安徽省合肥一中学年高一上第一次段考数学试卷解析版

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合肥市第一中学2022-2023学年高一上学期期中教学质量检测数学试题+解析

安徽省合肥市第一中学2022-2023学年高一上学期期中教学质量检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若集合{}*N 12A x x =Î-££，集合{}1,2,3B =，则A B U 等于（）A ．{}1,0,1,2,3-B ．{}0,1,2,3C ．{}1,2,3D ．{}1,22．若a b >，则下列各选项正确的是（）A ．11a b>B ．||||a b >C ．33a b >D ．33a b-->3．已知102m =，104n =，则3210m n -的值为（）A ．2B C D ．4．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：e ()rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （）A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天5．命题“R x $Î，20x x m ++<”是假命题，则实数m 的取值范围是（）A ．1,4æù-¥çúèûB ．1,4æ⎫-¥ç⎪è⎭C ．1,4æ⎫+¥ç⎪è⎭D ．1,4é⎫+¥⎪êë⎭6．已知奇函数()f x 在R 上单调，若正实数a ，b 满足()()260f a f b +-=，则12a b +的最小值是（）A ．8B ．2C ．32D ．437．幂函数()()222mf x m m x =--在()0,¥+上单调递增，则()()11x mg x a a -=+>的图象过定点（）A ．()1,1-B ．()1,2-C ．()3,1D ．()3,28．()y f x =满足()()2=f x f x -，且当1x ³时，()243f x x x =-+，则方程()12f f x =-éùëû的所有根之和为（）A ．4B ．6C ．8D ．10二、多选题9．有以下判断，其中是正确判断的有（）A ．||()x f x x =与1,0()1,0x g x x ³ì=í-<î表示同一函数B ．函数()y f x =的图象与直线1x =的交点最多有1个C ．2()21f x x x =-+与2()21g t t t =-+是同一函数D ．若()1f x x x =--，则102f f æ⎫æ⎫=ç⎪ç⎪è⎭è⎭10．关于函数()22x f x e-=，(),x Î-¥+¥．下列说法正确的有（）A ．()f x 的图像关于y 轴对称B ．()f x 在(),0-¥上单调递增，在()0,¥+上单调递减C ．()f x 的值域为(]0,1D ．不等式()2f x e ->的解集为()(),22,¥¥--È+11．已知221x y +=，则下列说法正确的是（）A ．0x <且0y <B ．+x y 的最小值是2-C ．22x y --+的最小值是4D ．44x y +的最小值是1212．已知()f x 是定义在{}0xx ¹∣上的奇函数，当210x x >>时，()()1212120x x f x f x x x éù-+->ëû恒成立，则（）A ．()y f x =在(),0-¥上单调递增B ．()12y f x x=-在()0,¥+上单调递减C ．()()1236f f +->D ．()()1236f f -->三、填空题13．设3log 42a =，则4a -的值为．14．设奇函数()f x 在()0,¥+上严格递增，且()10f =，则不等式()()0f x f x x-->的解集为.15．已知函数()()102xf x a b a æ⎫=×+¹ç⎪è⎭的图象过原点，且无限接近直线2y =但又不与该直线相交，则2a b += ．16．已知19a <<，函数9()f x x x=+，存在1[1,]x a Î，使得对任意的[]2,9x a Î，都有()()1280f x f x ×³，则a 的取值范围是．四、解答题17．设全集U R =，集合{12}A xx =-<£∣，{21}B x m x =<<∣．(1)若1m =-，求U B A Çð；(2)若U B A Çð中只有一个整数，求实数m 的取值范围．18．计算：(1)1012233122(0.064)284-æ⎫æ⎫+×--ç⎪ç⎪è⎭è⎭(2)()()(239483log 2log 2log 3log 3log lg100++++.(3)已知14a a -+=，求22a a --的值.19．已知关于x 的一元二次函数21y ax bx =-+.(1)若0y <的解集为{1|2x x <-或1}x >，求实数a 、b 的值；(2)若实数a 、b 满足1b a =+，求关于x 的不等式0y <的解集.20．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），第t 天(130,)t t N *££Î的旅游人数()f t (万人)近似地满足()f t =4+1t,而人均消费()g t (元)近似地满足()12020g t t =--.(Ⅰ)求该城市的旅游日收益()w t （万元）与时间t (130,)t t N *££Î的函数关系式；(Ⅱ)求该城市旅游日收益的最小值.21．已知函数()f x 的定义域是(0,)+¥，对定义域的任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x =+，且当1x >时，()0f x >，(4)1f =；(1)求证：1()(f x f x=-；(2)试判断()f x 在(0,)+¥的单调性并用定义证明你的结论；(3)解不等式1(1)(1)2f x f x -++<-22．已知函数13()3x x bf x a ++=+是定义在R 上的奇函数.(1)求实数a ，b 的值；(2)判断()f x 在(,)-¥+¥上的单调性，并证明；(3)若112((42)423)340x x x x f a f a a -+-++×++×+->在x ÎR 上恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案：题号12345678910答案C C B B D D D D BC ABC 题号1112 答案ACDBC1．C【分析】根据题意，用列举法写出集合A ，对集合,A B 取并集即可得到答案.【详解】集合{}{}*N 121,2A x x =Î-££=，又集合{}1,2,3B =，所以{}1,2,3A B =U .故选：C.2．C【分析】用特值法可判断AB ；用幂函数的性质可判断C ；用指数函数的性质可判断D 【详解】对于A ：取1,2a b =-=-，则1111,2a b =-=-，故A 错误；对于B ：取1,2a b =-=-，则1,2ab ==，故B 错误；对于C ：函数3y x =在R 上单调递增，又a b >，所以33a b >，故C 正确；对于D ：函数3x y =在R 上单调递增，又a b >，所以a b -<-，所以33a b --<，故D 错误；故选：C 3．B【分析】根据指数幂运算性质，将目标式化为含10m 、10n 的表达式，即可求值.【详解】()()3332322211222101021010104m m m nn n -====故选：B 4．B【分析】根据题意可得()0.38rt tI t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，根据e 0.38(t +t 1)=2e 0.38t ，解得1t 即可得结果.【详解】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，则e 0.38(t +t 1)=2e 0.38t ，所以10.382t e =，所以0.38t 1=ln2，所以t 1=ln20.38≈0.690.38≈1.8天.故选：B.【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.5．D【分析】原命题的否定为真命题，由二次不等式恒成立的条件，求实数m 的取值范围.【详解】由题意，原命题的否定“x "ÎR ，20x x m ++³”为真命题，令()221124f x x x m x m æ⎫=++=++-ç⎪è⎭，则当12x =-时，()min 14f x m =-，故104m -³，解得14m ³.所以实数m 的取值范围是1,4é⎫+¥⎪êë⎭.故选：D 6．D【分析】利用奇函数的性质以及基本不等式，即可计算求解.【详解】()()260f a f b +-=，∴()()()266f a f b f b =--=-，26a b =-，∴26a b +=，即136a b +=，1212121363633a b b a a b a b a b æ⎫æ⎫+=++=+++ç⎪ç⎪è⎭è⎭2433³+=，当且仅当23b a ==时等号成立.故选：D ．7．D【分析】由题知22210m m m ì--=í>î，进而得()()311x g x a a -=+>，再根据指数函数性质求解即可.【详解】解：因为幂函数()()222mf x m m x =--在()0,¥+上单调递增，所以22210m m m ì--=í>î，解得3m =，所以()()311x g x a a -=+>，故令30x -=得3x =，所以()()33121x g a a -=+=>所以()()11x mg x aa -=+>的图象过定点()3,2故选：D 8．D【分析】画出函数图象，求出()12f t =-的解对照图象求得根之和.【详解】由题意得，则y =f (x )关于1x =对称，其图像如下令()t f x =，则关于t 的方程()12f t =-由4个解1234,,,t t t t ，其中()()()()12341,0,0,1,1,2,2,3t t t t Î-ÎÎÎ，关于x 的方程()1f x t =有四个解，由对称性可知，其和为4，同理：关于x 的方程()2f x t =有两个解，由对称性可知，其和为2，关于x 的方程()3f x t =有两个解，由对称性可知，其和为2，关于x 的方程()4f x t =有两个解，由对称性可知，其和为2，所以方程()12f f x éù=-ëû的所有根之和为10.故选:D 9．BC【分析】根据同一函数的判定方法，可判定AC ；根据函数的概念，可判定B ；根据函数的解析式，求得12f æ⎫ç⎪è⎭，进而求得12f f æ⎫æ⎫ç⎪ç⎪è⎭è⎭的值，可判定D.【详解】对于A ，函数||()x f x x =的定义域为(,0)(0,)-¥+¥U ，函数1,0()1,0x g x x ³ì=í-<î定义域为R ，两函数的定义域不同，所以不是同一函数，故A 错误；对于B ，若函数()y f x =在1x =处有定义，则()f x 的图象与直线1x =的交点有1个；若函数()y f x =在1x =处没有定义，则()f x 的图象与直线1x =没有交点，故B 正确；对于C ，函数()221f x x x =-+与2()21g t t t =-+的定义域与对应法则都相同，所以两函数是同一函数，故C 正确；对于D ，由()1f x x x =--，可得102f æ⎫=ç⎪è⎭，所以1(0)12f f f æ⎫æ⎫==ç⎪ç⎪è⎭è⎭，故D 错误；故选：BC 10．ABC【分析】根据函数()()22,,x f x ex -=Î-¥+¥，逐一对其进行奇偶性，复合函数的单调性分析，即可判断选项A ，B ，C 均正确，而选项D 也可由单调性转化为关于x 的二次不等式求解，解集应为(2,2)-，则D 错误.【详解】因为函数22(),(,)x f x ex -=Î-¥+¥，22()22()()x x f x eef x ----===，则该函数为偶函数，其图像关于y 轴对称，故选项A 说法正确；令22x t =-，在(,0)-¥单调递增，(0,)+¥单调递减，又t y e =在(,0]-¥单调递增，则由复合函数的单调性可知()f x 在(,0)-¥单调递增，(0,)+¥单调递减，故选项B 说法正确；由(,0]t Î-¥可得(0,1]y Î，即()f x 的值域为(0,1]，故选项C 说法也正确；由不等式2f x e ->（）即222x e e -->222x ->-，则24x <，22x -<< 故的不等式2()f x e ->解集为(2,2)-，选项D 说法错误.故选：ABC.11．ACD【分析】对于A ，利用2x y =的值域及单调性即可判断得0x <且0y <，故A 正确；对于B ，利用基本不等式可得22x y ³+，再进行化简即可得到2x y +£-，故B 错误；对于C ，利用基本不等式中“1”的妙用可得224x y --+³，故C 正确；对于D ，由()24422222x y x y x y +=+-××结合基本不等式可判断得D 正确.【详解】对于A ，因为20x >，20y >，所以2120y x =->，即0212x <=，由于2x y =在R 上单调递增，所以0x <，同理可得0y <，故A 正确；对于B ，因为20x >，20y >，所以22x y ³+1³12£，即()11222x y +-£，由于2x y =在R 上单调递增，所以()112x y +£-，即2x y +£-，当且仅当22x y =且221x y +=，即1x y ==-时，等号成立，故+x y 的最大值是2-，故B 错误；对于C ，因为221xy+=，()()222222xyxyxy----+=++221122422y xx y =+++³+=，当且仅当2222y xx y =且221x y +=，即1x y ==-时，等号成立，故C 正确；对于D ，()244222221222x y x y x y x y+=+-××=-××22122122x y æ⎫+=ç⎪³è⎭-，当且仅当22x y =且221x y +=，即1x y ==-时，等号成立，故D 正确.故选：ACD.12．BC【分析】由已知，结合题意给的不等关系，两边同除21x x 得到()()121211f x f x x x ->-，然后根据210x x >>，即可判断()1f x 与()2f x 两者的大小，从而判断选项A ，选项B 由前面得到的不等关系，通过放缩，即可确定()1112f x x -与()2212f x x -的大小，从而确定函数的单调性，选项C 和选项D ，可利用前面得到的不等式，令12x =，23x =带入，然后借助()f x 是奇函数进行变换即可完成判断.【详解】由已知，210x x >>，()()1212120x x f x f x x x éù-+->ëû，所以()()2112011f x f x x x -+->，即()()121211f x f x x x ->-，因为210x x >>，所以12110x x >>，所以()()2211011f x f x x x ->->，因为210x x >>，所以210x x --＜＜，因为()f x 是定义在{}0xx ¹∣上的奇函数，所以()()f x f x =--，所以()()()()121212110f x f x f x f x x x -=--+->->，所以()()21f x f x ->-，因为210x x --＜＜，所以()y f x =在(),0-¥上单调递增，故选项A 错误；因为()()121211f x f x x x ->-，12110x x >>，所以1201122x x >>，所以()()()()()11121222112221111111122222f x f x f x f x f x x x x x x x x x -->->=+-++=-，即()()12122112f x f x x x ->-，又因为210x x >>，所以()12y f x x=-在()0,¥+上单调递减，选项B 正确；因为210x x >>时，()()121211f x f x x x ->-恒成立，所以令12x =，23x =代入上式得()()311232f f ->-，即()()32361112f f --=>，又因为()f x 是定义在{}0x x ¹∣上的奇函数，所以()()33f f =--，所以()()1236f f +->，故选项C 正确，选项D 错误.故选：BC.13．19【分析】根据对数运算性质化简求值即可.【详解】44322log 3log l g 49o a ===，441log log 9914449a --===.故答案为：19.14．(,1)(1,)-¥-+¥U 【分析】由函数的奇偶性化简不等式，结合单调性求解【详解】由题意得()f x 是奇函数，则()()0f x f x x-->等价于2()0f x x >，即()0f x x>，而()f x 在()0,¥+上严格递增，()10f =，故01x <<时，()0f x <，1x >时，()0f x >，由()f x 为奇函数，得1x <-时，()0f x <，10x -<<时，()0f x >，综上，()0f x x>的解集为(,1)(1,)-¥-+¥U 故答案为：(,1)(1,)-¥-+¥U15．2-【分析】首先图像过原点，把原点带入解析式当中，得到0a b +=，又图像无限接近2y =，可得b .即可求出答案.【详解】()()102xf x a b a æ⎫=×+¹ç⎪è⎭Q 的图象过原点0a b ∴+=，又()f x 图像无限接近直线2y =但又不与该直线相交2b ∴=，则222a a b =-∴+=-.故答案为：-2.16．49a +£<【分析】将题意转化为()()12max min 80f x f x ³，结合()()1max 110f x f ==可得()2min 8f x ³，再根据函数的单调性，分13a <£和39a <<两种情况讨论求解即可.【详解】根据对勾函数的性质，函数()9f x x x=+在(]0,3上单调递减，在[)3,+¥上单调递增.且()()1910f f ==.又()9f x x x=+在[]1,9上恒为正，且存在1[1,]x a Î，使得对任意的[]2,9x a Î，都有()()1280f x f x ×³，故()()12max min 80f x f x ³，因为()()1max 110f x f ==，故只需()2min 8f x ³即可.（1）当13a <£时，()()2min 368f x f ==<不成立；（2）当39a <<时，()()2min 9f x f a a a==+，故98a a +³，即2890a a -+³，()247a -³，解得49a +£<.综上有49a £<.故答案为：49a £<.17．(1){21}xx -<£-∣(2)11,2é⎫--⎪êë⎭【分析】（1）求出B ，利用交集与补集运算得到结果；（2）根据条件确定集合中的唯一整数为1-，列不等式求解．【详解】（1）{12}A xx =-<£∣，当1m =-时，{21}B x x =-<<∣，{ 1 2}U A x x x =£->∣或ð，{21}U B A x x =-<£-I ∣ð；（2）因为(U A =-¥ð，1](2,)-+¥U ，又U B A I ð中只有一个整数，所以这个整数必定是1-，故2[2m Î-，1)-，所以[1m Î-，12-．18．(1)35-；(2)0；(3)±【分析】（1）利用指数幂的运算化简求值；（2）利用对数式的运算规则化简求值；（3）由14a a -+=，两边同时平方，求出22a a -+，由 1222()2a a a a ---=+-，求出1a a --，再由()()2211a a a a a a ----=+-求值即可.【详解】（1）10122331123322(0.064)21844525-æ⎫æ⎫+×--=-´-=-ç⎪ç⎪è⎭è.（2）()()(394833322log 2log 2log 3log 3log lg100111log 2log 2log 3log 223+++æ⎫æ=++ç⎪çè⎭è32355log 2log 30264=´×-=.（3）1124,()16a a a a --+=∴+=Q ，即2222216,14a a a a --++=∴+=， 1222()212a a a a --∴-=+-=，1a a -∴-=±.2211()()a a a a a a ---∴-=+-=±.19．(1)2a =-，1b =-；(2)答案见解析.【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与系数的关系求解即可；（2）化简可得()2110ax a x -++<，再以0，1为分界点讨论a 的范围，求解不等式即可【详解】（1）∵0y <的解集为1{|2x x <或1}x >，∴12-与1是方程210ax bx -+=的两个实数根，由韦达定理可知：1+1=211×1=2b aa --ìïïíïïî，解得2a =-，1b =-.（2）∵1b a =+，则不等式0y <化为：()2110ax a x -++<，因式分解为：()()110axx --<&，(0a ¹).当=1a 时，化为()210x -<，则解集为Æ；当1a >时，11a <，解得11x a <<，不等式的解集为1<<1x x a ìüíýîþ；当01a <<时，11a >，解得11x a <<，不等式的解集为11<<x x a ìüíýîþ；当0a <时，10a <，解得1x >或1x a<，不等式的解集为1{|x x a <或1}x >.20．(Ⅰ)()w t =；(Ⅱ) 441万元．【详解】试题分析：（Ⅰ）解：=（Ⅱ）当，（t=5时取最小值）当，因为递减，所以t=30时，W(t)有最小值W(30)=，所以时，W(t)的最小值为441万元考点：分段函数的实际应用．点评：本题考查的是分段函数应用问题．在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、二次函数求最值的方法以及问题转化的能力．21．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）使用赋值法，先令121x x ==求得(1)f ，然后再令121,x x x x==可证；（2）先设120x x >>，然后用21x 代换1212()()()f x x f x f x =+中的2x ，结合1x >时，()0f x >可证；（3）先用赋值法求得11()22f =-，然后将不等式转化为21(1)(2f x f -<，利用单调性去掉函数符号，结合定义域可解.【详解】（1）令121x x ==，得(1)(1)(1)f f f =+，解得(1)0f =再令121,x x x x ==，则1()((1)0f x f f x+==所以1()()f x f x=-（2）()f x 在(0,)+¥上为增函数，证明如下：设120x x >>，则121x x >，因为1x >时，()0f x >所以11221()()(0x f x f f x x +=>由（1）知221()()f x f x =-所以1221()(()f x f f x x >-=所以()f x 在(0,)+¥上为增函数.（3）因为(4)1f =，所以(2)(2)(4)1f f f +==，得1(2)2f =，又因为11(2)()22f f =-=，所以11()22f =-，所以1(1)(1)2f x f x -++<-Û21(1)()21010f x f x x ì-<ïï->íï+>ïî由上可知，()f x 是定义在(0,)+¥上为增函数所以，原不等式Û21121010x x x ì-<ïï->íï+>ïî，解得1x <<.22．(1)1a =，3b =-；(2)(3)72a <<.【分析】（1）由(0)0f =、()()f x f x -=-列方程求参数即可；（2）由（1）写出解析式，再应用单调性定义求证单调性即可；（3）根据（1）（2）结论有1214233442x x x x a a a -+-++×+->--×恒成立，令20x t =>化为2211()2()4310t a t a t t +++-+>，再令12u t t =+³化为22()24310g u u au a =+-+>在[2,)+¥上恒成立，结合二次函数性质求参数范围.【详解】（1）由题设3(0)01bf a+==+，可得3b =-，又()()f x f x -=-，则11333333x x x xa a -+---=-++，可得1a =.所以1a =，3b =-.（2）()f x 在(,)-¥+¥上单调递增，证明如下：由（1）：133()31x x f x +-=+，令12x x >，则1212211212111233333[(31)(31)(31)(31)]()()3131(31)(31)x x x x x x x x x x f x f x ++---+--+-=-=++++12126(33(31)(3)1)x x x x -+=+，由1233x x >，12(31)(31)0x x ++>，即12()()0f x f x ->，故12()()f x f x >，所以()f x 在(,)-¥+¥上递增.（3）由题设及（1）知：121142334(42)(42)()x x x x x x f a a f a f a -+-+-++×+->-+×=--×，由（2）知：1214233442x x x x a a a -+-++×+->--×，令20x t =>，则222224133a a t at t t++->--，整理得：2211(2()4310t a t a t t +++-+>，若12u t t=+³且1t =时等号成立，则22()24310g u u au a =+-+>在[2,)+¥上恒成立，由()g u 开口向上，对称轴为u a =-，22244(314)20124a a a D =--=-，所以0D <，即a <<时，()0g u >在[2,)+¥上恒成立；0D ³，即a £或a ³22(2)44350a g a a -<ìí=-+>î，则2244350a a a >-ìí--<î，可得2a -<<72a £<；综上，72a <。

