2021年高三模拟考试数学试题 Word版含答案

(第3题图)
频率
组距
时速(km/h)
80
7060504030
0.0390.028
0.0180.0100.005
绝密★启用前
2021年高三模拟考试数学试题 Word 版含答案
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、班级写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答．题．纸．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：锥体的体积公式为V ＝1
3
Sh ，其中S 是锥体的底面面积，h 是高．
一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题．．卡．相应位置上．．．．．
． 1．设集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜4，x ∈N }，则A ∩B ＝ ▲ ．
2．若复数
1＋a i
2－i (i 是虚数单位)为纯虚数，则实数a ＝ ▲ ． 3．某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得 的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图．根据图 形推断，该时段时速超过50km/h 的汽车辆数为 ▲ ．
4．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ． 5．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只黑球，2只白球， 从中一次随机摸出2只球，至少有1只黑球的概率是 ▲ ．
6．已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，
开始
则“α⊥β”是“m ⊥β”的 ▲ 条件．（填“充分不必要”、 “必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”） 7．函数的单调增区间是 ▲ ．
8．设实数x ，y ，b 满足⎩
⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b ，若z ＝2x ＋y 的最小值为3，
则实数b 的值为 ▲ ．
9．设a ，b 均为正实数，则的最小值是 ▲ ．
10．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间
的一个特征向量为，求ad －bc 的值．
C ．（坐标系与参数方程选做题）
在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设点A ，
B 分别在曲线
C 1：⎩⎨⎧x ＝3＋cos θ
y ＝4＋sin θ
（θ为参数）和曲线C 2：ρ＝1上，求线段AB 的最小值．
D ．（不等式选做题）
设a ，b ，c 均为正数， abc ＝1．求证：1a ＋1b ＋1
c
≥a ＋b ＋c .
22．【必做题】
在一个盒子中放有大小质量相同的四个小球，标号分别为，，，4，现从这个盒 子中有放回．．．
地先后摸出两个小球,它们的标号分别为x ，y ，记ξ＝|x －y |． （1）求P (ξ＝1)；
（2）求随机变量ξ的分布列和数学期望．
(第4题图)
23．【必做题】
有三种卡片分别写有数字1，10和100．设m为正整数，从上述三种卡片中选取若干张，使得这些卡片上的数字之和为m．考虑不同的选法种数，例如当m＝11时，有如下两种选法：“一张卡片写有1，另一张卡片写有10”或“11张写有1的卡片”，则选法种数为2．（1）若m＝100，直接写出选法种数；
（2）设n为正整数，记所选卡片的数字和为100n的选法种数为a n．当n≥2时，求数列{a n}的通项公式．
南京师大附中xx 届高三模拟考试
数学参考答案及评分标准
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．
1．{1}； 2．2； 3．77； 4．5； 5．9
10； 6．必要不
充分；
7．； 8．94； 9．4； 10．(0，1
20)∪(5，+∞)； 11．24；
12．（0，6－22）； 13．－7＜a ≤0或a ＝2； 14．1
5
．
二、解答题：
15．解析:（1）因为，由正弦定理
得， ………………2分
即=3sin(A +C ) ． ………………4分
因为B ＝π－A －C ，所以sin B =sin(A +C )， 所以．
因为B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，
所以，因为，所以． ………………7分 （2）由（1）知，所以，． ………………8分 设，则，又
在△AMC 中，由余弦定理 得
即 解得x ＝2. ………………12分
故 ………………14分
16．解析: （1）因为P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以
P A ⊥CD ， …………………2分 又∠ACD ＝90°，则，而P A ∩AC ＝A ， 所
以
