用单纯形法求解目标规划

目标规划求解问题过程
明确问题，列出(或修改) 目标的优先级和权系数
构造目标 规划的模型
求出 满意解
否
分析各项目
满意否？
表完成情况
是
据此制定出
决策方案
由目标规划数学模型的标准型可看出，它实质上是 最小化的线性规划，所以可用单纯形法求解．
这时，我们应该把目标优先等级系数Pi（i = 1, 2, …, k）
d
3
d
3
56
2x1 x2 x3
11
x1 , x2
0,
d
i
,
d
i
0
(i
1,2,3)
min
Z
P1d1
P2
(d
2
d
2
)
P3d
3
x1 x1
x2
d
1
d1
0
2x 2
d
2
d
2
10
8x1 10x2
d
3
d
3
56
2x1
x2 x3
11
x1 , x2
0,
d
i
,
d
i
d
i
,
d
i
0, (i
1, 2, 3)
cj CB XB
b
00 x1 x2
0 P1 x3 d1
0
d1
0 P2
d
2
d
2
P3
d
3
0
5d3
0 x3 60 5 10
P1 d1 0 [1] -2
0
d
2
36
4
4
P3
d
3
48
6
8
1 0 0 0 0
0 C111 0 -1 0 0P1 00
0 0 0 1 -1 00 0 00
（1）若检验数矩阵的Pi 行系数均≥0，则Pi 级目标已达最优， 应转入对Pi+1 级目标的寻优，直到 i = k，计算结束。
（2）若检验数矩阵的Pi 中有负系数，且负系数所在列的 前i-1行优先因子的系数全为0 ( 例如 -P2 +223 P3 <0 ) ，
可判定该检验数为负， 则选该系数（若此类负系数有多个，则可选绝对值最大者） 所在列对应的非基变量为入基变量，继续进行基变换．
0 12 0 -4 4 1
0 [20] 0 -6 6 0
00 01 0 0
00 00 0 0
0 -20 0 6 -6 0
0 0 1 1 -1 0
1 0 0 2/5 -2/5 0
0 0 0 -2/5 2/5 1
0 1 0 -3/10 3/10 0
00 01 0 0
00 00 0 0
00 00 0 0
P2 P3 0
00
0 x2 5 1/2 1 0 0 1/2 -1/2 0 0 0
P3
d
3
6
3 0 0 0 -5 5 1 －1 0
0 x3 6 3/2 0 0 0 -1/2 1/2 0 0 1
P1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
σkj P2 0
0 0 0011 0 00
P3 -6 －3 0 0 0 5 -5 0 1 0
4．从表中找到基本可行解和相应于各优先级的目标函
数值 每个单纯形表中常数列b，即为各基变量的相应取
值．
本题最后一个单纯形表已为最优，它对应的基本可行解：
x1=24/5, x2=12/5, x3=12, d2-=36/5，即为最优解．这
与图解法得到结果一致．
注意：在最优单纯形表中非基变量d1+和d3+的检验数都是零， 故知本题有多个最优解． 如以 d1+为入基变量继续迭代，可得单纯形表2， 如以d3+为入基变量继续迭代，可得单纯形表3．
cj
CB XB b
0 x3 60
0 x1 0
0
d
2
36
P3
d
3
48
P1 j c j z j P2
P3
0 x3 12
0 x1 24/5
0
d
2
36/5
0 x2
j cj zj
12/5
P1 P2 P
单纯形表1
00 x1 x2
0 P1 x3 d1
00
d1
d
2
0 20 1 -5 5 0
1 -2 0 1 -1 0
0 0 0 -2/5 2/5 1
0 1 0 -3/10 3/10 0
00 01 0 0
00 00 0 0
00 00 0 0
P2 P3 0
d
2
d
3
d
3
000
000
-1 0 0
0 1 -1
0 0 0单
1 0 0纯 0 0 1形 0 -1 1 表 0 1/10 -1/101
-1 -3/5 3/5
0 1/20 -1/20
d
i
,
d
i
0,
( i 1, 2, 3)
解：引入松驰变量 x3 , 将它们化为标准型：
Min
Z
P1d1
P2
d
2
P3d
3
5 x1 10 x2 x3 60
x1 2x2
d1 d1 0
s.t. 4 x1
4 x2
d
2
d
2
36
6 x1 8x2
d3
d
3
48
x1,