2020-2021学年安徽省合肥一中高一上学期段一考试数学试卷 PDF版

[x] 为整数，[x] 3 ，即 x 3
即 A = 3, +) ，
则 U A = (− ， 3），
故选：B．
11.【解答】解：根据题意， 1 + 2 5 3x − 4 − 5 0 5x2 − 27x + 26 0
x −1 x − 2 4 ( x −1)( x − 2) 4
(x −1)(x − 2)
解得 x 1 或 x 1 ， 2
第4页（共9页）
所以不等式的解集为 (− ， 1) (1 ， +) ． 2
故答案为： (− ， 1) (1 ， +) ． 2
16.【解答】解：观察发现 2 m + 1和 n + 3 的平方的和为定值，故平方。
令 y= 2 m + 1 + n + 3 ，
y2 = 4m + 4 + n + 3 + 4 (m + 1)(n + 3)=16 + 4 (m +1)(n + 3) ，
命题 p 的否定是：“ x0 R ， x0 + | x0 | 0 ”．
故答案为：真，“ x0 R ， x0 + | x0 | 0 ”．
15.【解答】解：关于 x 的不等式 ax + b x + c 0 的解集为 (1, 4) ，令 x = y ，
则关于 y 的不等式 ay2 + by + c 0 的解集为 (1, 2) ，
x
x
第5页（共9页）
当造价写为 200 60 + (x + 200) 2 400 + 100x x
= 12000 + 900x + 160000 12000 + 2 900x 160000 = 36000（元 ) ，当且仅当 900x = 160000 ，

【解析版】安徽省合肥一中2021-2021学年高一上学期第一次月考试

【解析版】安徽省合肥一中2021-2021学年高一上学期第一次月考试试卷说明：第Ⅰ卷（阅读题）一、现代文阅读（18分）阅读下面的材料，完成后面题。

月到天心林清玄二十多年前的乡下没有路灯，夜里穿过田野要回到家里差不多是摸黑的，平常时日，都是借着微明的天光，摸索着回家。

偶尔有星星，就亮了很多，感觉到心里也有星星的光明。

如果是有月亮的时候，心里就整个沉淀下来，丝毫没有了黑夜的恐惧。

尤其是夏夜，月亮的光格外有辉煌的光明，能使整条山路都清清楚楚地延展出来。

乡下的月光很难形容的，它不像太阳的投影是从外面来，它的光明犹如从草树、从街路、从花叶，乃至从屋檐、墙垣内部微微地渗出，有时会误以为万事万物的本身有着自在的光明。

假如夜深有雾，到处都弥漫着清气，当萤火虫成群飞过，仿佛是月光所掉落出来的精灵。

每一种月光下的事物都有了光明，真是好！在月光底下，我们也觉得本身心里有着月亮、有着光明，那光明虽不如阳光温暖，却是清凉的，从头顶的发到脚尖的指甲都感受到月的清凉。

