专题26 菱形(学生版) 备战2021年中考数学专题复习精讲精练

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2021学年人教版数学中考总复习课件专题26菱形问题

过 A 作 AH⊥DF 于 H，∴∠H＝∠ADE＝90°，∵AF＝DF，∴∠ADF＝∠DAE，
∴△ADH∽△AED，∴
，∴AE
2 ，∴
，∴AH ，
即点 A 到 DF 的距离为
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对点练习
2.（201 E，F 分别在边
BC 和 CD 上，AE＝AF，∠EAF＝60°，则 CF 的长是（ C ）
1.（2019·广西贺州）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 是 CD 的中点，AF 平分∠BAE
交 BC 于点 F，将△ADE 绕点 A 顺时针旋转 90°得△ABG，则 CF 的长为 6 2 5 ．
6
【解析】作 FM⊥AD 于 M，FN⊥AG 于 N，如图，易得四边形 CFMD 为矩形，则 FM＝4， ∵正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 是 CD 的中点，∴DE＝2，
4
解:如图，连接 DK，DN， ∵∠KDN＝∠MDT＝90°，∴∠KDM＝∠NDT， ∵DK＝DN，∠DKM＝∠DNT＝45°，∴△DKM≌△DNT（ASA），
S S S S ∴ ＝，∴ ＝ △DKM
△DNT
四边形 DMNT
△DKN
a，
∴正方形 ABCD 的面积＝4× a+b＝a+b．
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对点练习
2
3．正方形的判定判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：一是先证它是矩形，再证有一组邻边相等。即有一组邻边相等的矩形是正方形。二是先证它是菱形，再证有一个角是直角。即有一个角是直角的菱形是正方形。
4．正方形的面积：设正方形边长为 a，对角线长为 b ，S= a 2 b 2 2
在△BAE 和△CDE 中 ∠
∠ ，∴△BAE≌△CDE（SAS）；

2021重庆中考复习数学第26题专题训练五(含答案解析)(1) (1)

2021重庆中考复习数学第26题专题训练五1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△，可推证△CEF是三角形，从而求得∠DCE＝．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．3、（2019秋•锦江区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．4、（2019•镇平县三模）如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为；∠EFC的度数为；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．5、（2017春•西城区校级期末）如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．7、（1）如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．9、（2018•大东区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于时，线段BC的长取得最大值，且最大值为（用含b，c的式子表示）（直接填空）.模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线．17、在△ABC中，∠BAC＝60°，点D、E分别在边AC、AB上，AD＝AE，连接CE、BD相交于点F，且∠BEC＝∠ADF，连接AF．（1）如图1，连接ED，求证：∠ABD＝∠CED；（2）如图2，求证：EF+FD＝AF；（3）如图3，取BC的中点G，连接AG交BD于点H，若∠GAC＝3∠ABD，BH＝7，求△ABH的面积．18、点D，E分别在△ABC的边AC，BD上，BD，CE交于点F，连接AF，∠F AE＝∠F AD，FE＝FD．（1）如图1，若∠AEF＝∠ADF，求证：AE＝AD；（2）如图2，若∠AEF≠∠ADF，FB平分∠ABC，求∠BAC的度数；（3）在（2）的条件下，如图3，点G在BE上，∠CFG＝∠AFB若AG＝6，△ABC的周长为20，求BC长．2020重庆中考复习数学第26题专题训练五参考答案1、（2019秋•天桥区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．证明：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∵CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG＝45°，∴∠A＝∠BCG，在△BCG和△CAF中，∵，∴△BCG≌△CAF（ASA），∴CF＝BG；（2）如图2，∵PC∥AG，∴∠PCA＝∠CAG，∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，∴△ACG≌△BCG，∴∠CAG＝∠CBE，∵∠PCG＝∠PCA+∠ACG＝∠CAG+45°＝∠CBE+45°，∠PGC＝∠GCB+∠CBE＝∠CBE+45°，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG，∵PB＝BG+PG，BG＝CF，∴PB＝CF+CP；（3）解法一：如图3，过E作EM⊥AG，交AG于M，∵S△AEG＝AG•EM＝3，由（2）得：△ACG≌△BCG，∴BG＝AG＝6，∴×6×EM＝3，EM＝，设∠FCH＝x°，则∠GAC＝2x°，∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝2x°，∵∠ACH＝45°，∴2x+x＝45，x＝15，∴∠ACF＝∠GAC＝30°，在Rt△AEM中，AE＝2EM＝2，AM＝＝3，∴M是AG的中点，∴AE＝EG＝2，∴BE＝BG+EG＝6+2，在Rt△ECB中，∠EBC＝30°，∴CE＝BE＝3+，∴AC＝AE+EC＝2+3+＝3+3．解法二：同理得：∠CAG＝30°，AG＝BG＝6，如图4，过G作GM⊥AC于M，在Rt△AGM中，GM＝3，AM＝＝＝3，∵∠ACG＝45°，∠MGC＝90°，∴GM＝CM＝3，∴AC＝AM+CM＝3+3．2、（2019秋•淮安期末）[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△ADB，可推证△CEF是等腰直角三角形，从而求得∠DCE＝135°．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．解：[问题初探]如图2，过点E作EF⊥BC交直线BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝135°，故答案为：ADB，等腰直角，135；[继续探究]如图3，过点E作EF⊥BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝45°；[拓展延伸]如图4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴∠ACB＝45°当点D在射线BC上时，由[问题初探]知，∠BCM＝135°，∴∠ACM＝∠BCM﹣∠ACB＝90°，当点D在线段CB的延长线上时，由[继续探究]知，∠BCE＝45°，∴∠ACN＝∠ACB+∠BCM＝90°，∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点，∴当BE⊥MN时，BE最小，∵∠BCE＝45°，∴∠CBE＝45°＝∠BCE，∴BE＝CE，∴BE最小＝BC＝，即：BE的最小值为．3、（2019秋•锦江区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．证明：（1）如图1，过点D作DE⊥AB，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴DC＝DE，∵∠A＝30°，DE⊥AB，∴AD＝2DE，∴AD＝2DC；（2）如图2，过点M作ME∥BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵BM平分∠CBD，∴∠CBM＝15°＝∠DBM，∵ME∥BD，∴∠MEC＝∠CBD＝30°，∠EMB＝∠DBM＝∠MBE，∴ME＝BE，∵∠MEC＝30°，∠C＝90°∴CE＝MC＝，ME＝2MC＝2＝BE，∴BC＝+2，∵∠CBD＝30°，∠C＝90°，∴BC＝CD，∴CD＝1+，∴DM＝，∴△DBM的面积＝××（+2）＝1+；（3）若点N在CD上时，AD＝DG+DN，理由如下：如图3所示：延长ED使得DW＝DN，连接NW，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，∵DN＝DW，且∠WDN＝60°∴△WDN是等边三角形，∴NW＝DN，∠W＝∠WND＝∠BNG＝∠BDN＝60°，∴∠WNG＝∠BND，在△WGN和△DBN中，∴△WGN≌△DBN（SAS），∴BD＝WG＝DG+DN，∴AD＝DG+DN．（3）若点N在AD上时，AD＝DG﹣DN，理由如下：如图4，延长BD至H，使得DH＝DN，连接HN，由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．∵DE⊥AB于点E．∴∠2＝∠3＝60°．∴∠4＝∠5＝60°．∴△NDH是等边三角形．∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．∴∠H＝∠2．∵∠BNG＝60°，∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．即∠DNG＝∠HNB．在△DNG和△HNB中，∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG＝HB．∵HB＝HD+DB＝ND+AD，∴DG＝ND+AD．∴AD＝DG﹣ND．4、（2019•镇平县三模）如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为EF＝CF；∠EFC的度数为120°；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．解：（1）如图1中，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∵∠BCD＝90°，BF＝DF，∴FE＝FB＝FD＝CF，∴∠FBE＝∠FEB，∠FBC＝∠FCB，∴∠EFC＝∠EFD+∠CFD＝∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB＝2（∠FBE+∠FBC）＝2∠ABC＝120°，故答案为：EF＝CF，120°．（2）结论成立．理由：如图2中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，ED，EN，FN．∵BM＝MA，BF＝FD，∴MF∥AD，MF＝AD，∵AN＝ND，∴MF＝AN，MF∥AN，∴四边形MFNA是平行四边形，∴NF＝AM，∠FMA＝∠ANF，在Rt△ADE中，∵AN＝ND，∠AED＝90°，∴EN＝AD＝AN＝ND，同理CM＝AB＝AM＝MB，在△AEN和△ACM中，∠AEN＝∠EAN，∠MCA＝∠MAC，∵∠MAC＝∠EAN，∴∠AMC＝∠ANE，又∵∠FMA＝∠ANF，∴∠ENF＝∠FMC，在△MFC和△NEF中，，∴△MFC≌△NEF（SAS），∴FE＝FC，∠NFE＝∠MCF，∵NF∥AB，∴∠NFD＝∠ABD，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，△BMC是等边三角形，∠MCB＝60°∴∠EFC＝∠EFN+∠NFD+∠DFC＝∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB＝∠ABC+∠MCB＝60°+60°＝120°．（3）如图3中，作EH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，BC＝3，∴AB＝2BC＝6，在Rt△AED中，∠DAE＝30°，AD＝2，∴DE＝AD＝1，在Rt△DEH中，∵∠EDH＝60°，DE＝1，∴EH＝ED•sin60°＝，DH＝ED•cos60°＝，在Rt△EHG中，EG＝＝．5、（2017春•西城区校级期末）如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．解：（1）BC＝2BD，理由：如图2，连接CD，由旋转可得，CP＝DP，∠CPD＝60°，∴△CDP是等边三角形，∴∠CDP＝60°＝∠PCD，又∵P是AB的中点，AB＝AC，∠A＝60°，∴等边三角形ABC中，∠PCB＝30°，CP⊥AB，∴∠BCD＝30°，即BC平分∠PCD，∴BC垂直平分PD，∴∠BDC＝∠BPC＝90°，∴Rt△BCD中，BC＝2BD．（2）如图3，取BC中点F，连接PF，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵P是AB的中点，F是BC的中点，∴PF是△ABC的中位线，∴PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB＝45°，∠BPF＝∠A＝90°，∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF＝BP，BP＝PF，∵∠DPC＝∠BPF＝90°，∴∠BPD＝∠FPC，又∵PD＝PC，∴△BDP≌△FCP，∴BD＝CF，∵BC＝BF+FC，∴BC＝BD+BP．6、（2019春•碑林区校级月考）【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A 为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．【发现问题】解：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，在AN上截取AD＝AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；连接BD、CE，如图1所示：∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，【拓展探究】解：BD＝CE；理由如下：∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；【解决问题】解：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示：则∠BAE＝60°，BE＝AB＝AE＝8，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD，∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；当C、B、E三点共线时，CE最大＝BC+BE＝15+8＝23，∴BD的最大值为23．7、（2018春•铁西区期中）（1）如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为a+b（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．（1）解：∵点C为线段AB外一动点，且AC＝b，AB＝a，∴当点C位于BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为AC+AB＝a+b，（2）①证明：如图2中，∵△ACD与△BCE是等边三角形，∴CD＝AC，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴AE＝BD．②∵线段AE长的最大值＝线段BD的最大值，由（1）知，当线段BD的长取得最大值时，点D在BA的延长线上，∴最大值为AD+AB＝3+10＝13；（3）如图3中，连接BN，∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP，则△APM是等腰直角三角形，∴MA＝MP＝2，BP＝AN，∴P A＝2，∵AB＝6，∴线段AN长的最大值＝线段BP长的最大值，∴当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值最大值＝AB+AP＝6+2．8、（2019秋•武冈市期中）【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是∠BAE+∠F AD＝∠EAF；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．解：（1）∠BAE+∠F AD＝∠EAF．理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，根据SAS可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再根据SSS可判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．故答案为：∠BAE+∠F AD＝∠EAF；（2）仍成立，理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADG，又∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；（3）∠EAF＝180°﹣∠DAB．证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠ADC＝∠ABE，又∵AB＝AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠F AE＝∠F AG，∵∠F AE+∠F AG+∠GAE＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，即2∠F AE+∠DAB＝360°，∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．9、（2018•大东区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．解：（1）CP＝BQ，理由：如图1，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°⊅∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（2）CP＝BQ，理由：如图2，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（3）如图3，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝，∴BC＝AC•tan∠A＝，过点O作OH⊥BC，∴∠OHB＝90°＝∠BCA，∴OH∥AB，∵O是AB中点，∴CH＝BC＝，OH＝AC＝，∵∠BPQ＝45°，∠OHP＝90°，∴∠BPQ＝∠PQH，∴PH＝OH＝，∴CP＝PH﹣CH＝﹣＝，连接BQ，同（1）的方法得，BQ＝CP＝．10、（2018秋•东海县期末）模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为b+c（用含b，c的式子表示）（直接填空）模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为5．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．解：当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，最大值为b+c，故答案为：线段BA的延长线上；b+c；模型应用：（1）证明：∵△ACD、△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA＝AD，CB＝CE，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS）∴BD＝AE；（2）当点D位于线段BA的延长线上时，线段BD的长取得最大值，最大值为AB+AD＝AB+AC＝3+2＝5，∵AE＝BD，∴线段AE长的最大值为5，模型拓展：取AB的中点G，连接OG、CG，在Rt△AOB中，G为AB的中点，∴OG＝AB＝4，在Rt△CAG中，CG＝＝＝5，当点O、G、C在同一条直线上时，OC最大，最大值为4+5＝9．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．（1）证明：如图1中，∵BE⊥AD于E，∴∠AEF＝∠BCF＝90°，∵∠AFE＝∠CFB，∴∠DAC＝∠CBF，∵BC＝CA，∴△BCF≌△ACD，∴BF＝AD．（2）结论：BD＝2CF．理由：如图2中，作EH⊥AC于H．∵∠AHE＝∠ACD＝∠DAE＝90°，∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，∴∠DAC＝∠AEH，∵AD＝AE，∴△ACD≌△EHA，∴CD＝AH，EH＝AC＝BC，∵CB＝CA，∴BD＝CH，∵∠EHF＝∠BCF＝90°，∠EFH＝∠BFC，EH＝BC，∴△EHF≌△BCF，∴FH＝CF，∴BD＝CH＝2CF．（3）如图3中，同法可证BD＝2CM．∵AC＝3CM，设CM＝a，则AC＝CB＝3a，BD＝2a，∴＝＝．12、（2019秋•松北区期末）已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，∴BF＝2DF，∵BF＝2AF，∴BF＝AD，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝90°，∴BF⊥CF（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∴△ABK≌CAF，∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，∴AF＝FK＝BK，∴S△ABK＝S△AFK，∴＝2．13、（2017春•合肥期末）已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．（1）解：如图1中，在AB上取一点M，使得BM＝ME，连接ME．在Rt△ABE中，∵OB＝OE，∴BE＝2OA＝2，∵MB＝ME，∴∠MBE＝∠MEB＝15°，∴∠AME＝∠MBE+∠MEB＝30°，设AE＝x，则ME＝BM＝2x，AM＝x，∵AB2+AE2＝BE2，∴（2x+x）2+x2＝22，∴x＝（负根已经舍弃），∴AB＝AC＝（2+）•，∴BC＝AB＝+1．方法二：作EH⊥BC于H，求出BH，CH即可解决问题．（2）证明：如图2中，作CP⊥AC，交AD的延长线于P，GM⊥AC于M．∵BE⊥AP，∴∠AHB＝90°，∴∠ABH+∠BAH＝90°，∵∠BAH+∠P AC＝90°，∴∠ABE＝∠P AC，在△ABE和△CAP中，，∴△ABE≌△CAP，∴AE＝CP＝CF，∠AEB＝∠P，在△DCF和△DCP中，，∴△DCF≌△DCP，∴∠DFC＝∠P，∴∠GFE＝∠GEF，∴GE＝GF，∵GM⊥EF，∴FM＝ME，∵AE＝CF，∴AF＝CE，∴AM＝CM，在△GAH和△GAM中，，∴△AGH≌△AGM，∴AH＝AM＝CM＝AC（3）解：结论：AG＝EF．理由：如图3中，作CM⊥AC交AD的延长线于M，连接PG交AC于点O．由（2）可知△ACM≌△BAE，△CDF≌△CDM，∴∠AEB＝∠M＝∠GEF，∠M＝∠CFD＝∠GFE，AE＝CM＝CF，∴∠GEF＝∠GFE，∴GE＝GF，∵△EFP是由△EFG翻折得到，∴EG＝EP＝GF＝PF，∴四边形EGFP是菱形，∴PG⊥AC，OE＝OF，∵AE＝CF，∴AO＝OC，∵AB∥OP，∴BP＝PC，∵PF∥BE，∴EF＝CF＝AE，∵PB＝PC，AO＝OC，∴PO＝OG＝AB，∴AB＝PG，AB∥PG，∴四边形ABPG是平行四边形，∴AG∥BC，∴∠GAO＝∠ACB＝45°，设EO＝OF＝a，则OA＝OG＝3a，AG＝3a，∴＝＝，∴AG＝EF14、（2017春•南岗区校级月考）如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．解：（1）∵E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，∴AD＝CD，∵∠ACB＝90°，∴BC∥DE，∴AD＝BD，∴CD＝BD，∴AB＝2CD；（2）如图2，连接CH，∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，∵DE⊥AC，∴CH＝AH，∴∠ACH＝∠CAH，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵CF⊥AB，∴∠BAC+∠ACF＝90°，∴∠ACF＝∠B，∴∠HCG＝∠ACH+∠ACF＝∠CAH+∠B，∠AHG＝2∠B∴在四边形AHGF中，∠AFG+∠FGH+∠AHG+∠F AH＝360°，∴∠FGH＝360°﹣（∠AFG+∠AHG+∠F AH）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+∠BAC）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+90°﹣∠B）＝360°﹣（180°+∠B+∠CAH）＝180°﹣（∠B+∠CAH），∵∠CGH＝180°﹣∠FGH＝∠B+∠CAH＝∠HCG，∴CH＝GH，∵CH＝AH，∴AH＝GH；（3）如图3，由（1）知，DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，在△BFC和△DEA中，，∴△BFC≌△DEA，∴BC＝AD，∵AD＝BD＝CD，∴BC＝BD＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠B＝60°，在Rt△ABC中，AC＝6，∴BC＝2，AB＝4，∵CF⊥BD，∴DF＝，CF＝3，∵∠BAC＝30°，∴∠ADE＝60°，∵∠EDG＝90°，∠FDG＝30°，在Rt△DFG中，DF＝，∴FG＝1，DG＝2，∴CG＝CF﹣FG＝2过点H作HN⊥CF，由（2）知，CH＝GH，∴NG＝CG＝1，∴FN＝NG+FG＝2，过点H作HM⊥AB，∴∠FMH＝∠NFM＝∠HNF＝90°，∴四边形NFMH是矩形，∴HM＝FN＝2，在Rt△DMH中，∠ADE＝60°，HM＝2，∴DH＝，在Rt△HDG中，根据勾股定理得，HG＝＝．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）（1）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠DCB＝45°，∵∠ECF＝∠DCB+∠1＝45°+∠1，∠EFC＝∠B+∠2＝45°+∠2，∠1＝∠2，∴∠ECF＝∠EFC，∴CE＝EF，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴∠CDE＝∠EGF＝90°，在△CDE和△EGF中，，∴△CDE≌△EGF（AAS）；（2）证明：由（1）得：CE＝EF，∠A＝∠B，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠2，在△ACE和△BEF中，，∴△ACE≌△BEF（AAS），∴AE＝BF；（3）AE＝BF，作EH⊥BC与H，如图3所示：设DE＝x，根据题意得：BE＝DE＝x，AD＝BD＝2x，CD＝AD＝2x，AE＝3x，根据勾股定理得：BC＝AC＝2x，∵∠ABC＝45°，EH⊥BC，∴BH＝x，∴CH＝BC﹣BH＝x，∵EC＝EF，∴FH＝CH＝x，∴BF＝x﹣x＝x，∴＝，∴AE＝．16、（2019秋•丹东期末）在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线．证明：（1）∵∠DCB＝∠FGB＝∠FGC＝90°，∴CD∥GF，∴∠EDP＝∠GFP，且DP＝PF，∠DPE＝∠FPG，∴△DPE≌△FPG（ASA）∴PE＝PG，DE＝GF，∵BC＝CD，∴EC＝GC，且∠DCG＝90°，PE＝PG，∴CP＝PG；（2）延长GP到E，使PE＝PG，连接DE，CE，CG，∵DP＝PF，∠DPE＝∠FPG，PE＝PG，∴△DPE≌△FPG（SAS）∴PE＝PG，DE＝GF，∠EDP＝∠GFP，∵GF＝GB，∴DE＝BG，∵DC∥BF，。

