用单纯形法求解目标规划

合集下载

规划数学(运筹学)第三版课后习题答案习题 2

习题21图解法解下列目标规划问题：1122334min (2)f Pd P d P d d -+--=+++..s t 121140x x d d -+++-=122250x x d d -+++-=13324x d d -++-=1244430x x d d -+++-=120,0;,0,1,2,3,4i i x x d d i -+≥≥≥=P 1:AD 直线上侧，P 2:四边形ABCD,P 3:四边形ABEF ，P 4:四边形ABEF 。

故该问题的满意解为四边形ABEF 内的点，所有目标都达到了。

2用单纯形法求解以下目标规划问题的满意解：（1）1122334min (53)f Pd P d P d d -+--=+++..s t 121180x x d d -+++-=122290x x d d -+++-=13370x d d -++-=24445x d d -++-=120,0;,0,1,2,3,4i i x x d d i -+≥≥≥=（2）1122234min ()f P d d P d P d -+--=+++..s t 12114580x x d d -+++-=12224248x x d d -+++-=123381080x x d d -+++-=1445x d d -++-=120,0;,0,1,2,3,4i i x x d d i -+≥≥≥=5案例练习（1)某厂生产甲、乙两种产品，每件利润分别为20、30元。

这两种产品都要在A 、B 、C 、D 四种设备上加工，每件甲产品需，而这4种设备正常生产能力依次为每天12、8、16、12机时。

此外，A 、B 两种设备每天还可加班运行。

试拟订一个满足下列目标的生产计划： 1P ：两种产品每天总利润不低于120元；2P ：两种产品的产量尽可能均衡；3P ：A 、B 设备都应不超负荷，其中A 设备能力还应充分利用（A 比B 重要3倍）。

民航运筹学_中国民用航空飞行学院中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

民航运筹学_中国民用航空飞行学院中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.同一目标约束的一对偏差变量，至少有一个取值为0。

参考答案:正确2.目标规划问题一定存在最优解参考答案:错误3.在目标规划求解中，若高级别目标不能满足时，其后的低级别目标也一定不能满足。

参考答案:错误4.对于只有两个决策变量的目标规划问题，可用图解法求解。

参考答案:正确5.在用单纯形法求解目标规划时，利用最小比值法确定换出变量。

参考答案:正确6.目标规划的满意解不可能出现（）参考答案:di+>0，di- >07.用图解法求解目标规划问题，满意解在图中可能是（）参考答案:（A）（B）（C）之一8.以下叙述不正确的是（）参考答案:目标规划模型用单纯形法求解时，某些情况也需增加人工变量9.以下叙述正确的是（）参考答案:目标规划模型的约束中含绝对约束和目标约束10.产地个数为m销地个数为n的平衡运输问题的系数矩阵为A，则有r(A)≤m+n－1。

参考答案:错误11.表示作业法实质上是求解运输问题的单纯形法。

参考答案:正确12.按最小元素法（或Vogel法）给出的初始基可行解，从每一个空格出发可以找到唯一的闭回路。

参考答案:正确13.下列结论正确的有( )参考答案:表上作业法使用的条件是产量等于销量的平衡问题_用位势法判断一个解是否最优时，得出的位势值存在且唯一_任何运输问题都存在可行解14.有m个产地n个销地的平衡运输问题模型具有特征有( )参考答案:有mn个变量，m+n个约束_系数矩阵的秩等于m+n-1_有m+n-1个基变量，mn－m－n+1个非基变量15.当迭代到运输问题最优解时，如果有某非基变量的检验数等于0，则说明该运输问题有（）参考答案:多重最优解16.在求解运输问题的表上作业法中，空格的检验数值应等于（）参考答案:（闭回路上奇数次顶点运价之和）-（闭回路上偶数次顶点运价之和）17.关于产销不平衡的运输问题，下列叙述正确的是（）参考答案:当产大于销时，只在运价表右端增加一列Bn+1，运价为零,销量为bn+1即可18.产销平衡的运输问题的数学模型系数矩阵的Pij中只有两个元素取1，其余为0，这两个1的元素位于（）参考答案:第i行和第m+j行19.运输问题是一类特殊的线性规划问题，因而求解的结果为（）参考答案:可能出现唯一最优解或多重最优解20.对偶单纯形法适用于下列线性规划：在求目标函数最大值时，所有非基变量的检验数都小于等于0，但存在某些基变量的值为负数参考答案:正确21.在对偶单纯形法中，因为总存在<0的bi，选取数值最小的作为第r行，令br=min{bi}，其对应变量xr为换出基的变量。