走一段路，抬起头来，月亮总是跟着我们，照着我们。

在童年的岁月里，我们心目中的月亮有一种亲切的生命，就如同有人提灯为我们引路一样。

我们在路上，月在路上；我们在山顶，月在山顶；我们在江边，月在江中；我们回到家里，月正好在家屋门前。

直到如今，童年看月的景象，以及月光下的乡村都还绘影绘声。

但对于月之随人却带着一些迷思，月亮永远跟随我们，到底是错觉还是真实的呢？可以说它既是错觉，也是真实。

由于我们知道月亮伴随我们时，我们感觉到月是唯一的，只为我照耀，这是真实。

长大以后才知道，真正的事实是，每一个人心中有一片月，它举世无双、光明湛然，当月亮照耀我们时，它反映着月光，感觉天上的月亮也是心中的月。

在这个世界上，每个人心里都有月亮埋藏，只是本身不知道罢了。

只有极少数的人，在最暗中的时刻，仍然放散月的光明，那是知觉到本身就是月亮的人。

这是为什么禅宗把直指人心称为“指月”，指着天上的月教人看，见了月就应忘指；教化人心里都有月的光明，光明显现时就应舍弃教化。

2022届安徽省合肥市第一中学高三上学期段一测试数学(文)试题及答案

绝密★启用前2022届安徽省合肥市第一中学高三上学期段一测试数学（文）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上绝密★启用前一、单选题1．若()f x =，则()(3)f f =（）A B C ．2 D ．解：B根据解析式，由内而外，逐步代入，即可得出结果.解：因为()f x =所以()32f =，因此()()(3)2f f f =故选：B.点评：本题主要考查求函数值，属于基础题.2．若点44sin ,cos 33M ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭在角α的终边上，则cos2=α（）A ．12-B ．12C ．D 解：B【分析】先将点44sin ,cos 33M ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭化简，得12M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，结合同角三角函数先求出cos α，再结合二倍角公式求出cos2α即可解：由24411sin ,coscos cos 22cos 13322x M M r ππααα⎛⎫⎛⎫⇒-⇒===-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B点评：本题考查三角函数值的化简，同角三角函数的基本求法，二倍角公式的应用，属于基础题3．已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨解：A【分析】由正弦函数的有界性确定命题p 的真假性，由指数函数的知识确定命题q 的真假性，由此确定正确选项.解：由于sin0=0，所以命题p 为真命题；由于x y e =在R 上为增函数，0x ≥，所以||01x e e ≥=，所以命题q 为真命题；所以p q ∧为真命题，p q ⌝∧、p q ∧⌝、()p q ⌝∨为假命题. 故选：A ．4．下列运算正确的是（） A ．51152log 10log 0.252+=B ．42598log 27log 8log 59⋅⋅=C ．lg 2lg5010+=D ．(((2225log 2log 4-=-解：D【分析】根据对数的运算性质逐一计算各选项即可得出答案.解：解：对于A ，211155155152log 10log 0.25log 10log 0.25l 25og 2+=+==-，故A 错误；对于B ，42592533319lg 3lg 2lg 59log 27log 8log 5log 3log 2log 52228lg 2lg 5lg 38⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=，故B 错误；对于C ，lg 2lg50lg 2502+=⨯=，故C 错误；对于D ，((((222225log 2log log 411124⎛⎫--=- ⎪⎝=--⎭=，故D 正确. 故选：D.5．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭解：C由已知函数为偶函数，把233231log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，转化为同一个单调区间上，再比较大小．解：()f x 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．点评：本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．6．已知函数()f x 及其导数()f x '，若存在0x ，使得()()00f x f x '=，则称0x 是()f x 的一个“巧值点”下列函数中，没有“巧值点”的是（）A ．()2f x x =B ．()xf x e -=C ．()ln f x x =D ．()1f x x=解：B【分析】根据题中“巧值点”的概念逐项判断即可得出答案.解：选项A 中，()2f x x '=，()()f x f x ='时 22x x =，解得2x =或 0x = 所以选项A 中的函数有“巧值点”；选项B 中，()xf x e -'=-,()()f x f x ='时x x e e --=-，此方程无解所以选项B 中的函数没有“巧值点”；选项C 中，()1f x x'=,()()f x f x ='时，1ln x x =，根据函数的性质，此方程在 ()0,+∞上有解所以选项C 中的函数有“巧值点”；选项D 中，()21f x x '=-,()()f x f x ='时，211x x =-，解得 1x =-所以选项D 中的函数有“巧值点”.所以选项B 正确. 故选：B.7．体育品牌Kappa 的LOGO 为可抽象为：如图背靠背而坐的两条优美的曲线，下列函数中大致可“完美”局部表达这对曲线的函数是（）A ．()sin 622x xxf x -=-B ．()cos622x xxf x -=-C ．()sin 622x x xf x -=-D ．()cos622x xxf x -=-解：D【分析】由图象可知，函数()y f x =为偶函数，且在0x =附近函数()y f x =的函数值为正，然后逐项分析每个选项中函数的奇偶性及其在0x =附近的函数值符号，由此可得出合适的选项.解：由图象可知，函数()y f x =为偶函数，且在0x =附近函数()y f x =的函数值为正. 对于A 选项，函数()sin 622x xxf x -=-的定义域为{}0x x ≠，()()()sin 6sin 6sin 6222222x x x x x xx x xf x f x -----==-==---，该函数为偶函数，当06x π<<时，220x x --<，06x π<<，则sin60x >，此时()0f x <不合乎题意；对于B 选项，函数()cos622x xxf x -=-的定义域为{}0x x ≠，()()()cos 6cos 62222x x x xx xf x f x ----==-=---，该函数为奇函数，不合乎题意；对于C 选项，函数()sin 622x xxf x -=-的定义域为{}0x x ≠，()()()sin 6sin 62222x xx xx xf x f x ----==-=---，该函数为奇函数，不合乎题意；对于D 选项，函数()cos622x xxf x -=-的定义域为{}0x x ≠，()()()cos 6cos62222x xx xx xf x f x ----===--，该函数为偶函数.当012x π<<时，062x π<<，则cos60x >，此时()0f x >，合乎题意.故选：D.点评：本题考查利用函数图象选择解析式，一般从函数的定义域、单调性与奇偶性、零点以及函数值符号来进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 8．已知可导函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意的x ∈R ，都有()2f x '>，且()13f =，则不等式()21f x x <+的解集为（） A ．()0,∞+ B ．(),0-∞C ．()1,+∞D ．(),1-∞解：D【分析】变形原不等式，构造新函数，再运用函数的单调性求解不等式即可得出结果.解：由()21f x x <+可得，()21f x x -< 设()()2F x f x x =-，则()()2F x f x ''=-()2f x '>对任意x R ∈恒成立 ()0F x ∴'>对任意x R ∈恒成立()F x ∴在R 上单调递增，又()()1121321F f =-⨯=-=所以原不等式等价于()()1F x F < 解得1x <，故选项D 正确. 故选：D.9．设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0>ω，||ϕπ<.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 A ．23ω=，12πϕ= B ．23ω=，12ϕ11π=-C ．13ω=，24ϕ11π=- D ．13ω=，724πϕ= 解：A解：由题意125282118k k ωππϕπωπϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，其中12,k k Z ∈，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ππω=>，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由ϕπ<得12πϕ=，故选A ．求三角函数的解析式【名师点睛】有关sin()y A x ωϕ=+问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定A ，再根据周期或12周期或14周期求出ω，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的ϕ值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求ω或ϕ的值或最值或范围等. 10．若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是 A ．4π B ．2π C ．34π D ．π解：A解：因为π()cos sin )4=-=+f x x x x ，所以由π02ππ2π,(k Z)4+≤+≤+∈k x k 得π3π2π2π,(k Z)44-+≤≤+∈k x k 因此π3ππ3ππ[,][,],,044444a a a a a a a -⊆-∴-<-≥-≤∴<≤，从而a 的最大值为π4，故选：A.11．定义：角θ与ϕ都是任意角，若满足2πθϕ+=，则称θ与ϕ“广义互余”已知()1sin 4πα+=-，下列角β中，不可能与角α “广义互余”的是（）A ．sin β=B ．()1cos 4πβ+=C ．tan β=D ．()1cos 24πβ-=解：B【分析】首先利用诱导公式求出1sin 4α=，进而根据“广义互余”的概念求出1cos 4β=，然后结合同角的基本关系求出sin β和tan β的值，然后逐项分析判断即可.解：因为()1sin 4πα+=-，则1sin 4α-=-，即1sin 4α=，若α与β“广义互余”，则2παβ+=，即2παβ=-，故1sin 24⎛⎫-= ⎪⎝⎭πβ，即1cos 4β=，若β在第一象限，则sin β=tan β=β在第四象限，则sin β=tan =β AC 选项显然正确； B 选项()1cos cos 4+=-=πββ，即1cos 4β=-，故B 错误；D 选项()1cos 2cos 4-==πββ，故D 正确；故选：B12．已知函数()()1xf x a x e x =+-，若存在唯一的正整数0x ，使得()00f x <，则实数a的取值范围是（） A ．313,24e e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．2332,43e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．221,32e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．11,22e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭解：C题意等价于存在唯一的正整数0x 使得不等式()1xx a x e +<成立，求出函数()x xg x e =的单调区间，直线()1y a x =+过定点()1,0-，作出函数()xxg x e =和直线()1y a x =+图像，结合图形列出不等式组化简即可.解：解：函数()()1xf x a x e x =+-，若存在唯一的正整数0x ，使得()00f x <等价于存在唯一的正整数0x ，使得不等式()1xxa x e +<成立，令()x x g x e =，则1()xx g x e '-=，由()0g x '>得1x <，由()0g x '<得1x >所以函数()xxg x e =在区间(),1-∞上递增，在区间()1,+∞上递减所以max 1()(1)g x g e==，直线()1y a x =+过定点()1,0-，作出函数()xxg x e =和直线()1y a x =+图像如下：由图可得要使存在唯一的正整数0x 使得不等式()1xxa x e +<成立必有221221232(21)a ea e e a e ⎧<⎪⎪⇒≤<⎨⎪+≥⎪⎩ 所以实数a 的取值范围是221,32e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭故选：C.点评：已知不等式能成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 二、填空题13．函数()f x ________．解：[2，+∞）解：分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域. 详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[2,)+∞.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.14．已知函数1()sin 2sin 33f x a x x =-（a 为常数）在3x π=处取得极值，则a 值为______.解：1.【分析】先对函数求导，根据函数在3x π=处取得极值应有 03f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭，即可求解. 解：因为()2cos 2cos3f x a x x '=-，所以根据函数在3x π=处取得极值应有 03f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭，即22cos cos 31033a a ππ⎛⎫-⨯=-+= ⎪⎝⎭，解得1a =，故答案为1点评：本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，属于中档题.15．将函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位长度得到函数()f x 图象，下列说法正确的有___________.①sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是函数()f x 的一个解析式②直线712x π=是函数()f x 图象的一条对称轴③函数()f x 是周期为π的奇函数④函数()f x 的递减区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 解：②④④②【分析】根据三角函数图像变换性质求解出函数()f x 的解析式，再根据三角函数的性质逐项分析即可.解：根据题意，()πππcos 2sin 2433f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以①错误；根据正弦函数的性质，函数()f x 的对称轴可写为：ππ2π,32x k k Z +=+∈ 计算得ππ,212k x k Z =+∈， 1k =时，7π12x =，所以②正确；根据函数()f x 的解析式，()()f x f x -≠-，所以函数 ()f x 不是奇函数，所以③错误；根据函数()f x 的解析式，令πππ2π22,232k x k k Z π-≤+≤+∈，计算得：5ππππ,1212k x k k -≤≤+∈Z 所以函数()f x 的递减区间为()5πππ,π1212k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，所以④正确.故答案为：②④.16．若0x ∀>，不等式ln 2(0)ax b a x ++≥>恒成立，则b a的最大值为________. 解：2e先设()ln 2af x x x=++，对其求导，求出其最小值为()min ln 3f x a =+，得到ln 3b a a a +≤，再令()ln 3a g a a+=，对其求导，导数的方法研究其单调性，得出最大值，即可得出结果.解：设()ln 2a f x x x=++，则()221a x a f x x x x '-=-=，因为0a >，所以当()0,x a ∈时，()20x af x x -'=<，则函数()f x 单调递减；当(),x a ∈+∞时，()20x af x x '-=>，则函数()f x 单调递增；所以()()min ln 3f x f a a b ==+≥，则ln 3b a a a +≤，令()ln 3a g a a+=，则()221ln 32ln a a g a a a --+'==-；由()0g a '=可得，2a e -=；所以当()20,a e-∈时，()22ln 0a g a a +'=->，则函数()g a 单调递增；当()2,a e -∈+∞时，()22ln 0ag a a+'=-<，则函数()g a 单调递减；所以()()2222max ln 3e g a g e e e---+===，即b a 的最大值为2e . 故答案为：2e点评：思路点睛：导数的方法研究函数最值时，通常需要先对函数求导，解对应的不等式，求出单调区间，得出函数单调性，得出极值，进而可得出最值. 三、解答题17．已知函数()()22f x sin x cos x 23sin x cos x x R =--∈ （I ）求2f 3π⎛⎫⎪⎝⎭的值（II ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.解：（I ）2；（II ）()f x 的最小正周期是π，2+k +k k 63Z ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，.【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值．（Ⅱ）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间．解：（Ⅰ）f （x ）＝sin 2x ﹣cos 2x 23-sin x cos x ，＝﹣cos2x 3-sin2x ，＝﹣226sin x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则f （23π）＝﹣2sin （436ππ+）＝2，（Ⅱ）因为()2sin(2)6f x x π=-+．所以()f x 的最小正周期是π．由正弦函数的性质得3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得2,63k x k k ππ+π≤≤+π∈Z ，所以，()f x 的单调递增区间是2[,]63k k k ππ+π+π∈Z ，．点评：本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．18．设函数()22,0,0x x x f x x mx x ⎧+<=⎨-+≥⎩；（1）若1m =，判断函数()f x 的奇偶性；（2）若0m =，且()()2f f a ≤，求实数a 的取值范围.解：（1）奇函数；（2）a ≤【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断分段函数的奇偶性即可；（2）分类讨论求解不等式可得出结果.解：解析：（1）函数的定义域关于原点对称，且()00=f ，∴当0x >时，0x -<，则()()()22f x x x x x f x -=-=--+=-，当0x <时，0x ->，则()()()22f x x x x x f x -=--=-+=-，故恒有()()f x f x -=-， ∴函数()f x 为奇函数.（2）由题意得()()()20,2,f a f a f a ⎧<⎪⎨+≤⎪⎩或()()20,2,f a f a ⎧≥⎪⎨-≤⎪⎩解得()2f a ≥-.由20,2a a a <⎧⎨+≥-⎩或20,2a a ≥⎧⎨-≥-⎩，解得a ≤19．已知函数()()e 2xf x a x =-+.（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）求()y f x =的极值.解：（1）在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增；（2）答案见解析.【分析】（1）求出函数的导函数，再根据导函数的符号即可得出函数的单调区间；（2）分0a ≤，0a >两种情况讨论函数的单调区间，再根据极值的定义即可得出答案.解：解：由题意，()f x 的定义域为(),-∞+∞，且()xf x e a '=-.（1）当1a =时，()1xf x e '=-，令()0f x '=，解得0x =.∴当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.∴()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增；（2）①当0a ≤时，()0xf x e a '=->恒成立，()f x 在(),-∞+∞上单调递增，故函数无极值；②当0a >时，令()0f x '=，解得ln x a =，当(),ln x a ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()ln ,x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.∴()f x 的极小值为()()()ln ln 21ln f a a a a a a =-+=-+，()f x 无极大值.20．某种出口产品的关税税率为t ，市场价格x (单位：千元)与市场供应量p (单位：万件)之间近似满足关系式：()()212kt x b p --=，其中,k b 均为常数.当关税税率75%t =时，若市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件.（1）试确定,k b 的值.（2）市场需求量q (单位：万件)与市场价格x (单位：千元)近似满足关系式：2x q -=，当p q =时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值.解：（1）1k =，5b =；（2）500%.【分析】（1）将关税税率75%t =，市场价格5x =代入()()212kt x b p --=中，列出关于k 与b 的方程组求解；（2）利用p q =，将t 表示成关于x 的函数，然后确定t 的最大值. 解：(1)由已知得：()()()()2210.75510.7571222k b k b ----⎧=⎪⎨⎪=⎩，得()()()()2210.755010.7571k b k b ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩ 解得5b =，1k =.(2)当p q =时，()()21522t x x ---=，所以()()215t x x --=-，则()211125510xt x x x=+=+-+-. 设()25f x x x=+，则()f x 在(]0,4上单调递减，所以当4x =时，()f x 有最小值414，故当4x =时，关税税率的最大值为500%.点评：本题考查函数的实际应用问题，考查学生分析问题、处理问题的能力，数学建模的能力，难度一般.解答时，要灵活运用题目所给条件，建立函数模型然后求解. 21．已知函数()()21x f x x e =-，其中a R ∈．（1）求函数()f x 在0x =处的切线方程；（2）0x ∀≥，()1f x ax ≥-，求实数a 的取值范围．解：（1）10x y ++=；（2）1a ≤-．【分析】（1）求导数，得切线斜率(0)f '，从而可得切线方程；（2）0x =时，不等式成立，主要讨论由0x >时不等式成立得a 的范围，分离参数后用导数求函数的最值可得．解：（1）由题意2()(21)x f x x x e '=+-，(0)1f '=-，又(0)1f =-，所以切线方程为1y x +=-，即10x y ++=；（2）0x =时，不等式()1f x ax ≥-为11-≥-，对任意实数a 都成立；0x >时，不等式()1f x ax ≥-化为()10f x ax -+≥，令()()1g x f x ax =-+，则()()g x f x a ''=-，由2()(21)x f x x x e '=+-，令2()(21)x h x x x e =+-，2()(41)0x h x x x e '=++>，所以()h x 即()'f x 在(0,)+∞上递增，()(0)1f x f ''>=-，所以()(0)1g x g a ''>=--，若10a --≥，即1a ≤-，则()0g x '>在(0,)+∞上恒成立，()g x 在(0,)+∞上递增， ()(0)0g x g >=，不等式()10f x ax -+≥成立，若1a >-，由上讨论知存在00x >，使得00()g x '=，且当00x x <<时，()0g x '<，()g x 递减，0x x >时，()0g x '>，()g x 递增，min 0()()g x g x =，而(0)0g =，因此00x x <<时，()(0)0g x g <=，()0g x ≥不成立．综上1a ≤-．点评：本题考查导数的几何意义，考查由不等式恒成立求参数范围．解题方法是构造新函数()()1g x f x ax =-+，求出()g x '，确定()g x '在(0,)+∞上单调递增，(0)1g a '=--，根据1a --的正负分类讨论后得出结论．注意此题若用分离参数得2(1)1x x e a x-+≤，引入新函数后在现有知识体系下求不出新函数的最小值或取值范围，从而不能得出结论． 22．已知函数2()ln f x x x ax =-，a ∈R ．（1）若()f x 存在单调递增区间，求a 的取值范围；（2）若1x ，2x 为()f x 的两个不同极值点，证明：123ln ln 1x x +>-．解：（1）12a <；（2）证明见解析．【分析】（1）根据题意知()ln 120f x x ax '=+->有解，则1ln 2xa x+<有解，利用导数判断函数()1ln xg x x+=的单调性从而确定最大值，即可得解；（2）根据题意可得1122ln 120ln 120x ax x ax +-=⎧⎨+-=⎩，联立可得1212ln ln 2x x a x x -=-，问题转化为证明121212ln ln (3)3x x x x x x -+>-成立，令12xt x =，利用导数研究函数3(1)()ln 31t t t t φ-=-+的单调性及最值，从而证明123ln ln 1x x +>-. 解：（1）函数定义域为0,，根据题意知()ln 120f x x ax '=+->有解即1ln 2x a x +<有解，令1ln ()xg x x +=，2ln ()x g x x'=-且当01x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增；当1x >时，()0g x '<，()g x 单调递减 max 2()(1)1a g x g ∴<==，12a ∴<（2）由12,x x 是()f x 的不同极值点，知12,x x 是'()0f x =的两根即1122ln 120ln 120x ax x ax +-=⎧⎨+-=⎩，1122ln 12ln 12x ax x ax +=⎧∴⎨+=⎩①联立可得：1212ln ln 2x x a x x -=-② 要证123ln ln 1x x +>-，由①代入即证123(21)(21)1ax ax -+->-，即122(3)3a x x +> 由②代入可得121212ln ln (3)3x x x x x x -+>-③且由上一问可知，'(1)120f a =->若121x x >>，则③等价于11122121223(1)3()ln 331x x x x x x x x x x -->=++ 令12x t x =（1t >），问题转化为证明3(1)()ln 0(1)31t t t t t φ-=->>+④成立而222112(31)'()0(1)(31)(31)t t t t t t t φ-=-=>>++ ()t φ在1,上单调递增，当()1,t ∈+∞，()(1)0t φφ>=，所以④成立，得证．若211x x >>，则③等价于11122121223(1)3()ln 331x x x x x x x x x x --<=++ 令12x t x =，01t <<问题转化为证明3(1)()ln 031t t t t φ-=-<+()01t <<⑤成立而222112(31)'()0(01)(31)(31)t t t t t t t φ-=-=><<-+()t φ在0,1上单调递增，当()0,1t ∈，()(1)0t φφ<=，⑤成立，得证．点评：破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.。