中考数学精讲精练总复习专题矩形、菱形、正方形完美共115页文档

中考数学精讲精练总复习专题矩形、菱形、正方形完美
21、没有人陪你走一辈子，所以你要适应孤独，没有人会帮你一辈子，所以你要奋斗一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该是坚强。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之首，因为这种德性保证了所有其余的德性。--温斯顿．丘吉尔。 25、梯子段时间，以便让别一只脚能够再往上登。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
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专题27 菱形与梯形-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型(解析版)

专题27 菱形与梯形【知识要点】知识点一菱形菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

菱形的性质：1、菱形具有平行四边形的所有性质；2、菱形的四条边都相等；几何描述：∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC=CD=AD3、菱形的两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。

几何描述：∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD,AC平分∠BAD, CA平分∠BCD，BD平分∠CBA，DB平分∠ADC3、菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心。

菱形的判定：1、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

2、四条边相等的四边形是菱形。

3、一组邻边相等的平行四边形是菱形。

菱形的面积公式：菱形ABCD的对角线是AC、BD，则菱形的面积公式是：S＝底×高，S＝12AC BD ⨯⨯知识点二梯形梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形；有一个角是直角的梯形叫直角梯形；有两条腰相等的梯形叫做等腰梯形.等腰梯形性质：1/ 321）等腰梯形的两底平行，两腰相等；2）等腰梯形的同一底边上的两个角相等；3）等腰梯形的两条对角线相等；4）等腰梯形是轴对称图形（底边的中垂线就是它的对称轴）。

等腰梯形判定：1）两腰相等的梯形是等腰梯形；2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3）对角线相等的梯形是等腰梯形。

梯形的面积公式：面积=12×（上底+下底）×高解决梯形问题的常用方法（如下图所示）：1）“作高”：使两腰在两个直角三角形中；2）“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中；3）“延长两腰”：构造具有公共角的两个三角形；4）“等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一点，构成三角形．并且这个三角形面积与原来的梯形面积相等.5）平移腰。

过上底端点作一腰的平行线，构造一个平行四边形和三角形。

2021年中考数学专题复习：矩形与菱形

2021年中考数学专题复习：矩形与菱形一、选择题（本大题共10道小题）1. 已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为 ( ) A .2B .2C .4D .22. 下列命题中，假命题是( )A ．矩形的对角线相等B ．矩形对角线交点到四个顶点的距离相等C ．矩形的对角线互相平D ．矩形对角线交点到四条边的距离相等 3. 如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（）A ．互相平分B ．相等C ．互相垂直D ．互相垂直平分 4. 如图，四边形ABCD 是菱形，E 、F 分别是BC 、CD 两边上的点，不能保证．．．．△ABE 和△ADF 一定全等的条件是( )A ．∠BAF ＝∠DAEB ．EC ＝FC C ．AE ＝AFD ．BE ＝DF5. 如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O.若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确．．．的是( ) A . AB ＝AD B . AC ⊥BD C . AC ＝BD D . ∠BAC ＝∠DAC6. 如图所示，P 是菱形ABCD 的对角线AC 上一动点，过P 垂直于AC 的直线交菱形ABCD 的边于M 、N 两点，设AC ＝2，BD ＝1，AP ＝x ，△AMN 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象的大致形状是()F DEC A B7. 如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC ＝8．BD ＝6，点E 是CD 上一点，连接OE ，若OE ＝CE ，则OE 的长是（）A ．2B ．C ．3D ．48. 如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE 间的距离．若AE 间的距离调节到60cm ，菱形的边长AB ＝20cm ，则∠DAB 的度数是（）A ．90°B ．100°C ．120°D ．150°9. 如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AB=6，BC=8，过点O 作OE ⊥AC ，交AD 于点E ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，则OE+EF 的值为（）CDFOBAA ．485B ．325C ．245 D ．12510. 如图，在R t △ABC 中，CD 为斜边AB 的中线，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，延长DE 至点F ，使EF ＝DE ，连接AF ，CF ，点G 在线段CF 上，连接EG ，且∠CDE ＋∠EGC ＝180°，FG ＝2，GC ＝3．下列结论：①DE ＝12BC ；②四边形DBCF 是平行四边形；③EF ＝EG ；④BC ＝5( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个G F DE CAB二、填空题（本大题共10道小题）11. 已知一个菱形的边长为2，较长对角线长为2，则这个菱形的面积是.12. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB=30°，AB=4，则OC=.13. 如图，矩形ABCD的面积是15，边AB的长比AD的长大2，则AD的长是________．14. 如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AD、BD的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长为________．15. 把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图②，图③所示的正方形，则图①中菱形的面积为.16. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，则菱形的面积是________．17. 如图，将两张长为4，宽为1的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形.旋转过程中，当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，那么菱形周长的最大值是.18. 在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为________．19. （2020·四川甘孜州）如图，有一张长方形纸片ABCD，AB＝8cm，BC＝10cm，点E为CD上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边B'C'恰好经过点D，则线段DE的长为__________cm．20. 如图，在△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是形，点P，E，F分别为线段AB，AD，DB上的任意一点，则PE+PF的最小值是.三、解答题（本大题共6道小题）21. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD. 求证：四边形AODE是矩形．22. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形．23. 如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上.(1)求证:BG=DE;(2)若E为AD中点，FH=2，求菱形ABCD的周长.24. 已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)求证：四边形AECF是矩形．25. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点E是AC的中点，AC＝2AB，∠BAC 的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC.求证：四边形ADCF是菱形．26. 如图，将矩形纸片ABCD(AD＞AB)折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交．设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F.(1)判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；(2)若AB＝3，BC＝9，求线段CE的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共10道小题） 1. C2. D【解析】矩形的对角线的交点到每一组对边的距离相等，故选项D 错误，是假命题. 3. C【解析】利用三角形的中位线定理，可得中点四边形有如下结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形；对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形；对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形．由此可知，该题选项C 符合题意． 4. C【解析】由菱形的性质可知AB ＝AD ，∠B ＝∠D ，因此△ABE 与△ADF 已具备了一边一角相等．当选项A 做条件时可用“ASA”判定全等；当选项B 或选项D 做条件时，可用“SAS”判定全等．选项C 做条件时是“边、边、角”，不能判定两个三角形全等．故选C ．5. C 【解析】邻边相等的平行四边形是菱形，所以A 正确；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B 正确；对角线相等的平行四边形是矩形，所以C 错误；由∠BAC ＝∠DAC 可得对角线是角平分线，所以D 正确．6. C 【解析】本题考查菱形的性质、相似三角形的性质、函数的图象和二次函数的图象和性质. 解题思路：设AC 、BD 交于点O ，由于点P 是菱形ABCD的对角线AC 上一动点，所以0＜x ＜2.当0＜x ＜1时，△AMN ∽△ABD ⇒APAO ＝MN BD ⇒x 1＝MN 1⇒MN ＝x ⇒y ＝12x 2.此二次函数的图象开口向上，对称轴是x ＝0，此时y 随x 的增大而增大. 所以B 和D 均不符合条件．当1＜x ＜2时，△CMN∽△CBD ⇒CP CO ＝MN BD ⇒2－x 1＝MN 1⇒MN ＝2－x ⇒y ＝12x(2－x)＝－12x 2＋x.此二次函数的图象开口向下，对称轴是x ＝1，此时y 随x 的增大而减小. 所以A 不符合条件．综上所述，只有C 是符合条件的．7. B【解析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OB ，OC ，AC ⊥BD ，然后利用勾股定理列式求出BC ，最后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．∵菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ， ∴OBBD6＝3，OA ＝OCAC8＝4，AC ⊥BD ，由勾股定理得，BC 5，∴AD ＝5，∵OE＝CE，∴∠DCA＝∠EOC，∵四边形ABCD是菱形，∴∠DCA＝∠DAC，∴∠DAC＝∠EOC，∴OE∥AD，∵AO＝OC，∴OE是△ADC的中位线，∴OE AD＝2.5．8. 连结AE，∵AE间的距离调节到60cm，木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，∴AC＝20cm，∵菱形的边长AB＝20cm，∴AB＝BC＝20cm，∴AC＝AB＝BC，∴△ACB是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠DAB＝120°．故选：C．9. C【解析】本题考查了矩形的性质，由勾股定理可得AC=10，再由矩形的对角线相等且互相平分的性质可得，OA=OD=5. △ABD的面积为24，OA为△ABD 的中线，由中线等分面积可得，△AOD的面积为12.再由等面积法即可得OE+EF 的值．过程如下：∵AOE EOD AODS S S∴111222OA OE OD EF即11551222OE EF，∴OE+EF=245，因此本题选C．10. D【解析】(1)∵DF ⊥AC ，BC ⊥AC ，∴DE ∥BC ．∵点D 是AB 的中点，∴点E 是AC 的中点．∴DE ＝12BC ．可见结论①正确．(2)∵AC 与DF 互相垂直平分，∴四边形ADCF 是菱形．∴FC AD ．∴FC DB ．∴四边形DBCF 是平行四边形．可见结论②正确． (3)∵∠CDE ＋∠EGC ＝180°，∠EGF ＋∠EGC ＝180°，∴∠CDE ＝∠EGC ．由菱形的性质得∠CDE ＝∠EFG ，∴∠EGF ＝∠EFG ．∴EF ＝EG ．可见结论③正确．(4)易知△FEG ∽△FCD ，∴FEFC＝FGFD ，即FE·FD ＝FC·FG ．∴2DE2＝2×5，DE ＝5．∴BC ＝2DE ＝25．可见结论④正确．综上所述，正确结论有4个，故选D ．二、填空题（本大题共10道小题）11. 2 [解析]∵菱形两对角线互相垂直且平分，较长对角线的一半为，∴菱形较短对角线的一半为=1.根据菱形面积等于两对角线长乘积的一半得:×2×2=2.12. 4 [解析]由题意可知，四边形ABCD 为矩形，则AC=BD ，OC=AC.已知∠ADB=30°，故在Rt △ABD 中，BD=2AB=8，∴AC=BD=8，OC=AC=4. 13. 3 【解析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用问题. 设AD ＝x ，由题知，AB ＝x ＋2，又∵矩形ABCD 的面积为15，则x(x ＋2)＝15，得到x 2＋2x －15＝0，解得，x 1＝－5(舍) , x 2＝3，∴AD ＝3.14. 16 【解析】∵E ，F 分别是AD ，BD 的中点，∴AB ＝2EF ＝4，∴菱形ABCD 周长是4AB ＝16.15. 12 [解析]设图①中小直角三角形的两直角边长分别为a ，b (b>a )，则由图②，图③可列方程组解得所以菱形的面积S=×4×6=12.故答案为12.16. 24 【解析】如解图，连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，AB ＝5，AC ＝8，且菱形的对角线互相垂直平分，∴OA ＝4，在Rt △AOB 中，由勾股定理得OB ＝3，∴BD ＝6，∴S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝12×8×6＝24.17. [解析]如图，当两矩形纸条有一条对角线互相重合时，菱形的周长最大，设菱形的边长AC=x ，则AB=4-x ，在Rt △ABC 中，AC 2=AB 2+BC 2，即x 2=(4-x )2+12，解得x=， ∴菱形的最大周长=×4=.18. 105°或45° 【解析】如解图，∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝30°，∴∠ABC ＝150°，∠ABD ＝∠DBC ＝75°，且顶角为120°的等腰三角形的底角是30°.分为以下两种情况：(1)当点E 在△ABD 内时，∠E 1BC ＝∠E 1BD ＋∠DBC ＝30°＋75°＝105°；(2)当点E 在△DBC 内时，∠E 2BC ＝∠DBC －∠E 2BD ＝75°－30°＝45°.综上所述，∠EBC 的度数为105°或45°.19. 5【解析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理．∵长方形纸片ABCD ，AB ＝8，BC ＝10，∴AB '＝8，AD ＝10，B 'C '＝10．在R t △ADB '中，由勾股定理，得DB '＝6．∴DC '＝4．设DE ＝x ，则CE ＝C 'E ＝8－x ．在R t △C 'DE 中，由勾股定理，得DE 2＝EC '2＋DC '2 即x 2＝(8－x )2＋42．∴x ＝5．即线段DE 的长为5cm ．461088-x x 108C'B'DA BC E20. 菱[解析]∵AC=BC ，∴△ABC 是等腰三角形.将△ABC 沿AB 翻折得到△ABD ，∴AC=BC=AD=BD ，∴四边形ADBC 是菱形. ∵△ABC 沿AB 翻折得到△ABD ，∴△ABC 与△ABD 关于AB 成轴对称.如图所示，作点E关于AB的对称点E'，连接PE'，根据轴对称的性质知AB垂直平分EE'，∴PE=PE'，∴PE+PF=PE'+PF，当E'，P，F三点共线，且E'F⊥AC时，PE+PF有最小值，该最小值即为平行线AC与BD间的距离.作CM⊥AB于M，BG⊥AD于G，由题知AC=BC=2，AB=1，∠CAB=∠BAD，∴cos∠CAB=cos∠BAD，即=，∴AG=，在Rt△ABG中，BG===，由对称性可知BG长即为平行线AC，BD间的距离，∴PE+PF的最小值=.三、解答题（本大题共6道小题）21. 证明：∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形，(2分)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，(4分)∵四边形AODE是平行四边形，∠AOD＝90°，∴四边形AODE是矩形．(5分)22. (1)【思路分析】根据四边形ABCD是菱形，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，可求出∠DBC的度数，其正切值可求出．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠DBC＝12∠ABC，∴∠ABC＋∠BAD＝180°，又∵∠ABC∶∠BAD＝1∶2，∴∠ABC＝60°，(2分)∴∠DBC＝12∠ABC＝30°，∴tan∠DBC＝tan30°＝33.(3分)(2)【思路分析】由BE∥AC，CE∥BD可知四边形BOCE是平行四边形，再结合菱形对角线垂直的性质即可证明四边形BOCE是矩形．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠BOC＝90°，(4分)∵BE∥AC，CE∥BD，∴BE∥OC，CE∥OB，∴四边形OBEC是平行四边形，且∠BOC＝90°，∴四边形OBEC是矩形．(5分)方法指导(1)要求一个角的正切值，可通过相关计算先求得角的度数，再求其正切值，这种情况往往所求角度为特殊值；或者将该角置于直角三角形中，通过求直角三角形边长来，求其正切值．(2)矩形的判定：①平行四边形＋有一个角是直角；②平行四边形＋对角线相等；③四边形的三个角是直角．23. 解:(1)证明:在矩形EFGH中，EH=FG，EH∥FG，∴∠GFH=∠EHF.∵∠BFG=180°-∠GFH，∠DHE=180°-∠EHF，∴∠BFG=∠DHE，在菱形ABCD中，AD∥BC，∴∠GBF=∠EDH，∴△BGF≌△DEH(AAS)，∴BG=DE.(2)连接EG，在菱形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∵E为AD中点，∴AE=ED，∵BG=DE，∴AE=BG，又∵AE∥BG，∴四边形ABGE是平行四边形，∴AB=EG，在矩形EFGH中，EG=FH=2，∴AB=2，∴菱形ABCD的周长为8.24. (1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，AB=CD，AD∥BC，∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB=∠AEC=∠CFD=∠AFC=90°，在△ABE和△CDF中，B DAEB CFD AB CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△CDF(AAS)；(2)∵AD∥BC，∴∠EAF=∠AEB=90°，∴∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°，∴四边形AECF是矩形．25. 证明：∵∠B＝90°，AC＝2AB，∴sin∠ACB＝1 2，∴∠ACB＝30°，(1分) ∴∠CAB＝60°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝12∠CAB＝30°，∴∠CAD＝∠ACD，∴AD＝CD，(3分)∵AF∥CD，∴∠DCE＝∠FAE，∠AFE＝∠CDE，又∵AE＝CE，∴△AFE≌△CDE(AAS)，(6分)∴AF＝CD，又AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形，(7分)又AD＝CD，∴四边形ADCF是菱形．(8分)26. 解：(1)四边形CEGF是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GFE＝∠FEC，(2分)∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折痕，∴∠GEF＝∠FEC，∴∠GFE＝∠GEF，∴GF＝GE，(3分)∵图形翻折后EC与GE完全重合，FC与FG重合，∴GE＝EC＝GF＝FC，∴四边形CEGF为菱形．(4分)(2)如解图①，当点F与点D重合时，四边形CEGF是正方形，(5分) 此时CE最小，且CE＝CD＝3；(6分)如解图②，当点G与点A重合时，CE最大．(7分)设EC＝x，则BE＝9－x，由折叠性质知，AE＝CE＝x，在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，即9＋(9－x)2＝x2，解得x＝5，∴CE＝5，所以，线段CE的取值范围为3≤CE≤5.(8分)。

专题26 菱形(教师版)备战2021年中考数学专题复习精讲精练

专题26 菱形问题1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2.菱形的性质（1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