x2 ,
x3
0,
P3 0 0 0 0 0 0 0 1 0
表3 续单纯形表1
cj CB XB b
0 0 0 P1 0 0 P2 P3 0
x1 x2 x3 d1
d1
d
2
d
2
d
3
d
3
0
dห้องสมุดไป่ตู้
3
12
0
0
1
1 -1 0 0 -1 1
0 x1 6 1 0 1/10 1/2 -1/2 0 0 0 0
0
d
2
0
0 0 -3/5 -1
② 出基变量的确定： 按最小非负比值规则确定出基变量，当存在两个或两个 以上相同的最小比值时，选取具有较高优先级别的变量为换 出变量。 ③ 主元素的确定： 出基变量与入基变量在系数矩阵中对应的交叉点上的元素即 为主元素． ④ 迭代变换： 同线性规划的单纯形法．得到新的单纯形表，获得一组新解
⑤对求得的解进行分析： 若计算结果满意，停止运算； 若不满意，需修改模型，即调整目标优先等级和权系数， 或者改变目标值，重新进行第1步。
d
2
d
3
d
3
000
000
-1 0 0
0 1 -1
000
100
001
0 -1 1
0 1/10 -1/10
-1 -3/5 3/5
0 1/20 -1/20
000
100
010
表2 续单纯形表1
cj CB XB b
0 0 0 P1 0 0 P2 P3 0
x1 x2 x3 d1
d1
d
2
d
2
d
3
d
3
（3）若检验数矩阵的Pi行中有负系数，但负系数所在 列的前i-1行优先因子的系数有0，也有正数，
（例如 P2 - 3 P3 >0），即整个检验数的值可判为正
（因Pi-1»Pi ），故也应转入对Pi+1级目标的寻优，否则会
使高优先级别的目标函数值劣化．
3．基变换 ① 入基变量的确定：在Pk行，从那些上面没有 正检验数 的负检验数中，选绝对值最大者，对应的变量xs就是进基变 量。 若Pk行中有几个相同的绝对值最大者，则依次比较它们各列 下部的检验数，取其绝对值最大的负检验数的所在列的xs为 进基变量。 假如仍无法确定，则选最左边的变量（变量下标小者）为进 基变量。
θ= min｛10/3,10,6/3,12/3｝= 2,故d 3为换出变量。
Cj
0
CB XB b x1
0
d 1
2
0
0 x2 4
0
0 x1
2
1
0 x3 3
0
P1 0
0
σkj P2 0
0
P3 0
0
0
0
P1 P2 P2 P3
0
0
x2
d 1
d
1
d
2
d
2
d
3
d
3
x3
0 1 －1 3 -3 -1/2 1/2 0
0 x3 20 0 10/3 1 0
0
0
0
5/6
5/6
0 x1 8 1 4/3 0 0 0 0 0 1/6 -1/6
0
d
2
4 0-
00
4/3
0
1 -1 - 2/3
2/3
0 d1 8 0 10/3 0 -1 1 0 0 1/6 -1/6
j cj zj
P1 P2
0 0
0 0
01 00
00000 00100
12/5
P1 P2 P3
00
x1 x2 0 20
0 P1 x3 d1 1 -5
00
d1
d
2
50
1 -2 0 1 -1 0
0 12 0 -4 4 1
0 [20] 0 -6 6 0
00 01 0 0
00 00 0 0
0 -20 0 6 -6 0
0全部0检验数1非 1 -1 0 1负，计0 算结束0 。 2/5 -2/5 0
Cj
0
0
0 P1 P2 P2 P3
0
0
CB XB b x1
x2
d 1
d
1
d
2
d
2
d
3
d
3
x3
0
d
3
4
0 0 2 -2 6 -6 -1 1 0
0 x2 10/3 0
0 x1 10/3 1
0 x3 1
0
1 -1/3 1/3 1/3 -1/3 0 0 2/3 -2/3 1/3 -1/3 0 0 -1 －1 -1 1 0
1
1 -1 0
0
0 x2 3 0 1 1/20 -1/4 1/4 0 0 0 0
P1 0 0 0 1 0 0 0 0 0
j c j z j P2 0 0 0 0 0 0 1 0 0
P3 0 0 0 0 0 0 0 1 0
例：用单纯形法求解下列目标规划问题
min
Z
P1d1
P2
(d
2
d
2
)
P3d
3
x1 x1
x2 d1 d1 0
2x2
d
2
d
2
10
8x1
10x2
d
3
d
3
56
2x1
x2
11
x1
,
x
2
0,
d