2023-2024学年安徽省合肥一中高一(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年安徽省合肥一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，5}，B ＝{2，4}，则（∁U A ）∩B ＝（） A ．{4}B ．{2，4}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4}2．命题“∃x ∈R ，x 2﹣3x +3≥0”的否定是（） A ．∀x ∈R ，x 2﹣3x +3＜0 B ．∀x ∈R ，x 2﹣3x +3≥0 C ．∃x ∈R ，x 2﹣3x +3≤0 D ．∃x ∈R ，x 2﹣3x +3＜03．函数y =√x 2+2x−3x−1的定义域是（）A ．[﹣3，1]B ．[﹣1，1）∪（1，3]C ．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D ．（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）4．对于实数a ，b ，c ，下列说法正确的是（） A ．若a ＜b ，则1a＞1bB ．若a ＜b ，则ac 2＜bc 2C ．若a ＜0＜b ，则ab ＜b 2D ．若c ＞a ＞b ，则1c−a＜1c−b5．函数f(x)=9−3xx−2(x ＞3)的值域为（） A ．（﹣3，0）B ．（0，+∞）C ．（﹣1，0）D ．（﹣2，0）6．已知函数f(x)={x 2−(a +2)x +3，x ≤1a x，x ＞1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．（0，2]B ．（0，1]C ．[1，2]D ．（0，+∞）7．对实数a 和b ，定义运算“◎”：a ◎b ={a ，a −b ≤2b ，a −b ＞2，设函数f （x ）＝（x 2﹣1）◎（5x ﹣x 2）（x ∈R ），若函数y ＝f （x ）﹣m 的图象与x 轴恰有1个公共点，则实数m 的取值范围是（） A ．（﹣1，6]￥D ．[−114，−1)∪[6，8]8．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，f （1）＝3，若∀x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，都有（x 1﹣x 2）[x 1f （x 1）﹣x 2f （x 2）]＞0，则不等式（x +3）f （x +3）＞3的解集为（） A ．（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞） B ．（﹣∞，2）∪（4，+∞） C ．（﹣∞，3）D ．（3，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列函数中，与函数y ＝x +1是同一函数的是（） A ．y =(√x +1)2 B ．y =√x 33+1C ．y =√(x +1)33D ．y =x 2+1x−110．设x ∈R ，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立的充分不必要条件可以是（） A ．﹣1＜a ＜0B ．﹣2＜a ＜0C ．﹣3＜a ≤0D ．0≤a ＜111．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，下列说法正确的是（） A ．糖水加糖更甜可用式于a+m b+m＞ab表示，其中a ＞b ＞0，m ＞0B ．当x ＞32时，y =2x −1+12x−3的最小值为4 C ．若x ＞0，y ＞0，2x +y ＝1，则√2x +√y ≤√2D ．若a 2（b 2﹣2）＝4，则a 2+b 2的最小值为6 12．已知函数f(x)=x1+|x|（x ∈R ），则（） A ．函数f （x ）为奇函数B ．函数f （x ）的值域是（﹣1，1）C ．函数f （x ）在R 上单调递减D ．若对任意的x ∈[﹣1，1]，f （x ）≤t 2﹣2at +12恒成立，则当a ∈[﹣1，1]时，t ≥2或t ＝0或t ≤﹣2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f(x)={x 2−1，x ≤0x −3，x ＞0，则f （f （﹣2））＝．14．下列命题中，真命题的编号是． ①∀x ∈R ，x 2﹣2x +3＞0；②∃x ∈N *，x 为方程2x 2﹣3＝0的根； ③∀x ∈{﹣1，0，1}，2x +1＞0； ④∃x ，y ∈Z ，使3x ﹣2y ＝10．15．已知a ，b 为正实数，满足（a +b ）（2a +b ）＝3，则10a +7b 的最小值为．16．已知函数y ＝f （x ）的定义域为R ，满足f （x ）＝2f （x ﹣1），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （1﹣x ），若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f(x)≤32，则m 的最大值是．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜8}，B ＝{x |m ﹣3＜x ＜3m ﹣1}．（1）当m ＝2时，求A ∩B ；（2）若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．18．（12分）已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}．（1）若集合B ＝{x |﹣6＜x ＜2}，求实数m 的值；（2）若m ≥0，“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 19．（12分）已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣5m +7）x m 为奇函数．（1）求f （x ）的解析式；（2）若函数g （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，g （x ）＝f （x ）﹣x 2，求函数g （x ）的解析式． 20．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣4x +a ．（1）在①∃x ∈[1，5]，②∀x ∈[1，5]这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解该问题．若命题：“_____，f （x ）＞0”为真命题，求实数a 的取值范围；（2）求函数F(x)=12[f(x)+f(|x|)]的单调递增区间．21．（12分）如图，某学校欲建矩形运动场，运动场左侧为围墙，三面通道各宽2m ，运动场与通道之间由栅栏隔开．（1）若运动场面积为3200m 2，求栅栏总长的最小值；（2）若运动场与通道占地总面积为3200m 2，求运动场面积的最大值．22．（12分）已知函数f(x)=x 2+a x+b 是奇函数，且f(−2)=−52．（1）判断并根据定义证明函数f （x ）在（0，1），（1，+∞）上的单调性；（2）设函数h （x ）＝f 2（x ）﹣2tf （x ）﹣2（t ＜0），若对∀x 1，x 2∈[13，3]，都有|h （x 1）﹣h （x 2）|≤8，求实数t 的取值范围．2023-2024学年安徽省合肥一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，5}，B＝{2，4}，则（∁U A）∩B＝（）A．{4}B．{2，4}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4}解：由已知得∁U A＝{2，3，4}，所以（∁U A）∩B＝{2，4}．故选：B．2．命题“∃x∈R，x2﹣3x+3≥0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣3x+3＜0B．∀x∈R，x2﹣3x+3≥0C．∃x∈R，x2﹣3x+3≤0D．∃x∈R，x2﹣3x+3＜0解：∃x∈R，x2﹣3x+3≥0的否定是：∀x∈R，x2﹣3x+3＜0．故选：A．3．函数y=√x2+2x−3x−1的定义域是（）A．[﹣3，1]B．[﹣1，1）∪（1，3] C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）解：要使得函数y=√x2+2x−3x−1有意义，则x2+2x﹣3≥0，且x﹣1≠0，解得x＞1或x≤﹣3，故定义域为（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）．故选：D．4．对于实数a，b，c，下列说法正确的是（）A．若a＜b，则1a ＞1bB．若a＜b，则ac2＜bc2C．若a＜0＜b，则ab＜b2D．若c＞a＞b，则1c−a ＜1c−b解：若a＜0，b＞0，则1a ＜1b，故A错误；若c＝0，则ac2＝bc2，故B错误；因为a＜0＜b，所以ab﹣b2＝b（a﹣b）＜0，即ab＜b2，故C正确；因为c＞a＞b，所以0＜c﹣a＜c﹣b，所以1c−a ＞1c−b＞0，故D错误．故选：C．5．函数f(x)=9−3xx−2(x ＞3)的值域为（） A ．（﹣3，0） B ．（0，+∞） C ．（﹣1，0） D ．（﹣2，0）解：由题意，函数f(x)=9−3x x−2=−3+3x−2（x ＞3），令t ＝x ﹣2，则t ＞1，可得3t∈(0，3)，故f(x)=−3+3x−2（x ＞3）的值域为（﹣3，0）．故选：A ．6．已知函数f(x)={x 2−(a +2)x +3，x ≤1a x ，x ＞1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．（0，2]B ．（0，1]C ．[1，2]D ．（0，+∞）解：二次函数y ＝x 2﹣（a +2）x +3的对称轴为x =a+22，因为函数f(x)={x 2−(a +2)x +3，x ≤1ax，x ＞1是R 上的减函数，所以有{a+22≥1，a ＞01−a −2+3≥a，解得0＜a ≤1．故选：B ．7．对实数a 和b ，定义运算“◎”：a ◎b ={a ，a −b ≤2b ，a −b ＞2，设函数f （x ）＝（x 2﹣1）◎（5x ﹣x 2）（x ∈R ），若函数y ＝f （x ）﹣m 的图象与x 轴恰有1个公共点，则实数m 的取值范围是（） A ．（﹣1，6] B ．(−∞，−1]∪(−114，6) C ．(−114，+∞)D ．[−114，−1)∪[6，8]解：当x 2﹣1﹣（5x ﹣x 2）≤2⇒2x 2﹣5x ﹣3≤0⇒−12≤x ≤3时，f （x ）＝x 2﹣1；当x 2﹣1﹣（5x ﹣x 2）＞2⇒2x 2﹣5x ﹣3＞0⇒x ＜−12或x ＞3时，f （x ）＝5x ﹣x 2，作出f （x ）的图象，如图所示：函数y＝f（x）﹣m的图象与x轴恰有1个公共点，转化为函数f（x）的图象与直线y＝m恰有1个交点，由图象并结合各分段区间上的f（x）的值，可得：6≤m≤8或−114≤m＜﹣1，则实数m的取值范围是[−114，﹣1）∪[6，8]，故D项正确．故选：D．8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）＝3，若∀x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有（x1﹣x2）[x 1f （x 1）﹣x 2f （x 2）]＞0，则不等式（x +3）f （x +3）＞3的解集为（） A ．（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞） B ．（﹣∞，2）∪（4，+∞） C ．（﹣∞，3）D ．（3，+∞）解：由∀x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，都有（x 1﹣x 2）[x 1f （x 1）﹣x 2f （x 2）]＞0，不妨令x 1＜x 2⇒x 1f （x 1）＜x 2f （x 2）可知函数xf （x ）在（0，+∞）上单调递增，记g （x ）＝xf （x ），则g （﹣x ）＝（﹣x ）f （﹣x ）＝﹣x [﹣f （x ）]＝xf （x ）＝g （x ），所以g （x ）为偶函数，因此g （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，且g （﹣1）＝g （1）＝1×f （1）＝3，不等式（x +3）f （x +3）＞3等价于g （x +3）＞g （1），故|x +3|＞1，解得x ＞﹣2或x ＜﹣4，故不等式的解集为：（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞）．故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列函数中，与函数y ＝x +1是同一函数的是（） A ．y =(√x +1)2 B ．y =√x 33+1C ．y =√(x +1)33D ．y =x 2+1x−1解：由题意知函数y ＝x +1的定义域为R ，值域为R ，y =(√x +1)2的定义域为[﹣1，+∞），与函数y ＝x +1的定义域不同，不是同一函数，故A 错误； y =√x 33+1=x +1定义域为R ，定义域与对应关系和y ＝x +1相同，为同一函数，故B 正确； y =√(x +1)33=x +1定义域R ，定义域与对应关系和y ＝x +1相同，为同一函数，故C 正确；y =x 2+1x−1的定义域为{x ∈R |x ≠1}，与函数y ＝x +1的定义域不同，不是同一函数，故D 错误．故选：BC ．10．设x ∈R ，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立的充分不必要条件可以是（） A ．﹣1＜a ＜0B ．﹣2＜a ＜0C ．﹣3＜a ≤0D ．0≤a ＜1解：当a ＝0时，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0为﹣2＜0，满足题意；a ≠0时，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立，则必有a ＜0且Δ＝（﹣2a ）2+4a ×2＜0，解得﹣2＜a ＜0，故a 的取值范围为﹣2＜a ≤0，由题意知所选不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立的充分不必要条件中不等式相应集合应为（﹣2，0]的真子集，结合选项可知﹣1＜a ＜0，﹣2＜a ＜0所对应集合为（﹣2，0]的真子集，故选项A ，B 满足条件．