3.菱形的判定定理（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四条边相等的四边形是菱形。

4．菱形的面积：S=ah=mn/2（菱形底边长为a，高为h，两条对角线长分别为m和n）【例题1】（2020•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴且AD＝4，∠A＝60°，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（）A．（0，2√3）B．（2，﹣4）C．（2√3，0）D．（0，2√3）或（0，﹣2√3）【答案】D【解析】分点C旋转到y轴正半轴和y轴负半轴两种情况分别讨论，结合菱形的性质求解．根据菱形的对称性可得：当点D在x轴上时，A、B、C均在坐标轴上，如图，∵∠BAD＝60°，AD＝4，∴∠OAD＝30°，∴OD＝2，∴AO=√42−22=2√3=OC，∴点C的坐标为（0，−2√3），同理：当点C旋转到y轴正半轴时，点C的坐标为（0，2√3），∴点C的坐标为（0，2√3）或（0，−2√3）.【对点练习】（2019泸州）一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为（）A．8 B．12 C．16 D．32【答案】C【解析】如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴AO ＝CO =12AC ，DO ＝BO =12BD ，AC ⊥BD ， ∵面积为28，∴12AC •BD ＝2OD •AO ＝28 ① ∵菱形的边长为6，∴OD 2+OA 2＝36 ②，由①②两式可得：（OD +AO ）2＝OD 2+OA 2+2OD •AO ＝36+28＝64．∴OD +AO ＝8，∴2（OD +AO ）＝16，即该菱形的两条对角线的长度之和为16．【例题2】（2020•营口）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，其中OA ＝1，OB ＝2，则菱形ABCD 的面积为．【答案】4【解析】根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案．∵OA ＝1，OB ＝2，∴AC ＝2，BD ＝4，×2×4＝4．∴菱形ABCD的面积为12【对点练习】（2019湖北十堰）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE＝3，则菱形的周长为．【答案】24【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO，∵点E是BC的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴CD＝2OE＝2×3＝6，∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24【例题3】（2020•福建）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．【答案】见解析。

专题26 动态几何之面动形成的函数关系问题(压轴题)-决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品(解析版)