运筹学作业-王程130404026

运筹学作业王程信管1302130404026目录运筹学作业 (1)第一章线性规划及单纯形法 (3)第二章线性规划的对偶理论与灵敏度分析 (24)第三章运输问题 (53)第四章目标规划 (63)第五章整数规划 (73)第六章非线性规划 (85)第七章动态规划 (94)第八章图与网络分析 (97)第九章网络计划 (99)第一章线性规划及单纯形法1.1分别用图解法和单纯形法求下列线性规划问题，⑴指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解；⑵当具有限最优解时，指出单纯形表中的各基可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。

121212121min 23466 s.t.324,0z x x x x x x x x =++≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩（） 1212121,22max 3222s.t.34120z x x x x x x x x =++≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩（）121212123max 105349 s.t.528 ,0z x x x x x x x x =++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩（） 121212124max 5622 s.t.232,0z x x x x x x x x =+-≥⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩（）解：⑴图解法：当212133x x z =-经过点6155（，）时，z 最小，且有无穷多个最优解。

⑵图解法：1x该问题无可行解。

⑶图解法：当21125x x z =-+经过点312（，）时，z 取得唯一最优解。

单纯形法：在上述问题的约束条件中分别加入松弛变量34,x x ，化为标准型：12341231241234max 10+500349s.t.528,,,0z x x x x x x x x x x x x x x =++++=⎧⎪++=⎨⎪≥⎩由线性规划问题的标准型可列出单纯初始形表逐步迭代，计算结果如下表所示：**33(,1,0,0),10512022(0,0,9,8)821(,0,,0)553(1,,0,0)2T T T T X Z X O X C X B ==⨯+⨯====（0）（1）（2）单纯形表的计算结果表明：单纯形表迭代的第一步得，表示图中原点（0,0）单纯形表迭代的第二步得，表示图中点单纯形表迭代的第三步得，表示图中点⑷图解法：当215166x x z =-经过点2,2（）时，z 取得唯一最优解。

用单纯形法求解目标规划

P1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 σkj P2 -10 －1 －2 0 0 0 2 0 0 0
P3 -56 －8 －10 0 0 0 0 0 1 0
Cj
0
0
0 P1 P2 P2 P3 0 0
CB XB b x1
x2
d
1
d
1
d
2
d
2
d
3
d
3
x3
0
d
1
5 3/2 0
1 －1 1/2 -1/2 0
0 0 0 -2/5 2/5 1
0 1 0 -3/10 3/10 0
00 01 0 0
00 00 0 0
00 00 0 0
P2 P3 0
d
2
d
3
d
3
000
000
-1 0 0
0 1 -1
0 0 0单
1 0 0纯 0 0 1形 0 -1 1 表 0 1/10 -1/101
-1 -3/5 3/5
0 1/20 -1/20
cj
CB XB b
0 x3 60
0 x1 0
0
d
2
36
P3
d
3
48
P1 j c j z j P2
P3
0 x3 12
0 x1 24/5
0
d
2
36/5
0 x2
j cj zj
12/5
P1 P2 P
单纯形表1
00 x1 x2
0 P1 x3 d1
00
d1
d
2Байду номын сангаас
0 20 1 -5 5 0
1 -2 0 1 -1 0

目标规划的单纯形法

Ch4 Goal Programming
2020年5月14日星期四 Page 2 of 6
【解】用单纯形法求解目标规划问题的具体步骤如下：
第１步：列出初始单纯形表。由于目标规划中的目标函数一定是求极小，为方便起见不转换成求极大。又由于各目标约束中的负偏差变量其系数均为单位向量，全部负偏差变量的系数列向量构成一个基。因此本例中以d1－、d2 －、d3－作为基变量，列出初始单纯形表见表4－1。
1
§4.3 单纯形法 Simplex Method
Ch4 Goal Programming
2020年5月14日星期四 Page 5 of 6
这里需要说明两点： 1．对目标函数的优化是先按优先顺序逐步进行的。当P1行的
所有检验数均为非负时，说明第一级已得到优化，可转入下一级，再考察P2行的检验数是否存在负值，依此类推。
因为目标函数中各偏差变量分别乘以不同的优先因子，因此表中检验
数（cj－zj）按优先因子Ｐ1、Ｐ2分成两行，分别计算。
第２步：确定换入变量。在表4－１中按优先级顺序依次检查Ｐ1,P2,Ｐ 3,…，Ｐk行的（cj－zj）值是否有负的。因表中Ｐ1行存在负检验数，说明目标函数中第一优先级可进一步优化，选取Ｐ行中最小检验数，其对应变量
第五章整数规划 Exit
b
0
x1 1 ½
1/2 －1/2
20
0
d1+
[1/2] －1 1 1/2 －1/2
10
P2
d3－
1/2
－3/2 3/2 1 －1 40
Cj－Zj
P1
1
1
P2
－½
－3/2
1
0
x1 1
1 －1

