单纯形法例题(20210121173229)
单纯形法的矩阵计算例题
1、在使用单纯形法求解线性规划问题时，初始基本可行解通常通过以下哪种方法获得？A. 两阶段法B. 高斯消元法C. 矩阵求逆D. 逐次逼近法（答案）A2、在单纯形表的迭代过程中，当所有检验数均非负时，说明当前解是？A. 无界解B. 无解C. 最优解D. 可行解但非最优（答案）C3、单纯形法中，选择进入基的变量时，通常选择检验数最小的变量，这是？A. 错误的做法B. 正确的做法，但仅当目标函数求最大值时C. 正确的做法，但仅当目标函数求最小值时D. 无论目标函数求最大还是最小，都是正确的做法（答案）B（假设题目中指的是选择绝对值最大的负检验数对应的变量进入基，若求最小值则选择正检验数）4、在单纯形迭代过程中，若出现某个基变量的值为零，而该变量在目标函数中的系数（即检验数）为正，则？A. 该问题无界B. 应立即停止迭代，因为当前解不可行C. 应将该变量从基中换出D. 这种情况不可能发生（答案）C5、单纯形法中，退出基的变量选择通常基于？A. 检验数的大小B. 基变量在约束条件中的系数比值（即比值检验）C. 目标函数中的系数D. 变量的下界或上界（答案）B6、在单纯形迭代过程中，若所有基变量的检验数均为零，则？A. 达到了最优解，且可能存在多个最优解B. 达到了最优解，且唯一C. 问题无解D. 需要进行人工变量调整（答案）A7、单纯形法中，若某个迭代步骤中发现无法找到符合条件的进入基变量（即所有检验数均非负），则？A. 当前解即为最优解B. 问题无解C. 需要引入人工变量继续迭代D. 应检查初始基本可行解的正确性（答案）A8、在构建初始单纯形表时，若目标函数为求最小化，则检验数应如何计算？A. 检验数= 目标函数系数- 约束条件右侧常数与基变量系数的乘积之和B. 检验数= 目标函数系数+ 约束条件右侧常数与基变量系数的乘积之和的相反数C. 检验数= 目标函数系数直接作为检验数D. 检验数= 约束条件左侧系数与目标函数系数的比值（答案）B（简化描述，实际计算中需考虑基变量的当前值和目标函数系数）9、单纯形法中，当某个基变量的值为负时，说明？A. 当前解不可行B. 当前解可能是最优解，但需进一步验证C. 应立即将该变量从基中换出D. 这种情况在正确执行单纯形法时不可能发生（答案）D（在正确执行时，基变量应始终非负）10、在单纯形迭代过程中，若发现某个非基变量的检验数为正，且该变量对应的约束条件为“≤”类型，则？A. 该变量应被选为进入基的变量B. 该变量不能进入基，因为其检验数为正C. 需要检查该变量的上界是否满足约束D. 该问题可能无解（答案）A（在求最大化问题时，正检验数对应的非基变量是潜在的进入基候选）。
运筹学单纯形法的例题
可行域在x1+3x2=7与4x1+2x2=9之下__
3
.
05.07.2020
练习㈠用图解法
5
4 4x1+x2=9
3
2
1 (2.25,0)
0
1
2
3
4
5
6
7
4
.
05.07.2020
练习㈠. 单纯形表
1 31 0 7 4 20 1 9
填入第一个约束的数据.
填入第二个约束的数据.
5
.
05.07.2020
❖至少有一个非基变量的检验数为正,但它的系 数全为非正,则无有限最优解；
❖所有非基变量的检验数全为非正，已有最优解， 但若其中至少有一个的检验数为0，且它的系 数中有2正4 的，则可能有. 无穷多个最优0解5.07.。2020
基变量列中_x_5_换为_x_1_,
改CB列,_-_M__换为_4__.
Excel
17
.
05.07.2020
练习㈢用图解法和单纯形法求 如下线性规划问题的最优解：
Max z =4 x1 + x2 x1 + 3x2 ≥ 7
s.t. 4x1 + 2x2 ≥ 9 x1 , x2 ≥ 0
可行域在直线 x1+3x2=7之上__
s.t. 4x1 + 2x2 -x4+x6=9
基引是进谁两?个这 理x“1里?,x人“2 ,工x-”3 如变,x4何量,x5处”,x6≥0
x5 ,x620
.