一、选择题1．（2016贵州省黔南州）如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．【答案】B．【分析】根据题目提供的条件可以求出函数的解析式，根据解析式判断函数的图象的形状．考点：动点问题的函数图象；动点型；分类讨论．2．（2016甘肃省天水市）如图，边长为2的等边△ABC和边长为1的等边△A′B′C′，它们的边B′C′，BC位于同一条直线l上，开始时，点C′与B重合，△ABC固定不动，然后把△A′B′C′自左向右沿直线l平移，移出△ABC外（点B′与C重合）停止，设△A′B′C′平移的距离为x，两个三角形重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．【答案】B．【分析】分为0＜x≤1、1＜x≤2、2＜x≤3三种情况画出图形，然后依据等边三角形的性质和三角形的面积公式可求得y与x的函数关系式，于是可求得问题的答案．【解析】如图1所示：当0＜x≤1时，过点D作DE⊥BC′．∵△ABC和△A′B′C′均为等边三角形，∴△DBC′为等边三角形，∴DE=32BC′=32x，∴y=12BC′•DE=23x．当x=1时，y=3，且抛物线的开口向上．如图2所示：1＜x≤2时，过点A′作A′E⊥B′C′，垂足为E．∵y=12B′C′•A′E=12×1×32=34，∴函数图象是一条平行与x轴的线段．如图3所示：2＜x≤3时，过点D作DE⊥B′C，垂足为E．y=12B′C•DE=23(2)x ，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．故选B．考点：动点问题的函数图象；分类讨论；分段函数．3．（2015年辽宁铁岭）如图，点G、E、A、B在一条直线上，Rt△EFG从如图所示是位置出发，沿直线AB 向右匀速运动，当点G与B重合时停止运动．设△EFG与矩形ABCD重合部分的面积为S，运动时间为t，则S与t的图象大致是（）A． B． C． D．【答案】D．【考点】面动问题的函数图象，相似三角形的判定和性质，数形结合思想和分类思想的应用．【分析】设GE=a，EF=b，AE=m，AB=c，Rt△EFG向右匀速运动的速度为1，当E点在点A左侧时，S=0．4．（2015年山东省潍坊市）如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=23cm，E为CD边上的中点，点P从点A 沿折线AE﹣EC运动到点C时停止，点Q从点A沿折线AB﹣BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．如果点P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△APQ的面积为y（cm2），则y与t的函数关系的图象可能是（）A． B． C． D．【答案】B．考点：1．动点问题的函数图象；2．动点型；3．分段函数；4．分类讨论．5．（2014年广西玉林、防城港3分）如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（）A． B． C． D．【答案】B．【考点】1．面动平移问题的函数图象问题；2．由实际问题列函数关系式；3．二次函数的性质和图象；4．分类思想和排它法的应用．【分析】根据题目提供的条件可以求出函数的解析式，根据解析式应用排它法判断函数的图象的形状： ①当t ≤1时，两个三角形重叠面积为小三角形的面积， ∴133y 1224=⋅⋅=.故可排除选项D ． ②当1＜x ≤2时，重叠三角形的边长为2﹣x ，高为()322x -，∴()()()232x 13y 2x x 2224-=⋅-⋅=-，它的图象是开口向上，顶点为()2,0 的抛物线在1＜x ≤2的部分．故可排除选项A ，C ．故选B ．6．（2014年辽宁抚顺3分）如图，将足够大的等腰直角三角板PCD 的锐角顶点P 放在另一个等腰直角三角板PAB 的直角顶点处，三角板PCD 绕点P 在平面内转动，且∠CPD 的两边始终与斜边AB 相交，PC 交AB 于点M ，PD 交AB 于点N ，设AB =2，AN =x ，BM =y ，则能反映y 与x 的函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A ．【考点】1．动点问题的函数图象；2．等腰直角三角形的判定和性质；3．相似三角形的判定和性质；4．反比例函数图象．．【分析】如答图，作PH ⊥AB 于H ，∵△PAB 为等腰直角三角形，∴∠A =∠B =45°，AH =BH =AB =1， ∴△PAH 和△PBH 都是等腰直角三角形． ∴PA =PB =2AH =2，∠HPB =45°．∵∠CPD 的两边始终与斜边AB 相交，PC 交AB 于点M ，PD 交AB 于点N ，而∠CPD =45°，∵∠2=∠1+∠B=∠1+45°，∠BPM=∠1+∠CPD=∠1+45°，∴∠2=∠BPM．而∠A=∠B，∴△ANP∽△BPM，∴AP ANBM BP=，即2xy2=，∴2yx=．∴y与x的函数关系的图象为反比例函数图象，且自变量为1≤x≤2．故选A．二、填空题三、解答题7．（2016吉林省）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=82cm，AD⊥BC于点D，点P从点A 出发，沿A→C方向以2cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM=90°（点M，C位于PQ异侧）．设点P的运动时间为x（s），△PQM与△ADC重叠部分的面积为y（cm2）（1）当点M落在AB上时，x= ；（2）当点M落在AD上时，x= ；（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．【答案】（1）4；（2）163；（3）2221(04)27163264 (4)23161664 (8)3x xy x x xx x x⎧<≤⎪⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪-+<<⎪⎩．【分析】（1）当点M落在AB上时，四边形AMQP是正方形，此时点D与点Q重合，由此即可解决问题．（2）如图1中，当点M落在AD上时，作PE⊥QC于E，先证明DQ=QE=EC，由PE∥AD，得==，由此即可解决问题．（3）分三种情形①当0＜x≤4时，如图2中，设PM、PQ分别交AD于点E、F，则重叠部分为△PEF，②当4＜x≤163时，如图3中，设PM、MQ分别交AD于E、G，则重叠部分为四边形PEGQ．③当163＜x＜8时，如图4中，则重合部分为△PMQ，分别计算即可解决问题．【解析】（1）当点M落在AB上时，四边形AMQP是正方形，此时点D与点Q重合，AP=CP=42，所以x=422=4．故答案为：4．（3）①当0＜x≤4时，如图2中，设PM、PQ分别交AD于点E、F，则重叠部分为△PEF，∵AP=2x，∴EF=PE=x，∴y=S△PEF=12•PE•EF=212x．②当4＜x≤163时，如图3中，设PM、MQ分别交AD于E、G，则重叠部分为四边形PEGQ．∵PQ=PC=822x，∴PM=16﹣2x，∴ME=PM﹣PE=16﹣3x，∴y=S△PMQ﹣S△MEG=22 11(822)(163) 22x x---=2732642x x-+-．③当163＜x＜8时，如图4中，则重合部分为△PMQ，∴y=S△PMQ=212PQ=21(822)2x-=21664x x-+．综上所述2221(04)27163264 (4)23161664 (8)3x xy x x xx x x⎧<≤⎪⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪-+<<⎪⎩．考点：三角形综合题；分类讨论；分段函数；动点型；压轴题．8．（2016吉林省长春市）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=8，∠BAD=60°，点E从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，当点E不与点A重合时，过点E作EF⊥AD于点F，作EG∥AD交AC于点G，过点G作GH⊥AD交AD（或AD的延长线）于点H，得到矩形EFHG，设点E运动的时间为t秒（1）求线段EF的长（用含t的代数式表示）；（2）求点H与点D重合时t的值；（3）设矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积与S平方单位，求S与t之间的函数关系式；（4）矩形EFHG的对角线EH与FG相交于点O′，当OO′∥AD时，t的值为；当OO′⊥AD时，t的值为．【答案】（1）EF3；（2）t=83；（3）22823 (0)353824332 3 (4)23t tSt t⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩；（4）t=4；t=3．【分析】（1）由题意知：A E =2t ，由锐角三角函数即可得出EF =3t ；（2）当H 与D 重合时，FH =GH =8﹣t ，由菱形的性质和EG ∥AD 可知，AE =EG ，解得t =83；（3）矩形EFHG 与菱形ABCD 重叠部分图形需要分以下两种情况讨论：①当H 在线段AD 上，此时重合的部分为矩形EFHG ；②当H 在线段AD 的延长线上时，重合的部分为五边形；（4）当OO ′∥AD 时，此时点E 与B 重合；当OO ′⊥AD 时，过点O 作OM ⊥AD 于点M ，EF 与OA 相交于点N ，然后分别求出O ′M 、O ′F 、FM ，利用勾股定理列出方程即可求得t 的值．【解析】（1）由题意知：A E =2t ，0≤t ≤4，∵∠BAD =60°，∠AFE =90°，∴sin ∠BAD =EFAB，∴EF 3；（2）∵AE =2t ，∠AEF =30°，∴AF =t ，当H 与D 重合时，此时FH =8﹣t ，∴GE =8﹣t ，∵EG ∥AD ，∴∠EGA =30°，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠BAC =30°，∴∠BAC =∠EGA =30°，∴AE =EG ，∴2t =8﹣t ，∴t =83；（3）当0≤t ≤83时，此时矩形EFHG 与菱形ABCD 重叠部分图形为矩形EFHG ，∴由（2）可知：A E =EG =2t ，∴S =EF •EG 3•2t =223t ；当83＜t ≤4时，如图1，设CD 与HG 交于点I ，此时矩形EFHG 与菱形ABCD 重叠部分图形为五边形FEGID ，∵AE =2t ，∴AF =t ，EF 3，∴DF =8﹣t ，∵AE =EG =FH =2t ，∴DH =2t ﹣（8﹣t ）=3t ﹣8，∵∠HDI =∠BAD =60°，∴tan ∠HDI =HI DH ，∴HI 3，∴S =EF •EG ﹣12DH •HI =223238)t t -=253243323t +- 综上所述：22823 (0)353824332 3 (4)23t t S t t ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩；（4）当OO ′∥AD 时，如图2，此时点E 与B 重合，∴t =4；当OO ′⊥AD 时，如图3，过点O 作OM ⊥AD 于点M ，EF 与OA 相交于点N ，由（2）可知：A F =t ，AE =EG =2t ，∴FN =33t ，FM =t ，∵O ′O ⊥AD ，O ′是FG 的中点，∴O ′O 是△FNG 的中位线，∴O ′O =12FN =36t ，∵AB =8，∴由勾股定理可求得：OA =43OM =23O ′M =323，∵FE 3，EG =2t ，∴由勾股定理可求得：227FG t =，∴由矩形的性质可知：221'4O F FG =，∵由勾股定理可知：222''O F O M FM =+，∴22273(23)46t t t =-+，∴t =3或t =﹣6（舍去）．故答案为：t =4；t =3．考点：四边形综合题；动点型；分类讨论；分段函数；压轴题．9．（2016四川省乐山市）在直角坐标系xOy 中，A （0，2）、B （﹣1，0），将△ABO 经过旋转、平移变化后得到如图1所示的△BCD ．（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）连结AC ，点P 是位于线段BC 上方的抛物线上一动点，若直线PC 将△ABC 的面积分成1：3两部分，求此时点P 的坐标；（3）现将△ABO 、△BCD 分别向下、向左以1：2的速度同时平移，求出在此运动过程中△ABO 与△BCD 重叠部分面积的最大值．【答案】（1）231222y x x =-++；（2）P （25-，3925）或P （67-，2349）；（3）2552．【分析】（1）由旋转，平移得到C （1，1），用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先判断出△BEF ∽△BAO ，再分两种情况进行计算，由面积比建立方程求解即可；（3）先由平移得到A 1B 1的解析式为y =2x +2﹣t ，A 1B 1与x 轴交点坐标为（22t -，0）．C 1B 2的解析式为1122y x t =++，C 1B 2与y 轴交点坐标为（0，12t +），再分两种情况进行计算即可．（2）如图1所示，设直线PC 与AB 交于点E ．∵直线PC 将△ABC 的面积分成1：3两部分，∴13AE BE =或3AEBE=，过E 作EF ⊥OB 于点F ，则EF ∥OA ，∴△BEF ∽△BAO ，∴EF BE BF AO BA BO ==，∴当13AE BE =时，3241EF BF==，∴EF =32，BF =34，∴E （14-，32），∴直线PC 解析式为2755y x =-+，∴2312722255x x x -++=-+，∴125x =-，21x =（舍去），∴P （25-，3925）；当3AE BE =时，同理可得，P （67-，2349）．（3）设△ABO 平移的距离为t ，△A 1B 1O 1与△B 2C 1D 1重叠部分的面积为S ．由平移得，A 1B 1的解析式为y =2x +2﹣t ，A 1B 1与x 轴交点坐标为（22t -，0）． C 1B 2的解析式为1122y x t =++，C 1B 2与y 轴交点坐标为（0，12t +）．①如图2所示，当305t <<时，△A 1B 1O 1与△B 2C 1D 1重叠部分为四边形．设A 1B 1与x 轴交于点M ，C 1B 2与y 轴交于点N ，A 1B 1与C 1B 2交于点Q ，连结OQ ．由由221122y x t y x t =+-⎧⎪⎨=++⎪⎩，得43353t x t y -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴Q （433t -，53t ），∴1251134()223223QMO QNO t t t S S S t ∆∆--=+=⨯⨯+⨯+⨯=2131124t t -++，∴S 的最大值为2552．②如图3所示，当3455t ≤<时，△A 1B 1O 1与△B 2C 1D 1重叠部分为直角三角形．设A 1B 1与x 轴交于点H ，A 1B 1与C 1D 1交于点G ，∴G （1﹣2t ，4﹣5t ），∴D 1H =2451222t tt --+-=，D 1G =4﹣5t ，∴S =12D 1H ×D 1G =21451(45)(54)224t t t --=-，∴当3455t ≤<时，S 的最大值为14．综上所述，在此运动过程中△ABO 与△BCD 重叠部分面积的最大值为2552．考点：二次函数综合题；几何变换综合题；动点型；最值问题；二次函数的最值；分类讨论；压轴题． 10．（2016浙江省衢州市）如图1，在直角坐标系xoy 中，直线l ：y =kx +b 交x 轴，y 轴于点E ，F ，点B 的坐标是（2，2），过点B 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为A 、C ，点D 是线段CO 上的动点，以BD 为对称轴，作与△BCD 或轴对称的△BC ′D ．（1）当∠CBD =15°时，求点C ′的坐标．（2）当图1中的直线l 经过点A ，且33k =-时（如图2），求点D 由C 到O 的运动过程中，线段BC ′扫过的图形与△OAF 重叠部分的面积．（3）当图1中的直线l 经过点D ，C ′时（如图3），以DE 为对称轴，作于△DOE 或轴对称的△DO ′E ，连结O ′C ，O ′O ，问是否存在点D ，使得△DO ′E 与△CO ′O 相似？若存在，求出k 、b 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）C ′（23-，1）；（2）233π-；（3）存在，k =34-，b =1．【分析】（1）利用翻折变换的性质得出∠CBD =∠C ′BD =15°，C ′B =CB =2，进而得出CH 的长，进而得出答案；（2）首先求出直线AF 的解析式，进而得出当D 与O 重合时，点C ′与A 重合，且BC ′扫过的图形与△OAF 重合部分是弓形，求出即可；（3）根据题意得出△DO ′E 与△COO ′相似，则△COO ′必是Rt △，进而得出Rt △BAE ≌Rt △BC ′E （HL ），再利用勾股定理求出EO 的长进而得出答案．【解析】（1）∵△CBD ≌△C ′BD ，∴∠CBD =∠C ′BD =15°，C ′B =CB =2，∴∠CBC ′=30°，如图1，作C ′H ⊥BC 于H ，则C ′H =1，HB 3CH =23，∴点C ′的坐标为：（23，1）；（2）如图2，∵A （2，0），3k =，∴代入直线AF 的解析式为：3y x b =+，∴b 23AF 的解析式为：32333y x =-+，∴∠OAF =30°，∠BAF =60°，∵在点D 由C 到O 的运动过程中，BC ′扫过的图形是扇形，∴当D 与O 重合时，点C ′与A 重合，且BC ′扫过的图形与△OAF 重合部分是弓形，当C ′在直线32333y x =-+上时，BC ′=BC =AB ，∴△ABC ′是等边三角形，这时∠ABC ′=60°，∴重叠部分的面积是：22602323604π⨯-⨯=233π-；考点：相似形综合题；动点型；存在型；压轴题．（1）求二次函数2y x bx c =-++的表达式；（2）连接 B C ，当t ＝56时，求△BCP 的面积；（3）如图 2，动点 P 从 A 出发时，动点 Q 同时从 O 出发，在线段 OA 上沿 O →A 的方向以 1个单位长度的速度运动，当点 P 与 B 重合时，P 、 Q 两点同时停止运动，连接 D Q 、 PQ ，将△DPQ 沿直线 PC 折叠到 △DPE ．在运动过程中，设 △DPE 和 △OAB 重合部分的面积为 S ，直接写出 S 与 t 的函数关系式及 t 的取值范围．【答案】（1）2543y x x =-++；（2）4；（3）22241215 (0)2551714414436155 ()2755511172t t t S t t t ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩．【分析】（1）直接将A 、B 两点的坐标代入列方程组解出即可；（2）如图1，要想求△BCP 的面积，必须求对应的底和高，即PC 和BD ；先求OD ，再求BD ，PC 是利用点P 和点C 的横坐标求出，要注意符号；（3）分两种情况讨论：①△DPE 完全在△OAB 中时，即当15017t ≤≤时，如图2所示，重合部分的面积为S 就是△DPE 的面积；②△DPE 有一部分在△OAB 中时，当155172t ≤≤时，如图4所示，△PDN 就是重合部分的面积S ．【解析】（1）把A （3，0），B （0，4）代入2y x bx c =-++中得：4930c b c =⎧⎨-++=⎩，解得：534b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴解析式为：2543y x x =-++；（2）如图1，当56t =时，AP =2t ，∵PC ∥x 轴，∴OB AB OD AP =，∴452OD t =，∴OD =85t =8556⨯=43，当y =43时，43=2543x x -++，23580x x --=，解得：11x =-，283x =，∴C （﹣1，43），由BD PD OB OA =，得44343PD -=，则PD =2，∴S △BCP =12×PC ×BD =18323⨯⨯=4；（3）分两种情况讨论：①如图3，当点E 在AB 上时，由（2）得OD =QM =ME =85t ，∴EQ =165t ，由折叠得：EQ ⊥PD ，则EQ ∥y 轴，∴EQ AQ OB OA =，∴163543tt-=，∴t =1517，同理得：PD =635t -，∴当15017t ≤≤时，S=S△PDQ=12×PD×MQ=168(3)255t t-⋅，22412255S t t=-+；②当155172t≤≤时，如图4，P′D′=635t-，点Q与点E关于直线P′C′对称，则Q（t，0）、E（t，165t），∵AB的解析式为：443y x=-+，D′E的解析式为：8855y x t=+，则交点N（15611t-，82411t+），∴S=S△P′D′N=12×P′D′×FN=168248(3)()25115tt t+-⋅-，∴2144144362755511S t t=-+．综上所述：22241215(0)2551714414436155()2755511172t t tSt t t⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩．考点：二次函数综合题；动点型；分段函数；分类讨论；压轴题．12．（2016辽宁省大连市）如图1，△ABC中，∠C=90°，线段DE在射线BC上，且DE=AC，线段DE沿射线BC运动，开始时，点D与点B重合，点D到达点C时运动停止，过点D作DF=DB，与射线BA相交于点F，过点E作BC的垂线，与射线BA相交于点G．设BD=x，四边形DEGF与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x 的函数图象如图2所示（其中0＜x≤m，1＜x≤m，m＜x≤3时，函数的解析式不同）．（1）填空：B C的长是；（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．【答案】（1）3；（2）222544(01) 39336133 (1)136613(3) (3)56x x xS x xx x⎧-++≤≤⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-<≤⎪⎩．【分析】（1）由图象即可解决问题．（2）分三种情形①如图1中，当0≤x≤1时，作DM⊥AB于M，根据S=S△ABC﹣S△BDF﹣S四边形ECAG即可解决．②如图2中，作AN∥DF交BC于N，设BN=AN=x，在RT△ANC中，利用勾股定理求出x，再根据S=S△ABC﹣S△BDF ﹣S四边形ECAG即可解决．③如图3中，根据S=12CD•CM，求出CM即可解决问题．②如图②中，作AN∥DF交BC于N，设BN=AN=x，在RT△ANC中，∵222AN CN AC=+，∴2222(3)x x=+-，∴x=136，∴当1316x<≤时，S=S△ABC﹣S△BDF=26313x-；③如图3中，当1336x<≤时，∵DM∥AN，∴CD CMCN CA=，∴313236x CM-=-，∴CM=12(3)5x-，∴S=12CD•CM=26(3)5x-．综上所述：222544 (01)39336133 (1)136613(3) (3)56x x x S x x x x ⎧-++≤≤⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-<≤⎪⎩．考点：四边形综合题；分段函数；分类讨论；动点型；压轴题． 13．（2016辽宁省抚顺市）如图，抛物线229y x bx c =-++经过点A （﹣3，0），点C （0，4），作CD ∥x 轴交抛物线于点D ，作DE ⊥x 轴，垂足为E ，动点M 从点E 出发在线段EA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 运动，同时动点N 从点A 出发在线段AC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．（1）求抛物线的解析式；（2）设△DMN 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；（3）①当MN ∥DE 时，直接写出t 的值；②在点M 和点N 运动过程中，是否存在某一时刻，使MN ⊥AD ？若存在，直接写出此时t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）222493y x x =-++；（2）S =20.8 5.212t t -+（0＜t ≤3）；（3）①t =3013；②t =9047．【分析】（1）根据抛物线229y x bx c =-++经过点A （﹣3，0），点C （0，4），可以求得b 、c 的值，从而可以求得抛物线的解析式；（2）要求△DMN 的面积，根据题目中的信息可以得到梯形AEDC 的面积、△ANM 的面积、△MDE 的面积、△CND 的面积，从而可以解答本题；（3）①根据MN ∥DE ，可以得到△AMN 和△AOC 相似，从而可以求得t 的值；②根据题目中的条件可以求得点N 、点M 、点A 、点D 的坐标，由AD ⊥MN 可以求得相应的t 的值．【解析】（1）∵抛物线229y x bx c =-++经过点A （﹣3，0），点C （0，4），∴22(3)(3)094b c c ⎧-⨯-+⨯-+=⎪⎨⎪=⎩，解得：234b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即抛物线的解析式为：222493y x x =-++； =12（3+6）×4-12×（6-2t ）×0.8t -12×2t ×4-12×3×（4-0.8t ） =20.8 5.212t t -+，即S 与t 的函数关系式是S =20.8 5.212t t -+（0＜t ≤3）；（3）①当MN ∥DE 时，t 的值是3013，理由：如右图2所示 ∵MN ∥DE ，AE =6，AC =5，AO =3，∴AM =6﹣2t ，AN =t ，△AMN ∽△AOC ，∴AM AN AO AC =，即6235t t-=，解得，t =3013； ②存在某一时刻，使MN ⊥AD ，此时t 的值是9047，理由：如右图3所示，设过点A （﹣3，0），C （0，4）的直线的解析式为y=kx+b，则：304k bb-+=⎧⎨=⎩，得：434kb⎧=⎪⎨⎪=⎩，即直线AC的解析式为443y x=+，∵NH=0.8t，∴点N的纵坐标为0.8t，将y=0.8t代入443y x=+，得x=0.6t﹣3，∴点N（0.6t﹣3，0.8t）∵点E（3，0），ME=2t，∴点M（3﹣2t，0），∵点A（﹣3，0），点D（3，4），点M（3﹣2t，0），点N（0.6t ﹣3，0.8t），AD⊥MN，∴400.8013(3)(0.63)(32)tt t--⋅=------，解得：t=9047．考点：二次函数综合题；动点型；存在型；分类讨论；压轴题．14．（2016辽宁省沈阳市）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x 轴的正半轴上，OC=8，OE=17，抛物线23320y x x m=-+与y轴相交于点A，抛物线的对称轴与x轴相交于点B，与CD交于点K．（1）将矩形OCDE沿AB折叠，点O恰好落在边CD上的点F处．①点B的坐标为（、），BK的长是，CK的长是；②求点F的坐标；③请直接写出抛物线的函数表达式；（2）将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠，点O恰好落在边CD上的点G处，连接OG，折痕与OG相交于点H，点M是线段EH上的一个动点（不与点H重合），连接MG，MO，过点G作GP⊥OM于点P，交EH于点N，连接ON，点M从点E开始沿线段EH向点H运动，至与点N重合时停止，△MOG和△NOG的面积分别表示为S1和S2，在点M的运动过程中，S1S2（即S1与S2的积）的值是否发生变化？若变化，请直接写出变化范围；若不变，请直接写出这个值．温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．【答案】（1）①10，0，8，10；②F （4，8）；③233520y x x =-+；（2）不变．S 1S 2=189．【分析】（1）①根据四边形OCKB 是矩形以及对称轴公式即可解决问题． ②在RT △BKF 中利用勾股定理即可解决问题．③设OA =AF =x ，在RT △ACF 中，AC =8﹣x ，AF =x ，CF =4，利用勾股定理即可解决问题．（2）不变．S 1S 2=189．由△GHN ∽△MHG ，得GH HN MH GH=，得到2GH =HN •HM ，求出2GH ，根据S 1S 2=12•OG •HN •12•OG •HM 即可解决问题．【解析】（1）如图1中，①∵抛物线23320y x x m =-+的对称轴x =2ba-=10，∴点B 坐标（10，0），∵四边形OBKC 是矩形，∴CK =OB =10，KB =OC =8，故答案分别为10，0，8，10．②在RT △FBK 中，∵∠FKB =90°，BF =OB =10，BK =OC =8，∴FK 22BF BK -，∴CF =CK ﹣FK =4，∴点F 坐标（4，8）．③设OA =AF =x ，在RT △ACF 中，∵222AC CF AF +=，∴222(8)4x x -+=，∴x =5，∴点A 坐标（0，5），代入抛物线23320y x x m =-+得m =5，∴抛物线为233520y x x =-+．（2）不变．S 1S 2=189．理由：如图2中，在RT △EDG 中，∵GE =EO =17，ED =8，∴DG 22GE DE -22178-，∴CG =CD ﹣DG =2，∴OG 22OC CG +2282+217，∵CP ⊥OM ，MH ⊥OG ，∴∠NPN =∠NHG =90°，∵∠HNG +∠HGN =90°，∠PNM +∠PMN =90°，∠HNG =∠PNM ，∴∠HGN =∠NMP ，∵∠NMP =∠HMG ，∠GHN =∠GHM ，∴△GHN ∽△MHG ，∴GH HN MH GH=，∴2GH =HN •HM ，∵GH =OH 17，∴HN •HM =17，∵S 1S 2=12•OG •HN •12•OG •HM =21(217)172⨯⨯=289．考点：二次函数综合题；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；定值问题；动点型；压轴题．15．（2015重庆市）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C 重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．过点M作MN⊥DH于N，则MN=HE=t，NH=ME=2﹣12t，∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣12t）=12t+1．在Rt△DMN中，DM2=DN2+MN2=（12t+1）2+ t 2=54t2+t+1．（Ⅰ）若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，即54t2+t+1=（14t2﹣2t+8）+（t2﹣4t+13），解得：t=207．（Ⅱ）若∠B′MD=90°，则B′D2=B′M2+DM2，即t2﹣4t+13=（14t2﹣2t+8）+（54t2+t+1），解得：t1=﹣17，t2=﹣317．∴t=﹣17（Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2，即14t2﹣2t+8=（t2﹣4t+13）+（54t2+t+1），此方程无解．综上所述，当t=207或﹣17B′DM是直角三角形；（3）22214 t0t43 124t t t2833S3510t2t2t8331510t t4223⎧⎛⎫≤≤⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-+-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-≤⎪⎪⎝⎭⎪⎛⎫⎪-+≤⎪⎪⎝⎭⎩＜＜＜．【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理和逆定理，正方形的性质，直角梯形的性质，平移的性质．③如图⑤，当G在CD上时，B′C：C H=B′G：D H，即B′C：4=2：3，解得：B′C=83，∴EC=4﹣t=B′C﹣2=23．∴t=103．∵B′N=12B′C=12（6﹣t）=3﹣12t，∴GN=GB′﹣B′N=12t﹣1．16．（2015江苏苏州）如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/s 的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合．在移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD．已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH的边FG、GH的长分别为4cm、3cm．设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中0≤x≤2.5．（1）试求出y关于x的函数关系式，并求出y =3时相应x的值；（2）记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2．试说明S1－S2是常数；（3）当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长．【考点】正方形的性质，一元二次方程的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值．∠∠可解出x的值．【分析】（1）根据题意表示出AG、GD的长度，再由tan CGD=tan PAG（2）利用（1）得出的y与x的关系式表示出S1、S2，然后作差即可．（3）延长PD交AC于点Q，然后判断△DGP是等腰直角三角形，从而结合x的范围得出x的值，在Rt△DGP 中，解直角三角形可得出PD的长度．17．（2015攀枝花）如图1，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐标原点O重合，且AD=8，AB=6．如图2，矩形ABCD沿OB方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P从A点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动，当点P到达点C时，矩形ABCD和点P同时停止运动，设点P的运动时间为t秒．（1）当t=5时，请直接写出点D、点P的坐标；（2）当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出△PBD的面积S关于t的函数关系式，并写出相应t的取值范围；（3）点P在线段AB或线段BC上运动时，作PE⊥x轴，垂足为点E，当△PEO与△BCD相似时，求出相应的t值．【答案】（1）D（﹣4，3），P（﹣12，8）；（2）424 (06)318 (614)t tSt t-+≤≤⎧=⎨-<≤⎩；（3）6．（2）当点P在边AB上时，BP=6﹣t，由三角形的面积公式得出S=12BP•AD；②当点P在边BC上时，BP=t﹣6，同理得出S=12BP•AB；即可得出结果；（3）设点D（45t-，35t）；分两种情况：①当点P在边AB上时，P（485t--，85t），由PE CDOE CB=和PE CBOE CD=时；分别求出t的值；②当点P在边BC上时，P（1145t-+，365t+）；由PE CDOE CB=和PE CBOE CD=时，分别求出t的值即可．试题解析：（1）延长CD交x轴于M，延长BA交x轴于N，如图1所示：则CM⊥x轴，BN⊥x轴，AD∥x轴，BN∥DM，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，CD=AB=6，BC=AD=8，∴BD=2268+=10，当t=5时，OD=5，∴BO=15，∵AD∥NO，∴△ABD∽△NBO，∴23AB AD BDBN NO BO===，即6823BN NO==，∴BN=9，NO=12，∴OM=12﹣8=4，DM=9﹣6=3，PN=9﹣1=8，∴D（﹣4，3），P（﹣12，8）；②当点P在边BC上时，P（1145t-+，365t+），若PE CDOE CB=时，366518145tt+=-，解得：t=6；若PE CBOE CD=时，368516145tt+=-，解得：19013t=（不合题意，舍去）；综上所述：当t=6时，△PEO与△BCD相似．考点：1．四边形综合题；2．动点型；3．分类讨论；4．分段函数；5．压轴题．18．（2015桂林）如图，已知抛物线212y x bx c =-++与坐标轴分别交于点A （0，8）、B （8，0）和点E ，动点C 从原点O 开始沿OA 方向以每秒1个单位长度移动，动点D 从点B 开始沿BO 方向以每秒1个单位长度移动，动点C 、D 同时出发，当动点D 到达原点O 时，点C 、D 停止运动．（1）直接写出抛物线的解析式：；（2）求△CED 的面积S 与D 点运动时间t 的函数解析式；当t 为何值时，△CED 的面积最大？最大面积是多少？（3）当△CED 的面积最大时，在抛物线上是否存在点P （点E 除外），使△PCD 的面积等于△CED 的最大面积？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）21382y x x =-++；（2）2152S t t =-+，当t =5时，S 最大=252；（3）存在，P （343，2009-）或P （8，0）或P （43，1009）．（3）由（2）知：当t =5时，S 最大=252，进而可知：当t =5时，OC =5，OD =3，进而可得CD =34，从而确定C ，D 的坐标，即可求出直线CD 的解析式，然后过E 点作EF ∥CD ，交抛物线与点P ，然后求出直线EF 的解析式，与抛物线联立方程组解得即可得到其中的一个点P 的坐标，然后利用面积法求出点E 到CD 的距离，过点D 作DN ⊥CD ，垂足为N ，且使DN 等于点E 到CD 的距离，然后求出N 的坐标，再过点N 作NH ∥CD ，与抛物线交与点P ，然后求出直线NH 的解析式，与抛物线联立方程组求解即可得到其中的另两个点P 的坐标．（3）由（2）知：当t =5时，S 最大=252，∴当t =5时，OC =5，OD =3，∴C （0，5），D （3，0），由勾股定理得：C D =34，设直线CD 的解析式为：y kx b =+，将C （0，5），D （3，0），代入上式得：k =53-，b =5，∴直线CD 的解析式为：553y x =-+，过E 点作EF ∥CD ，交抛物线与点P ，如图1，过点E作EG⊥CD，垂足为G，∵当t=5时，S△ECD=12CD•EG=252，∴EG=253434，过点D作DN⊥CD，垂足为N，且使DN=253434，过点N作NM⊥x轴，垂足为M，如图2，综上所述：当△CED的面积最大时，在抛物线上存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积，点P的坐标为：P（343，2009）或P（8，0）或P（43，1009）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．动点型；4．存在型；5．最值问题；6．分类讨论；7．压轴题．19．（2014年甘肃天水12分）如图（1），在平面直角坐标系中，点A （0，﹣6），点B （6，0）．Rt △CDE 中，∠CDE =90°，CD =4，DE =43，直角边CD 在y 轴上，且点C 与点A 重合．Rt △CDE 沿y 轴正方向平行移动，当点C 运动到点O 时停止运动．解答下列问题：（1）如图（2），当Rt △CDE 运动到点D 与点O 重合时，设CE 交AB 于点M ，求∠BME 的度数．（2）如图（3），在Rt △CDE 的运动过程中，当CE 经过点B 时，求BC 的长．（3）在Rt △CDE 的运动过程中，设AC =h ，△OAB 与△CDE 的重叠部分的面积为S ，请写出S 与h 之间的函数关系式，并求出面积S 的最大值．【答案】解：（1）如图2，∵在平面直角坐标系中，点A （0，﹣6），点B （6，0），∴OA =OB ，∴∠OAB =45°． ∵∠CDE =90°，CD =4，DE =43，∴DEtan OCE 3CD∠==．∴∠OCE =60°． ∴∠CMA =∠OCE ﹣∠OAB =60°﹣45°=15°．∴∠BME =∠CMA =15°．（2）如图3，∵∠CDE =90°，CD =4，DE =43，∴CD 3tan DEC DE ∠==．∴∠DEC =30°． ∵DE ∥x 轴，∴∠OBC =∠DEC =30°． ∵OB =6，∴BC =43．（3）①当h ≤2时，如答图1，作MN ⊥y 轴交y 轴于点N ，作MF ⊥DE 交DE 于点F ， ∵CD =4，DE =43，AC =h ，AN =NM ， ∴CN =4﹣FM ，AN =MN =4+h ﹣FM ， ∵△CMN ∽△CED ，∴CN MNCD DE =，即4FM 443-=．解得31FM 4h +=-． ∴S =S △EDC ﹣S △EFM =()2113131443434h4h h 4h 822⎛⎫++⋅⋅-⋅--⋅-=-++ ⎪ ⎪⎝⎭，此时，S 最大=153-．②当2<h 623≤-时，如答图2，由（2）可知，在Rt △CDE 的运动过程中，当CE 经过点B 时，BC =43，此时OC =23，h 623=-，S =S △ABC ﹣S △ACM =211313366h h h 18h 2224⎛⎫++⋅⋅-⋅⋅+=- ⎪ ⎪⎝⎭，此时，S 最大不超过153-． ③当623<h 6-≤时，如答图3，S =S △OCF =()()()2113OC OF 6h 36h 6h 222⋅⋅=⋅-⋅-=-，此时，S 最大不超过63．∵153********>0--=-， ∴面积S 的最大值为153-．综上所述，S 与h 之间的函数关系式为()()()()22231h 4h 8h 2433S 18h 2<h 623436h 623<h 62⎧+-++≤⎪⎪⎪+⎪=-≤-⎨⎪⎪--≤⎪⎪⎩，面积S 的最大值为153-．【考点】1．面动平移问题；2．点的坐标；3．锐角三角函数定义；4．特殊角的三角函数值；5．相似三角形的判定和性质；6．由实际问题列函数关系式；7．二次函数的性质；8．分类思想、数形结合思想和转换思想的应用．【分析】（1）如图2，由对顶角的定义知，∠BME =∠CMA ，所以欲求∠BME 的度数，需求∠CMA 的度数．根据三角形外角定理进行解答即可．（2）如图3，通过解直角△BOC 来求BC 的长度．（3）需要分类讨论：①h ≤2时，②当2<h 623≤-时，③当623<h 6-≤时．20．（2014年辽宁营口14分）已知：抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）经过点A （1，0），B （3，0），C （0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标；（2）如图①，点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线BC于点E．是否存在一点P，使线段PE的长最大？若存在，求出PE长的最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图②，过点A作y轴的平行线，交直线BC于点F，连接DA、DB．四边形OAFC沿射线CB方向运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当点C与点B重合时立即停止运动．设运动过程中四边形OAFC 与四边形ADBF重叠部分面积为S，请求出S与t的函数关系式．【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（3，0），C（0，﹣3），∴9a3b c0a b c0c3++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得a1b4c3=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩．∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4x﹣3．∵y=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1，∴顶点D的坐标为（2，1）．（2）存在．设直线BC的解析式为：y=kx+m，则3k m0m3+=⎧⎨=-⎩，解得k1m3=⎧⎨=-⎩．设P（x，﹣x2+4x﹣3），则F（x，x﹣3），∴PF=（﹣x2+4x﹣3）﹣（x﹣3）=﹣x2+3x=239x24⎛⎫--+⎪⎝⎭．∴当x=32时，PF有最大值为94．∴存在一点P，使线段PE的长最大，最大值为94．（3）∵A（1，0）、B（3，0）、D（2，1）、C（0，﹣3），∴可求得直线AD的解析式为：y=x﹣1；直线BC的解析式为：y=x﹣3．∴AD ∥BC ，且与x 轴正半轴夹角均为45°． ∵AF ∥y 轴，∴F （1，﹣2），∴AF =2．①当0≤t ≤2时，如答图1所示．此时四边形AFF ′A ′为平行四边形．设A ′F ′与x 轴交于点K ，则AK =2AA ′=2t ．∴S =S ▱AFF ′A ′=AF •AK =2×2t =2t ． ②当2＜t ≤22时，如答图2所示．设O ′C ′与AD 交于点P ，A ′F ′与BD 交于点Q ，则四边形PC ′F ′A ′为平行四边形，△A ′DQ 为等腰直角三角形． ∴S =S ▱PC ′F ′A ′﹣S △A ′DQ =()221121t 2t 2t 122⋅--=-++．③当22＜t ≤32时，如答图3所示．设O ′C ′与BD 交于点Q ，则△BC ′Q 为等腰直角三角形． ∵BC =32，CC ′=t ，∴BC ′=32﹣t ．∴S =S △BC ′Q =()221132t t 32t 922-=-+．综上所述，S 与t 的函数关系式为：()()()222t 0t 21S t 2t 12<t 2221t 32t 922<t 322⎧≤≤⎪⎪⎪=-++≤⎨⎪⎪-+≤⎪⎩ ．【考点】1．二次函数综合题；2．单动点和面动平移问题；3．待定系数法的应用；4．曲线上点的坐标与方程的关系；5．二函数的性质；6．由实际问题列函数关系式；7．分类思想和转换思想的应用．【分析】（1）应用待定系数法即可求得抛物线的解析式，然后化为顶点式即可求得顶点的坐标．（2）先求得直线BC 的解析式，设P （x ，﹣x 2+4x ﹣3），则F （x ，x ﹣3），根据PF 等于P 点的纵坐标﹣F 点的纵坐标即可求得PF 关于x 的函数关系式，从而求得P 的坐标和PF 的最大值．（3）在运动过程中，分三种情形，需要分类讨论，避免漏解．21．（2014年四川资阳12分）如图，已知抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴的一个交点为A （3，0），与y 轴的交点为B （0，3），其顶点为C ，对称轴为x =1．。