故选：AB ．11．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，下列说法正确的是（） A ．糖水加糖更甜可用式于a+m b+m＞ab表示，其中a ＞b ＞0，m ＞0B ．当x ＞32时，y =2x −1+12x−3的最小值为4 C ．若x ＞0，y ＞0，2x +y ＝1，则√2x +√y ≤√2D ．若a 2（b 2﹣2）＝4，则a 2+b 2的最小值为6解：对于选项A ，当a ＝2，b ＝1，m ＝1时，a b=2，a+m b+m=32＜2，当a ＞b 时，糖水不等式不成立，故A 不正确；对于选项B ，因为x ＞32，y =2x −1+12x−3=2x −3+12x−3+2≥2√(2x −3)×(12x−3)+2=4，当且仅当2x ﹣3=12x−3，即x ＝2时取等号，故B 正确；对于选项C ，因为2x +y =1≥2√2xy ，所以xy ≤18，当且仅当2x ＝y ，即x =14，y =12时等号成立，所以(√2x +√y)2=2x +y +2√2⋅√xy ≤1+2√2⋅√18=2，即√2x +√y ≤√2，当且仅当x =14，y =12时等号成立，故C 正确；对于选项D ，因为a 2（b 2﹣2）＝4，所以a 2=4b 2−2＞0，所以a 2+b 2=4b 2−2+b 2=4b 2−2+（b 2﹣2）+2≥2√4b 2−2⋅(b 2−2)+2＝6，当且仅当b 2−2=4b 2−2，即a 2＝2，b 2＝4时，等号成立，故D 正确．故选：BCD ．12．已知函数f(x)=x1+|x|（x ∈R ），则（） A ．函数f （x ）为奇函数B ．函数f （x ）的值域是（﹣1，1）C ．函数f （x ）在R 上单调递减D ．若对任意的x ∈[﹣1，1]，f （x ）≤t 2﹣2at +12恒成立，则当a ∈[﹣1，1]时，t ≥2或t ＝0或t ≤﹣2 解：选项A ，由题意得x ∈R ，f （﹣x ）=−x 1+|−x|=−x 1+|x|=−f （x ），所以函数f （x ）是奇函数，故A 正确；选项B ，C ，由函数解析式可得f （x ）={x 1+x ，x ≥0x 1−x ，x ＜0={1−1x+1，x ≥011−x−1，x ＜0，函数图象如图所示：所以f （x ）的值域是（﹣1，1），在R 上单调递增，故B 正确，C 错误；选项D ，由函数f （x ）在R 上单调递增，则当x ∈[﹣1，1]时，f （x ）max ＝f （1）=12，f （x ）≤t 2﹣2at +12恒成立，则t 2﹣2at +12≥12恒成立，即t 2﹣2at ≥0恒成立，令h （a ）＝﹣2at +t 2，即a ∈[﹣1，1]时，h （a ）≥0恒成立，则{ℎ(1)=t 2−2t ≥0ℎ(−1)=t 2+2t ≥0，解得：t ≤﹣2或t ≥2或t ＝0，故D 正确．故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f(x)={x 2−1，x ≤0x −3，x ＞0，则f （f （﹣2））＝ 0 ．解：f(x)={x 2−1，x ≤0x −3，x ＞0，则f （﹣2）＝3，所以f （f （﹣2））＝f （3）＝0．故答案为：0．14．下列命题中，真命题的编号是 ①④ ． ①∀x ∈R ，x 2﹣2x +3＞0；②∃x ∈N *，x 为方程2x 2﹣3＝0的根； ③∀x ∈{﹣1，0，1}，2x +1＞0； ④∃x ，y ∈Z ，使3x ﹣2y ＝10．解：x 2﹣2x +3＝（x ﹣1）2+2＞0恒成立，故①正确；由2x 2﹣3＝0，解得x =±√62∉N ∗，故②错误；﹣1×2+1＝﹣1＜0，故③错误， x ＝4，y ＝1满足题意，故④正确．故答案为：①④．15．已知a ，b 为正实数，满足（a +b ）（2a +b ）＝3，则10a +7b 的最小值为 12 ．解：因为a ，b 为正实数，满足（a +b ）（2a +b ）＝3，所以（4a +4b ）（6a +3b ）＝36，所以（4a +4b ）（6a +3b ）=36≤(4a+4b+6a+3b)24=(10a+7b)24，则10a +7b ≥12，当且仅当{4a +4b =6a +3b (a +b)(2a +b)=3，即a =12，b ＝1时，等号成立，故10a +7b 的最小值为12．故答案为：12．16．已知函数y ＝f （x ）的定义域为R ，满足f （x ）＝2f （x ﹣1），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （1﹣x ），若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f(x)≤32，则m 的最大值是134．解：因为函数y ＝f （x ）的定义域为R ，满足f （x ）＝2f （x ﹣1），当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （1﹣x ），当x ∈（1，2]时，x ﹣1∈（0，1]，则f （x ）＝2f （x ﹣1）＝2（x ﹣1）[1﹣（x ﹣1）]＝﹣2（x ﹣1）（x ﹣2）=−2(x −32)2+12∈[0，12]，当x ∈（2，3]时，x ﹣2∈（0，1]，则f （x ）＝4f （x ﹣2）＝4（x ﹣2）[1﹣（x ﹣2）]＝﹣4（x ﹣2）（x ﹣3）=−4(x 2−5x +6)=−4(x −52)2+1∈[0，1]，当x ∈（3，4]时，x ﹣3∈（0，1]，则f （x ）＝8f （x ﹣3）＝8（x ﹣3）[1﹣（x ﹣3）]＝﹣8（x ﹣3）（x ﹣4）=−8(x 2−7x +12)=−8(x −72)2+2∈[0，2]，因为对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f(x)≤32，当x ∈（3，4]时，令f(x)=−8(x 2−7x +12)=32，解得x =134或x =154，如下图所示：由图可知，m ≤134，故实数m 的最大值为134．故答案为：134．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜8}，B ＝{x |m ﹣3＜x ＜3m ﹣1}．（1）当m ＝2时，求A ∩B ；（2）若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．解：（1）当m ＝2时，B ＝{x |﹣1＜x ＜5}，所以A ∩B ＝{x |﹣1＜x ＜5}；（2）因为A ∪B ＝A ，所以B 是A 的子集，①B ＝∅，即3m ﹣1≤m ﹣3，解得m ≤﹣1；②B ≠∅，则{m −3≥−23m −1≤83m −1＞m −3，所以1≤m ≤3，综上所述，实数m 的取值范围为{m |m ≤﹣1或1≤m ≤3}．18．（12分）已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}．（1）若集合B ＝{x |﹣6＜x ＜2}，求实数m 的值；（2）若m ≥0，“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解：（1）因为B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}＝{x |﹣6＜x ＜2}，所以方程x 2+2mx ﹣3m 2＝0的两根分别为﹣6和2，由韦达定理得{−6+2=−2m −6×2=−3m 2，解得m ＝2．所以实数m 的值为2．（2）由x 2﹣x ﹣6＜0，得﹣2＜x ＜3，A ＝{x |﹣2＜x ＜3}，由于“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则A ⫋B ，当m ＝0时，B ＝{x |x 2＜0}＝∅，此时A ⫋B ，不成立；当m ＞0时，B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}＝{x |﹣3m ＜x ＜m }，因为A ⫋B ，则有{−3m ≤−2m ≥3，解得m ≥3；综上所述，实数m 的取值范围是[3，+∞）．19．（12分）已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣5m +7）x m 为奇函数．（1）求f （x ）的解析式；（2）若函数g （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，g （x ）＝f （x ）﹣x 2，求函数g （x ）的解析式．解：（1）因为f （x ）为幂函数，所以m 2﹣5m +7＝1，解得m ＝2或m ＝3；当m ＝2时，f （x ）＝x 2是偶函数，不是奇函数；当m ＝3时，f （x ）＝x 3是奇函数，所以m ＝3．故f （x ）的解析式f （x ）＝x 3．（2）由（1）得，当x ≥0时，g （x ）＝f （x ）﹣x 2＝x 3﹣x 2，对于x ＜0，则﹣x ＞0，g （﹣x ）＝（﹣x ）3﹣（﹣x ）2＝﹣x 3﹣x 2，又因为函数g （x ）是定义在R 上的偶函数，所以g （﹣x ）＝g （x ），所以g （x ）＝﹣x 3﹣x 2（x ＜0），所以函数g （x ）的解析式g(x)={x 3−x 2，x ≥0−x 3−x 2，x ＜0． 20．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣4x +a ．（1）在①∃x ∈[1，5]，②∀x ∈[1，5]这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解该问题．若命题：“_____，f （x ）＞0”为真命题，求实数a 的取值范围；（2）求函数F(x)=12[f(x)+f(|x|)]的单调递增区间．解：（1）由f （x ）＞0，得x 2﹣4x +a ＞0，即a ＞﹣x 2+4x ，令g （x ）＝﹣x 2+4x ，g （x ）＝﹣（x ﹣2）2+4，所以g （x ）在[1，2]上单调递增，在[2，5]上单调递减，则在[1，5]上g （x ）的最小值为g （5）＝﹣5，最大值为g （2）＝4．选择条件①，∃x ∈[1，5]使得a ＞﹣x 2+4x 成立，则a ＞g （x ）min ，所以a ＞﹣5，故实数a 的取值范围是（﹣5，+∞）．选择条件②，∀x ∈[1，5]使得a ＞﹣x 2+4x 恒成立，则a ＞g （x ）max ，所以a ＞4，故实数a 的取值范围是（4，+∞）．（2）当x ≥0时，F(x)=12[f(x)+f(|x|)]=12[f(x)+f(x)]=f(x)，＝x 2﹣4x +a ＝（x ﹣2）2+a ﹣4，所以F （x ）在[0，2）上单调递减，在[2，+∞）上单调递增；当x ＜0时，F(x)=12[f(x)+f(|x|)]=12[f(x)+f(−x)]=12[x 2−4x +a +(−x)2+4x +a]=x 2+a ，所以F （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，综上函数F （x ）的单调递增区间为[2，+∞）．21．（12分）如图，某学校欲建矩形运动场，运动场左侧为围墙，三面通道各宽2m ，运动场与通道之间由栅栏隔开．（1）若运动场面积为3200m 2，求栅栏总长的最小值；（2）若运动场与通道占地总面积为3200m 2，求运动场面积的最大值．解：（1）设矩形运动场的长、宽分别为a ，b （如图，单位：m ），由题意，ab ＝3200，所以2a +b ≥2√2ab =160，当且仅当{a =40b =80时，取“＝”，故栅栏总长的最小值为160m ．（2）由题意（a +2）（b +4）＝3200，整理得ab +4a +2b ﹣3192＝0，而4a +2b =3192−ab ≥2√8ab =4√2ab ，故ab +4√2ab −3192≤0，令√ab =t （t ＞0），则t 2+4√2t −3192≤0，解得0＜t ≤38√2，所以√ab ≤38√2，即ab ≤2888，当且仅当{b =2a √ab =38√2，即{a =38b =76时，取“＝”，故运动场面积的最大值为2888m 2．22．（12分）已知函数f(x)=x 2+a x+b 是奇函数，且f(−2)=−52．（1）判断并根据定义证明函数f （x ）在（0，1），（1，+∞）上的单调性；（2）设函数h （x ）＝f 2（x ）﹣2tf （x ）﹣2（t ＜0），若对∀x 1，x 2∈[13，3]，都有|h （x 1）﹣h （x 2）|≤8，求实数t 的取值范围．（1）解：因为f(−2)=−52，且f （x ）是奇函数，所以f(2)=52，所以{4+a 2+b =524+a −2+b =−52，解得{a =1b =0，所以f(x)=x +1x ．此时，f(x)+f(−x)=x +1x +(−x)+1−x=0，所以f （x ）是奇函数，满足要求；函数f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，证明如下：任取x 1，x 2∈（0，1），且x 1＜x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(x 1+1x 1)−(x 2+1x 2)=(x 1−x 2)(x 1x 2−1x 1x 2)，因为x 1，x 2∈（0，1），且x 1＜x 2，所以x 1﹣x 2＜0，0＜x 1x 2＜1，所以x 1x 2﹣1＜0，所以f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2），所以函数f （x ）在（0，1）上单调递减；同理可证明函数f （x ）在（1，+∞）上单调递增．（2）由题意知ℎ(x)=x 2+1x 2−2t(x +1x )，令z =x +1x ，y ＝z 2﹣2tz ﹣2，由（1）可知函数z =x +1x 在[13，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，所以z ∈[2，103]，因为函数y ＝z 2﹣2tz ﹣2的对称轴方程为z ＝t ＜0，所以函数y ＝z 2﹣2tz ﹣2在[2，103]上单调递增，当z ＝2时，y ＝z 2﹣2tz ﹣2取得最小值，y min ＝﹣4t +2；当z =103时，y ＝z 2﹣2tz ﹣2取得最大值，y max =−203t +829．所以h （x ）min ＝﹣4t +2，ℎ(x)max =−203t +829，又因为对∀x1，x2∈[13，3]都有|h（x1）﹣h（x2）|≤8恒成立，所以h（x）max﹣h（x）min≤8，即−203t+829−(−4t+2)≤8，解得t≥−13，又因为t＜0，所以t的取值范围是[−13，0)．。