05.07.2020
练习㈢.用单纯形法
Max z=4x1+x2+0x3+0x4 -Mx5 –Mx6
运筹学 线性规划问题的单纯形法
线性规划的单纯形法
由上表可知：
S=100*X1+80*X2
约束条件：
2*X1+4*X2<=80
3*X1+1*X2<=60
X1,X2>=0
由此可以引入松弛变量：
2*X1+4*X2+k1<=80
3*X1+1*X2+k2<=60
S=100*X1+80*X2+(0)*k1+(0)*k2〃k1和k2为闲置时间不产生利润
可建表
注：Zj为Cj列的每行数分别与XI，X2，k1，k2列相乘然后加的结果（例如：0=0*2+0*3）由表可知X1所在列为最有列，所以K2退出基变组（列表下，红字部分表示交换格）
而由表可知要消去图中绿字所在行必须是图中绿字所在行-2*红字所在行。
消去后的表的情
注：此时由上表可知X2所在列是最有解，切Cj-Zj依旧为正。
所以，此时K1出基（将k1行中各数据*3/10）得到如下表：
注：由表可知此时Cj-Zj为零，如果接续下去此值将会为负所以此时由最大利润为2560即：当摩托车生产16辆，自行车生产12辆是有最大利润。
本题只是为了让和我有一样迷惑的人有一个解题案例，如若真正搞懂线性规划问题的单纯形法还得去以参考书为准。
单纯形法原理及例题
单纯形法原理及例题
单纯形法原理：
单纯形法是求解线性规划问题的一种数学方法，它是由美国数学家卢克·单纯形于1947年发明的。
用单纯形法求解线性规划的过程，往往利用线性规划的对偶形式，将原问题变换为无约束极大化问题，逐步把极大化问题转换为标准型问题，最后利用单纯形法的搜索方法求解满足所有约束条件的最优解。
例题：
问题：求解最小化目标函数z=2x1+x2的线性规划问题，约束条件如下：
x1+2x2≥3
3x1+x2≥6
x1,x2≥0
解：将上述线性规划问题转换为无约束极大化问题，可得：
极大化问题：
Max z=-2x1-x2
s.t. x1+2x2≤3
3x1+x2≤6
x1,x2≥0
将极大化问题转换为标准型问题，可得：
Max z=-2x1-x2
s.t. x1+2x2+s1=3
3x1+x2+s2=6
x1,x2,s1,s2≥0
运用单纯形法的搜索方法求解：
令x1=0,x2=0，则可得s1=3,s2=6，即(0,0,3,6)是单纯形的初始解；
令z=-2x1-x2=0，代入约束条件，可得x1=3,x2=3，则可得s1=0,s2=0，即(3,3,0,0)是新的单纯形解。
由于s1=s2=0，说明x1=3,x2=3是线性规划问题的最优解，且最小值为z=2*3+3=9。
运筹学原理单纯形法练习题
四、把下列线性规划问题化成标准形式：2、minZ=2x1-x2+2x3五、按各题要求。
建立线性规划数学模型1、某工厂生产A、B、C三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200，250和100件，最大月销售量分别为250，280和120件。
月销售分别为250，280和120件。
问如何安排生产计划，使总利润最大。
2、某建筑工地有一批长度为10米的相同型号的钢筋，今要截成长度为3米的钢筋90根，长度为4米的钢筋60根，问怎样下料，才能使所使用的原材料最省?某运输公司在春运期间需要24小时昼夜加班工作，需要的人员数量如下表所示： 起运时间 服务员数 2—6 6—10 10一14 14—18 18—22 22—24 8 10 7 12 4每个工作人员连续工作八小时，且在时段开始时上班，问如何安排，使得既满足以上要求，又使上班人数最少?五、分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题．并对照指出单纯形迭代的每一步相当于图解法可行域中的哪一个顶点。
六、用单纯形法求解下列线性规划问题：七、用大M法求解下列线性规划问题。
并指出问题的解属于哪一类。
八、下表为用单纯形法计算时某一步的表格。
已知该线性规划的目标函数为maxZ=5x1+3x2，约束形式为“≤”，X3，X4为松驰变量．表中解代入目标函数后得Z=10XlX2 X3 X4 —10 b-1 f g X3 2 C O 1 1／5 Xlade1(1)求表中a ～g 的值 (2)表中给出的解是否为最优解?（1）a=2 b=0 c=0 d=1 e=4/5 f=0 g=－5 （2） 表中给出的解为最优解 第四章 线性规划的对偶理论 五、写出下列线性规划问题的对偶问题 1．minZ=2x1+2x2+4x3六、已知线性规划问题应用对偶理论证明该问题最优解的目标函数值不大于25七、已知线性规划问题maxZ=2x1+x2+5x3+6x4其对偶问题的最优解为Yl﹡=4，Y2﹡=1，试应用对偶问题的性质求原问题的最优解。
