《空间中的平行关系》教案

《空间中的平行关系》教案

教学目标

1、知识与技能

（1）认识和理解空间平行线的传递性，会证明空间等角定理.

（2）通过直观感知，归纳直线和平面平行及平面和平面平行的判定定理.

（3）掌握直线和平面平行，平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用这些定理解决空间中的平行关系问题.

2、过程与方法

通过类比和转换的思维方法，将空间中的某些立体图形问题转化为平面图形的问题，从而化难为易，化繁为简，带未知为已知，使问题得到很好的解决（线∥线线∥面面∥面）.教学重难点

重点：平面的基本性质与推论以及它们的应用；线线平行及平行线的传递性和面面平行的定义与判定.

难点：自然语言与数学图形语言和符号语言间的相互转化与应用；如何由平行公理以及其他基本性质推出空间线、线，线、面和面、面平行的判定和性质定理，并掌握这些定理的应用.

教学过程

一、导入

看图观察，图中的关系是什么？

二、平面中的平行关系

1. 平行直线

（1）空间两条直线的位置关系

①相交：在同一平面内，有且只有一个公共点；

②平行：在同一平面内，没有公共点.

（2）初中几何中的平行公理：

过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行.

【说明】此结论在空间中仍成立．

（3）公理4（空间平行线的传递性）：

平行于同一条直线的两条直线互相平行．即：如果直线a // b,c // b，那么a // c.

【说明】此公理是判定两直线平行的重要方法：寻找第三条直线分别与前两条直线平行.

2. 等角定理

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这

两个角相等.

推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.

需要说明的是：对于等角定理中的条件：“方向相同”.

（1）若仅将它改成“方向相反”，则这两个角也相等.

（2）若仅将它改成“一边方向相同，而另一边方向相反”，则这两个角互补.此定理及推论是证明角相等问题的常用方法.

3. 空间图形的平移

如果空间图形F的所有点都沿同一方向移动相同的距离到F＇的位置，则说图形F在空间做了一次平移.

注意：图形平移后与原图形全等，即对应角和对应两点间的距离保持不变.

图形平移有如下性质：

（1）平移前后的两个图形全等；

（2）对应角的大小平移前后不变；

（3）对应两点的距离平移前后不变；

（4）对应两平行直线的位置关系在平移前后不变；

（5）对应两垂直直线的位置关系在平移前后不变.

4. 证明空间两直线平行的方法

（1）利用定义

用定义证明两条直线平行，需证两件事：一是两直线在同一平面内；二是两直线没有公共点.

（2）利用公理4

用公理4证明两条直线平行，只需证一件事：就是需找到直线c，使得a // c，同时b//c，由公理4得a // b.

5. 直线与平面平行

（1）直线和平面的位置关系有三种，用公共点的个数归纳为

（2）线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.

符号表示为：

（Ⅰ）该定理常表述为：“线线平行，则线面平行.”

（Ⅱ）用该定理判断直线a和平面α平行时，必须具备三个条件：

①直线a不在平面α内，即.

②直线b在平面α内，即.

③两直线a、b平行，即a // b.

这三个条件缺一不可.

（3）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和两平面的交线平行.

符号表示：若,则a // b, 即“线面平行，则线线平行”.

【说明】

a. 此定理可以作为直线与直线平行的判定定理

b. 定理中有3个条件：

①直线a和平面α平行，即a //α；

②平面α、β相交，即α∩β＝b；

③直线a在平面β内，即.

三者缺一不可.

（4）线面平行定理的应用

应用线面平行的判定定理证明线面平行，关键是找到平面内与平面外相互平行的直线.

应用线面平行性质定理解题的关键是利用已知条件作辅助平面，然后把已知中的线面平行转化为直线和交线平行.

6. 两个平面的位置关系

同平面内两条直线的位置关系相类似；可以从有无公共点来区分：

①如果两个平面有不共线的三个公共点，那么由公理3可知：这两个平面必然重合；

②如果两个平面有一个公共点，那么由公理2可知：这两个平面相交于过这个点的一条直线；

③如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面相互平行.

由此可知两个不重合的平面的位置关系：

（1）平行——没有公共点；

（2）相交——至少有一个公共点（或有一条公共直线）.

7. 面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.

已知：、，，∥，∥（如图所示）

求证：∥

证明：用反证法

假设

∥，，∥

同理有∥

由公理4知∥，这与相矛盾.

∥

注意：（1）此定理用符号表示为

（2）应用本定理的关键是：要证面面平行，转化为证线面平行，即在内找两条相交直线、都平行于.

（3）这个定理有推论：“若一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行.”

8. 面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.

已知：，平面，（如图所示）

求证：

证明：

没有公共点，而，，、没有公共点

又、，

注意：（1）本定理可作为线线平行的判定定理使用.