线性规划的解法

线性规划的解法线性规划是现代数学中的一种重要分支，它是研究如何在一定约束条件下优化某种目标函数的一种数学方法。

在现实生活中，许多问题都可以用线性规划求解。

如在生产中，如何安排产品的产量才能最大化利润；在运输中，如何安排不同的运输方式最大程度降低成本等等。

线性规划的解法有多种，下面我们就来对其进行详细的介绍。

1. 单纯形法单纯形法是线性规划中最重要的求解方法之一，它是由Dantzig于1947年提出的。

单纯形法的基本思路是从某一个初始解出发，通过挑选非基变量，使得目标函数值逐步减少，直到得到一个最优解。

单纯形法的求解过程需要确定初始解和逐步迭代优化的过程，所以其求解复杂度较高，但是在实际中仍有广泛应用。

2. 对偶线性规划法对偶线性规划法是一种将线性规划问题转化为另一个线性规划问题来求解的方法。

这种方法的主要优势是，它可以用于求解某些无法用单纯形法求解的问题，如某些非线性规划问题。

对偶线性规划法的基本思路是将原问题通过拉格朗日对偶性转化为对偶问题，然后求解对偶问题，最终得到原问题的最优解。

3. 内点法内点法是一种由Nesterov和Nemirovsky于1984年提出的方法，它是一种不需要寻找可行起点的高效的线性规划求解方法。

内点法的基本思路是通过不断向可行域的内部靠近的方式来求解线性规划问题。

内点法的求解过程需要实现某些特殊的算法技术，其求解效率高，可以解决一些规模较大、约束条件复杂的线性规划问题。

4. 分枝定界法分枝定界法是一种通过逐步将线性规划问题分解成子问题来求解的方法。

这种方法的基本思路是，在求解一个较大的线性规划问题时，将其分解成若干个较小的子问题，并在每个子问题中求解线性规划问题，在不断逐步求解的过程中不断缩小问题的规模，最终得到问题的最优解。

总之，不同的线性规划解法各有千秋，根据实际问题的需要来选择合适的求解方法是非常重要的。

希望本文能够对您有所帮助。

单纯形法大M法求解线性的规划问题

无界解
无最优解与无可行解时两个不同的概念。 ➢ 无可行解是指原规划不存在可行解，从几何的角度解释是指
线性规划问题的可行域为空集； ➢ 无最优解则是指线性规划问题存在可行解，但是可行解的目
标函数达不到最优值，即目标函数在可行域内可以趋于无穷大（或者无穷小）。无最优解也称为有限最优解，或无界解。
判别方法：无最优解判别定理
两阶段法
两阶段法引入人工变量的目的和原则与大M法相同，所不同的是处理人工变量的方法。
两阶段法的步骤：求解一个辅助线性规划。目标函数取所有人工变量之和，并取极小化；约束条件为原问题中引入人工变量后包含一个单位矩阵的标准型的约束条件。
如果辅助线性规划存在一个基本可行解，使目标函数的最小值等于零，则所有人工变量都已经“离基”。表明原问题已经得了一个初始的基本可行解，可转入第二阶段继续计算；否则说明原问题没有可行解，可停止计算。
Z可以
例2、试用单纯形法求解下列线性规划问题： m a x Z = 2 x 1 + 2 x 2
解：引入松弛变量x3,x4化为标准型
m axZ=2x1+2x 2
-x 1 x 2 x 3 1
-
1 2
x1
x
2
+x4 2
x j 0 , j 1 , 2 , 3 , 4
x 1 - x 2 -1
人工变量的值不能取零，说明了原线性规划的数学模型的约束条件出现了相互矛盾的约束方程。此时线性规划问题的可行域为空集。
例1、求解下列线性规划问题
解：
首先将问题化为标准型
令 Z ' = -Z ，则
m axZ '= -3x 1-2x 2 -x 3
x1+x 2 +x 3+x 4

单纯形法大M法求解线性规划问题

可得改进的基本可行解。
1
B=(P3P5
)=
0
0 1
，基变量
x 3，x 5
非基变量x1,x 2 , x 4 。
X
B
=
x3 x5
,X
N
=
x1 x2 x4
,B=
1 0
1
0 1
,N=
2 5 2
1 3
1
2 -1 2
,
CB =(3,1) CN =(5,2,-1)
,b=
4 3
➢ 若在化标准形式前，m个约束方程都是“≤”的形式，那么在化标准形时只需在一个约束不等式左端都加上一个松弛变量xn+i (i=12…m)。
➢ 若在化标准形式前，约束方程中有“≥”不等式，那么在化标准形时除了在方程式左端减去剩余变量使不等式变成等式以外，还必须在左端再加上一个非负新变量，称为人工变量．
➢ 即使系数矩阵Ａ中找到了一个基B，也不能保证该基恰好是可行基。因为不能保证基变量ＸB=Ｂ-1b≥0。
➢ 为了求得基本可行解
X=
B，01b必须求基Ｂ的逆阵Ｂ-1。
但是求逆阵Ｂ-1也是一件麻烦的事。
结论：在线性规划标准化过程中设法得到一个m阶单位矩阵I作为初始
可行基Ｂ，
6
为了设法得到一个m阶单位矩阵I作为初始可行基Ｂ，可在性规划标准化过程中作如下处理：
Ｎ=(Ｐm+1，Pm+2， …Pn)为非基变量xm+1，xm+2， …xn的
系数列向量构成的矩阵。
4
所以约束方程 AX=就b可以表示为
AX=(BN)
XB XN
=BXB
+NXN
=b
用可行基Ｂ的逆阵Ｂ-1左乘等式两端，再通过移项可推得：