CD ⊥
平
面
P AC
，
因
为
CD ⊂
平
面
ACD ， ………………4分
所
以
，
平
面
P AC ⊥
平
面
PCD ． ………………7分 （2）证法一：取AD 中点M ，连EM ，CM ，则EM ∥P A ． 因为EM 平面P AB ，P A 平面P AB ， 所
以
EM ∥
平
面
P AB ． ………………9分
在Rt △ACD 中，AM =CM ，所以∠CAD=∠ACM ， 又∠BAC ＝∠CAD ，所以∠BAC ＝∠ACM ， 则MC ∥AB ．
因为MC 平面P AB ，AB 平面P AB ，
所以MC ∥平面P AB ．
………………12分
而EM ∩MC ＝M ，所以平面EMC ∥平面P AB ． 由
于
EC
平
面
EMC
，
从
而
EC ∥
平
面
P AB ． ………………14分 证法二：延长DC ，AB 交于点N ，连PN ． 因为∠NAC ＝∠DAC ，AC ⊥CD ， 所以C 为ND 的中点．
而E 为PD 中点，所以EC ∥PN ．
因为EC 平面P AB ，PN 平面P AB ，
所以EC ∥平面P AB ．
………………14分
17．解析:正三棱锥展开如图所示．当按照底边包装时体积最大． 设正三棱锥侧面的高为h 0，高为h ．
由题意得：
36x ＋h 0＝10，解得h 0＝10－3
6
x ． ………………2分
则h ＝
h 02－x 212
＝(10－36x )2－x 2
12
＝
100－103
3
x
，
x ∈(0,103) ． ………………5分 所以，正三棱锥体积V ＝13Sh ＝13×3
4
x 2×
100－103
3
x
＝
3x 212
100－1033
x ． ………………8分
设y ＝V 2＝x 448(100－1033x )＝100x 448－10x 5483
， 求
导
得y ′＝
100x 3
12
－
50x 4483
，令y ′＝0，得x ＝
83， ………………10分 当x ∈(0，83)时，y ′＞0，y 随着x 的增加而增大，
当x ∈(83，103)时，y ′＜0，y 随着x 的增加而减小，
所以，当x ＝8
3 cm 时，y 取得极大值也是最大
值． ………………12分 此时y ＝15360，所以V max ＝3215 cm 3．
答：当底面边长为8
3cm 时，正三棱锥的最大体积为32
15
cm 3． ………………14分 18
．
解
析
:
（
1
）
由
题
设
可
知
a
＝
2． ………………1分 因为e ＝32，即c a ＝3
2
，所以c ＝3．
又因为b 2＝a 2－c 2＝4－3＝1，所以b ＝
1． ………………2分
（2）由题设可知，椭圆的方程为x 24
＋y 2
＝1，直线MN 的方程为y ＝x －1．
设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程组⎩
⎪⎨⎪
⎧x 2
4＋y 2＝1 y ＝x －1，消去y 可得5x 2－8x ＝0，
解得x 1＝0，x 2＝8
5
．
将x 1＝0，x 2＝85，代入直线MN 的方程，解得y 1＝－1，y 2＝3
5．
所
以MN ＝
( x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝
8
5
2． ………………4分
设与直线MN 平行的直线m 方程为y ＝x ＋λ．
联立方程组⎩
⎪⎨⎪⎧x 2
4＋y 2＝1
y ＝x ＋λ，消去y 可得5x 2＋8λx ＋4λ2－4＝0，
若直线m 与椭圆只有一个交点，则满足△＝64λ2－20(4λ2－4)＝0，解得λ＝±5． ……………6分
当直线m 为y ＝x －5时，直线l 与m 之间的距离为d 1＝|－1－(－5)|2＝5－1
2
；
当直线m 为y ＝x ＋5时，直线l 与m 之间的距离为d 2＝|－1－5|
2
＝
5＋1
2
； ………………8分 设点C 到MN 的距离为d ，要使△CMN 的面积为S 的点C 恰有两个， 则需满足d 1＜d ＜d 2，即5－12＜d ＜5＋1
2
．
因
为S ＝
1
2
d ·MN ＝
45
2d ，所以
45－45
＜S ＜
45＋4
5
． ………………10分 （3）方法一 设直线A 1M 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，直线A 2N 的方程为y ＝k 2(x －2)．
联立方程组⎩
⎪⎨⎪⎧x 2
4＋y 2＝1
y ＝k 1(x ＋2)，消去y 得(1＋4k 12)x 2＋16k 12x ＋16k 12－4＝0，
解得点M 的坐标为(2－8k 121＋4k 12，4k 1
1＋4k 12)． 同
理
，
可
解
得
点
N
的
坐
标
为
(
8k 22－2
1＋4k 22
，
－4k 2
1＋4k 22
)． ………………12分
由M ，D ，N 三点共线，有4k 1
1＋4k 122－8k 121＋4k 12－1＝－4k 21＋4k 22
8k 22－2
1＋4k 22－1
，化简得(k 2－3k 1)(4k 1k 2＋1)＝0．
由
题
设
可
知
k 1
与
k 2
同
号
，
所
以
k 2
＝
3k 1． ………………14分
联立方程组⎩⎨⎧y ＝k 1(x ＋2)y ＝k 1(x －2)
，解得交点G 的坐标为(2(k 1＋k 2)k 2－k 1，4k 1k 2
