企业收益与风险概述

收益与风险 9.1 收益率

• 收益 = 股利收入+资本利得(资本损失)，它是一个随机变量 • 收益率(%) r t+1 =

期初价值

期末价值－期初价值

=t t t t t P P P P D -+=++11期初市场价值总收益

= 股利收益率% + 资本利得收益率% 单期收益率：t

t

t t t P D P P r +-=

-)(1

单期收益：1

-=

t t

t P P R 多期收益率：1)(-==-=

----k

t t k t t k t k t t t P P

P P P P P k r

多期收益：k

t k t t t t t k t t t P P

P P P P P P k R -------•==

1211)(Λ ))1(1())1(1))(1(1()(11k t t t t r r r k r --+++=+Λ 多期收益是单期收益的乘积

对数收益：),(ln ~

1

+∞-∞∈=-t t

t P P r t t t t t r r P P

r ≈+==-)1ln(ln ~

1

多期对数收益：)1(~)1(~)1(~ln )(~

1k t t t k

t t

t r r r P P k r ---++==Λ 长期收益一般研究对数收益，短期收益一般研究算术收益。

• 持有期收益率 = (1 + r 1)(1 + r 2) …(1+ r T ) -1

它是在T 时期内的总收益率

• 期望收益率=收益率的均值

9.2 期望效用原理

一 一般的效用函数

二次效用函数 (3.6) 对数效用函数 (3.7) 幂函数 (3.8) 负指数函数 (3.9) 二 均值方差准则的效用函数基础 期望效用原理：

收益率是r.v.（随机变量）

采用量化指标，期望收益率，方差（标准差）——风险 假设：

⑴不满足性：在两个收益率中选择期望收益较高的投资 ⑵风险厌恶：如果两个期望收益率相同，则选方差较小的投资。 定义：集合S 是N 种证券所组成的投资组合， 证券组合：

(){

}种证券上的投资比例是在i x x x x P i i N ,1,1∑==Λ ， 称S 为机会集合。

预算约束：

N

N N

x x W

y W y y y W ΛΛΛ+=++=++=∆1111 2

W W U β-=W

U ln =β

βW U )sgn(=)

exp(W U β--=

给定S.设对S 中的任何两个证券X 和Y ，都可以进行比较，结果一定是运行三种结果之一： ⑴X 比Y 好，记为Y X φ. ⑵Y 比X 好，记为X Y φ. ⑶X 和Y 无差异，记为Y X ~.

则这个比较结果给出了S 上的偏好关系。

假设偏好关系具有传递性，即Z X Z Y Y X φφφ⇒,,在给定的偏好关系下，所有与X 差异证券构成的集合称为证券X 的无差异集，当无差异集是一条曲线，称为无差异曲线。 定义两个财产博弈（Game ）：G(a,b ；p),即它是一个以概率p 获得财产a,以概率1－p 获得财产b ，则称F(G(a ，b ；p))＝pa ＋（1－p ）b 为G 的期望值，如果博弈G （a ，b ；p ）使得EG （a ，b ；p ）＝0，称这个博弈为统计上的公平博弈。（参加公平博弈的就是风险不厌恶者）

另外一个博弈G(a ，0；1)确定性博弈，则EG(a ，0；1)＝a

设：投资者的效用函数为U （•），一个博弈的效用U(G(a ，b ；p))，因G 是随机的为了计算U(G)对U(G)作假设。

定义：对于如何两个博弈，);,(),;,(2211p b a G p b a G ，及给定的偏好关系。如果效用函数U （G ）满足如下条件： ⑴)()(2121G U G U G G >⇒φ ⑵)()(~2121G U G U G G =⇒

⑶)()()1()()(G EU b U p a pU G U =-+= 则称U （•）为代表此偏好关系的期望效用函数。

可以证明在一般条件下，代表偏好关系的期望效用函数是存在的。 双曲线决定风险厌恶效用函数，

)0(,11)(>⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+--=b b a U θ

θωθθω，b=1,a=2β,θ=2,代入后恰是二次效用函数。 9.3 风险及其度量

严格个体的风险厌恶：个体不愿意接受任何统计意义上的公平博弈。

个体的风险厌恶：个体不愿意接受或至多无差异于任何统计意义上的公平博弈。 设U （•）是投资者效用函数：ω——是未来财富 r.v. 定义： 一般风险测度 一般风险测度（GRM ）

(3.12)

• 定理3.1

.)(,0)(0)(,0是严格向下凸的如果是线性的；，如果是严格向下凹的；如果W U W U W U <=>ϕϕϕ

二 确定性等价和风险补偿

对于风险 ，它的风险补偿 为

（3.13） 定义：G(a ，b ；p)是一个博弈，U （•）是一个投资者的效用函数。 ⑴ϕ>0，投资者是风险厌恶的； ⑵ϕ＝0，投资者是风险中立的； ⑶ϕ<0，投资者是风险偏好的。

)(()(W U E W U -=ϕ

∑∞

=-+-'+=1)())(())(()()(k k k k

W W W U W W W U W U W U

∑∞

=+=1

!)()()(k k

k k M W U W U W EU

))

(()(W U E W U -=ϕ)

,(P W π

CE

W -=π