解目标规划的单纯形法

⑤(在4表)4-1按上计算单最小纯比值形法进行基变换运算，建立新的计算表，返回(2).
(5) 当k=K时，计算结束. 表中的解即为满意解.否则置 k=k+1，返回到(2).
【例4--4】用单纯形法求解目标规划问题
min
z
P1
d
1
P2
(
d
_ 2
d
2
)
P3
d
3
2 x1 x2 xs 11
cj-zj
P2
P3
3/2 3/2 1/2 1
3
-3
1 1
-1/2 1/2 -1 1/2 -1/2
1/2 -1/2 -5 5 1 1 11 5 -5
4 10/3 10 -1 6/3
1
依此类推，直至得到最终表为止。见表4-3.
表4-3
cj CB XB b
P1 P2 P3 P4 x1 x2 xs d1- d1+ d2- d2+ d3- d3+ θ
P2 d2-1 6 1/3 1/3
1
P3 d2+ 1 -6 -1/3 -1/3
1
表4-4
P4 d3- d3+ -1 1
1
θ
表4-3所示的解x1*=2，x2*=4为例1的满意解. 此解相当于图4-1的G点。由表4-4得到解x1*=10/3， x2*=10/3，此解相当于图4-1的D点，G、D两点的凸线性组合都是例1的满意解.
解目标规划问题的单纯形法的计算步骤:
(1) 建立初始单纯形表，在表中将检验数行按优先因子个数分别列成K行，置k=1.
此表(解中2相的当解) 于即检图为满4-查1意的解G.点该。行中是否存在负数，且对应的前k-1行的系数是零。若有负数取其中最小者对应的变量为换入 ③ 因k(=1)＜K(=3)，置k=k+1=2，返回到(2)。

求解线性规划的单纯形法(1)

Q3：如何找下一个相邻的基本可行解？
◦ 确定移动的方向 ◦ 确定在何处停下 ◦ 确定新的基本可行解
求解线性规划的单纯形法
例：用单纯形法求解以下线性规划问题
求解线性规划的单纯形法首先将模型转化成标准形式
求解线性规划的单纯形法
Q1：确定初始的基本可行解
• 选择原点：
– 令决策变量 x1= x2 = 0得：X0 = ( 0，0，3，4)T
xx33 = 1 -x2 ≥=0 → x2 ≤ 1/1
x4 = 2 -x2 ≥ 0 → x2 ≤ 2/1
离基（最小比值规则）：
x2 ≤ min {1/1，2/1 } = 1 x2 = min {1/1，2/1 } = 1
x3为离基变量
X1 = ( 0, 1, 0, 1)T
求解线性规划的单纯形法
3
x1 + 2x2
+ x4 =4
初等数学变换
新的BF解 x1 =0，x4 =0 x3 =？1 ，x2 =2
新方程
Z x1/2
+ 3x4 /2 =6
x1/2 + x3 - x4 / 2 1
x1/2 + 2x2 + x4 /2 =2
非最优解！
• 寻找新的基本可行解：
– 初等数学变换
非基变量 x1的系数 X*=（0, 2, 1, 0）是正数！
x1 2
x1 2
－
x1 4
初等行变换
x3

0
确定x3为离基变量
Z*=7,X*=(2,1,0,0)
非基变量系数>0，最优！
Z x1/2
+ 3x4 /2 =6
x1/2 + x3 - x4 / 2 1

