2021年高三模拟考试数学试题 Word版含答案

(第3题图)频率组距时速(km/h)8070605040300.0390.0280.0180.0100.005绝密★启用前2021年高三模拟考试数学试题 Word 版含答案注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、班级写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答．题．纸．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：锥体的体积公式为V ＝13Sh ，其中S 是锥体的底面面积，h 是高．一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题．．卡．相应位置上．．．．．． 1．设集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜4，x ∈N }，则A ∩B ＝ ▲ ．2．若复数1＋a i2－i (i 是虚数单位)为纯虚数，则实数a ＝ ▲ ． 3．某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得 的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图．根据图 形推断，该时段时速超过50km/h 的汽车辆数为 ▲ ．4．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ． 5．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只黑球，2只白球， 从中一次随机摸出2只球，至少有1只黑球的概率是 ▲ ．6．已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，开始则“α⊥β”是“m ⊥β”的 ▲ 条件．（填“充分不必要”、 “必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”） 7．函数的单调增区间是 ▲ ．8．设实数x ，y ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b ，若z ＝2x ＋y 的最小值为3，则实数b 的值为 ▲ ．9．设a ，b 均为正实数，则的最小值是 ▲ ．10．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间的一个特征向量为，求ad －bc 的值．C ．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝3＋cos θy ＝4＋sin θ（θ为参数）和曲线C 2：ρ＝1上，求线段AB 的最小值．D ．（不等式选做题）设a ，b ，c 均为正数， abc ＝1．求证：1a ＋1b ＋1c≥a ＋b ＋c .22．【必做题】在一个盒子中放有大小质量相同的四个小球，标号分别为，，，4，现从这个盒 子中有放回．．．地先后摸出两个小球,它们的标号分别为x ，y ，记ξ＝|x －y |． （1）求P (ξ＝1)；（2）求随机变量ξ的分布列和数学期望．(第4题图)23．【必做题】有三种卡片分别写有数字1，10和100．设m为正整数，从上述三种卡片中选取若干张，使得这些卡片上的数字之和为m．考虑不同的选法种数，例如当m＝11时，有如下两种选法：“一张卡片写有1，另一张卡片写有10”或“11张写有1的卡片”，则选法种数为2．（1）若m＝100，直接写出选法种数；（2）设n为正整数，记所选卡片的数字和为100n的选法种数为a n．当n≥2时，求数列{a n}的通项公式．南京师大附中xx 届高三模拟考试数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．1．{1}； 2．2； 3．77； 4．5； 5．910； 6．必要不充分；7．； 8．94； 9．4； 10．(0，120)∪(5，+∞)； 11．24；12．（0，6－22）； 13．－7＜a ≤0或a ＝2； 14．15．二、解答题：15．解析:（1）因为，由正弦定理得， ………………2分即=3sin(A +C ) ． ………………4分因为B ＝π－A －C ，所以sin B =sin(A +C )， 所以．因为B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，所以，因为，所以． ………………7分 （2）由（1）知，所以，． ………………8分 设，则，又在△AMC 中，由余弦定理 得即 解得x ＝2. ………………12分故 ………………14分16．解析: （1）因为P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥CD ， …………………2分 又∠ACD ＝90°，则，而P A ∩AC ＝A ， 所以CD ⊥平面P AC，因为CD ⊂平面ACD ， ………………4分所以，平面P AC ⊥平面PCD ． ………………7分 （2）证法一：取AD 中点M ，连EM ，CM ，则EM ∥P A ． 