k 2－k 1)．
将k 2＝3k 1代入点G 的横坐标，得x G ＝2(k 1＋k 2)k 2－k 1＝2(k 1＋3k 1)
3k 1－k 1＝4．
所
以
，
点
G
恒
在
定
直
线
x
＝
4
上． ………………16分 方法二 显然，直线MN 的斜率为0时不合题意． 设直线MN 的方程为x ＝my ＋1．
令m ＝0，解得M (1，32)，N (1，－32)或M (1，－32)，N (1，3
2
)．
当M (1，32)，N (1，－32)时，直线A 1M 的方程为y ＝36x ＋33，直线A 2N 的方程为y ＝
3
2
x －3．
联立方程组⎩
⎨⎧y ＝36x ＋
3
3
y ＝3
2
x －3
，解得交点G 的坐标为(4，3)；
当M (1，－32)，N (1，3
2
)时，由对称性可知交点G 的坐标为(4，－3)．
若点G 恒在一条定直线上，则此定直线必为x ＝
4． ………………12分
下面证明对于任意的实数m ，直线A 1M 与直线A 2N 的交点G 均在直线x ＝4上． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，G (4，y 0)．
由点A 1，M ，G 三点共线，有y 1－0x 1＋2＝y 04＋2，即y 0＝6y 1
x 1＋2．
再由点A 2，N ，G 三点共线，有y 2－0x 2－2＝y 04－2，即y 0＝2y 2
x 2－2．
所以，6y 1x 1＋2＝2y 2
x 2－2
．①
将x 1＝my 1＋1，x 2＝my 2＋1代入①式，化简得2my 1y 2－3(y 1＋y 2)＝0． ② ………………14分
联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2
4＋y 2＝1
x ＝my ＋1
，消去x 得(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0，
从而有y 1＋y 2＝－2m m 2＋4，y 1y 2＝－3
m 2＋4．
将其代入②式，有2m ·
－3m 2＋4－3·－2m
m 2＋4
＝0成立． 所以，当m 为任意实数时，直线A 1M 与直线A 2N 的交点G 均在直线x ＝4上． ………………16分
19．解析：（1）①由数列{a n }是等差数列及a 1＋a 2＋a 3＝9，得a 2＝3， 由
数
列
{b n }
是
等
比
数
列
及
b 1b 2b 3
＝
27
，
得
b 2
＝
3． ………………2分 设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，
若m ＝18，
则有⎩⎪⎨⎪⎧3＋2d ＝3q ， 3q 2－3q ＝18.解得⎩⎪⎨⎪
⎧d ＝3， q ＝3；或 ⎩⎪
⎨⎪⎧d ＝－9
2， q ＝－2．
所
以
，
{a n }
和
{b n }
的
通
项
公
式
为
⎩
⎪⎨
⎪⎧a n ＝3n －3，
b n ＝3n -1；或
⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝－92n ＋12，
b n ＝3(－2) n －2.
………………4分 ② 由题设b 4－b 3＝m ，得3q 2－3q ＝m ，即3q 2－3q －m ＝0（*）．
因为数列{b n }是唯一的，所以
若q =0，则m =0，检验知，当m =0时，q =1或0（舍去），满足题意； 若q ≠0，则(－3)2＋12 m ＝0，解得m ＝－34，代入（*）式，解得q ＝1
2，
又b 2＝3，所以{b n }是唯一的等比数列，符合题意． 所
以
，
m =0
或
－
3
4
． ………………8分 （2）依题意，36＝(a 1＋b 1) (a 3＋b 3)，
设{b n }公比为q ，则有36＝(3－d ＋3
q )(3＋d ＋3q )， （**）
记m ＝3－d ＋3
q
，n ＝3＋d ＋3q ，则mn =36．
将（**）中的q 消去，整理得： d 2＋(m －n )d ＋3(m ＋n )－36＝0 ………………10分
d 的大根为n －m ＋(m －n )2－12(m ＋n )＋1442 ＝n －m ＋(m ＋n －6)2－36
2
而m ，n ∈N *，所以 (m ，n )的可能取值为：
(1，36)，(2，18)，(3，12)，(4，9)，(6，6)，(9，4)，(12，3)，(18，2)，(36，1) ． 所
以，当m ＝1，n ＝36时，d 的最大值为
35+537
2 ． ………………16分 20．解析：（1）当
a ＝1
时， f
′(x )＝2(x 2+x －1)
x
(x ＞
0)， ………………1分 由
f ′(x )＞0
得：x ＞－1＋5
2
；由
f ′(x )＜0得：0＜x ＜
－1＋5
2． ………………2分
所以，f (x )的单调增区间为(－1＋5
2
，＋∞)，单调减区间为
(0,－1＋52) ． ………………3分
（2）当a ＝2时，设切点为M (m ，n ) ． f ′(x )＝4x ＋3－2
x
( x ＞0)，
所以，切线的斜率k ＝4m ＋3－2
m ．
又
直
线
OM
的
斜
率
为
2m 2＋3m －2ln m
m ， ………………5分
所以，4m ＋3－2m ＝2m 2＋3m －2ln m
m
，即m 2＋ln m －1＝0，