线性规划-单纯形法

函数值增大，故要选检验数大于0的非基变量换到基变量中（称之为入基变量）。若有两个以上的 σj＞0，一般选其中的 σj最大者本例中σ2=100
选x2为入基变量。
2. 出基变量的确定
要在原来的3个基变量s1，s2，s3中确定一个出基变量如果把s3作为出基变量，则新的基变量为x2，s1，s2，
x2 +s1=300，
bj 350 125 350 125
s3
zj
0
2
-2M
1
-M
0
M
0
M
1
0
0
600
300
0 -M -M
σj=cj-zj
-2+2M -3+M -3+M -M 0
0
0
-475M
cB a1 1 x1 -M -2
x1
x2
s1
s2
s3
a1
a2
-2
0 1
-3
1 0
0
-1 0
0
1 -1
0
0 0
-M -M
1 0 -1 1
x1 10
3 5 5 10
x2 9
2 5 6 9
x3 4
4 1 3 4
x4 6
2 3 1 6
x5 0
1 0 0 0
x6 0
0 1 0 0
x7 0
0 0 1 0
bj
bj/aj1
70 70/3 60 60/5 25 25/5
0
σj=cj-zj
cB x5 x6 x1 0 0 10
x1 10
0 0 1 0
z1 z0 j x j
jJ
x j≥ 0 j ≤0

单纯形法

为了方便讨论，我们将选择线性规划问题的如下形式为标准形式： Maximize Z = c1x1 + c2x2 + . . . + cnxn,
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 ... ... ... am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn =bm x1 > 0, x2 > 0, . . . , xn > 0.
巨斯特石油公司混合问题
巨斯特石油公司要生产两种汽油产品, 一种是一般的汽油, 另一种是特殊的汽油, 公司炼油厂希望通过合成4类石油成份来生产这两种汽油产品; 这些汽油的售价不同,4种石油成份成本也不同; 公司希望确定一种混合这4类石油成份以生产两种汽油产品的方案来获取最大的利润.
巨斯特石油公司混合问题
单纯形法
例红星重型机械厂的产品组合问题的线性规划问题引入松弛变量化为如下标准形式：
max
Z 4 x1 3 x2
x3 6 x1 2 x2 x4 8 s.t 2 x1 3 x2 x5 18 x , x , x , x , x 0 1 2 3 4 5
线性规划在不同领域的应用
线性规划在很多领域都有应用, 除前面的经典应用模型外, 本章继续举例研究一些较为复杂应用案例: 如航线安排问题P80, 水力发电问题P82, 用来进一步说明线性规划建模技术与用Excel求解方法. 这里不再一一列举.
基阵（ P1 P2 P4,）基本可行解(6,2,0,4,0)对应可行区域顶点B(6,2) 基阵（ P1 P3, P4,）, 基本解(9,0,-3,8,0)对应顶点A(9,0) ………………. 另外，A的另外两个m=3阶子矩阵（ P2,P4,P5 ）和（ P1,P3,P5 ）不可逆，不能构成基阵.