单纯形法的计算步骤例题
单纯形法的计算步骤例题
单纯形法是一种用于线性规划问题的求解方法，它通过不断地移动解空间中的顶点，逐步逼近最优解。
下面我将通过一个简单的例题来说明单纯形法的计算步骤。
考虑以下线性规划问题：
最大化目标函数Z = 3x1 + 4x2
约束条件：
2x1 + x2 <= 10
x1 + 2x2 <= 8
x1, x2 >= 0
首先，我们将这个线性规划问题转化为标准型，引入松弛变量将不等式约束转化为等式约束。
得到如下形式：
最大化目标函数Z = 3x1 + 4x2
约束条件：
2x1 + x2 + x3 = 10
x1 + 2x2 + x4 = 8
x1, x2, x3, x4 >= 0
然后，我们构建初始的单纯形表格，包括目标函数系数矩阵、系数矩阵、单位矩阵和右端常数向量。
初始单纯形表格如下：
基变量x1 x2 x3 x4 常数
x3 2 1 1 0 10
x4 1 2 0 1 8
Z -3 -4 0 0 0
接下来，我们通过单纯形法进行迭代计算，每次迭代都要找到一个入基变量和一个出基变量，然后更新单纯形表格，直到满足最优解的条件。
在这个例子中，我们不再继续举例，因为单纯形法的计算步骤较为复杂，需要逐步进行迭代计算。
希望这个简单的介绍对你有所帮助。
单纯形法
一、单纯形法的直观背景
【例3】文教用品厂，利用白坯纸生产信封、公文袋、 便条纸。每单位产品的收益值、劳动力消耗、原料 消耗及人力、原料总量如下表。
产品 资源 劳动力（人） 白坯纸（公斤） 收益值（元/单位）
甲（信封） 乙（公文袋） 丙（便条纸） 总量
1/3 1 2
1/3 4 3
– 大M法 – 二阶段法
17
大M 法
单纯形法
松弛变量的引入可以实现标准化，但不能确保 典型化。初始单纯形表？ -------大M法。
min Z 3 x 1 4 x 2 20 x 1 30 x 2 900 40 x 1 30 x 2 1200 x 0, x 0 1 2
（一）引进松弛变量，实现线性规划标准化
标准型线性规划
•所有变量取值非负； •约束全部为等式； •约束条件有端常数全部非负。
标 准 型 的 一 般 形 式
max 或 min Z c 1 x 1 c 2 x 2 c n x n a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n b1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 a m 1 x 1 a m 2 x 2 a mn x n bm x j 0 ( j 1 ,2 , , n), bi 0 (i 1 ,2 , , m )
（二）在典型的前提下，求出初始基本可行解
回顾：
典型线性方程组：每一个方程中都有系数为1， 方便取可 并且不出现在其它方程中的一个变量。 行解 变量：基本变量、非基本变量。 基本解：非基变量取值为零，所得到的解。 典型线性规划： ①标准型线性规划，②约束方程组式典型方程组。
(参考资料)运筹学单纯形法例题
1
1
= 40
0
1
0
x4
30
1
[3]
0
σ
(1) j
=cj
− CB
⋅ Pj
3
4
0
30
1
= 10
3
0
0
x3
30
5 3
0
1
1
−
3
4
x2
10
1 3
1
0
1 3
σ
(2) j
=cj
− CB
⋅ Pj
5
4
0
0
−
3
3
这时，非基变量的检验数 σ1
=
5 3
,σ 4
=
−
4 3
，其中 σ 1
>
0
，所以该基可行解不是最优解。
（7）接下来，我们的任务就是找另一个基可行解。即转回到步骤（5）。
然不想干，怎么办呢？为了计算简便，我们期待 B2 = [P3 ,P 2 ] = I ，目前我们只是期待而已。
3
4
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
bi aik
40
0
x3
40
2
1
1
= 40
0
1
0
x4
30
1
[3]
0
σ
(1) j
=cj
− CB
⋅ Pj
3
4
0
0
x3
0
1
4
x2
1
0
1
30 = 10