专题26统计(知识点总结+例题讲解)-2021届中考数学一轮复习

2021年中考数学专题26 统计（知识点总结+例题讲解）一、调查收集数据的过程与方法以及统计学基本概念：1.调查方式：（1）普查：为了某一特定目的，而对考察对象进行全面的调查，叫普查；（2）抽样调查：抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况。

2.统计学中的几个基本概念：（1）总体：所有考察对象的全体叫做总体；（2）个体：总体中每一个考察对象叫做个体；（3）样本：从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本；（4）样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量；（5）样本平均数：样本中所有个体的平均数叫做样本平均数；（6）总体平均数：总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。

【例题1】（2020•安顺）2020年为阻击新冠疫情，某社区要了解每一栋楼的居民年龄情况，以便有针对性进行防疫，一志愿者得到某栋楼60岁以上人的年龄（单位：岁）数据如下：62，63，75，79，68，85，82，69，70．获得这组数据的方法是（）A．直接观察B．实验C．调查D．测量【答案】C【解析】直接利用调查数据的方法分析得出答案．解：一志愿者得到某栋楼60岁以上人的年龄（单位：岁）数据如下：62，63，75，79，68，85，82，69，70．获得这组数据的方法是：调查．故选：C．【变式练习1】某校为了解七年级14个班级学生吃零食的情况，下列做法中，比较合理的是（）A．了解每一名学生吃零食情况 B．了解每一名女生吃零食情况C．了解每一名男生吃零食情况D．每班各抽取7男7女，了解他们吃零食情况【答案】D【解析】根据样本抽样的原则要求，逐项进行判断即可．解：根据样本抽样具有普遍性、代表性和可操作性，选项D比较合理，选项A为普查，没有必要，也不容易操作；选项B、C仅代表男生或女生的情况，不能反映全面的情况，不具有代表性，故选：D．【例题2】为了调查某校学生的视力情况，在全校的1000名学生中随机抽取了80名学生，下列说法正确的是（）A．此次调查属于全面调查 B．1000名学生是总体C．样本容量是80 D．被抽取的每一名学生称为个体【答案】C【解析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．解：A、此次调查属于抽样调查，故本选项不合题意；B、1000名学生的视力情况是总体，故本选项不合题意；C、样本容量是80，正确；D、被抽取的每一名学生的视力情况称为个体．故本选项不合题意．故选：C．【变式练习2】为了解500人身高情况，从中抽取50人进行身高统计分析．样本是（）A．500人B．所抽50人C．500人身高D．所抽50人身高【答案】D【解析】根据样本的意义得出判断即可．解：在这个问题中，“抽取50人的身高情况”是整体的一个样本，故选：D．二、频数、频率与统计图表：1.频数分布直方图：（1）把每个对象出现的次数叫做频数；（2）每个对象出现的次数与总次数的比(或者百分比)叫频率；频数和频率都能够反映每个对象出现的频繁程度；；频率＝频数样本容量（3）频数分布表、频数分布直方图都能直观、清楚地反映数据在各个小范围内的分布情况；（4）频数分布直方图的绘制步骤是：①计算最大值与最小值的差(即：极差)；②决定组距与组数，一般将组数分为5～12组；③确定分点，常使分点比数据多一位小数，且把第一组的起点稍微减小一点；④列频数分布表；⑤用横轴表示各分段数据，纵轴反映各分段数据的频数，小长方形的高表示频数，绘制频数分布直方图．2.频率分布的意义：在许多问题中，只知道平均数和方差还不够，还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小，这就需要研究如何对一组数据进行整理，以便得到它的频率分布。

2021年九年级中考复习数学分类专题提分训练：菱形及其性质(一)

2021年中考复习数学分类专题提分训练菱形及其性质（一）1．已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是．2．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB1E，则△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积是．3．如图，已知四边形ABCD是菱形，按以下步骤作图：①以顶点B为圆心，BD长为半径作弧，交AD于点E；②分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F，射线BF交AD于点G，连接CG，若∠BCG ＝30°，AG＝3，则菱形ABCD的面积等于．4．一个菱形的两条对角线长分别为4cm和5cm，则这个菱形的面积是cm2．5．在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O，A的坐标分别是（0，0），（2，1），点B在x轴正半轴上，则顶点C的坐标是．6．边长为a的菱形是由边长为a的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为h，则称为为这个菱形的“形变度”．（1）一个“形变度”为2的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为．（2）如图，A、B、C为菱形网格（每个小菱形的边长为1，“形变度”为）中的格点，则△ABC的面积为．7．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，DB＝6cm，DH⊥AB于点H，则DH的长为．8．在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．使得四边形ABCD成为菱形，需添加一个条件是．9．在直角坐标系中，点A，B，C，D的坐标分别为（﹣3，0），（x，y），（0，4），（﹣6，z），若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则z的值为．10．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D 为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝，平行四边形CDEB为菱形．11．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，要使四边形ABCD为菱形，需要增加的一个条件是：．（只填一个你认为正确的条件即可，不添加任何线段与字母）12．在四边形ABCD中，如果AB＝AD，AB∥CD，请你添加一个条件，使得该四边形是菱形，那么这个条件可以是．13．将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1，如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移，在平移的过程中，当点B的移动距离为时，四边ABC1D1为矩形；当点B的移动距离为时，四边形ABC1D1为菱形．14．如图，已知AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是边AC、AB的中点，连接DE、DF，要使四边形AEDF 称为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是．15．如图，①以点A为圆心2cm长为半径画弧分别交∠MAN 的两边AM、AN于点B、D；②以点B为圆心，AD长为半径画弧，再以点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C；③分别连结BC、CD、AC．若∠MAN＝60°，则∠ACB的大小为．16．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形ABCD，当线段AD＝5时，线段BC的长为．17．如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，若AD＝CB，下面四个结论中：①AD∥CB；②AC⊥BD；③AO＝OC；④AB⊥BC，一定正确的结论的序号是．18．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA ＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为cm．19．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE ∥BD，DE∥AC．若AC＝4，则四边形CODE的周长是．20．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，平移△ABC使点B 与圆心O重合，A、C两点恰好落在圆上的D、E两点处．若AC＝2，则平移的距离为．参考答案1．解：∵菱形的周长是20cm，∴边长为20÷4＝5cm，∵两条对角线的比是4：3，∴设菱形的两对角线分别为8x，6x，则对角线的一半分别为4x，3x，根据勾股定理得，（4x）2+（3x）2＝52，解得x＝1，所以，两对角线分别为8cm，6cm，所以，这个菱形的面积＝×8×6＝24cm2．故答案为：24cm2．2．解：如图，设CD与AB1交于点O，∵在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，∴AE＝，由折叠易得△ABB1为等腰直角三角形，∴S△ABB1＝BA•AB1＝2，S△ABE＝1，∴CB 1＝2BE﹣BC＝2﹣2，∵AB∥CD，∴∠OCB1＝∠B＝45°，又由折叠的性质知，∠B1＝∠B＝45°，∴CO＝OB 1＝2﹣．∴S △COB1＝OC•OB1＝3﹣2，∴重叠部分的面积为：2﹣1﹣（3﹣2）＝2﹣2．3．解：过点D作DH⊥BC于点H，由作图知，BG⊥AD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝BC＝CD，AD∥BC，∴BG⊥BC，∴BG∥DH，∴四边形BHDG为矩形，∴BG＝DH，DE＝BH，∴AE＝CH＝3，设BG＝x，∵∠BCG＝30°，∴CD＝BC＝，∵CD2﹣DH2＝CH2，∴，∴，∴DH＝，BC＝，∴菱形ABCD的面积＝BC•DH＝，故答案为：．4．解：根据菱形面积等于对角线乘积的一半可得：S＝×5×4＝10cm2．故答案为：10．5．解：∵菱形OABC，顶点O、A的坐标分别是（0，0），（2，1），点B在x轴正半轴上，∴C与A关于x轴对称，所以点C的坐标是（2，﹣1）；故答案为：（2，﹣1）．6．解：（1）∵边长为a的正方形面积＝a2，边长为a的菱形面积＝ah，∴菱形面积：正方形面积＝ah：a2＝h：a，∵菱形的变形度为2，即＝2，∴“形变度”为2的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比＝1：2，故答案为：1：2；（2）∵菱形的边长为1，“形变度”为，∴菱形形变前的面积与形变后的面积之比为，∴S△ABC＝（36﹣）×＝故答案为：．7．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝4cm，OB＝OD＝3cm，∴AB＝5cm，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝AB•DH，∴DH＝＝4.8cm．8．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴当AC⊥BD时，四边形ABCD为菱形．故答案为：AC⊥BD（答案不唯一）．9．解：若AC为边，CD是对角线，∵ADBC为菱形∴AC＝AD且A（﹣3，0），C（0，4），D（﹣6，z），∴32+42＝（﹣3+6）2+z2z1＝4，z2＝﹣4（舍去）若AC为对角线根据题意可求AC解析式y AC＝x+4∵BD⊥AC∴设BD解析式y BD＝﹣x+b且过AC中点（﹣，2）∴2＝﹣×（﹣）+bb＝∴BD解析式y BD＝﹣x+且过D（﹣6，z）∴z＝故答案为4或10．解：如图，连接CE交AB于点O．∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝5（勾股定理）．若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，且OD＝OB，CD＝CB．∵AB•OC＝AC•BC，∴OC＝．∴在Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB＝＝＝，∴AD＝AB﹣2OB＝．故答案是：．11．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴当AB＝AD，或AC⊥BD时，▱ABCD为菱形，故答案为：AB＝AD（答案不唯一）．12．解：条件可以为AB＝CD，理由是：∵AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，故答案为：AB＝CD．13．解：如图：当四边形ABC1D是矩形时，∠B1BC1＝90°﹣30°＝60°，∵B1C1＝1，∴BB1＝＝＝，当点B的移动距离为时，四边形ABC1D1为矩形；当四边形ABC1D是菱形时，∠ABD1＝∠C1BD1＝30°，∵B1C1＝1，∴BB 1＝＝＝，当点B的移动距离为时，四边形ABC 1D1为菱形．故答案为：，．14．解：由题意知，可添加：AB＝AC．则三角形是等腰三角形，由等腰三角形的性质知，顶角的平分线与底边上的中线重合，即点D是BC的中点，∴DE，EF是三角形的中位线，∴DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AB＝AC，点E，F分别是AB，AC的中点，∴AE＝AF，∴平行四边形AEDF为菱形．故答案为：AB＝AC、∠B＝∠C或AE＝AF（答案不唯一）．15．解：由题意可得：AB＝BC＝CD＝AD＝2cm，∴四边形ABCD是菱形，∴BC∥DA，∠CAB＝∠CAD＝∠MAN＝30°，∴∠ACB＝∠CAD＝30°，故答案为：30°．16．解：由条件可知AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∴BC＝AD＝5．故答案为：5．17．解：∵直线l是四边形ABCD的对称轴，∴AD＝AB，CD＝CB，∵AD＝BC，∴AD＝CD＝AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∴①AD∥CB，正确；②AC⊥BD，正确；③AO＝OC，正确；④AB不一定垂直于BC，错误．故正确的是①②③．故答案为：①②③．18．解：根据作图，AC＝BC＝OA，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝BC＝AC，∴四边形OACB是菱形，∵AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2，∴AB•OC＝×2×OC＝4，解得OC＝4cm．故答案为：4．19．解：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OC＝AC＝2，OD＝BD，AC＝BD，∴OC＝OD＝2，∴四边形CODE是菱形，∴DE＝CE＝OC＝OD＝2，∴四边形CODE的周长＝2×4＝8；故答案为：8．20．解：连接OA，OC，OB，OB与AC相交于点M，过点O作ON⊥DE，由平移的性质可得：AB＝DO，AC∥DE，∵AO＝DO＝BO，∴AO＝AB＝BO，同理可得：BO＝CO＝BC，∴四边形ABCO为菱形，∴BO⊥AC，BM＝OM，∴BM＝ON，AM＝CM＝，∴MN＝BO，∴BO等于平移的距离，∵AC＝2，△ABO为等边三角形，∴OM＝＝1，∴BO＝2，∴平移的距离为2．故答案为：2．。

中考数学菱形综合复习试题及答案

2021年中考数学一轮复习专题菱形综合复习一选择题：1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是〔〕A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直△ABE的重叠情形，其中D在BE上．假设AB=17，BD=16，AE=25，那么DE的长度为何？〔〕A．8 B．9 C．11 D．123.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF.那么四边形AECF是( )A．梯形 B．长方形 C．菱形D．正方形4.如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120cm2，对角线AC=24cm，那么四边形ABCD的周长为〔〕A．52cm B．40cm C．39cm D．26cm5.如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线〔虚线〕剪下，再翻开，得到的菱形的面积为〔〕A．10cm2 B．20cm2 C．40cm2 D．80cm26.如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，那么线段OE的长等于〔〕7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，假设AB=2，∠ABC=60°，那么BD的长为〔〕A．2 B．3 C． D．28.如下列图，在菱形ABCD中,BE⊥AD,BF⊥CD,E ,F 为垂足,AE=ED,那么∠EBF 等于〔〕A．75°B．60°C．50° D．45°9.如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，那么DH等于〔〕A． B． C．5 D．410.如图，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4，反比例函数y=〔x＜0〕的图象经过点C，那么k的值为〔〕A．﹣12 B．﹣6 C．6 D．1211.如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF，且∠CDF=24°，那么∠DAB等于( )A．100°= B．104°C．105°D．110°12.某校的校园内有一个由两个相同的正六边形〔边长为2.5m〕围成的花坛，如图中的阴影局部所示，校方先要将这个花坛在原有的根底上扩建成一个菱形区域如下列图，并在新扩充的局部种上草坪，那么扩建后菱形区域的周长为〔〕A．20m B．25m C．30m D．35m13.如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，那么△AEF的周长为〔〕A．2cm B．3cm C．4cm D．3cm14.如图，菱形ABCD的对角线相交于坐标原点，点A的坐标为〔a，2〕，点B的坐标为〔﹣1，﹣〕，点C的坐标为〔2，c〕，那么a，c的值分别是〔〕A．a=﹣1，c=﹣ B．a=﹣2，c=﹣2 C．a=1，c= D．a=2，c=215.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，那么点O到边AB 的距离OH等于〔〕A．2 B．1.8 C.3 D．16.如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，那么∠FAB=〔〕A．30° B．45°° D．135°17.如图，四边形OABC是菱形，CD⊥x轴，垂足为D，函数的图象经过点C，且与AB交于点E．假设OD=2，那么△OCE的面积为〔〕A．2 B．4 C．；D．；18.：如图在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标为〔10，0〕，对角线OB、AC相交于D点，双曲线y=〔x＞0〕经过D点，交BC的延长线于E点，且OB•AC=160，那么点E的坐标为〔〕A．〔5，8〕 B．〔5，10〕 C．〔4，8〕 D．〔3，10〕19.如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．假设四边形EGFH是菱形，那么AE的长是〔〕A．2 B．3 C．5 D．620.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有以下结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD=AB2其中正确的结论有〔〕A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二填空题:21.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件使其成为菱形〔只填一个即可〕．22.如图，在菱形ABCD中，AB=4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，那么AC的长为．23.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，那么AE的长是．24.如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD= 时，平行四边形CDEB为菱形。