又函数y ＝m 2＋ln m －1在(0,＋∞)上递增，且m ＝1是一根，所以是唯一根， 所
以
，
切
点
横
坐
标
为
1． ………………7分 （3）a ＝－1
4时，由函数y ＝f (x )在其图象上一点P (x 0,y 0)处的切线方程为：
y ＝(－
12x 0＋34－2x 0)(x －x 0)－14x 02＋34x 0
－2ln x 0． ………………8分
A
D
C
B
E 令h (x )＝(－12x 0＋34－2x 0)(x －x 0)－14x 02＋3
4x 0－2ln x 0，
设F (x )＝f (x )－h (x )，则F (x 0)＝0．
且F ′(x )＝f ′(x )－h ′(x )＝－12x ＋34－2x －(－12x 0＋34－2
x 0)
＝－
12(x －x 0)－(2x －2x 0)＝－12x
(x －x 0) (x －
4
x 0
) ………………10分 当0＜x 0＜2时，4x 0＞x 0，F (x )在(x 0,4x 0)上单调递增，从而有F (x )＞F (x 0)＝0，所以，
F (x )
x －x 0＞0；
当x 0＞2时，4x 0＜x 0，F (x )在(4x 0,x 0)上单调递增，从而有F (x )＜F (x 0)＝0，所以，F (x )
x －x 0＞0．
因此，y ＝f (x )在(0，2)和(2，＋∞)上不存在“巧点”． ………………13分
当x 0＝2时， F ′(x )＝－(x －2)2
2x ≤0，所以函数F (x )在(0,＋∞)上单调递减．
所以，x ＞2时，F (x )＜F (2)＝0，F (x )x －2＜0；0＜x ＜2时，F (x )＞F (2)＝0，F (x )
x －2＜0．
因
此
，
点
(2
，
f (2))
为
“
巧
点
”
，
其
横
坐
标
为
2． ………………16分
南京师大附中xx 届高三模拟考试
数学附加题参考答案及评分标准 xx.05
21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷．．
纸指定区域内．．．．．．
作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲 解析：连接BC ，相交于点．
因为AB 是线段CD 的垂直平分线，
所以AB 是圆的直径，∠ACB ＝90°．
……
…………2分
设，则，由射影定理得 CE 2＝AE ·EB ，又，
即有，解得（舍）或 ………………8分
所以，AC 2＝AE ·AB ＝5×6＝30，． ………………10分
B ．选修4—2：矩阵与变换
解析：由特征值、特征向量定义可知，A ，
即，得 ………………5分 同理可得 解得． 因
此
ad
－
bc
＝
2
－
6
＝
－
4． ………………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程
解析：将曲线C 1的参数θ消去可得(x －3)2＋(y －4)2＝1．
将
曲
线
C 2
化
为
直
角
坐
标
方
程
为
x 2
＋
y 2
＝
1． ………………5分
曲线C 1是以(3，4)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是以(0，0)为圆心，1为半径的圆， 可求得两圆圆心距为32＋42＝5， 所
以
，
AB
的
最
小
值
为
5
－
1
－
1
＝
3． ………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲
证明：由a ，b ，c 为正数，根据平均值不等式，得1a ＋1b ≥2ab ，1b ＋1c ≥2bc ，1c ＋1a ≥2ca
．
将此三式相加，得2(1a ＋1b ＋1c )≥2ab ＋2bc ＋2ca ，即1a ＋1b ＋1c ≥1ab ＋1bc ＋1
ca
．
………………5分
由abc ＝1，则有abc ＝1．
所以，1a ＋1b ＋1
c
≥
abc
ab
＋abc
bc
＋abc
ca
＝a ＋
b ＋
c ． ………………10分
22．解析：（1）； ………………3分
（2）的所有取值为0, 1，2，
3． ………………4分 ，，,． 则随机变量的分布列为
的数学期望． ………………10分 23
．
解
析
：（
1
）
m
＝
100
，
共
有
选
法
种
数
为
12． ………………3分
（2）若至少选一张写有100的卡片时，则除去1张写有100的卡片，其余数字之和为100(n
－1)， 有a n －1种选法；
若不选含有100的卡片，则有10n ＋1种选法． 所
以
，
a n
＝
10n
＋
1
＋a n
－
1 ， (8)
分
从而，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋···＋(a 2 －a 1)＋a 1 ＝10n ＋1＋10(n －1)＋1＋···＋10×2＋1＋a 1
＝10
(n ＋2)(n －1)
2
＋n －1＋a 1 ＝5n 2＋6n ＋1 所
以
，
{a n }
的
通
项
公
式
是
a n
＝
5n 2
＋
6n
＋
1． ………………10分
!&823118 5A4E 婎E35982 8C8E 貎26075 65DB 旛>32857 8059 聙34196 8594 薔25351 6307 指40447 9DFF 鷿vb。