3
0
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线性规划单纯形法(例题)资料
线性规划单纯形法(例题)《吉林建筑工程学院城建学院人文素质课线性规划单纯形法例题》⎪⎩⎪⎨⎧≥=++=+++++=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=0,,,24261553).(002max ,,0,24261553).(2max 14.18432142132143214321212121x x x x x x x x x x t s x x x x z x x x x x x x x t s x x z 标准型得到该线性规划问题的，分别加入松驰变量在上述线性规划问题中法求解线性规划问题。
分别用图解法和单纯形）】（页【为初始基变量，选择43,x x)1000(00)0010(01)2050(12)6030(24321=⨯+⨯-==⨯+⨯-==⨯+⨯-==⨯+⨯-=σσσσ为出基变量。
为进基变量，所以选择41x x3/1)6/122/10(00)0210(03/1)3/1240(10)1200(24321-=⨯+-⨯-==⨯+⨯-==⨯+⨯-==⨯+⨯-=σσσσ为出基变量。
为进基变量，所以选择32x x24/724/528/11012/112/124/1100021110120124321-=⨯+-⨯-=-=-⨯+⨯-==⨯+⨯-==⨯+⨯-=）（）（）（）（σσσσ4334341522max ,)43,415(),(2112=+⨯=+===x x z x x X TT 故有：所以，最优解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++=+=+++++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤≤+=0,,,,18232424).(0002max ,,,0,182312212).(52max 24.185432152142315432154321212121x x x x x x x x x x x x t s x x x x x z x x x x x x x x x t s x x z 标准型得到该线性规划问题的，分别加入松驰变量在上述线性规划问题中法求解线性规划问题。
单纯形法及例题解析
= a11a22-a12a21
三阶行列式
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
= a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-
a13a22a31-a11a23a32-a12a21a33
练习
14 3 -5 2 1 36 1
10 0 -5 2 3 33 5
x4
x5
0
x3
2
[1]
0
1
0
-1/2
1
0
x4
16
4
0
0
1
0
4
3
x2
3
0
1
0
0
1/4
-
Cj-Zj
2
0
0
0
-3/4
Cj
CB
XB
b
2
x1
2
0
x4
8
3
x2
3
Cj-Zj
单纯形表
2
3
0
x1
x2
x3
1
0
1
0
0
-4
0
1
0
0
0
-2
0
0
θ
x4
x5
0
-1/2
-
1
[2]
4
0
1/4
12
0
1/4
单纯形表
Cj
2
3
0
0
0
θ
CB
矩阵的乘法
A =（aij）m s B =（bij）s n C =AB =（cij）m n
cij = ai1b1j+ai2b2j+ … +aisbsj
单纯形法基本原理及实例演示
③计算各非基变量xj的检验数j=Cj-CBPj ′，若所有j≤0，则问题已得
到最优解，停止计算，否则转入下步。
④在大于0的检验数中，若某个k所对应的系数列向量Pk≤0，则此问
题是无界解，停止计算，否则转入下步。
⑤根据max{j｜j＞0}=k原则，确定xk为换入变量(进基变量)，再按 规则计算：=min{bi/aik| aik＞0}=bl/ aik 确定xBl为换出变量。建 立新的单纯形表，此时基变量中xk取代了xBl的位置。
⑥以aik为主元素进行迭代，把xk所对应的列向量变为单位列向量，即 aik变为1，同列中其它元素为0，转第③ 步。
线性规划的例子
max z 4x1 3x2 2x1 2x2 1600 5x1 2.5x2 2500 x1 400 x1, x2 0