2021年九年级中考数学复习几何专题：矩形、菱形(含答案)

2021中考数学几何专题：矩形、菱形一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC＝2，BD＝1，AP＝x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是()2. 关于▱ABCD的叙述，正确的是()A. 若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B. 若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C. 若AC＝BD，则▱ABCD是矩形D. 若AB＝AD，则▱ABCD是正方形3. （2020·武威）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE间的距离．若AE间的距离调节到60cm，菱形的边长AB＝20cm，则∠DAB的度数是（）A．90°B．100°C．120°D．150°4. （2020·牡丹江）如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（2，23)，将菱形绕点O旋转，当点A落在x轴上时，点C的对应点的坐标为（）A．(2,-B．--或2)C．(-D．(2,--或5. （2020·黄冈）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（）A．4∶1B．5∶1C．6∶1D．7∶16. （2020·乐山）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，O是对角线BD的中点，过点O作OE⊥CD于E，连接OA，则四边形AOED的周长为（）A．9＋23B．9＋3C．7＋23D．87. 如图，在矩形ABCD中(AD＞AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是()A. △AFD≌△DCEB. AF＝12ADC. AB＝AFD. BE＝AD－DF8. （2020·黔东南州）若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（）A．16B．24C．16或24D．489. （2020·邵阳）将一张矩形纸片ABCD按如图所示操作：(1)将DA沿DP向内折叠，使点A落在点A1处,(2)将DP沿DA1向内继续折叠，使点P落在点P1处，折痕与边AB交于占M.若P1M⊥AB,则∠DP1M的大小是（）BOCAyA.135°B. 120°C. 112.5°D.115°10. (2020·绥化)如图，在R t△ABC中，CD为斜边AB的中线，过点D作DE⊥AC 于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接AF，CF，点G在线段CF上，连接EG，且∠CDE＋∠EGC＝180°，FG＝2，GC＝3．下列结论：①DE＝12BC；②四边形DBCF是平行四边形；③EF＝EG；④BC＝25．其中正确结论的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共6道小题）11. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，则菱形的面积是________．12. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE.如果⊥ADB ＝30°，则⊥E＝________度.13. 在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则⊥EBC的度数为________．14. （2020·四川甘孜州）如图，有一张长方形纸片ABCD，AB＝8cm，BC＝10cm，点E为CD上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边B'C'恰好经过点D，则线段DE的长为__________cm．15. 如图，在⊥ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到⊥ABD，则四边形ADBC的形状是形，点P，E，F分别为线段AB，AD，DB上的任意一点，则PE+PF的最小值是.GFDCB16. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10.点E 在CD 上，将⊥BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将⊥ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处．有下列结论：①∠EBG ＝45°；⊥⊥DEF⊥⊥ABG ；⊥S △ABG ＝32S △FGH ；⊥AG ＋DF ＝FG.其中正确的是______________．(把所有正确结论的序号都选上)三、解答题（本大题共5道小题）17. 如图，对折矩形纸片ABCD ，使AB 与DC 重合，得到折痕MN ，将纸片展平;再一次折叠，使点D 落到MN 上的点F 处，折痕AP 交MN 于E ;延长PF 交AB 于G.求证: (1)⊥AFG ≌△AFP ; (2)⊥APG 为等边三角形.18. 如图，将▱ABCD的边AB 延长至点E ，使BE=AB ，连接BD ，DE ，EC ，DE交BC 于点O. (1)求证:⊥ABD ⊥⊥BEC ;(2)若⊥BOD=2⊥A ，求证:四边形BECD 是矩形.19. 已知：如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且BE=DF ，连结AE ，AF.求证：AE=AF.20. 如图，已知⊥ABC 中，AB ＝AC ，把⊥ABC 绕A 点沿顺时针方向旋转得到⊥ADE ，连接BD 、CE 交于点F. (1)求证：⊥AEC⊥⊥ADB ；(2)若AB ＝2，∠BAC ＝45°，当四边形ADFC 是菱形时，求BF 的长．21. 如图，⊥O 的直径AB ＝4，C 为⊥O 上一点，AC ＝2.过点C 作⊥O 的切线DC ，P 点为优弧CBA ︵上一动点(不与A 、C 重合)． (1)求⊥APC 与⊥ACD 的度数；(2)当点P 移动到劣弧CB ︵的中点时，求证：四边形OBPC 是菱形； (3)当PC 为⊥O 的直径时，求证：⊥APC 与⊥ABC 全等．2021中考数学几何专题：矩形、菱形-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C 【解析】本题考查菱形的性质、相似三角形的性质、函数的图象和二次函数的图象和性质. 解题思路：设AC 、BD 交于点O ，由于点P 是菱形ABCD的对角线AC 上一动点，所以0＜x ＜2.当0＜x ＜1时，△AMN ∽△ABD ⇒APAO ＝MN BD ⇒x 1＝MN 1⇒MN ＝x ⇒y ＝12x 2.此二次函数的图象开口向上，对称轴是x ＝0，此时y 随x 的增大而增大. 所以B 和D 均不符合条件．当1＜x ＜2时，△CMN∽△CBD ⇒CP CO ＝MN BD ⇒2－x 1＝MN 1⇒MN ＝2－x ⇒y ＝12x(2－x)＝－12x 2＋x.此二次函数的图象开口向下，对称轴是x ＝1，此时y 随x 的增大而减小. 所以A 不符合条件．综上所述，只有C 是符合条件的．2. 【答案】C 【解析】逐项分析如下表：3. 【答案】连结AE ，∵AE 间的距离调节到60cm ，木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成， ∴AC ＝20cm ，∵菱形的边长AB ＝20cm ， ∴AB ＝BC ＝20cm ， ∴AC ＝AB ＝BC ， ∴△ACB 是等边三角形， ∴∠B ＝60°， ∴∠DAB ＝120°．故选：C．4. 【答案】D【解析】菱形OABC 中，点A的坐标为（2，23)，所以OA=4，∠A=∠C=60°，分类讨论，①若顺时针旋转，旋转后的图形如图1所示，则OC=OA=4，∠C=60°，可求出点C对应点的坐标为（-2，-23)；②若逆时针旋转，旋转后的图形如图2所示，则OC=OA=4，∠C=60°，可求出点C对应点的坐标为（2，23).5. 【答案】B【解析】本题考查了菱形的性质及锐角三角函数等知识．由菱形的周长为16可得其边长为4，而高为2，即转化为已知某一直角三角形的斜边为4，一直角边为2，求该直角三角形的锐角．由sinα=2142，可得锐角α=30°，所以该菱形的两邻角为150°和30°，两邻角之比5∶1，因此本题选B．6. 【答案】B【解析】由已知及菱形的性质求得∠ABD＝∠CDB＝30º，AO⊥BD，利用含30º的直角三角形边的关系分别求得AO、DO、OE、DE，进而求得四边形AOED的周长．∵四边形ABCD是菱形，O是对角线AC的中点，∴AO⊥BD，AD＝AB ＝4，AB∥DC；∵∠BAD＝120º，∴∠ABD＝∠ADB＝∠CDB＝30º；∵OE⊥DC，∴在R t△AOD中，AD＝4，AO＝12AD＝2，DO＝AD2－AO2＝23；在R t△DEO中，OE＝12OD＝3，DE＝AD2－AO2＝3，∴四边形AOED的周长为AO ＋OE＋DE＋AD＝2＋3＋3＋4＝9＋3．7. 【答案】B【解析】逐项分析如下表：选项逐项分析正误A∵四边形ABCD是矩形，AF⊥DE，∴∠C＝90°＝⊥AFD，AD∥BC，∴∠ADF＝∠CED，∵AD＝DE，∴△AFD≌△√yxABCOyxAB CO图1图28. 【答案】B【解析】解方程x 2﹣10x +24＝0得（x ﹣4）（x ﹣6）＝0，∴x ＝4，或x ＝6，分两种情况：①当AB ＝AD ＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB ＝AD ＝6时，6+6＞8，即可得出菱形ABCD 的周长为4AB ＝24．9. 【答案】C【解析】本题考查了折叠问题、三角形内角和定理、矩形的性质，由折叠前后对应角相等且190∠=PMA 可先求出145∠=∠=DMP DMA ，进一步求出45ADM ∠=，再由折叠可求出122.5∠=∠=∠=MDP ADP PDM ，最后在1∆DPM 中由三角形内角和定理即可求解．解：由折叠知，190∠=PMA ， ∴145∠=∠=DMP DMA ，即45ADM ∠=，由折叠可得，∴1122.52∠=∠=∠=∠=MDP ADP PDM ADM ， ∴在1∆DPM 中，1=1804522.5112.5∠--=DPM ，因此本题选C ． 10. 【答案】D【解析】(1)∵DF ⊥AC ，BC ⊥AC ，∴DE ∥BC ．∵点D 是AB 的中点，∴点E是AC 的中点．∴DE ＝12BC ．可见结论①正确．(2)∵AC 与DF 互相垂直平分，∴四边形ADCF 是菱形．∴FC AD ．∴FC DB ．∴四边形DBCF 是平行四边形．可见结论②正确．(3)∵∠CDE ＋∠EGC ＝180°，∠EGF ＋∠EGC ＝180°，∴∠CDE ＝∠EGC ．由菱形的性质得∠CDE ＝∠EFG ，∴∠EGF ＝∠EFG ．∴EF ＝EG ．可见结论③正确．(4)易知△FEG ∽△FCD ，∴FE FC＝FGFD ，即FE·FD ＝FC·FG ．∴2DE2＝2×5，DEBC ＝2DE ＝4个，故选D ．二、填空题（本大题共6道小题）11. 【答案】24 【解析】如解图，连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，AB ＝5，AC ＝8，且菱形的对角线互相垂直平分，∴OA ＝4，在Rt △AOB中，由勾股定理得OB ＝3，∴BD ＝6，∴S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝12×8×6＝24.解图12. 【答案】15【解析】如解图，连接AC.⊥四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AC ＝BD ，又⊥AB ＝BA ，∴△DAB ≌△CBA(SSS )，∴∠ACB ＝⊥ADB ＝30°，∵CE ＝BD ，∴AC ＝CE ，∴∠E ＝⊥CAE ＝12⊥ACB ＝15°.解图13. 【答案】105°或45° 【解析】如解图，∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝30°，∴∠ABC ＝150°，∠ABD ＝⊥DBC ＝75°，且顶角为120°的等腰三角形的底角是30°.分为以下两种情况：(1)当点E 在⊥ABD 内时，∠E 1BC ＝⊥E 1BD ＋⊥DBC ＝30°＋75°＝105°；(2)当点E 在⊥DBC 内时，∠E 2BC ＝⊥DBC －∠E 2BD ＝75°－30°＝45°.综上所述，∠EBC 的度数为105°或45°.解图14. 【答案】5【解析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理．∵长方形纸片ABCD ，AB ＝8，BC ＝10，∴AB '＝8，AD ＝10，B 'C '＝10．在R t △ADB '中，由勾股定理，得DB '＝6．∴DC '＝4．设DE ＝x ，则CE ＝C 'E ＝8－x ．在R t △C 'DE 中，由勾股定理，得DE 2＝EC '2＋DC '2即x 2＝(8－x )2＋42．∴x ＝5．即线段DE 的长为5cm ．10815. 【答案】菱[解析]∵AC=BC ，∴⊥ABC 是等腰三角形.将⊥ABC 沿AB 翻折得到⊥ABD ，∴AC=BC=AD=BD ，∴四边形ADBC 是菱形. ∵⊥ABC 沿AB 翻折得到⊥ABD ，∴⊥ABC 与⊥ABD 关于AB 成轴对称.如图所示，作点E 关于AB 的对称点E'，连接PE'，根据轴对称的性质知AB 垂直平分EE'，∴PE=PE'， ∴PE +PF=PE'+PF ，当E'，P ，F 三点共线，且E'F ⊥AC 时，PE +PF 有最小值，该最小值即为平行线AC 与BD 间的距离.作CM ⊥AB 于M ，BG ⊥AD 于G ，由题知AC=BC=2，AB=1，∠CAB=∠BAD ， ∴cos ∠CAB=cos ∠BAD ，即=，∴AG=，在Rt⊥ABG 中，BG===，由对称性可知BG 长即为平行线AC ，BD 间的距离， ∴PE +PF 的最小值=.16. 【答案】①①①【解析】由折叠的性质得，∠CBE ＝⊥FBE ，∠ABG ＝⊥FBG ，∴∠EBG ＝⊥FBE ＋⊥FBG ＝12×90°＝45°，故⊥正确；由折叠的性质得，BF ＝BC ＝10，BA ＝BH ＝6，∴HF ＝BF －BH ＝4，AF ＝BF 2－BA 2＝102－62＝8，设GH ＝x ，则GF ＝8－x ，在Rt △GHF 中，x 2＋42＝(8－x)2，∴x ＝3，∴GF ＝5，∴AG ＝3，同理在Rt △FDE 中，由FD 2＝EF 2－ED 2，得ED ＝83，EF ＝103，∴EDFD ＝43≠AB AG ＝2，∴△DEF 与⊥ABG 不相似，故⊥不正确；S △ABG ＝12×3×6＝9，S △FGH ＝12×3×4＝6，∴S △ABG S △FGH ＝96＝32，故⊥正确；⊥AG ＝3，DF ＝AD －AF ＝2，∴FG ＝5，∴AG ＋DF ＝FG ＝5，故⊥正确．综上，答案是⊥⊥⊥.三、解答题（本大题共5道小题）17. 【答案】证明:(1)∵对折矩形纸片ABCD，使AB与CD重合，得到折痕MN，∴MN∥AB，M，N分别为AD，BC中点，由平行线的性质可知PF=GF.由折叠的性质得∠PF A=∠GF A=90°，∴⊥AFG≌△AFP(SAS).(2)∵⊥AFG≌△AFP，∴AP=AG，∠2=∠3.又∵∠2=∠1，∴∠1=∠2=∠3.又∵∠1+∠2+∠3=90°，∴3∠2=90°，∴∠2=30°，∠P AG=2∠2=60°，∴⊥APG 为等边三角形.18. 【答案】[解析](1)根据平行四边形的判定与性质得到四边形BECD为平行四边形，然后由SSS推出两三角形全等即可;(2)欲证明四边形BECD是矩形，只需推出BC=ED 即可.证明:(1)在▱ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，则BE∥CD.又∵BE=AB，∴BE=DC，∴四边形BECD是平行四边形，∴BD=EC.在⊥ABD与⊥BEC中，∴⊥ABD≌△BEC(SSS).(2)由(1)知四边形BECD是平行四边形，则OD=OE，OC=OB.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠BCD，即∠A=∠OCD.又∵∠BOD=2∠A ，∠BOD=∠OCD +∠ODC ，∴∠OCD=∠ODC ，∴OC=OD ，∴BC=ED ，∴平行四边形BECD 是矩形.19. 【答案】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=AD ，∠B=∠D ，∵BE=DF ，∴△ABE ≌△ADF ，∴AE=CF ．20. 【答案】(1)证明：⊥⊥ADE 是由⊥ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得， ∴AD ＝AB ，AE ＝AC ，∠BAC ＝⊥DAE ，(1分)∵AB ＝AC ，∴AD ＝AB ＝AE ＝AC ，∠EAC ＝⊥DAB ，在⊥AEC 和⊥ADB 中∵⎩⎨⎧AD ＝ AE ⊥EAC ＝⊥DAB AB ＝AC，∴△AEC ≌△ADB(SAS )．(3分)(2)解：当四边形ADFC 是菱形时，AC ＝DF ，AC ∥DF ， ∴∠BAC ＝⊥ABD ，又⊥⊥BAC ＝45°，∴∠ABD ＝45°，(5分)又⊥⊥ADE 是由⊥ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得， ∴AD ＝AB ，∴∠DAB ＝90°，(6分)又⊥AB ＝2，由勾股定理可得：BD ＝AD 2＋AB 2＝2AB ＝22，在菱形ADFC 中，DF ＝AD ＝AB ＝2，∴BF ＝BD －DF ＝22－2.(8分)21. 【答案】(1)解：⊥AC ＝2，OA ＝OB ＝OC ＝12AB ＝2，⊥AC ＝OA ＝OC ，⊥⊥ACO 为等边三角形，⊥⊥AOC ＝⊥ACO ＝⊥OAC ＝60°，⊥⊥APC ＝12⊥AOC ＝30°，又⊥DC 与⊥O 相切于点C ，⊥OC ⊥DC ，⊥⊥DCO ＝90°，⊥⊥ACD ＝⊥DCO －⊥ACO ＝90°－60°＝30°；解图(2)证明：如解图，连接PB ，OP ，⊥AB 为直径，⊥AOC ＝60°，⊥⊥COB ＝120°，当点P 移动到CB ︵的中点时，⊥COP ＝⊥POB ＝60°， ⊥⊥COP 和⊥BOP 都为等边三角形，⊥OC ＝CP ＝OB ＝PB ，⊥四边形OBPC 为菱形；(3)证明：⊥CP 与AB 都为⊥O 的直径，⊥⊥CAP ＝⊥ACB ＝90°，在Rt⊥ABC 与Rt⊥CP A 中，⎩⎨⎧AB ＝CPAC ＝AC ，⊥Rt⊥ABC ⊥Rt⊥CP A (HL)．。

2021年重庆市中考二轮复习数学第26题几何证明专练专题(三)