因为EM 平面P AB ，P A 平面P AB ， 所以EM ∥平面P AB ． ………………9分在Rt △ACD 中，AM =CM ，所以∠CAD=∠ACM ， 又∠BAC ＝∠CAD ，所以∠BAC ＝∠ACM ， 则MC ∥AB ．因为MC 平面P AB ，AB 平面P AB ，所以MC ∥平面P AB ．………………12分而EM ∩MC ＝M ，所以平面EMC ∥平面P AB ． 由于EC平面EMC，从而EC ∥平面P AB ． ………………14分 证法二：延长DC ，AB 交于点N ，连PN ． 因为∠NAC ＝∠DAC ，AC ⊥CD ， 所以C 为ND 的中点．而E 为PD 中点，所以EC ∥PN ．因为EC 平面P AB ，PN 平面P AB ，所以EC ∥平面P AB ．………………14分17．解析:正三棱锥展开如图所示．当按照底边包装时体积最大． 设正三棱锥侧面的高为h 0，高为h ．由题意得：36x ＋h 0＝10，解得h 0＝10－36x ． ………………2分则h ＝h 02－x 212＝(10－36x )2－x 212＝100－1033x，x ∈(0,103) ． ………………5分 所以，正三棱锥体积V ＝13Sh ＝13×34x 2×100－1033x＝3x 212100－1033x ． ………………8分设y ＝V 2＝x 448(100－1033x )＝100x 448－10x 5483， 求导得y ′＝100x 312－50x 4483，令y ′＝0，得x ＝83， ………………10分 当x ∈(0，83)时，y ′＞0，y 随着x 的增加而增大，当x ∈(83，103)时，y ′＜0，y 随着x 的增加而减小，所以，当x ＝83 cm 时，y 取得极大值也是最大值． ………………12分 此时y ＝15360，所以V max ＝3215 cm 3．答：当底面边长为83cm 时，正三棱锥的最大体积为3215cm 3． ………………14分 18．解析:（1）由题设可知a＝2． ………………1分 因为e ＝32，即c a ＝32，所以c ＝3．又因为b 2＝a 2－c 2＝4－3＝1，所以b ＝1． ………………2分（2）由题设可知，椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线MN 的方程为y ＝x －1．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1 y ＝x －1，消去y 可得5x 2－8x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝85．将x 1＝0，x 2＝85，代入直线MN 的方程，解得y 1＝－1，y 2＝35．所以MN ＝( x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝852． ………………4分设与直线MN 平行的直线m 方程为y ＝x ＋λ．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝x ＋λ，消去y 可得5x 2＋8λx ＋4λ2－4＝0，若直线m 与椭圆只有一个交点，则满足△＝64λ2－20(4λ2－4)＝0，解得λ＝±5． ……………6分当直线m 为y ＝x －5时，直线l 与m 之间的距离为d 1＝|－1－(－5)|2＝5－12；当直线m 为y ＝x ＋5时，直线l 与m 之间的距离为d 2＝|－1－5|2＝5＋12； ………………8分 设点C 到MN 的距离为d ，要使△CMN 的面积为S 的点C 恰有两个， 则需满足d 1＜d ＜d 2，即5－12＜d ＜5＋12．因为S ＝12d ·MN ＝452d ，所以45－45＜S ＜45＋45． ………………10分 （3）方法一 设直线A 1M 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，直线A 2N 的方程为y ＝k 2(x －2)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝k 1(x ＋2)，消去y 得(1＋4k 12)x 2＋16k 12x ＋16k 12－4＝0，解得点M 的坐标为(2－8k 121＋4k 12，4k 11＋4k 12)． 同理，可解得点N的坐标为(8k 22－21＋4k 22，－4k 21＋4k 22)． ………………12分由M ，D ，N 三点共线，有4k 11＋4k 122－8k 121＋4k 12－1＝－4k 21＋4k 228k 22－21＋4k 22－1，化简得(k 2－3k 1)(4k 1k 2＋1)＝0．由题设可知k 1与k 2同号，所以k 2＝3k 1． ………………14分联立方程组⎩⎨⎧y ＝k 1(x ＋2)y ＝k 1(x －2)，解得交点G 的坐标为(2(k 1＋k 2)k 2－k 1，4k 1k 2k 2－k 1)．将k 2＝3k 1代入点G 的横坐标，得x G ＝2(k 1＋k 2)k 2－k 1＝2(k 1＋3k 1)3k 1－k 1＝4．