线性规划--标准化
● 引入变量：s1,s2,s3
检验系数区
Z=CBB-1b
初始单纯形表
迭代 基变 次数 量
CB
x1
x2
s1
s2
s3
50 100 0 0 0
比值
b bi ai 2
1 Zj=CBNj j cj zj
Z=CBB-1b
初始单纯形表
基
迭代 次数
变
CB
x1
X2
s1
s2 S3
量
50 100 0 0 0
比值
b bi ai 2
1 1 1 0 0 300
C向量
max z 50 100 0 0
CB
CN
x1
x2
0•
1 1 1
1 0 0
0 1 0
单纯形法例题
单纯形法例题
单纯形法是一种用于解决什么类型问题的算法？
A. 线性规划
B. 非线性规划
C. 整数规划
D. 动态规划
在单纯形法中，基可行解对应的基变量应满足什么条件？
A. 全部为非零
B. 全部为零
C. 部分为零，部分为非零
D. 无特定要求
单纯形表中的一个关键元素是检验数，它用于判断：
A. 当前解是否最优
B. 当前解是否可行
C. 是否需要继续迭代
D. 问题的约束条件是否满足
在单纯形法的迭代过程中，若所有检验数都小于或等于零，则：
A. 当前解为最优解
B. 当前解不是最优解，需要继续迭代
C. 问题无解
D. 问题有无穷多解
单纯形法中选择换入变量的规则是：
A. 选择检验数最大的非基变量
B. 选择检验数最小的非基变量
C. 选择检验数绝对值最大的非基变量
D. 选择任意非基变量
在单纯形法中，若某个基变量的值变为零，则意味着：
A. 该变量退出了基变量集
B. 该变量仍然是基变量
C. 问题出现了无解的情况
D. 需要重新构造初始基可行解
单纯形法迭代过程中，换出变量的选择依据是：
A. 比值规则
B. 最小元素规则
C. 最大元素规则
D. 任意选择规则
当单纯形法中出现两个或更多检验数同时达到最大值时，这意味着：
A. 问题有多个最优解
B. 问题有无穷多最优解
C. 需要进一步分析以确定最优解的情况
D. 问题无解。
二3 单纯形法
线性规划的单纯形法
经过整理后，不妨设线性规划模型为：
s.t.
max z c j x j
n
x1
j 1
a1,m1 xm 1 a1n xn b1 a2 ,m1 xm 1 a2 n xn b2
x2
含有正系数入基变量的 约束条件的右端项
入基变量的正系数
线性规划的单纯形法
基变量集={x4 , x5 ，x1，x7}
寻找新的基可行解 主元素
单纯形法 规范型
z 60x1 30x 2 20x 3 8 x 1 6 x 2 x 3 x 4 48 20 4 x1 2 x 2 1.5 x 3 x 5 2 x1 1.5 x 2 0.5 x 3 x6 8 x2 x7 5
线性规划的单纯形法
所以约束方程 AX=b 就可以表示为
XB AX=(BN) =BX B +NX N =b XN
用可行基Ｂ的逆阵Ｂ-1左乘等式两端，再通过移项可推得：
XB =B-1b-B-1NXN
-1 若令所有非基变量 X N =0 , 则基变量 XB =B b
B1b 由此可得初始的基本可行解 X= ，即 0 基可行解中基变量的值依次为B-1b中的分量。
15x 2 5 x 3 30x 6 z 240 x 3 x 4 4 x 6 16 x 2 0.5 x 3 x 5 2 x 6 4 x1 0.75x 2 0.25x 3 0.5 x 6 4 x2 x7 5
j j 0. 记 m t max j
xm+t 为入基变量
运筹学-单纯型法
线性规划基本概念练习
9、从O到D的单纯形迭代， 进基变量是（ x2 ）， 离基变量是（ x4 ）。 从D到C的单纯形迭代， 进基变量是（ x1 ）， 离基变量是（ x3 ）。 从C到E的单纯形迭代， 进基变量是（ x4 ）， 离基变量是（ x5 ）。 x5=0
I
-2 x2
F 6 E G 4 H D 3
x3=0
C x =0 4 B A
x1=0
O 0
x1
x2=0
4
6
第四节 单纯型法
单纯形表的运算
Step 0 获得一个初始的单纯形表，确定基变量和非基变量 Step 1 检查基变量在目标函数中的系数是否等于0，在约束条 件中的系数是否是一个单位矩阵 Step 2 如果表中非基变量在目标函数中的系数全为负数，则 已得到最优解。停止。否则选择系数为正数且绝对值 最大的变量进基，转step 3。 Step 3 如果进基变量在约束条件中的系数全为负数或0，则可 行域开放，目标函数无界。停止。否则选取右边常数 和正的系数的最小比值，对应的基变量离基，转step 4。 Step 4 确定进基变量的列和离基变量的行交叉的元素为“主 元”，对单纯形表进行行变换，使主元变为1，主元所 在列的其他元素变为0。将离基的基变量的位置用进基 的非基变量代替。转Step 2。