《解析》安徽省合肥市第一中学2016-2017学年高一上学期第一次数学试卷Word版含解析

安徽省合肥市第一中学2016-2017学年高一上学期第一次数学试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合，则中的元素个数为（）A．B．C．D．2．下列各组中的两个函数是同一函数的为（）A．B．C．D．3．在映射中，，且，则与中的元素对应的中的元素为（）A．B．C．D．4．图中函数图象所表示的解析式为（）A．B．C．D．5．设函数则的值为（）A．B．C．D．6．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“合一函数”，那么函数解析式为，值域为的“合一函数”共有（）A．个B．个C．个D．个7．函数，则的定义域是（）A．B．C．D．8．定义两种运算：，则是（）A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数9．定义在上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式的解集是（）A．B．C．D．10．若函数，且对实数，则（）A．B．C．D．与的大小不能确定11．函数对任意正整数满足条件，且，则（）A．B．C．D．12．在上定义的函数是偶函数，且.若在区间上的减函数，则（）A．在区间上是增函数，在区间上是增函数B．在区间上是减函数，在区间上是减函数C．在区间上是减函数，在区间上是增函数D．在区间上是增函数，在区间上是减函数二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数的值域是______.14.已知函数，若，求______.15.若函数的定义域为，则______.16.已知函数，若，则实数的取值范围是______.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知全集，集合.（1）求；（2）若集合，且，求实数的取值范围.18.在到这个整数中既不是的倍数，又不是的倍数，也不是的倍数的整数共有多少个？并说明理由.19.合肥市“网约车”的现行计价标准是：路程在以内（含）按起步价元收取，超过后的路程按元/收取，但超过后的路程需加收的返空费（即单价为元/）.（1）将某乘客搭乘一次“网约车”的费用（单位：元）表示为行程，单位：）的分段函数；（2）某乘客的行程为，他准备先乘一辆“网约车”行驶后，再换乘另一辆“网约车”完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆“网约车”完成全部行程更省钱？请说明理由.20.已知，若函数在区间上的最大值为，最小值为，令.（1）求的函数表达式；（2）判断并证明函数在区间上的单调性，并求出的最小值.21.对于定义在区间上的函数，若存在闭区间和常数，使得对任意，都有，且对任意，当时，恒成立，则称函数为区间上的“平底型”函数.（1）判断函数和是否为上的“平底型”函数？（2）若函数是区间上的“平底型”函数，求和的值.22.定义在的函数满足：①对任意都有；②当时，.回答下列问题：（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数在上的单调性，并说明理由；（3）若，试求的值.答案部分1.考点：集合的概念试题解析：由题得：所以中有4个元素。

人教A版数学必修一合肥一中09-10高一上学期第一阶段测试.doc

合肥一中09-10学年高一上学期第一阶段测试数学一、选择题（每题4分，计40分）1.已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩（Venn ）图是2.设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B ，则集合()U C AB 中的元素共有（）（A ）3个（B ）4个（C ）5个（D ）6个3.设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则U A B =ð( )A ．{|01}x x ≤<B ．{|1}x x >C ．{|0}x x <D ． {|01}x x <≤ 4.若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（）A ．(],40-∞B ．[40,64]C ．(][),4064,-∞+∞D ．[)64,+∞5.已知函数)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则m 的值是（）A . 1B . 2C . 3D . 46.函数33()11f x x x =++-,则下列坐标表示的点一定在函数f (x )图象上的是（）A ．(,())a f a --B ．(,())a f a ---C ．(,())a f a -D ． (,())a f a - 7.下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x 的是（）A ．()f x =xe B. ()f x =2(1)x - C . ()f x =1xD ()1f x x =+8.函数x x x xe e y e e--+=-的图像大致为().9.已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有 )()1()1(x f x x xf +=+，则)25(f 的值是A. 0B. 21C. 1D. 25 10. 若函数2()2f x x x =-+，则对任意实数12,x x ，下列不等式总成立的是（）A ．12()2x x f +≤12()()2f x f x +B ．12()2x x f +<12()()2f x f x + C ．12()2x x f +≥12()()2f x f x + D ．12()2x x f +>12()()2f x f x + 二、填空题（每题4分计16分）11.若221()1x f x x +=-则11(2)()(3)()23f f f f +++= ▲ 12奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为1-，则2(6)(3)f f -+-=▲。