所以，点G恒在定直线x＝4上． ………………16分 方法二 显然，直线MN 的斜率为0时不合题意． 设直线MN 的方程为x ＝my ＋1．令m ＝0，解得M (1，32)，N (1，－32)或M (1，－32)，N (1，32)．当M (1，32)，N (1，－32)时，直线A 1M 的方程为y ＝36x ＋33，直线A 2N 的方程为y ＝32x －3．联立方程组⎩⎨⎧y ＝36x ＋33y ＝32x －3，解得交点G 的坐标为(4，3)；当M (1，－32)，N (1，32)时，由对称性可知交点G 的坐标为(4，－3)．若点G 恒在一条定直线上，则此定直线必为x ＝4． ………………12分下面证明对于任意的实数m ，直线A 1M 与直线A 2N 的交点G 均在直线x ＝4上． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，G (4，y 0)．由点A 1，M ，G 三点共线，有y 1－0x 1＋2＝y 04＋2，即y 0＝6y 1x 1＋2．再由点A 2，N ，G 三点共线，有y 2－0x 2－2＝y 04－2，即y 0＝2y 2x 2－2．所以，6y 1x 1＋2＝2y 2x 2－2．①将x 1＝my 1＋1，x 2＝my 2＋1代入①式，化简得2my 1y 2－3(y 1＋y 2)＝0． ② ………………14分联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1x ＝my ＋1，消去x 得(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0，从而有y 1＋y 2＝－2m m 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4．将其代入②式，有2m ·－3m 2＋4－3·－2mm 2＋4＝0成立． 所以，当m 为任意实数时，直线A 1M 与直线A 2N 的交点G 均在直线x ＝4上． ………………16分19．解析：（1）①由数列{a n }是等差数列及a 1＋a 2＋a 3＝9，得a 2＝3， 由数列{b n }是等比数列及b 1b 2b 3＝27，得b 2＝3． ………………2分 设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，若m ＝18，则有⎩⎪⎨⎪⎧3＋2d ＝3q ， 3q 2－3q ＝18.解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3， q ＝3；或 ⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－92， q ＝－2．所以，{a n }和{b n }的通项公式为⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝3n －3，b n ＝3n -1；或⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝－92n ＋12，b n ＝3(－2) n －2.………………4分 ② 由题设b 4－b 3＝m ，得3q 2－3q ＝m ，即3q 2－3q －m ＝0（*）．因为数列{b n }是唯一的，所以若q =0，则m =0，检验知，当m =0时，q =1或0（舍去），满足题意； 若q ≠0，则(－3)2＋12 m ＝0，解得m ＝－34，代入（*）式，解得q ＝12，又b 2＝3，所以{b n }是唯一的等比数列，符合题意． 所以，m =0或－34． ………………8分 （2）依题意，36＝(a 1＋b 1) (a 3＋b 3)，设{b n }公比为q ，则有36＝(3－d ＋3q )(3＋d ＋3q )， （**）记m ＝3－d ＋3q，n ＝3＋d ＋3q ，则mn =36．将（**）中的q 消去，整理得： d 2＋(m －n )d ＋3(m ＋n )－36＝0 ………………10分d 的大根为n －m ＋(m －n )2－12(m ＋n )＋1442 ＝n －m ＋(m ＋n －6)2－362而m ，n ∈N *，所以 (m ，n )的可能取值为：(1，36)，(2，18)，(3，12)，(4，9)，(6，6)，(9，4)，(12，3)，(18，2)，(36，1) ． 所以，当m ＝1，n ＝36时，d 的最大值为35+5372 ． ………………16分 20．解析：（1）当a ＝1时， f′(x )＝2(x 2+x －1)x(x ＞0)， ………………1分 由f ′(x )＞0得：x ＞－1＋52；由f ′(x )＜0得：0＜x ＜－1＋52． ………………2分所以，f (x )的单调增区间为(－1＋52，＋∞)，单调减区间为(0,－1＋52) ． ………………3分（2）当a ＝2时，设切点为M (m ，n ) ． f ′(x )＝4x ＋3－2x( x ＞0)，所以，切线的斜率k ＝4m ＋3－2m ．