15 20 26 35M+26
θi 5 4 6.5
CB XB -M x5 -M x6 -1 x4 σ -M x5 3 x3 -1 x4 σ 2 x2 3 x3 -1 x4 σ 2 x2 5 x1 -1 x4 σ
5 2 3 x1 x2 x3 15 1 2 3 20 2 1 (5) 26 1 2 4 35M +26 3M +6 3M +4 8M +7 3 -1/5 (7/5) 0 4 2/5 1/5 1 10 -3/5 6/5 0 3M -2 -M /5+16/5 7/5M +13/5 0 15/7 -1/7 1 0 25/7 (3/7) 0 1 52/7 -3/7 0 0 -53/7 25/7 0 0 10/3 0 1 1/3 25/3 1 0 7/3 11 0 0 1 -112/3 0 0 -25/3
3第二章 单纯形法
§2.1 LP问题的几何意义
一. 线性规划问题的解
1、可行解：满足约束条件的解称为线性规划问题 的可行解。所有可行解的集合叫做可行域。 2、最优解：使目标函数达到最优的解叫做最优解 3、基本解和基本可行解 基的概念：如前所述LP标准型 矩阵式：maxZ=CX AX=b X ≥0 设约束方程的系数矩阵A为m行n列的矩阵,且 满足m≤n。
当所添加的人工变量取值为0时，约束 方程组与原约束方程组等价。这样，我们即 可以令人工变量为基变量，得到一个初始基 可行解，用单纯形法进行迭代计算。若经若干次 迭代，人工变量被全部替换出了基（成了非基变 量，取值为0），则原问题的约束条件得到恢 复，同时也有了一个基本可行解。这一方法的关 键点在于如何能够尽快将人工变量替换出基。 为此目的，人们设计了两种方法，一种称 为大M法，一种称为两阶段法。
√ √ × ×
不符合条件①
8
7 17/2
√ × × √ √
用单纯形法求解下列问题
1. max z=4X1+3X2
2X1 +3X2 ≤6 -3X1 +2X2 ≤3 2X2 ≤5 2X1 +X2 ≤4 X1≥0 X2≥0
先将上述问题化为标准型
max Z=4X1+3X2
2X1 +3X2 + X3 =6 -3X1 +2X2 + X4 =3 2X2 + X5 =5 2X1 +X2 + X6 =4 X1-6≥0
三、练习
利用刚刚学过的单纯形法计算课本16 页题目
第二章 单纯形法
单纯形法习题
列出下列问题的基本解，找 出基可行解和最优解
1.
运筹学-单纯形法1
• 第二阶段：将第一阶段计算所得的单纯形表划去人工变量 所在的列，并将目标函数换为原问题的目标函数作为第二 阶段的初始单纯形表，进行进一步的求解。
2021/3/10
x1 2x 2 x3
8
4 x1
x4 16
4 x2
x5 12
x j 0, j 1,,5
3
• Step2：检查非基变量所对应的检验数σj，若所有的σj≤0，则当 前的基可行解就是最优解，当前的目标函数值就是最优值，停 止计算。
• 否则，转入下一步。
• SP算tke≤。p03(即：P若k中存每在一一个个分σk>量0a，ikσ≤k0所)，对则应该的L变P无量有xk限的最系优数解列，向停量止计 • 否则，转入下一步。
9
03
1
0
-3-2M [4M] 1 0
33 0 2 1 1 -2 1 -1 0
6 [ 6] 0 4 0
[6M-3] 0 4M+1 0 00 0 0 1
3 0 1 1/3 0 1 1 0 [2/3] 0
0 0 [ 3] 0 00 0 0 1 5/2 -1/2 1 0 0
0 -M -M
x5 x6 x7 θ
标准化 及变形
xi ≥0,j=1,2,3
-2x1+ x2-x3 -x5+x6 =1
3x2+x3
+x7=9
xi ≥0,j=1,…,7
增加人工变量后，线性规划问题中就存在一个B为单位矩阵， 后面可以根据我们前面所讲的单纯形法来进行求解。
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单纯形法例题
1、例1、目标函数max z=2 * +3
禹+ 2x2 W 8'
4xi W 16
4x2 W 12
k Ki,财鼻0』