单纯形法求解线性规划的步骤

单纯形法求解线性规划的步骤1>初始化将给定的线性规划问题化成标准形式,并建立一个初始表格,它最右边的单元格都是非负的(否则无解),接下来的m列组成一个m*m的单元矩阵(目标行的单元格则不必满足这一条件),这m列确定了初始的基本可行解的基本变量,而表格中行用基本变量来表示2>最优化测试如果目标行的所有单元格都是非负的(除了最右列中代表目标函数值的那个单元格),就可以停止了,该表格代表了一个最优解,它的基本变量的值在最右列中,而剩下的非基本变量都为03>确定输入变量从目标行的前n个单元格中选择一个负的单元格(选择绝对值最大的那个)该单元格所在的列确定的输入变量及主元列4>确定分离变量对于主元列的每个正单元格,求出θ比率(如果主元格的单元格为负或为0,说明该问题是无解的,算法终止),找出θ比率最小的列,改行确定了分离变量和主元行5>建立下一张表格将主元行的所有单元格除以主元得到新的主元行,包括主元行在内的每一行,要减去改行主元列单元格和新主元行的成绩(除主元行为1外,这一步将主元列的所有单元格变成0).把主元列的变量名进行代换,得到新的单纯形表,返回第一步为求简单在本程序中,需要自己建立标准矩阵(比如加入松弛变量等工作需要用户自己完成),程序的输入有两种方式:1:指定行和列,由用户自行输入每一个元素SimpleMatrix(introw=0,int col=0);2:直接在主程序中初始化一个二维数组,然后利用构造函数SimpleMatrix(introw,int col,double **M) 来初始化和处理(本程序所用的实例用的是这种方法)程序中主要的函数以及说明~SimpleMatrix();销毁动态分配的数组.用于很难预先估计矩阵的行和列,所以在程序中才了动态的内存分配.需要重载析构函数bool Is_objectLine_All_Positive();其中row2为主元所在的行,col为主元所在的列,row1为要处理的行void PrintAnswer();数不合法"<<endl;}SimpleMatrix::SimpleMatrix(int row,int col){init(row,col);for(int i=0;i<rowLen;i++)cout<<"请输入矩阵中第"<<i+1<<"行的系数"<<endl; for(int j=0;j<colLen;j++)cin>>data[i][j];}？}SimpleMatrix::SimpleMatrix(int row,int col,double **M) {rowLen=row;colLen=col;init(row,col);for (int i=0;i<row;i++)for(int j=0;j<col;j++){data[i][j]=*((double*)M+col*i+j); ;}}SimpleMatrix::~SimpleMatrix(){if(colLen*rowLen != 0 ){for(int i=rowLen-1;i>=0;i--){if (data[i]!=NULL)delete[] data[i];}if (data!=NULL)delete[] data;}？}bool SimpleMatrix::Is_objectLine_All_Positive(){for(int i=0;i<colLen-1;i++)if(data[rowLen-1][i]<0)return false;return true;}bool SimpleMatrix::Is_MainCol_All_Negative(int col) {for(int i=0;i<rowLen;i++)if(data[i][col]>0)return false;return true;}bool SimpleMatrix::Is_column_all_Positive(int col){for(int i=0;i<rowLen-1;i++){return false;}return true;}int SimpleMatrix::InColumn(){int count=0;for(int i=0;i<colLen-1;i++){int temp=GetItem(rowLen-1,i);if(temp>=0){count++;}elsebreak;}double maxItem=fabs(GetItem(rowLen-1,count));int index_col;for(i=0;i<colLen-1;i++){double temp=GetItem(rowLen-1,i);if(temp<0){if(maxItem<=fabs(temp)){maxItem=fabs(temp);index_col=i;}}}return index_col;}int SimpleMatrix::DepartRow(int col){int index_row;int count=0;for(int i=0;i<rowLen;i++){if(data[i][col]<0)count++;elsebreak;}double minItem=data[count][colLen-1]/data[count][col]; index_row=count;double temp;for(i=0;i<rowLen-1;i++)temp=data[i][col];if(temp>0){temp=data[i][colLen-1]/temp;if(temp<minItem){minItem=temp;index_row=i;}}}return index_row;}void SimpleMatrix::MainItem_To_1(int row,int col){double temp=GetItem(row,col);pp#include <iostream>#include ""using namespace std;int main(){double M[4][7]={{5,3,1,1,0,0,9},{-5,6,15,0,1,0,15},{2,-1,1,0,0,-1,5},{-10,-15,-12,0,0,0,}}; SimpleMatrix Matrix(4,7,(double **)M);if(5))//判断是否存在最优解{bool p=();//判断主元列是否全部为正,确定是否已经取得最优解while(!p){int col=();//确定主元所在的行if(col))//确定线性规划的解是否为无解的{cout<<"线性规划问题是无界的,没有最优解"<<endl;exit(EXIT_FAILURE);}else{int mainRow=(col);//确定主元所在的行(mainRow,col);//将主元所在的行做变换,使主元变成1int i=0;while(i<()){if(i!=mainRow){(i,mainRow,col);//处理矩阵中其他的行,使主元列的元素为0i++;}elsei++;}}}for(int i=0;i<();i++)//输出变换以后的矩阵,判断是否正确处理{for (int j=0;j<();j++){cout<<(i,j)<<" ";}cout<<endl;}p=();}();}elsecout<<"线性规划无解"<<endl;return0;}。

管理运筹学课后答案

2.2 将下列线性规划模型化为标准形式并列出初始单纯形表。

（1）123123123123123min 243221943414..524260,0,z x x x x x x x x x s t x x x x x x =++-++≤⎧⎪-++≥⎪⎨--=-⎪⎪≤≥⎩无约束解：（1）令11333','",'x x x x x z z =-=-=-，则得到标准型为（其中M 为一个任意大的正数）12334567123341233561233712334567max '2'24'4''003'22'2''194'34'4''14..5'24'4''26',,','',,,,0z x x x x x x Mx Mx x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x =-++-++--++-+=⎧⎪++--+=⎪⎨++-+=⎪⎪≥⎩初始单纯形表如表2-1所示：2.3 用单纯形法求解下列线性规划问题。

（1）123123123123123max 2360210..220,,0z x x x x x x x x x s t x x x x x x =-+++≤⎧⎪-+≤⎪⎨+-≤⎪⎪≥⎩ （2） 1234123412341234min 52322347..2223,,,0z x x x x x x x x s t x x x x x x x x =-+++++≤⎧⎪+++≤⎨⎪≥⎩解：（1）最优解为**(15,5,0),25T x z ==。

（2）最优解为**(0,1.5,0,0),3T x z ==-。

2.4 分别用大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题。

单纯形法的计算方法

第4章单纯形法的计算方法单纯形法求解线性规划的思路: 一般线性规划问题具有线性方程组的变量数大于方程个数, 这时有不定的解。

但可以从线性方程组中找出一个个的单纯形, 每一个单纯形可以求得一组解, 然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小, 决定下一步选择的单纯形。