i
,
d
i
0
(i 1,2,3)
min
Z
P1d1
P2
(d
2
d
2
)
P3d
3
x1 x1
x2 d1 d1 0
2x2
d
2
d
2
10
8x1
10x2
x2P200dx230600P63d03
0 0
0 0
0
d
2
36
P3
d
3
48
P1
j c j z j P2
0 0 0 0
12 [20]
0 0
0 0 s.0t. 0
4 6
-4 -x61 x11 x01
4 2x62
d101
d-011
0
0 1
40x2
0d
2
0d
2
306
8x02 d03 d13 480
1 0 0 4/3 -4/3 -1/6 1/6 0
0 0 0 -5/3 5/3 1/3 -1/3 0
0 0 0 2 -2 -1/2 1/2 1
0 0100 0 00
0 0011 0 00
0 0000 1 00
最优解为x1＝2， x2 ＝4。 但非基变量d 3的检验数为
零，故此题有无穷多最优解。
θ= min｛4 , 24 ,－, 6｝= 4,故d1为换出变量。
P1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 σkj P2 -10 －1 －2 0 0 0 2 0 0 0
P3 -56 －8 －10 0 0 0 0 0 1 0
Cj
0
0
0 P1 P2 P2 P3 0 0
CB XB b x1
x2
d
1
d
1
d
2
d
2
d
3
d
3
x3
0
d
1
5 3/2 0
1 －1 1/2 -1/2 0
理解为一种特殊的正常数，且注意到各等级系数之间的
关系：P1»P2 »…»Pk． 而检验数就是各优先因子P1, P2 ,…, Pk的线性组合。
ci - zj = ∑αkj Pk ,j=1,2,…,n ; k=1,2,…,K
当所有检验数都满足最优性条件（ C j cj z j 0 ）时，从 最终表上即可得出目标规划的解． Pk是指不同数量的很大的数 d-是松弛变量 d+是剩余变量
0 -1 0 0
P3 0 -20
0
x16, x2 ,
x-63
0,0d
i
, d0i
0,0(i
1,12, 3)
cj
CB XB b
0 x3 60
0 x1 0
0
d
2
36
P3
d
3
48
P1 j c j z j P2
P3
0 x3 12
0 x1 24/5
0
d
2
36/5
0 x2
j cj zj
0
P03
0 1
10 64-001
单 纯 形
P1 -1 2 j c j z j P2 0 0
P3 -6 -8
0 0 0
0 P11 60P3 0
0 0
P001
00 110
0 0 0
0表 01
1
0 0
x3 60 x1 0
0 1
20 -2
M1in Z-5
0 5 x11
P1dPP1-511320
00 00 01
P1 0 σkj P2 0
0 0 0100 0 00 0 0 0011 0 00
P3
0 0 0000 1 00
最优解为x1＝10/3,，x2 =10/3。
则这两个解得凸组合都是本例的满意解。
000
100
010
单纯形法的计算步骤：
1、建立初始单纯形表。 一般假定初始解在原点， 即以约束条件中的所有负偏差变量或松弛变量为初始基变量， 按目标优先等级从左至右分别计算出各列的检验数， 填入表的下半部 ，得检验数矩阵。
2．最优性检验 目标规划的最优性检验是分优先级进行的， 从P1级开始依次到Pk 级为止， 具体检验Pi 级目标 时，可能有下述三种情况．
Pk>>MPk+1 (M是任意大的正数）
例: 用单纯形法求解下面目标规划问题:
Min
Z
P1d1
P2d
2
P3d3
5 x1 10 x2 60
(l1 )
x1 2x2
d1 d1 0
(l2 )
s.t
4 x1
4 x2
d
2
d
2
36
(l3 )
6 x1 8x2
d
3
d
3
48
(l4 )
x1, x2 0,
0
(i 1,2,3)
Cj
0
CB XB b x1
0
d
1
0
1
P2
d
2
10
1
P3
d
3
56
8
0
0 P1 P2 P2 P3 0
0
x2 d1
d
1
d
2
d
2
d
3
d
3
x3
－1 1 －1 0 0 0 0 0
2 0 0 1 －1 0 0 0
10 0 0 0 0 1 －1 0
0 x3 11 2 1 0 0 0 0 0 0 1