又直线OM的斜率为2m 2＋3m －2ln mm ， ………………5分所以，4m ＋3－2m ＝2m 2＋3m －2ln mm，即m 2＋ln m －1＝0，又函数y ＝m 2＋ln m －1在(0,＋∞)上递增，且m ＝1是一根，所以是唯一根， 所以，切点横坐标为1． ………………7分 （3）a ＝－14时，由函数y ＝f (x )在其图象上一点P (x 0,y 0)处的切线方程为：y ＝(－12x 0＋34－2x 0)(x －x 0)－14x 02＋34x 0－2ln x 0． ………………8分ADCBE 令h (x )＝(－12x 0＋34－2x 0)(x －x 0)－14x 02＋34x 0－2ln x 0，设F (x )＝f (x )－h (x )，则F (x 0)＝0．且F ′(x )＝f ′(x )－h ′(x )＝－12x ＋34－2x －(－12x 0＋34－2x 0)＝－12(x －x 0)－(2x －2x 0)＝－12x(x －x 0) (x －4x 0) ………………10分 当0＜x 0＜2时，4x 0＞x 0，F (x )在(x 0,4x 0)上单调递增，从而有F (x )＞F (x 0)＝0，所以，F (x )x －x 0＞0；当x 0＞2时，4x 0＜x 0，F (x )在(4x 0,x 0)上单调递增，从而有F (x )＜F (x 0)＝0，所以，F (x )x －x 0＞0．因此，y ＝f (x )在(0，2)和(2，＋∞)上不存在“巧点”． ………………13分当x 0＝2时， F ′(x )＝－(x －2)22x ≤0，所以函数F (x )在(0,＋∞)上单调递减．所以，x ＞2时，F (x )＜F (2)＝0，F (x )x －2＜0；0＜x ＜2时，F (x )＞F (2)＝0，F (x )x －2＜0．因此，点(2，f (2))为“巧点”，其横坐标为2． ………………16分南京师大附中xx 届高三模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 xx.0521．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷．．纸指定区域内．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲 解析：连接BC ，相交于点．因为AB 是线段CD 的垂直平分线，所以AB 是圆的直径，∠ACB ＝90°．………………2分设，则，由射影定理得 CE 2＝AE ·EB ，又，即有，解得（舍）或 ………………8分所以，AC 2＝AE ·AB ＝5×6＝30，． ………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解析：由特征值、特征向量定义可知，A ，即，得 ………………5分 同理可得 解得． 因此ad－bc＝2－6＝－4． ………………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解析：将曲线C 1的参数θ消去可得(x －3)2＋(y －4)2＝1．将曲线C 2化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝1． ………………5分曲线C 1是以(3，4)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是以(0，0)为圆心，1为半径的圆， 可求得两圆圆心距为32＋42＝5， 所以，AB的最小值为5－1－1＝3． ………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明：由a ，b ，c 为正数，根据平均值不等式，得1a ＋1b ≥2ab ，1b ＋1c ≥2bc ，1c ＋1a ≥2ca．将此三式相加，得2(1a ＋1b ＋1c )≥2ab ＋2bc ＋2ca ，即1a ＋1b ＋1c ≥1ab ＋1bc ＋1ca．………………5分由abc ＝1，则有abc ＝1．所以，1a ＋1b ＋1c≥abcab＋abcbc＋abcca＝a ＋b ＋c ． ………………10分22．解析：（1）； ………………3分（2）的所有取值为0, 1，2，3． ………………4分 ，，,． 则随机变量的分布列为的数学期望． ………………10分 23．解析：（1）m＝100，共有选法种数为12． ………………3分（2）若至少选一张写有100的卡片时，则除去1张写有100的卡片，其余数字之和为100(n－1)， 有a n －1种选法；若不选含有100的卡片，则有10n ＋1种选法． 所以，a n＝10n＋1＋a n－1 ， (8)分从而，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋···＋(a 2 －a 1)＋a 1 ＝10n ＋1＋10(n －1)＋1＋···＋10×2＋1＋a 1＝10(n ＋2)(n －1)2＋n －1＋a 1 ＝5n 2＋6n ＋1 所以，{a n }的通项公式是a n＝5n 2＋6n＋1． ………………10分!&823118 5A4E 婎E35982 8C8E 貎26075 65DB 旛>32857 8059 聙34196 8594 薔25351 6307 指40447 9DFF 鷿vb。