2023-2024学年安徽省合肥市重点中学高一(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年安徽省合肥市重点中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．已知集合A＝{﹣2，﹣1，2，3}，B＝{x|2﹣x≤0}，则A∩B＝（）A．{﹣2，3}B．{﹣2，2}C．{﹣1，2}D．{2，3}2．不等式（x﹣1）（2﹣x）＞0的解集是（）A．{x|x＜1}B．{x|1＜x＜2}C．{x|x＜1或x＞2}D．{x|x＞2}3．已知a＝0.3﹣0.3，b＝0.3﹣0.2，c＝2﹣0.01，则下列正确的是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜c＜b4．已知函数f（x）={x+1，x≤0−2x，x＞0，则“x0＝﹣2”是“f（x0）＝﹣1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，f（﹣2）＝0，则不等式xf（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）6．若函数f(x)={x2−ax+32，x≥1(a−1)x+1，x＜1在R上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．（1，2]B．[54，2]C．(54，2]D．(1，54]7．若两个正实数x，y满足1x+4y=1，且不等式x+y4＜m2−3m有解，则实数m的取值范围是（）A．{m|﹣1＜m＜4}B．{m|m＜0或m＞3} C．{m|﹣4＜m＜1}D．{m|m＜﹣1或m＞4}8．已知函数f(x)=3x−13x+1+3x+3，且f（a2）+f（3a﹣4）＞6，则实数a的取值范围为（）A．（﹣4，1）B．（﹣3，2）C．（0，5）D．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A．f(x)=|x|，g(x)=√x2B．f（x）＝x0，g（x）＝1C ．f(x)=x(x−2)x 2，g(x)=1−2xD ．f(x)={1，x ≥0−1，x ＜0，g(x)={x|x|，x ≠01，x =010．下列说法正确的是（）A ．命题“∀x ∈R ，x 2+1＜0”的否定是“∃x ∈R ，使得x 2+1＜0”B ．若集合A ={⬚}中只有一个元素，则a =14C ．关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0的解集（﹣2，3），则不等式cx 2﹣bx +a ＜0的解集为(−13，12)D ．若函数y ＝f （x ）的定义域是[﹣2，3]，则函数y ＝f （2x ﹣1）的定义域是[−12，2] 11．下列命题中正确的是（） A ．√x 2+41√x 2+4的最小值为2B ．函数y =(12)x2−2x的值域为（﹣∞，2]C ．已知f （x ）为定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 2﹣2x ，则x ＜0时，f （x ）＝﹣x 2﹣2xD ．若幂函数f （x ）＝（m 2+m ﹣1）x m +1在（0，+∞）上是增函数，则 m ＝1．12．若函数f （x ）同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有f （x ）+f （﹣x ）＝0；②对于定义域上的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，恒f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，则称函数f （x ）为“理想函数”，下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（） A ．f （x ）＝﹣x B ．f(x)=−√x 3C ．f （x ）＝x 3+xD ．f （x ）＝e ﹣x ﹣e x三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．√614−（π﹣1）0﹣（338）13+（164）−23= ．14．若f(x)=2x−2−x(x+4)(2x+a)为奇函数，则a ＝．15．不等式（a ﹣2）x 2+2（a ﹣2）x ﹣4＜0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是． 16．已知a ＞0，b ＞0．若a +2b ﹣2ab ＝0，求a +3b 的最小值是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设集合U ＝R ，A ＝{x |0≤x ≤3}，B ＝{x |m ﹣1≤x ≤2m }．（1）m ＝3，求A ∩（∁U B ）；（2）若“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，求m 的取值范围．18．（12分）已知m ∈R ，命题p ：∀x ∈[0，2]，m ≤x 2﹣2x ，命题q ：∃x ∈（0，+∞），使得方程x +4x=m 成立．（1）若p 是真命题，求m 的取值范围；（2）若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求m 的取值范围．19．（12分）已知指数函数f （x ）＝（3a 2﹣10a +4）a x 在其定义域内单调递增．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）设函数g （x ）＝f （2x ）﹣4f （x ）﹣3，当x ∈[0，2]时，求函数g （x ）的值域．20．（12分）已知定义域为R 的函数f(x)=a−2xb+2x 是奇函数．（1）求a ，b 的值；（2）判断f （x ）的单调性，并用定义证明；（3）若存在t ∈[0，4]，使f （k +t 2）+f （4t ﹣2t 2）＜0成立，求k 的取值范围．21．（12分）漳州市某研学基地，因地制宜划出一片区域，打造成“生态水果特色区”．经调研发现：某水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：W(x)={2(x 2+17)，0≤x ≤250−8x−1，2＜x ≤5，且单株施用肥料及其它成本总投入为20x +10元．已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为f （x ）（单位：元）．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 22．（12分）设a ∈R ，函数f （x ）＝|x 2+ax |．（1）当a ＝﹣1时，求f （x ）在[0，1]的单调区间；（2）记M （a ）为f （x ）在[0，1]上的最大值，求M （a ）的最小值．2023-2024学年安徽省合肥市重点中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，2，3}，B ＝{x |2﹣x ≤0}，则A ∩B ＝（） A ．{﹣2，3}B ．{﹣2，2}C ．{﹣1，2}D ．{2，3}解：A ＝{﹣2，﹣1，2，3}，B ＝{x |2﹣x ≤0}＝{x |x ≥2}，则A ∩B ＝{2，3}．故选：D ．2．不等式（x ﹣1）（2﹣x ）＞0的解集是（） A ．{x |x ＜1}B ．{x |1＜x ＜2}C ．{x |x ＜1或x ＞2}D ．{x |x ＞2}解：由不等式（x ﹣1）（2﹣x ）＞0，则（x ﹣1）（x ﹣2）＜0，解得1＜x ＜2，所以不等式（x ﹣1）（2﹣x ）＞0的解集是{x |1＜x ＜2}．故选：B ． 3．已知a ＝0.3﹣0.3，b ＝0.3﹣0.2，c ＝2﹣0.01，则下列正确的是（）A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．a ＜c ＜b解：因为y ＝0.3x 在R 上单调递减，a ＝0.3﹣0.3，b ＝0.3﹣0.2，所以a ＞b ，且b ＝0.3﹣0.2＞0.30＝1，而y ＝2x 在R 上单调递增，所以c ＝2﹣0.01＜20＝1，所以a ＞b ＞c ．故选：A ．4．已知函数f （x ）={x +1，x ≤0−2x，x ＞0，则“x 0＝﹣2”是“f （x 0）＝﹣1”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：∵f （﹣2）＝﹣2+1＝﹣1，∴“x 0＝﹣2”是“f （x 0）＝﹣1”的充分条件， ∵f （x 0）＝﹣1，∴当x 0≤0时，则x 0+1＝﹣1，解得x 0＝﹣2，当x 0＞0时，则−2x 0=−1，解得x 0＝2，故“x 0＝﹣2”是“f （x 0）＝﹣1”的不必要条件， ∴“x 0＝﹣2”是“f （x 0）＝﹣1”的充分不必要条件．故选：A ．5．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，f （﹣2）＝0，则不等式xf （x ）＞0的解集为（） A ．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） B ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C ．（﹣2，0）∪（0，2）D ．（﹣2，0）∪（2，+∞）解：由f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （x ）在（0，+∞）上单调递减，可得f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，由f （﹣2）＝0，可得f （2）＝0，当2＞x ＞0时，f （x ）＞0，当﹣2＜x ＜0时，f （x ）＞0，∴xf （x ）＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．故选：A ． 6．若函数f(x)={x 2−ax +32，x ≥1(a −1)x +1，x ＜1在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A ．（1，2]B ．[54，2]C ．(54，2] D ．(1，54]解：根据题意，函数f(x)={x 2−ax +32，x ≥1(a −1)x +1，x ＜1在R 上是增函数，则有{ a2≤1a −1＞01−a +32≥(a −1)+1，解可得1＜a ≤54，即a 的取值范围为（1，54]．故选：D ．7．若两个正实数x ，y 满足1x +4y=1，且不等式x +y4＜m 2−3m 有解，则实数m 的取值范围是（）A ．{m |﹣1＜m ＜4}B ．{m |m ＜0或m ＞3}C ．{m |﹣4＜m ＜1}D ．{m |m ＜﹣1或m ＞4}解：∵x ＞0，y ＞0，且1x +4y=1，∴x +y 4=（x +y 4）（1x +4y ）＝2+4x y +y 4x ≥2+2√4x y ⋅y4x =4，当且仅当4x y =y 4x，即x ＝2，y ＝8时，等号成立，∴x +y4的最小值为4，∵不等式x +y4＜m 2−3m 有解，∴m 2﹣3m ＞4，解得m ＜﹣1或m ＞4，即实数m 的取值范围是{m |m ＜﹣1或m ＞4}，故选：D ．8．已知函数f(x)=3x−13x +1+3x +3，且f （a 2）+f （3a ﹣4）＞6，则实数a 的取值范围为（）A ．（﹣4，1）B ．（﹣3，2）C ．（0，5）D ．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）解：令g(x)=3x−13x +1+3x ，则g （x ）＝f （x ）﹣3，因为x ∈R ，g(x)+g(−x)=3x−13x +1+3x +3−x−13−x +1−3x =3x−13x +1+1−3x3x +1=0，∴g （x ）为奇函数，又因为g(x)=1−23x+1+3x ，由复合函数单调性知g （x ）为x ∈R 的增函数， ∵f （a 2）+f （3a ﹣4）＞6，则f （a 2）﹣3+f （3a ﹣4）﹣3＞0， ∴g （a 2）+g （3a ﹣4）＞0，g （a 2）＞﹣g （3a ﹣4）＝g （4﹣3a ）， ∴a 2＞4﹣3a ，解得a ＜﹣4或a ＞1，故a ∈（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．下列各组函数中，表示同一个函数的是（） A ．f(x)=|x|，g(x)=√x 2B ．f （x ）＝x 0，g （x ）＝1C ．f(x)=x(x−2)x 2，g(x)=1−2xD ．f(x)={1，x ≥0−1，x ＜0，g(x)={x|x|，x ≠01，x =0解：对于A ，函数f （x ），g （x ）的定义域均为R ，且f （x ）＝|x |，g （x ）＝|x |，A 正确；对于B ，函数f （x ）＝x 0的定义域为{x ∈R |x ≠0}，而g （x ）＝1的定义域为R ，B 错误；对于C ，函数f （x ），g （x ）的定义域均为{x ∈R |x ≠0}，而x(x−2)x 2=1−2x，C 正确；对于D ，函数f （x ），g （x ）的定义域均为R ，而当x ＜0时，x|x|=−1，当x ＞0时，x |x|=1，因此g(x)={1，x ≥0−1，x ＜0，D 正确．故选：ACD ．10．下列说法正确的是（）A ．命题“∀x ∈R ，x 2+1＜0”的否定是“∃x ∈R ，使得x 2+1＜0”B ．若集合A ={⬚}中只有一个元素，则a =14C ．关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0的解集（﹣2，3），则不等式cx 2﹣bx +a ＜0的解集为(−13，12)D ．若函数y ＝f （x ）的定义域是[﹣2，3]，则函数y ＝f （2x ﹣1）的定义域是[−12，2] 解：对于A ，命题“∀x ∈R ，x 2+1＜0”的否定是“∃x ∈R ，使得x 2+1≥0”，故错误；对于B ，当a ＝0时，集合A ={⬚}={x |x +1＝0}＝{﹣1}也只有一个元素，故错误；对于C ，不等式ax 2+bx +c ＞0的解集（﹣2，3），则﹣2，3是ax 2+bx +c ＝0的两个根，所以{−ba=1c a =−6a ＜0，c ＝﹣6a ，b ＝﹣a ，所以cx 2﹣bx +a ＜0⇔﹣6ax 2+ax +a ＜0⇔6x 2﹣x ﹣1＜0⇔（3x +1）（2x ﹣1）＜0，解得−13＜x ＜12，所以不等式cx 2﹣bx +a ＜0的解集为(−13，12)，故正确；对于D ，y ＝f （x ）的定义域是[﹣2，3]，则函数y ＝f （2x ﹣1）满足﹣2≤2x ﹣1≤3，解得−12≤x ≤2，所以函数y ＝f （2x ﹣1）的定义域是[−12，2]，D 正确．