解：首先要将约束条件化为标准形：由此可以看出我们需要加上三个松弛变量, ；汁Hi吃：弋"審得到的标准形式为：
max z=2~ +3-+ 0 勺+g +O 5
'xt + 2xj + x] = 8 1
4«i X4 =16
4x；+ 巧=12
11 巾弓^3j 乂4, ^5 $ ©
2 3 0 0 0
C R b *4
0 8 1 2 1 0 0 4
0 16 4 0 0 1 0 -
0 ◎12 0[E(|00 1 3
k - z) 2 3 0 0 0
引」一弋木日lk(i才I)
熙=')
(也就是如果与主元素同行，则用现在的值除以主元素即可得到即将要填入的值,
否则，就用现在的值减去与主元素构成矩形的边角上的值的乘积再除以主元素之后
的值。
例如：上面的第一行所对应的b值为8-(12*2)/4=2 ,故填入值应该为2。
而「
则是由我们根据非基变量的检验数的大小，挑选出最大的那个，作为换入变量，然
后用b的值除以该换入变量所在的列的所有值，得到
约束条件:
由于在检验数中仍然存在大于等于的数，而且, 的坐标中有正分量存在，所以需要继续进行迭代运算。
通过观察可以看出主元素为1,换入变量为|勒，换出
由于检验数中存在正数，且P5和P3中有正分量存在，所以需要继续迭代（换入变
此时可以发现检验数中没有大于的数，表明已经得到了最优解，所以最优解是: (4,2,0,0,4 )，故目标函数值z=2*4+2*3=14
2、合理利用线材问题，现在要做100套钢架，每套用长为，，和的钢各一根,
已知原料长，问应如何下料，使用的原材料最省；
解：首先我们必须要清楚该问题的需要设立的变量是什么。
我们分析一下问题，做
100套钢架，需要长的钢 100根，的钢100根，的钢100根。
而一份原料长度是,
求解的问题是关于如何去进行下料，使得原材料最省，也就是说如何搭配使用这些 方案，使得剩余的总长度最少。
由此，我们可以将目标函数和约束条件表述出来：
目标函数：min z^2 + u +^ + s
xi I xj | 2x3 — 100 1 2xj 4 Kq + 2x5 - 100
3xi + 卜 3x4 + 2X 6 - 100
i 站,勺,料,H 41岛M 0
)
[1 1 2 0 01 0 2 0 1 2
3 0 13 2]
'
J (I 彳 £ *
= 100 '
2«2 + 輛 + + X7 — 100
3xi 4 £ + 3x4卜2X 5 + x s - 100「，目标函数可以表示为: N K 4I “、W?. 孑 0j
z=；*.|+，+ + + +M 1 ' r
转换为求目标最大化 maxZ=
°啊 巾 旳"馬 壮 呗 M 和然后列
出初始单纯形表：(注意，加入人工变量之后，它所对应的系数为
-M ，而非0)
约束条件
首先可以写出线性方程组的矩阵形式:
发现不存在单位矩阵，所以
要采用人造基的方式，也就是要添加人工变量:
卩，住，那么线性方程组可以
表示为: min
所以，最优解为：(, )。
也就是说最优的下料方案为：按照第一个方案下料30根，第二种方案下料50根，按照第三种方案下料10根。
即需要90根原材料可以制造出100套钢架。
3、某昼夜服务的公交线路每天各时间区段内所需司机和乘务人员数如下
表：
5 22:00-2:00 20 6
2:00-6:00
30
设司机和乘务人员分别在各时间区段一开始时上班，并连续工作八个小时，问该公 交线路至少配备多少名司机和乘务人员，列出这个问题的线性规划模型。
解：
目标函数： min z= \'-i '■ <■■■'
1
*1 + 糾+
+ «3 X3 + Kq
X], X2, X3, g,
4、利用单纯形算法求解线性规划问题
目标函数为：Max Z=4i +3o
r 2xi + 2xj 茎 1600 1 5xi + 2. 5X 2 W 2500
约束条件为：' 紀W 400
L Xi, X2
j
解：首先将线性方程组化为标准形式：添加松弛变量： 號3|,删，七，得到的方程式
为：
f
2xi + 2X 2 1 <3 = 1600 ' 5站 + 2“ 5>2 卜 >(4 二 2500
X! + K 5 二 400 /I ， 乂？T 忙3・ M 0 J
接着将初始单纯形表列出:
£04000 白
765 2
3 .
目标函数: Max Z=4 +3 +0+0 +0
约束条件为:
O
由于，检验数均为非负，所以得到了最优解，且最优解为(200,600,0,0,200);故目标函数的最大值为：Z=2600。