2021年重庆市中考二轮复习数学第26题几何证明专练专题（三）1.已知在平行四边形ABCD 中,过点D 作DE ⊥BC 于点E,且AD=DE,连接AC 交DE 于点F,作DG⊥AC 于点G(1)如图1,若DF EF =21,AF=13,求DG 的长 (2)如图2,作EM⊥AC 于点M,连接DM,求证:AM-EM=2DG,2.如图,∆ABC 是等边三角形,AC 上有点,分别以BD 为边作等边∆BDE 和等腰∆BDF,边BC 、DE 交于点H,点F 在BA 延长线上且DB=DF,连接CE,求证(1) ∆ABD=∆CBE:(2)BC= AF+CE.3.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,M为对角线BD延长线上一点,连接AM 和CM,E为CM上一点,且满足CB=CE,连接BE,交CD于点F.(1)若∠AMB=30°,且DM=3,求BE的长:(2)证明:AM=CF+DM.4.如图,在矩形ABCD中,点E为AD上一点,连接BE、CE,∠ABE=45°(1)如图1,若BE=32,BC=4,求EC的长.(2)如图2,点P是EC的中点,连接BP并延长交CD于F,H为AD上一点,接HF,且∠DHF=∠CBF,求证:BP=PF+FH.5.(1)如图1,四边形EFGH中,FE=EH,∠EF G+∠EHG=180°,点A,B分1∠FEH,别在边FG,GH上,且∠AEB=2(1)求证:AB=AF+BH(2)如图2,四边形EFGH中,FE=EH,点M在边E上连接FM,EN平分∠FEH交FM于点N,∠ENM=a,∠FGH=180°-2a,连接GN,HN①找出图中与NH相等的线段,并加以证明;②求∠NGH的度数(用含a的式子表示).6.如图,在平行四边形ABCD中,点E在对角线BD上,AB=AE,AF⊥BD于点F, ∠ADB=45°(1)若BC=122,AB=13,求BF的长(2)延长AF交BC于点G,延长AD到点H.使得DH=BG,连接EH,求证:AE=EH.7.如图,在菱形ABCD中,∠B=120o,E、F分别是边BC、CD上的点,且满足CE=CF.连接EF.(1)若CE=1,AB=3,求AF的长;(2)取AF的中点G,连接EG、DG,求证:EG⊥DG.8.如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相较于点O,以AD为边向外作等边∆MDE,连接CE,交BD于F(1)如图1,若AE=6,求DF的长;(2)如图2,点M为AB的延长线上一点,连接CM,连接FM且FM平分∠AMC.求证:CM=3MF-AM.9.如图,在平行四边形ABCD中,∠B=45°,过点C作CE⊥AD于点,连结AC,过点D作DF⊥AC于点F,交CE于点G,连结EF.(1)若DG=8,求对角线AC的长.(2)求证:AF+FG=2EF.10.如图, 平行四边形ABCD中,DF平分∠ADC交AC于点H,G为DH的中点(1)如图①,若M为AD的中点,AB⊥AC，AC=9,CF=8,CG=25,求GM.(2)如图②,M为线段AB上一点,连接MF,满足∠MCD=∠BCG,∠MFB=∠BAC,求证:MC=2CG.11.如图,平行四边形ABCD中,点O是对角线AC的中点,点M为BC上一点,连接AM,且AB=AM,点E为BM中点,AF⊥AB,连接EF,延长FO交AB于点N.(1)若BM=4,MC=3,AC=38,求AM的长度;(2)若∠ACB=∠AFE=45°,求证AN+AF=2 EF.12.平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，连接DE交对角线AC于点F，点G为DE一点，AH⊥DE于H，BC＝2AG且∠ACE＝∠GAC，点M为AD的中点，连接MF；若∠DFC＝75°．（1）求∠MFD的度数；（2）求证：GF+GH＝AH．13.在平行四边形ABCD中，AD=BD，E为AB的中点，F为CD上一点，连接EF交BD于G．（1）如图1，若DF=DG=2，AB=8，求EF的长；（2）如图2，∠ADB=90°，点P为平行四边形ABCD外部一点，且AP=AD，连接BP、DP、EP，DP交EF于点Q，若BP⊥DP，EF⊥EP，求证：DQ=PQ．14.如图,□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AC=BC.(1)如图1,过点B作BE⊥AC于点E,若AC=8,BE=5时,求OE的长度;(2)如图2,若∠BDC=45°,过点C作CF⊥CD交BD于点F,过点B作BG⊥BC且BG=BC,连接AG、DG,求证:AG=2OF.15.如图1,在矩形ABCD中,∠ABC的平分线交AD于点E,连接CE,(1)若BE=42,CE=17,求AD的长;(2)如图2,点F是BC上一点,且EF=EC.过点C作CG⊥EF于点G,交BE于点H,求证:BH=2DEBH的值,(3)如图3,在(2)的条件下,连接DG,当BE=BC时,请直接写出DG。

备战中考：数学菱形专项突破训练讲义

备战中考：数学菱形专项突破训练讲义考点一：菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.如图,在□ABCD中,若AB=AD那么□ABCD就是菱形。

考点二：菱形的性质(1)菱形的四条边都相等(2)菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角考点三：菱形的判定(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形 (用定义判定)几何语言: 如图1，∵四边形ABCD是平行四边形,AB=AD,∴□ABCD是菱形。

(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形几何语言:如图2, ∵四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD, ∴□ABCD是菱形。