这就是迭代, 直到目标函数实现最大值或最小值为止。

4.1 初始基可行解的确定为了确定初始基可行解, 要首先找出初始可行基, 其方法如下。

（1）第一种情况：若线性规划问题 max z =nj j j=1c x ∑1,1,2,...,0,1,2,...nij j i j ja xb i mx j n =⎧==⎪⎨⎪≥=⎩∑从Pj ( j = 1 , 2 , ⋯ , n )中一般能直接观察到存在一个初始可行基121(,,...,)n B P P P 0 0⎛⎫ ⎪0 1 0 ⎪== ⎪ ⎪0 0 1⎝⎭（2）第二种情况：对所有约束条件是“ ≤”形式的不等式, 可以利用化为标准型的方法, 在每个约束条件的左端加上一个松弛变量。

经过整理, 重新对j x 及ij a ( i = 1 , 2 , ⋯ , m ; j = 1 , 2 , ⋯ , n )进行编号, 则可得下列方程组11,111122,1122,1112.........,,...,0m m n n m m n n m m m m nn n nn x a x a x b x a x a x b x ax a x b x x x +++++++++=⎧⎪+++=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎪≥⎩显然得到一个m ×m 单位矩阵121(,,...,)n B P P P 0 0⎛⎫ ⎪0 1 0 ⎪== ⎪ ⎪0 0 1⎝⎭ 以B 作为可行基。

将上面方程组的每个等式移项得111,111222,112,11.........m m n nm m n nm m m m m mn n x b a x a x x b a x a x x b a x a x ++++++=---⎧⎪=---⎪⎨ ⎪⎪=---⎩令12...0,m m n x x x ++====由上式得(1,2,...,)i i x b i m == 又因i b ≥0, 所以得到一个初始基可行解12()12()(,,...,,0,...,0)(,,...,,0,...,0)Tm n m Tm n m X x x x b b b --= =个个（3）第三种情况：对所有约束条件是“ ≥”形式的不等式及等式约束情况, 若不存在单位矩阵时, 就采用人造基方法。

线性规划(单纯形法)

m Z = x1 + 2x2 + x3 ax 2x1 − 3x2 + 2x3 + x4 = 15 1 s.t x1 + x2 + 5x3 + x5 = 20 3 x j ≥ 0, j = 1,2,L,5
不难看出x 可作为初始基变量，列单纯形表计算。不难看出 4、x5可作为初始基变量，列单纯形表计算。
单纯形法的进一步讨论－单纯形法的进一步讨论－人工变量法
Page 17
故人为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：故人为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型： max Z = 3x1 − x2 − x3 + 0x4 + 0x5－Mx6 − Mx7
x1 − 2x2 + x3 + x4 = 11 − 4x + x + 2x − x + x = 10 1 2 3 5 6 − 2x1 + x3 + x7 = 1 x j ≥ 0, j = 1,2,L,7
确定换出变量。根据下式计算并选择θ 选最小的θ对应基 ② 确定换出变量。根据下式计算并选择，选最小的对应基
单纯形法的计算步骤
③
Page 6
用换入变量xk替换基变量中的换出变量，得到一个新的基。用换入变量替换基变量中的换出变量，得到一个新的基。替换基变量中的换出变量对应新的基可以找出一个新的基可行解，对应新的基可以找出一个新的基可行解，并相应地可以画出一个新的单纯形表。一个新的单纯形表。
4 4 2
1 0 0 0
0 0 1 0
0 -2 1/2 -3/2
1/4 1/2 -1/8 -1/8
0 1 0 0

2.2目标规划的单纯形法

例2-1

某电视机厂生产46厘米和51厘米两种电视机，平均生产能力1台/小时，工厂的正常生产能力是每日两班、每周 80小时。根据市场预测，下周的最大销售量是46厘米70 台，51厘米35台。已知每出售一台46厘米的可获利250 元，51厘米的可获利150元，试决定最优生产计划。经理按重要程度确定以下目标：
x3 x1 , x3 x2
2x3 x1 x2 0
x4 x7 x4 x7 0
2 x5 x1 x2 0 x6 x7 0
模型求解（LINGO）最优解： x1 = x2 = x3 = x6 = x7 = x9 =1, 其他为0；6门课程，总学分21.
x8 x5 0
多目标规划
• 对学分数和课程数加权形成一个目标，如三七开.
min Y 1Z 2W 0.7Z 0.3W
课号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课名微积分线性代数最优化方法数据结构应用统计计算机模拟计算机编程预测理论数学实验学分 5 4 4 3 4 3 2 2 3
x1 d 2 300
目标规划单纯形法的步骤：
（1）建立初始单纯形表，其中负偏差变量起松弛变量的作用，作为基变量；（2）求检验数，检验数行是4X7矩阵；（3）换入变量：最大的正的检验数对应的为换入变量，从下往上逐级寻找，若全部非正，则最优；（4）换出变量：主列正数除右项，选择比值小的换出；（5）经过行变换得新解，重复以上步骤。
2x9 x1 x2 0
讨论：选修课程最少，学分尽量多，应学习哪些课程？
课程最少
学分最多
min Z xi
i 1
9
max W 5x1 4 x2 4 x3 3x4 4 x5 3x6 2 x7 2 x8 3x9

