
4 3
1 v3 2
2
vs
2
3
4 3
4 vt
v4
推论： 网络中的一个可行流f*是最大流的充分必要条件 是，不存在关于f*的增广链。
在一个网络G中，最大流的流量等于分离vs 和vt 的最小割 集的割量。
定理11提供了一个寻求网络系统最大流的方法。如果网络G 中有一个可行流 f，只要判断网络是否存在关于可行流 f 的增广链 。如果没有增广链，那么f一定是最大流。如有 增广链，那么可以按照定理中必要性，不断改进和增大可 行流f 的流量，最终可以得到网络G中的一个最大流。
三、标号法
从网络中的一个可行流f 出发（如果G中没有 f， 可以令f 是零流），运用标号法，经过标号过程和
调整过程，可以得到网络中的一个最大流。
如果vt有了标号，表示存在一条关于f 的增广链。 如果标号过程无法进行下去，并且vt未被标号，则 表示不存在关于f 的增广链。这样，就得到了网络
中的一个最大流和最小割集。
（2）平衡条件：
对于发点vs,收点vt有 对于中间点，有
fsi f jt W
i
j
fi j
f ji 0
(vi , v j )E
(v j ,vi )E
其中发点的总流量（或收点的总流量） w 叫做这个可行流的总流量。
任意一个网络上的可行流总是存在的。例如零 流w(f)=0,就是满足以上条件的可行流。
（5）
（2）
vs
（1）
（1）
v3
fij
（6）
（3） vt
（3）
（2）
v2
（3）
v4
网络上的一个流（运输方案），每一个弧上的流量fij就是运输
量。例如fs1=5 , fs2=3 , f13=2 等等。
定义21 设一个网络G=（V，E，C），vs、vt为发和收点，边集
E' 为 E 的 子 集 ， 将 G 分 成 2 个 子 图 G1,G2; 其 顶 点 集 合 分 别
为W, (S, S )是分离vs vt的任一个割集，则有W C(S,S ) .
定理11：最大流-最小割定理:任一个网络G=（V，E，C）,
从vs到vt的最大流的流量等于分离vs vt的最小割的容量。
定义22：设μ是网络G中连接发点νs和收点vt的一条链。定义链 的方向是从νs到 vt ，于是链μ上的边被分为两类：一类是边的 方向与链的方向相同，叫做前向边，前向边的集合记做μ+。二 类是边的方向与链的方向相反，叫做后向边，后向边的集合记 做μ–。
如果链μ满足以下条件：
1．在边（vi ,vj）∈μ+上，有0fij<cij。
2．在边（vi,vj）∈μ–上，有0<fijcij,。
则称μ为从νs到 vt可增广链。
在链（vs,v1,v2,v3,v4,vt)中，μ+ = {(vs,v1 ),(v1,v2),(v2,v3),(v4,vt)}, μ – =
我们把这样的图G叫做一个容量网络，记做G=（V，
E，C）。
网络G上的流，是指定义在边(vi ,vj)上有流量fij， 称集合f={fij} 为网络G上的一个流， f为可行流。
网络上的一个流f 叫做可行流，如果f 满足以下条件：
（1）容量条件：对于每一个弧（vi ,vj）∈E,有 0 fij cij .
v1
2
4 3
1 v3 2
2
vs
2
3
4 3
v4
v2 4 vt
边集{(vs,v1),(vs,v3),(vs,v4)} 边集{(vs,v1),(v1,v3),(v2,v3),(v3,vt)} 为图的割集，割集容量分别为11，9
二、最大流-最小割定理
定理10：设f为网络G=（V，E，C）的任一个可行流，流量
第四节 最大流问题
学习要求
理解最大流问题的概念、最大流-最小 割定理。 掌握求最大流问题的标号算法。
引言
在许多实际的网络系统中都存在着流量 和最大流问题。例如铁路运输系统中的车辆 流，城市给排水系统的水流问题等等。而网 络系统流最大流问题是图与网络流理论中十 分重要的最优化问题，它对于解决生产实际 问题起着十分重要的作用。
货物从vs运送到vt.要求指定一个运输方案，使得从vs到vt
的货运量最大，这个问题就是寻求网络系统的最大流问
题。
定义20 设一个赋权有向图G=（V,E）,对于G中的
每一个边（弧）（vi ,vj）∈E,都有一个非负数cij叫 做边的容量。在V 中一个入次为零的点称为发点vs， 一个出次为零的点称为收点vt ,其它的点叫做中间点。
（2）如果在弧（vj ,vi）上，fji > 0,那么给vj标号 （-vi , δ(vj) ）.其中δ (vj)=min[fji , δ(vi)] 。
为: S , S , S S V , S S ,发点vs∈S,收点vt∈ /S ,满足
1.G=（V，E- E'）不连通； 2. E''为 E' 的真子集，而G=（V，E- E'）' 连通； 那么 E' 为G的割集，记为 E' =(S,S )。
割集 (S, S )所有始点在S，终点在S 的容量之和，称为(S, S )的 割集容量，记为C(S, S) 。
v1
5
v3
Cij
vs 连通网络4G(V, E) 有 m 个节3点, n条弧, v弧t eij 上
的流量上界为
量。 8
cij,
求5从起始节点 vs 到终点 vt 的最大流 17
v2
6
v4
图是联结某个起始地vs和目的地vt的交通运输网，每
一条弧vi 旁边的权cij表示这段运输线的最大通过能力，
1． 标号过程
在标号过程中，网络中的每个标号点的标号包 含两部分：第一个标号表示这个标号是从那一点得 到的，以便找出增广链；第二个标号是为了用来确 定增广链上的调整量δ 。
标号过程开始，先给vs 标号（ ∆ ，+∞），一
般地，取一个标号顶点vi，对vi所有未标号的邻接
点vj按照下面条件进行处理：
（1）如果在弧（vi ,vj）上，fij<cij,那么给vj 标号 （+vi , δ(vj) ）.其中 δ(vj) = min[cij – fij , δ(vi) ]。