(3) 四条边都相等的四边形是菱形几何语言:如图2，∵AB=BC=CD=AD, ∴四边形ABCD是菱形。

题型一：菱形的性质求角度1．（2021·陕西临潼·八年级期末）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CFD等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°⊥于点E，2．（2021·吉林南关·八年级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE AB∠的大小为（）若110∠=︒，则AOEADCA．20°B．35°C．55°D．70°3．（2021·山东沂水·八年级期末）如图所示，在菱形ABCD中，AC，BD相交于O，∠ABC＝50°，E是线段AO上一点则∠BEC的度数可能是（）A．95°B．75°C．55°D．35°题型二：菱形的性质求线段4．（2021·重庆·八年级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点P是对角线BD上一点，过点P分别作PE∠AB，PF∠AD，垂足分别是点E、F，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则PE+PF的长为（）A B ．3 C ．125 D ．2455．（2021·广东·深圳中学八年级期中）如图，矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝4．点G ，E 分别在边AB ，CD 上，点F ，H 在对角线AC 上．若四边形EFGH 是菱形，则AG 的长是（）A ．2BC ．52 D6．（2021·山西·八年级期末）如图，在菱形ABCD 中，4AB =，60DAB ∠=︒，点E 是对角线AC 上一个动点（不与A ，C 重合），点F 是边AB 上一个动点，连接,EF EB ，则EB EF +的最小值为（）A ．2B ．C ．4D ．题型三：菱形的性质求面积7．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，6AC =，8BD =，EF 为过点O 的一条直线，则图中阴影部分的面积为（）A ．4B ．6C ．8D ．128．（2021·山东济宁·八年级期末）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝4，∠BAD ＝120°，∠AEF 为等边三角形，点E ，F 分别在菱形的边BC ，CD 上滑动，且E ，F 不与B ，C ，D 重合，则四边形AECF 的面积是（）A ．B ．4C ．3D ．9．（2021·吉林双阳·八年级期末）如图，四边形ABCD 为菱形，对角线AC ＝6，BD ＝8，且AE 垂直于CD ，垂足为点E ，则AE 的长度为（）A ．485B ．245C ．185D ．125题型四：菱形的判定10．（2021·河北·平泉市教育局教研室八年级期末）如图，下列条件：①AC BD =；②AC BD ⊥；③AB BC =；④BAC DAC ∠=∠，其中不能．．使平行四边形ABCD 是菱形的是（）A．①B．②C．③D．④11．（2021·河南偃师·八年级期末）如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，OB＝OD．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是（）A．AC∠BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠BAC＝∠DAC12．（2021·全国·八年级课时练习）下列命题中，正确的是（）A．两邻边相等的四边形是菱形B．有三条边相等的平行四边形是菱形C．一条对角线被另一条对角线垂直平分的四边形是菱形D．对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形题型五：菱形的性质和判定的综合问题13．（2022·吉林·长春外国语学校八年级期末）如图，在ABCD中，AD＞AB，∠ABC的平分线交AD于点F，EF∥AB交BC于点E．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB=5，AE=6，ABCD的面积为36，求DF的长．14．（2021·北京师范大学附属实验中学分校八年级期中）在ABCD中，AE平分∠BAD，O为AE的中点，连接BO并延长，交AD于点F，连接EF，OC．(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)若点E为BC的中点，且BC＝8，∠ABC＝60°，求OC的长．15．（2022·全国·八年级）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BD=12cm ，AC=6cm ，点E在线段BO上从点B以1cm/s的速度向点O运动，点F在线段OD上从点O以2cm /s的速度向点D运动．（1）若点E、F同时运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，四边形AECF是平行四边形．（2）在（1）的条件下，当AB为何值时， AECF是菱形；（3）求（2）中菱形AECF的面积．一、单选题16．（2021·北京丰台·八年级期末）在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果AC＝6，BD＝8，那么菱形ABCD的面积是（）A．6B．12C．24D．4817．（2022·全国·八年级）如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD交于点O，E为AD的中点，若OE=3.5，则菱形ABCD的周长等于（）A．14B．28C．7D．3518．（2021·四川邛崃·八年级期末）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点M是DC的中点．若菱形ABCD 的周长为24，则OM 的长为（）A ．12B ．8C ．6D ．319．（2021·黑龙江林口·八年级期末）如图，O 是菱形ABCD 的对角线,AC BD 的交点，E ，F 分别是,OA OC 的中点给出下列结论：①三角形AED 的面积等于三角形DOE 的面积；②四边形BFDE 也是菱形；③四边形ABCD 的面积大小等于EF BD ⋅；④ADE EDO ∠=∠；⑤DEF ∆是轴对称图形．其中正确的结论是（）A ．①②③⑤B ．②③⑤C ．①②③④⑤D ．②③④⑤20．（2021·安徽黄山·八年级期末）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，延长CB 至E 使BE ＝CD ，连接AE ，下列结论①AE ＝2OD ；②∠EAC ＝90°；③四边形ADBE 为菱形；④S 四边形AEBO ＝34S 菱形ABCD 中，正确的结论个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个21．（2021·山东·曹县教学研究室八年级期末）如图，在菱形ABCD 中，100ABC ∠=︒，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 的直线交AD 于点M ，交BC 于点N ，下列结论：（1）40ACD ∠=︒；（2）OM ON =；（3）AM BN AB +=．其中正确结论的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个22．（2021·福建·莆田擢英中学八年级期中）如图，菱形ABCD周长为16，∠ADC＝120°，E是AB的中点，P 是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是（）A．B．4C．D．223．（2021·河南·淮阳第一高级中学八年级期末）王老师把两张长为9，宽为3的矩形纸条按如图所示的形状交叉叠放在一起，根据所学的知识，我们可以判定重合部分构成的四边形ABCD是菱形．则随着纸条的转动，菱形ABCD的面积的最大值与最小值的和为（）A．22B．24C．26D．2824．（2021·广东·珠海市紫荆中学八年级期中）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD＝120°；②BG＋DG＝CG；③∠BDF∠∠CGB；④S菱形ABCD＝AB2；⑤2DE；⑥BF＝BC，正确结论的有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．4一：选择题25．（2021·河北·辛集市教学科研所八年级期末）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线分别与AD ，AC ，BC 相交于点E ，O ，F ．下列结论正确的个数有（）①四边形AFCE 为菱形； ②ABF ∠CDE ；③当F 为BC 中点时，∠ACD ＝90°．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个26．（2021·山东招远·八年级期中）如图，是一张平行四边形纸片ABCD ，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：对于甲、乙两人的作法，可判断（）A ．甲正确，乙错误B ．甲错误，乙正确C ．甲、乙均正确D ．甲、乙均错误27．（2021·山东蓬莱·八年级期中）如下图，在菱形ABCD 中，5AB =，6AC =，过点D 作DE BA ⊥，交BA 的延长线于点E ，则线段DE 的长为（）A ．485B ．245C ．125D ．428．（2021·湖南宁乡·八年级期末）将2021个形状、大小均相同的菱形按照如图所示的方式排成一列，使得右侧菱形的顶点与左侧菱形的对角线交点重合，若这些菱形的边长均为2，则阴影部分的周长总和等于（）A ．4042B ．8076C ．8080D ．808429．（2021·安徽长丰·八年级期末）如图，在面积为S 的菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F ，G 分别是BC ，OB ，OC 的中点，则四边形EFOG 的面积为（）A ．14SB ．18SC ．112SD ．116S30．（2021·湖北汉川·八年级期中）如图，在边长为ABCD 中，点F 为边AD 的中点，BF 与对角线AC 交于点G ，过点G 作GE AB ⊥于点E ，且12∠=∠．则以下结论：①BF AD ⊥；②60BAD ∠=；③2CG AG =；④ADC S △是AGB S △⑤若H 为AC 上一动点，连接DH ，FH ，则DH FH +的最小值为3，其中结论正确的为（）A ．①③⑤B ．②③④C ．①②④⑤D ．①②③⑤二、填空题 31．（2021·全国·八年级期中）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为DC 的中点，若2OE =，则菱形的周长为__________．32．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，E 为AB 边的中点，P 为对角线BD 上任意一点，4AB =，则PE PA +的最小值为__________．33．（2021·全国·八年级期中）如图，在菱形ABCD 中，点M 、N 分别交于AB 、CD 上，AM =CN ，MN 与AC 交于点O ，连接BO ．若∠OBC =62°，则∠DAC 为____°．34．（2021·辽宁大洼·八年级期中）如图，在菱形ABCD 中，AB ∠y 轴，且B （-3，1），C （1，4），则点A 的坐标为________．35．（2021·安徽巢湖·八年级期末）数学兴趣小组根据赵爽弦图启发设计了如图图形：其中四边形ABCD 为菱形，∠ADH 、∠CBF 、∠AEB 、∠CGD 均为直角三角形．若AH ，DH ＝1，CG ＝2，则EF 的长为____．36．（2021·云南昆明·八年级期末）如图，某小区要在一块矩形ABCD 的空地上建造一个如图所示的四边形花园EFGH ，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若10AB =m ，20AD =m ，则四边形EFGH 的面积为______m 2．37．（2021·河北沧县·八年级期末）如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，过点B 作BF AC ⊥交CD 于点F ，交AC 于点M ，过点D 作//DE BF 交AB 于点E ，交AC 于点N ，连接FN ，EM ．①若5DN ，则BM =______；②若15∠=︒EMN ，则∠=NFB ______；③当BAC ∠=______时，四边形DEBF 是萎形．三、解答题38．（2021·北京丰台·八年级期末）如图，在∠ABC 中，∠ACB ＝90°，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，BC ＝BD ，点F 在ED 的延长线上，且BF //CD ．(1)求证：四边形CBFD 为菱形；(2)连接CF ，与BD 相交于点O ，若CF ＝AC 的长．39．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD 中，BE ∠AD ，BF ∠CD ，垂足分别为E ，F ，且AE ＝CF ．(1)求证：平行四边形ABCD 是菱形；(2)若DB ＝10，AB ＝13，求平行四边形ABCD 的面积．40．（2021·北京市景山学校通州校区八年级期中）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝AD ，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分∠BAD ，过点C 作CE ∠AB 交AB 的延长线于点E ，连接OE ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若AB BD ＝2，求OE 的长．41．（2022·全国·八年级）如图，已知矩形ABCD，连接AC，EF垂直平分AC于点O，分别交AD、BC于点E、点F，连接F A、CE．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若∠CEF与∠CED的面积比为3：1，且AB＝4，求四边形AECF的面积．42．（2021·浙江下城·八年级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，点E在线段OB上（不与点B，点O重合），点F在线段OD上，且DF＝BE，连接AE，AF，CE，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AC＝4，BD＝8，当BE＝3时，判断∠ADE的形状，说明理由．43．（2021·全国·八年级专题练习）在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，动点M以每秒1个单位的速度从点A 出发运动到点B，点N以相同的速度从点B出发运动到点C，两点同时出发，过点M作MP∠AB交直线CD 于点P，连接NM、NP，设运动时间为t秒．（1）当t=2时，∠NMP=________度；（2）求t为何值时，以A、M、C、P为顶点的四边形是平行四边形；（3）当∠NPC为直角三角形时，求此时t的值．44．（2021·重庆市江津第五中学校八年级期中）如图1，四边形ABCD是菱形，AD=10，过点D作AB的垂线DH，垂足为H，交对角线AC于M，连接BM，且AH=6．（1）如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，用t的代数式表示S；（2）在（1）的条件下，当点P在边AB上运动时是否存在这样的t值，使∠MPB与∠BCD互为余角，若存在，则求出t值，若不存，在请说明理由．【解析】【分析】连接BF，根据菱形的性质得出△ADF∠∠ABF，从而得到∠ABF=∠ADF，然后结合垂直平分线的性质推出∠ABF=∠BAC，即可得出结论．【详解】解：如图，连接BF，∠四边形ABCD是菱形，∠BAD=80°，∠AD=AB，∠DAC=∠BAC=1∠BAD=40°，2在△ADF和△ABF中，AD AB DAF BAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ADF ∠∠ABF （SAS ），∠∠ABF =∠ADF ，∠AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，E 为垂足，∠AF =BF ，∠∠ABF =∠BAC =40°，∠∠DAF =∠ADF =40°，∠∠CFD =∠ADF +∠DAF =80°．故选：D ．【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质以及三角形的外角定理等，理解图形的基本性质是解题关键．2．C【解析】【分析】由菱形的性质得AC ∠BD ，∠ABC ＝∠ADC ＝110°，∠ABO ＝12∠ABC ＝55°，再由直角三角形的性质求出∠BOE ＝35°，即可求解．【详解】解：∠四边形ABCD 是菱形，∠AC ∠BD ，∠ABC ＝∠ADC ＝110°，∠∠ABO ＝12∠ABC ＝55°，∠OE ∠AB ，∠∠OEB ＝90°，∠∠BOE＝90°−55°＝35°，∠∠AOE＝90°−35°＝55°，故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形典型在，求出∠ABO＝55°是解题的关键．3．B【解析】【分析】由菱形的性质，得∠AOB=90°，∠ABO=1=252∠ABC，从而得：∠BAO=65°，进而可得：65°＜BEC∠＜90°，即可得到答案．【详解】解：∠在菱形ABCD中，∠AC BD⊥，即：∠AOB=90°，∠BEC∠＜90°，∠50ABC∠=，∠∠ABO=1150=25 22ABC∠=⨯，∠∠BAO=65°，∠BEC∠=∠BAO+∠ABE，∠BEC∠＞55°，即：55°＜BEC∠＜90°．故选B．【点睛】本题主要考查菱形的性质定理以及三角形内角和定理与外角的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．4．D【解析】【分析】根据菱形的面积以及OA的长，求得OB的长，勾股定理求得边长AB，进而根据菱形的面积等于()AB PE PF⨯+，即可求得答案．【详解】解：∠四边形ABCD 是菱形 ∠11,,22AO AC OB BD AO OD ==⊥，AB AD = OA ＝4，S 菱形ABCD ＝24，1242AC BD ∴⨯= 即122242OA OB ⨯⨯⨯⨯= 3OB ∴=Rt AOB 中，5AB ==连接PAPE ∠AB ，PF ∠AD ，∴22()ABD ABP APD ABCD S S S S ==+△△△菱形11222AB PE AD PF ⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯ ⎪⎝⎭()AB PE PF =⨯+S菱形ABCD ＝24，5AB =245PE PF ∴+=故选D【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．5．C【解析】【分析】首先连接EG 交AC 于O ，由矩形ABCD 中，四边形EEFGH 是菱形，易证得∠CEO ∠∠AOG （AAS ），即可得OA ＝OC ，然后由勾股定理求得AC 的长，继而求得OA 的长，又由∠AOG ∠∠ABC ，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【详解】解：连接GE 交AC 于C 于O ，∠四边形EFGH 是菱形，∠GE ∠AC ，OG ＝OE ，∠四边形ABCD 是矩形，∠∠B ＝∠D ＝90°，AB //CD ，∠∠ACD ＝∠CAB ，在∠CEO 与∠AOG 中，FCO OAB EOC AOG OE OG ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∠∠CEO ∠∠AOG （AAS ），∠AO ＝CO ，∠AC=∠AO ＝12AC∠∠CAB ＝∠CAB ，∠AOG ＝∠B ＝90°，∠∠AOG ∠∠ABC ， ∠AO AG AB AC =，=∠AG ＝52．故选：C ．【点睛】此题考查了菱形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．6．B【解析】【分析】在菱形ABCD 中，点B 关于AB 对称点为点D ，过点D 作AB 的垂线交于点F ，交AC 于点E ，这时EB EF +最小为DF ，根据三角函数得，sin60DF AD =⋅︒即可算出答案．【详解】如图所示，连接DE ，DFABCD 是菱形，CD CB ∴=，DCA BCE ∠=∠，CE CE =，()CDE CBE SAS ∴≅，BE DE ∴=，EB EF DE EF DF ∴+=+≤，当DF AB ⊥时，DF 最小，这时30,ADF ∠=︒::2,AF DF AD ∴=∴ 4DF AD ===EB EF ∴+≤即EB EF +的最小值为故选：B ．【点睛】本题考查菱形的性质和轴对称最短路线问题，解题关键是得到EB EF +的最小值为菱形ABCD 中AB 边上的高．7．B【解析】【分析】根据菱形的性质可证出ΔΔCFO AEO ≅，可将阴影部分面积转化为BOC ∆的面积，根据菱形的面积公式计算即可．【详解】解：四边形ADCB 为菱形，OC OA ∴=，//AB CD ，FCO OAE ∠=∠，FOC AOE ∠=∠，()CFO AEO ASA ≅,∠CFO AOE SS =, ∠CFO BOF BOC SS S +=, ∠1111··6864242BOC S AC BD =⨯=⨯⨯⨯= 故选：B ．【点睛】此题考查了菱形的性质，菱形的面积公式，全等三角形的判定，将阴影部分的面积转化为BOC ∆的面积为解题关键．8．A【解析】【分析】证∠ABE ∠∠ACF （ASA ），得S △ABE ＝S △ACF ，再由S 四边形AECF ＝S △AEC +S △ACF ＝S △AEC +S △ABE ＝S △ABC 即可求解．【详解】解：连接AC ，如图所示，∠四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝120°，∠∠BAC ＝∠DAC ＝60°，BC ＝AB ＝4，∠∠1+∠EAC ＝60°，∠3+∠EAC ＝60°，∠∠1＝∠3，∠∠BAD ＝120°，BC ∠AD ，∠∠ABC ＝∠BAC ＝∠ACB ＝60°，∠∠ABC 、∠ACD 为等边三角形，∠∠4＝60°，AC ＝AB ，在∠ABE 和∠ACF 中，134AB AC ABC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∠∠ABE ∠∠ACF （ASA ）．∠S △ABE ＝S △ACF ，故S 四边形AECF ＝S △AEC +S △ACF ＝S △AEC +S △ABE ＝S △ABC ，是定值，过A 作AH ∠BC 于H ，则BH ＝12BC ＝2，∠AH=S 四边形AECF ＝S △ABC ＝12BC •AH ＝12故选：A ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质和全等三角形的综合应用，结合勾股定理计算是解题的关键．9．B【解析】【分析】根据菱形的性质得出CO 、DO 的长，在Rt △COD 中求出CD ，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于CD ×AE ，可得出AE 的长度．【详解】解：如图，∠四边形ABCD 是菱形，114,3,,22DO BD CO AC AC BD ∴====⊥5CD ∴==116824.22ABCD S AC BD ∴=⋅=⨯⨯= ABCD S CD AE =⨯∠CD ×AE =24，∠AE =245．故选：B ．【点睛】此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．10．A【解析】【分析】菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．据此判断即可．【详解】解：①AC BD =，对角线相等的平行四边形是矩形，故①符合题意；②AC BD ⊥，对角线垂直的平行四边形是菱形，故②不符合题意；③AB BC =，邻边相等的平行四边形是菱形，故③不符合题意；∠=∠，④BAC DACBC AB,∠//∠BCA DAC∠=∠,∠=∠，∠BAC BCA=,邻边相等的平行四边形是菱形，故④不符合题意；∠AB BC故选：A．【点睛】本题考查了菱形的判定与矩形的判定定理，难度不大，注意掌握菱形的判定定理是解本题的关键．11．C【解析】【分析】根据菱形的定义及其判定对各选项逐一判断即可得．【详解】解：∠四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，∠四边形ABCD是平行四边形，∠AD∠BC，当AB=BC或AC∠BD时，均可判定四边形ABCD是菱形；当AC=BD时，可判定四边形ABCD是矩形；当∠BAC=∠DAC时，由AD∠BC得：∠DAC=∠ACB，∠∠BAC=∠ACB，∠AB=BC，∠四边形ABCD是菱形；故选：C．【点睛】本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和各判定及矩形的判定．12．B【解析】【分析】根据菱形的判定及定义即可完成．【详解】A、两邻边相等的平行四边形的菱形，故此选项错误；B、有三条边相等，则有一组邻边相等，根据有一组两邻边相等的平行四边形是菱形这个定义知，此选项正确；C、对角线相互垂直平分的四边形是菱形，故此选项错误；D、对角线相互平分且一组邻边相等的四边形是菱形，但对角线垂直且一组邻边相等的四边形不一定是菱形，故此选项错误；故选：B．【点睛】本题考查了菱形的定义与判定，掌握菱形的定义与判定是解题的关键．13．（1）见解析；（2）2.5．【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和角平分线的性质说明∠ABF=∠AFB、可得AB=AF，同理可得AB=AF，再由AF∠BE 可得四边形ABEF是菱形；（2）过A作AH∠BE垂足为E，根据菱形的性质可得AO=EO、BO=FO，AF=EF=AB=5，AE∠BF，利用勾股定理可得AO的长，进而可得AE长，利用菱形的面积公式计算出AH的长，然后根据ABCD的面积公式求出AD,最后根据线段的和差即可解答．【详解】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，∠AD//BC，即AF//BE∠∠FBE=∠AFB，∠∠ABC的平分线交AD于点F，∠∠ABF=∠EBF，∠∠ABF=∠AFB，∠AB=AF，又∠AB//EF，AF//BE∠四边形ABEF是平行四边形，∠AB=AF，∠四边形ABEF是菱形；（2）如图：过A作AH∠BE垂足为H，∠四边形ABCD是菱形，∠AO=EO，BO=FO，AF=AB=5，AE∠BF，∠AE=6，∠AO=3，∠BO4=∠BF=8，∠S菱形ABEF=12AE·BF=12×8×6=24，∠BE·AH=24，∠AH=24 5;∠S平行四边形ABCD=BC·AH=36，∠BC=15 2∠平行四边形ABCD∠AD=BC=15 2∠FD=AD-AF=152-5=2.5．．【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质以及面积的问题，灵活利用菱形的判定与性质、平行四边形的性质成为解答本题的关键．14．(1)见解析；(2)【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD BC∥，证明∠AOF∠∠BOE，推出AF=BE，证得四边形ABEF是平行四边形，由AE平分∠BAD，推出AB=BE，由此得到结论；（2）过点O作OG∠BC于G，由C的中点，求出BE，根据菱形的性质得到OE=2，∠OEB=60°，求出GE=1，勾股定理求出OG得到GC，再利用勾股定理求出答案．(1)∥，证明：在ABCD中，AD BC∠∠F AO=∠BEO，∠O为AE的中点，∠AO=EO，∠∠AOF=∠BOE，∠∠AOF∠∠BOE，∠AF=BE，∠四边形ABEF是平行四边形，∠AE平分∠BAD，∠∠BAE=∠F AE，∠∠BAE=∠AEB，∠AB=BE，∠四边形ABEF是菱形；(2)解：过点O作OG∠BC于G，∠点E为BC的中点，且BC＝8，∠BE=CE=4，∠四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，∠∠OBE=30°，∠BOE=90°，∠OE=2，∠OEB=60°，∠GE=1，OG=∠GC=5，∠OC．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，菱形的判定及性质，直角三角形30度角的性质，解题的关键是熟练掌握各知识点并熟练应用．15．（1）t ＝2s ；（2）AB =（3）24【解析】【分析】（1）若是平行四边形，所以BD =12cm ，则BO =DO =6cm ，故有6-t=2t ，即可求得t 值；（2）若是菱形，则AC 垂直于BD ，即有222AO BO AB +=，故AB 可求；（3）根据四边形AECF 是菱形，求得BO AC OE OF ⊥=，，根据平行四边形的性质得到BO =OD ，求得BE =DF ，列方程到底BE =DF =2，求得EF =8，于是得到结论．【详解】解：（1）∠四边形ABCD 为平行四边形，∠AO ＝OC ，EO ＝OF ，∠BO ＝OD ＝6cm ，∠62EO t OF t -＝，＝，∠62t t -＝，∠2t s ＝，∠当t 为2秒时，四边形AECF 是平行四边形；（2）若四边形AECF 是菱形，则AC BD ⊥，222AO BO AB ∴＋＝，B A =∠当AB 为AECF 是菱形；（3）由（1）（2）可知当t ＝2s ，AB =AECF 是菱形，∠EO ＝6−t =4，∠菱形AECF 的面积＝11682422AC EF ⋅=⨯⨯=．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质和菱形的判定和性质，勾股定理，菱形的面积的计算．16．C【解析】【分析】利用菱形的面积公式即可求解．【详解】解：菱形ABCD 的面积＝2AC BD ⨯＝682⨯＝24，故选：C ．【点睛】本题考查菱形的面积公式，菱形的面积等于对角线乘积的一半．17．B【解析】【分析】利用菱形的性质和直角三角形斜边上的中线性质求出AD =8，即可得出结果．【详解】解：∠四边形ABCD 是菱形，∠AB =BC =CD =AD ，AC ∠BD ，∠E 为AD 边中点，∠OE 是R t∠AOD 的斜边中线，∠AD =2OE =7，∠菱形ABCD 的周长=4×7=28；故选B ．【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质，熟记直角三角形斜边上的中线性质是解题关键．18．D【分析】根据菱形的性质可得CO ∠DO ，从而可判断OM 是Rt DOC 斜边的中线，继而可得出OM 的长度．【详解】解：∠四边形ABCD 是菱形，∠AB BC CD DA ===，AC∠BD ，∠菱形ABCD 的周长为24，∠6CD =，又∠点M 是CD 中点， ∠116322OM CD ==⨯=，故选：D ．【点睛】本题考查了菱形的性质及直角三角形斜边的中线定理，熟练掌握菱形四边相等、对角线互相垂直且平分的性质是解题关键．19．A【解析】【分析】根据E 、F 分别是OA 、OC 的中点，可得AE OE =，利用三角形的面积公式可判断①；根据四边形ABCD 是菱形，E ，F 分别是OA ，OC 的中点，得EF OD ⊥，OE OF =，利用OD OD =，可得DE DF =，同理可得BE BF =，可以判断②；根据菱形ABCD 的面积12AC BD =⨯，E 、F 分别是OA 、OC 的中点，得到12EF AC =，可知菱形ABCD 的面积EF BD =⨯，可判断③；由已知可求得FDO EDO ∠=∠，而无法求得ADE EDO ∠=∠，可判断④；根据EF OD ⊥，OE OF =，OD OD =，可证得()DEO DFO SAS ∆≅∆，可判断⑤．【详解】解：E 、F 分别是OA 、OC 的中点，AE OE ∴=，1122ADE EOD S AE OD OE OD S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=， ADE EOD S S ∆∆∴=，故①正确，四边形ABCD 是菱形，E ，F 分别是OA ，OC 的中点，EF OD ∴⊥，OE OF =，OD OD =，DE DF ∴=，同理：BE BF =，∴四边形BFDE 是菱形，故②正确，菱形ABCD 的面积12AC BD =⨯， E 、F 分别是OA 、OC 的中点，12EF AC ∴=， ∴菱形ABCD 的面积EF BD =⨯，故③正确，由已知可求得FDO EDO ∠=∠，而无法求得ADE EDO ∠=∠，故④不正确，EF OD ⊥，OE OF =，OD OD =，()DEO DFO SAS ∴∆≅∆，DEF ∴∆是轴对称图形，故⑤正确，∴正确的结论有四个，分别是①②③⑤，故选：A ．【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键．20．C【解析】【分析】先判定四边形ADBE 是平行四边形，再根据平行四边形的性质以及菱形的性质，即可得出结论．【详解】解：∠四边形ABCD 是菱形，∠AD ＝BC=CD ，AD ∠BC ，BD ＝2DO ，又∠BE=CD，∠AD＝BE，∠四边形AEBD是平行四边形，但不一定是菱形，故③错误，∠AE＝BD，∠AE＝2DO，故①正确；∠四边形AEBD是平行四边形，四边形ABCD是菱形，∠AE∠BD，AC∠BD，∠AE∠AC，即∠CAE＝90°，故②正确；∠四边形AEBD是平行四边形，∠S△ABE＝S△ABD＝12S菱形ABCD，∠四边形ABCD是菱形，∠S△ABO＝14S菱形ABCD，∠S四边形AEBO＝S△ABE＋S△ABO＝34S菱形ABCD，故④正确；故选：C．【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及平行四边形的判定与性质，解题时注意：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．21．D【解析】【分析】由菱形的性质可得AO＝CO，AD∥BC，AB＝BC＝AD，∠ACD12=∠BCD＝40°，由“ASA”可得△AOM≌△CON，可得OM＝ON，AM＝CN，可得AM+BN＝AB，即可求解．【详解】解：在菱形ABCD中，∠ABC＝100°，∴∠BCD＝80°，AO＝CO，AD∥BC，AB＝BC＝AD，∠ACD12=∠BCD＝40°，故（1）正确；∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，在△AOM 和△CON 中，DAC CON AO COAOM CON ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AOM ≌△CON （ASA ），∴OM ＝ON ，AM ＝CN ，∴AM +BN ＝BN +CN ＝BC ＝AB ，故（2），（3）正确，故选：D ．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是解题的关键．22．A【解析】【分析】连接BD ，根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BDA =12∠ADC =60°，然后判断出∠ABD 是等边三角形，连接DE ，根据轴对称确定最短路线问题，DE 与AC 的交点即为所求的点P ，PE +PB 的最小值=DE ，然后根据等边三角形的性质求出DE 即可得解．【详解】解：如图，连接BD ，∠四边形ABCD 是菱形，∠∠BDA =12∠ADC =12×120°=60°，∠AB =AD （菱形的邻边相等），∠∠ABD 是等边三角形，连接DE ，∠B 、D 关于对角线AC 对称，∠DE 与AC 的交点即为所求的点P ，PE +PB 的最小值=DE ，∠E 是AB 的中点，∠DE ∠AB ，∠菱形ABCD 周长为16，∠AD =16÷4=4，122AE AD ∴==DE ∴即PE PB +的最小值是故答案选A ．【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质与最短路线的确定方法找出点P 的位置是解题的关键．23．B【解析】【分析】过点A 分别作AE ∠CD 于点E ，AF ∠BC 于点F ，可证得四边形ABCD 是菱形，可得到当AD ∠CD ，即AD 与AE 重合时，菱形ABCD 的面积最小，当旋转至C 、D 两点与矩形纸片的两个顶点重合时，菱形ABCD 的面积最大，分别求出最大面积和最小面积，即可求解．【详解】解：如图，过点A 分别作AE ∠CD 于点E ，AF ∠BC 于点F ，则∠AED =∠AFB =90°，∠AB ∠CD ，AD ∠BC ，∠四边形ABCD 是平行四边形，∠∠ADE =∠ABF ，∠ADE ABF ≅ ，∠AD=AB，∠四边形ABCD是菱形，∠AB=BC=CD=AD，S菱形ABCD=AE×CD=3CD，∠当AD∠CD，即AD与AE重合时，菱形ABCD的面积最小，则CD=AD=3，∠菱形ABCD的最小面积为9，如图，当旋转至C、D两点与矩形纸片的两个顶点重合时，菱形ABCD的面积最大，设AD=AB=x，则AM=9-x，△中，DM=3，由勾股定理得：在Rt ADM()222+-=，39x xx=，解得：5∠AD=5，∠菱形ABCD面积的最大值为：3AD=15，∠菱形ABCD的面积的最大值与最小值的和为9+15=24．故选：B．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，还考查了矩形的性质，勾股定理，方程思想，动态条件下的面积最值问题，将面积的最值问题转化成线段AD的最值问题，是解决本题的关键．24．C【解析】【分析】由菱形的性质及等边三角形的性质就可以得出∠GDB=∠GBD=30°，得出∠GDC=∠GBC=90°，DG=BG，由四边形的内角和为360°就可以求出∠BGD的值，由直角三角形的性质就可以得出CG=2GD就可以得出BG+DG=CG，在Rt∠GBC中，CG＞BC=BD，故∠BDF与∠CGB不全等，由三角形的面积关系可判断④，结合④和菱形的性质进而得出结论．【详解】解：∠四边形ABCD 是菱形，∠AB =BC =CD =AD ．∠A =∠BCD ．∠∠A =60°，∠∠BCD =60°，∠∠ABD 是等边三角形，∠BDC 是等边三角形．∠∠ADB =∠ABD =60°，∠CDB =∠CBD =60°．∠E ，F 分别是AB ，AD 的中点，∠∠BFD =∠DEB =90°，∠∠GDB =∠GBD =30°，∠∠GDC =∠GBC =90°，DG =BG ，∠∠BGD =360°-90°-90°-60°=120°，故①正确；在∠CDG 和∠CBG 中，CD CB DG BG CG CG ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝， ∠∠CDG ∠∠CBG （SSS ），∠∠DGC =∠BGC =60°．∠∠GCD =30°，∠CG =2GD =GD +GD ，∠CG =DG +BG ．故②正确．∠∠GBC 为直角三角形，∠CG ＞BC ，∠CG ≠BD ，∠∠BDF 与∠CGB 不全等．故③错误；∠S 菱形ABCD =2S △ADB = 2×12AB •DE=AB•）=AB2，故④错误；∠,==，DE AB∠2DE，故⑤正确；∠BD＞BF，BD=BC，∠BC＞BF，故⑥错误．∠正确的有：①②⑤共三个．故选：C．【点睛】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质，综合的知识点较多，注意各知识点的融会贯通．25．D【解析】【分析】由平行四边形的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质分别对各个结论进行判断即可．【详解】解：∠四边形ABCD为平行四边形，∠AD//BC，AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D，AB//CD，∠∠EAC＝∠FCA，∠EF垂直平分AC，∠OA＝OC，EA＝EC，∠∠EAC＝∠ECA，∠∠FCA＝∠ECA，在∠AOE和∠COF中，EAO FCO OA OCAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠∠AOE ∠∠COF （ASA ），∠OE ＝OF ，∠四边形AFCE 为平行四边形，∠EF 垂直平分AC ，∠平行四边形AFCE 是菱形，①正确；∠AE ＝CF ，∠BF ＝DE ，在∠ABF 和∠CDE 中，AB CD B D BF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABF ∠∠CDE （SAS ），②正确；∠四边形AFCE 是菱形，∠AF ＝CF ，∠∠F AC ＝∠FCA ，∠F 为BC 的中点，∠BF ＝CF ，∠AF ＝BF ，∠、BAF、、B ，∠、BCA+、B =90°，∠∠BAC ＝90°，∠AB //CD ，∠∠ACD ＝∠BAC ＝90°，③正确；正确的个数有3个，故选：D ．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质。