第4章+目标规划-第3-5节

⑥ 进行基变换运算，计算结果见表4-2
CB cj XB xs d1x2 d3b 6 5 5 6 P1 P2 P3 x1 x2 3/2 3/2 1/2 1 [3] -3 P1 P2 xs d1- d1+ d2-1/2 1 1 -1 1/2 1/2 -5 1 1 5 P3 P4 d2+ d3- d3+ θ 1/2 4 10/3 -1/2 10 -1/2 5 1 -1 6/3 1 -5 1
2/3
3 - 2/3 - 1/3 1/3
1
第5节应用举例
例6 某单位领导在考虑本单位职工的升级调资方案时，依次遵守以下规定： (1) 不超过年工资总额60000元； (2) 每级的人数不超过定编规定的人数； (3) Ⅱ，Ⅲ级的升级面尽可能达到现有人数的20%，且无越级提升； (4) Ⅲ级不足编制的人数可录用新职工，又 Ⅰ级的职工中有10%要退休。有关资料汇总于表4-8中，问该领导应如何拟订一个满意的方案。
(2) min z= P1d3- + P2(2d1++3d2+)+P3d4+ • 将变化了的优先等级直接反映到表4-5上。再计算检验数， P1、P2行对换得表4-6 • 然后进行迭代，直到求得新的满意解为止 • 从表4-7中得到新的满意解x1*=4，x2*=12。
表4-6
CB P1 cj XB x2 x1 d 3d4 2P2 b x1 x2 d1- d1+ d21 1 -1 -1 6 1 4 1 -3 3 -2 18 -1 [1] 2 3 -3 2 P1 2 P2 P3 3P2 P1 P3 d2 + d 3 - d3 + d 4- d 4+ 1 -1 2 1 -1 1 -1 1 -2 3 1

规划数学单纯形法和复形法

05
CHAPTER
结论
对单纯形法和复形法的总结
单纯形法
单纯形法是一种求解线性规划问题的经典方法，通过迭代和搜索可行解区域，最终找到最优解。该方法具有简单、直观和易于实现的特点，但可能在处理大规模问题时效率较低。
复形法
复形法是一种基于几何直观的线性规划方法，通过构造复形来逼近可行解区域，从而找到最优解。该方法在处理大规模问题时具有较好的效率和稳定性，但可能存在计算复杂度较高的问题。
否则继续迭代。
单纯形法的应用
资源分配问题
通过线性规划方法，可以合理分配有限资源，使得资源利用效率最大化。
生产计划问题
在生产计划中，通过线性规划方法可以确定最优的生产计划，使得生产成本最低、利润最大。
运输问题
在运输问题中，通过线性规划方法可以确定最优的运输方案，使得运输成本最低、运输效率最高。
基可行解
基可行解是满足约束条件的解中，至少有一个非零变量。
最优解
最优解是在基可行解中，使目标函数取得最大或最小值的解。
单纯形法的步骤
初始化
01
选择一个初始基可行解，并确定目标函数的系数。
迭代
02
通过迭代过程，不断寻找下一个基可行解，直到达到最优解或
确定无界解。
判断最优性
03
在每次迭代中，判断当前解是否为最优解，如果是则停止迭代，
可以进一步深入研究单纯形法和复形法的理论性质，如收敛性、最优性等，为算法的改进和应用提供理论支持。
THANKS
谢谢
单纯形法和复形法的概念
单纯形法是一种基于线性规划基本定理的迭代算法，通过不断迭代寻找最优解。
复形法的基本思想是将线性规划问题转化为凸集的交集问题，通过求解交集来得到最优解。

用单纯形法求解目标规划

规划数学(运筹学)第三版课后习题答案 习 题 2

民航运筹学_中国民用航空飞行学院中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

运筹学作业-王程130404026

用单纯形法求解目标规划

目标规划的单纯形法

线性规划的解法

单纯形法大M法求解线性的规划问题

单纯形法大M法求解线性规划问题

解目标规划的单纯形法

求解线性规划的单纯形法(1)

线性规划-单纯形法

单纯形法

单纯形法求解线性规划的步骤

管理运筹学课后答案

单纯形法的计算方法

线性规划(单纯形法)

2.2目标规划的单纯形法

第4章+目标规划-第3-5节

规划数学单纯形法和复形法

规划数学(运筹学)第三版课后习题答案习题 2