故选：CD ．11．下列命题中正确的是（） A ．√x 2+41√x 2+4的最小值为2B ．函数y =(12)x2−2x的值域为（﹣∞，2]C ．已知f （x ）为定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 2﹣2x ，则x ＜0时，f （x ）＝﹣x 2﹣2xD ．若幂函数f （x ）＝（m 2+m ﹣1）x m +1在（0，+∞）上是增函数，则 m ＝1．解：对于A ，由于√x 2+4≥2，所以√x 2+4√x 2+4≥2，当且仅当√x 2+4=√x 2+4，即x 2+4＝1时等号成立，但x 2+4＝1无实根，故等号取不到，故A 错误；对于B ，由于t ＝x 2﹣2x ＝（x ﹣1）2﹣1≥﹣1，所以y =(12)x2−2x≤(12)−1=2，又y =(12)x2−2x＞0，故函数y =(12)x2−2x的值域为（0，2]，故B 错误；对于C ，当x ＜0时，则﹣x ＞0，f （﹣x ）＝（﹣x ）2﹣2（﹣x ）＝x 2+2x ，由于f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣x 2﹣2x ，故x ＜0时，f （x ）＝﹣x 2﹣2x ，C 正确；对于D ，幂函数f （x ）＝（m 2+m ﹣1）x m +1在（0，+∞）上是增函数，则{m 2+m −1=1m +1＞0，解得m ＝1，故D 正确．故选：CD ．12．若函数f （x ）同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有f （x ）+f （﹣x ）＝0；②对于定义域上的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，恒f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，则称函数f （x ）为“理想函数”，下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（） A ．f （x ）＝﹣x B ．f(x)=−√x 3C ．f （x ）＝x 3+xD ．f （x ）＝e ﹣x ﹣e x解：对于①②可知：“理想函数”f （x ）在定义域内为奇函数且单调递减．对于选项A ：f （x ）＝﹣x 定义域R 内为奇函数且单调递减，故A 正确；对于选项B ：f(x)=−√x 3定义域R 内为奇函数且单调递减，故B 正确；对于选项C ：因为y ＝x 3，y ＝x 定义域R 内均为奇函数且单调递增，所以f （x ）＝x 3+x 定义域R 内为奇函数且单调递增，故C 错误；对于选项D ：因为f （x ）+f （﹣x ）＝（e ﹣x ﹣e x ）+（e x ﹣e ﹣x ）＝0，故f （x ）为R 上的奇函数．而y ＝e ﹣x ，y ＝﹣e x 定义域R 内均为单调递减，所以f （x ）＝e ﹣x ﹣e x 定义域R 内为奇函数且单调递减，故D 正确．故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．√614−（π﹣1）0﹣（338）13+（164）−23= 16 ．解：原式=√614−（π﹣1）0﹣（338）13+（164）−23=52−1−32+16＝16故答案为：16．14．若f(x)=2x−2−x(x+4)(2x+a)为奇函数，则a ＝ ﹣8 ．解：由（x +4）（2x +a ）≠0得x ≠﹣4或x ≠−a2，因为f （x ）为奇函数，所以f （x ）的定义域关于原点对称，所以−a2=4，即a ＝﹣8．当a ＝﹣8时，f(−x)=2−x−2x(−x+4)(−2x−8)=−(2x−2−x)(x−4)(2x+8)=−(2x−2−x)(x+4)(2x−8)=−f(x)，所以f （x ）为奇函数．故答案为：﹣8．15．不等式（a ﹣2）x 2+2（a ﹣2）x ﹣4＜0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（﹣2，2] ．解：∵不等式（a ﹣2）x 2+2（a ﹣2）x ﹣4＜0对一切x ∈R 恒成立， ∴当a ＝2时，﹣4＜0对一切x ∈R 恒成立，满足题意；当a ≠2时，则{a −2＜0[2(a −2)]2−4(a −2)×(−4)＜0，即{a ＜2a 2−4＜0，解得﹣2＜a ＜2；综上所述，实数a 的取值范围是﹣2＜a ≤2，即a ∈（﹣2，2]．故答案为：（﹣2，2]．16．已知a ＞0，b ＞0．若a +2b ﹣2ab ＝0，求a +3b 的最小值是 5+2√62．解：a +2b ﹣2ab ＝0，则2a+1b=2，故a +3b =12(a +3b)(2a +1b )=12(5+ab +6ba )≥12(5+2√a b ⋅6ba )=5+2√62，当且仅当a b =6b a，即a =√6b =1+√62时，等号成立，故a +3b 的最小值是5+2√62．故答案为：5+2√62．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设集合U ＝R ，A ＝{x |0≤x ≤3}，B ＝{x |m ﹣1≤x ≤2m }．（1）m ＝3，求A ∩（∁U B ）；（2）若“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，求m 的取值范围．解：（1）当m ＝3时，B ＝{x |2≤x ≤6}，故∁U B ＝{x |x ＜2或x ＞6}，而A ＝{x |0≤x ≤3}，故A ∩（∁U B ）＝[0，2）；（2）由“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，可得B ⫋A ，故当B ＝∅时，m ﹣1＞2m ，可得m ＜﹣1，符合题意；当B ≠∅时，需满足{0≤m −12m ≤3m −1≤2m ，且等号不能同时成立，解得1≤m ≤32，综合以上，m 的取值范围为m ＜﹣1或1≤m ≤32．18．（12分）已知m ∈R ，命题p ：∀x ∈[0，2]，m ≤x 2﹣2x ，命题q ：∃x ∈（0，+∞），使得方程x +4x =m 成立．（1）若p 是真命题，求m 的取值范围；（2）若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求m 的取值范围．解：（1）若p 是真命题，则m ≤x 2﹣2x 在[0，2]上恒成立，当x ∈[0，2]时，则（x 2﹣2x ）min ＝﹣1，故m 的取值范围为（﹣∞，﹣1]；（2）对于q ，当x ＞0时，x +4x ≥2√x ⋅4x =4，当且仅当x =4x，即x ＝2时，等号成立， ∃x ∈（0，+∞），使得方程x +4x =m 成立，则m ≥4，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则p 与q 一真一假，当p 真q 假时，{m ≤−1m ＜4，解得m ≤﹣1，当p 假q 真时，{m ＞−1m ≥4，解得m ≥4，综上所述，m 的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）．19．（12分）已知指数函数f （x ）＝（3a 2﹣10a +4）a x 在其定义域内单调递增．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）设函数g （x ）＝f （2x ）﹣4f （x ）﹣3，当x ∈[0，2]时，求函数g （x ）的值域．解：（1）∵f （x ）是指数函数， ∴3a 2﹣10a +4＝1，解得a ＝3或a =13，又∵f （x ）在其定义域内单调递增，所以a ＝3， ∴f （x ）＝3x ；（2）g （x ）＝32x ﹣4•3x ﹣3＝（3x ）2﹣4（3x ）﹣3， ∵x ∈[0，2]，∴3x ∈[1，9]，令t ＝3x ，t ∈[1，9]， ∴g （t ）＝t 2﹣4t ﹣3，t ∈[1，9]， ∴g （t ）min ＝g （2）＝﹣7，g(t)max =g(9)=92−4×9−3=42， ∴g （x ）的值域为[﹣7，42]．20．（12分）已知定义域为R 的函数f(x)=a−2xb+2x 是奇函数．（1）求a ，b 的值；（2）判断f （x ）的单调性，并用定义证明；（3）若存在t ∈[0，4]，使f （k +t 2）+f （4t ﹣2t 2）＜0成立，求k 的取值范围．（1）解：由题意知，f （0）＝0=a−1b+1，所以a ＝1，所以f （x ）=1−2xb+2x ，因为f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以1−2−xb+2−x =−1−2xb+2x ，化简得2x −1b⋅2x +1=2x −1b+2x ，所以b •2x +1＝b +2x ，即b （2x ﹣1）＝（2x ﹣1），所以b ＝1．（2）证明：f （x ）在R 上单调递减，证明过程如下：由（1）知，f （x ）=1−2x 1+2x =2−(1+2x)1+2x =21+2x −1，任取x 1＜x 2，则f （x 1）﹣f （x 2）=21+2x 1−1−21+2x 2+1=2(2x 2−2x1)(1+2x 1)(1+2x 2)，因为x 1＜x 2，所以2x 2−2x 1＞0，1+2x 2＞0，1+2x 1＞0，所以f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2），所以f （x ）在R 上单调递减．（3）解：因为f （x ）是奇函数，所以不等式f （k +t 2）+f （4t ﹣2t 2）＜0可化为f （k +t 2）＜﹣f （4t ﹣2t 2）＝f （2t 2﹣4t ），又f （x ）在R 上单调递减，所以k +t 2＞2t 2﹣4t ，即k ＞t 2﹣4t ，原问题等价于存在t ∈[0，4]，使k ＞t 2﹣4t ，设g （t ）＝t 2﹣4t ，是开口向上，对称轴为t ＝2的二次函数，所以g （t ）在[0，2）上递减，在（2，4]上递增，所以g （t ）min ＝g （2）＝4﹣8＝﹣4，所以k ＞﹣4，故k 的取值范围为（﹣4，+∞）．21．（12分）漳州市某研学基地，因地制宜划出一片区域，打造成“生态水果特色区”．经调研发现：某水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：W(x)={2(x 2+17)，0≤x ≤250−8x−1，2＜x ≤5，且单株施用肥料及其它成本总投入为20x +10元．已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为f （x ）（单位：元）．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？解：（1）由已知f （x ）＝10W （x ）﹣（20x +10），又W(x)={2(x 2+17)，0≤x ≤250−8x−1，2＜x ≤5， ∴f （x ）={20(x 2+17)−(20x +10)，0≤x ≤2500−80x−1−(20x +10)，2＜x ≤5，整理得：f （x ）={20x 2−20x +330，0≤x ≤2490−80x−1−20x ，2＜x ≤5；（2）当0≤x ≤2时，f （x ）=20x 2−20x +330=20(x −12)2+325， ∴当0≤x ≤2时，f （x ）≤f （2）＝370；当2＜x ≤5时，f （x ）＝490−80x−1−20x =490﹣[80x−1+20(x −1)+20] ＝470﹣[80x−1+20(x −1)]≤470−2√80x−1⋅20(x −1)=390．当且仅当80x−1=20(x −1)，即x ＝3时，f （x ）max ＝390． ∵370＜390，∴f （x ）的最大值为390．故当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是390元．22．（12分）设a ∈R ，函数f （x ）＝|x 2+ax |．（1）当a ＝﹣1时，求f （x ）在[0，1]的单调区间；（2）记M （a ）为f （x ）在[0，1]上的最大值，求M （a ）的最小值．解：（1）当a ＝﹣1时，f （x ）＝|x ²﹣x |={x 2−x ，x ∈(−∞，0)∪(1，+∞)x −x 2，x ∈[0，1]，所以当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x ﹣x ²，则对于抛物线开口向下，对称轴为x =12，所以f （x ）在x ∈（0，12）单调递增，在（12，1）上单调递减，即函数在x ∈[0，1]上的单调递增区间为（0，12），递减区间为（12，1）；（2）x ∈[0，1]，若a ≥0时，f （x ）＝x ²+ax ，对称轴为x =−a 2≤0，则f （x ）在[0，1]上递增，则M （a ）＝1+a ；若a ＜0，则f （x ）在[0，−a 2]递增，在（−a 2，﹣a ）递减，在（﹣a ，+∞）递增，若1≤−a 2，即a ≤﹣2，时，f （x ）在[0，1]递增，可得M （a ）＝﹣a ﹣1；由a ＜0可得f （x ）在（0，−a 2）递增，在（−a 2，﹣a ）递减，即有f （x ）在x =−a 2时取最大值a 24，当x ＞﹣a 时，由x ²+ax =a 24，解得x =−1+√22a ，若−a 2＜1≤−1+√22a ，即﹣2＜a ≤2﹣2√2，可得f （x ）的最大值为M （a ）=a 24；若1＞−1+√22a ，即a ＞2﹣2√2，可得f （x ）的最大值为M （a ）＝1+a ，则M （a ）={ 1+a ，a ＞2−2√2−a −1，a ≤−2a 24，−2＜a ≤2−2√2，当a ＞2﹣2√2时，M （a ）＞3﹣2√2；当a ≤﹣2时，M （a ）≥1；当﹣2＜a ≤2﹣2√2时，M （a ）≥14（2﹣2√2）²＝3﹣2√2；综上M （a ）的最小值为3﹣2√2．。

合肥市第一中学2025届高三第一次调研测试数学试卷含解析

合肥市第一中学2025届高三第一次调研测试数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A ．B ．C ．D ．2．下列说法正确的是（）A ．命题“00x ∃≤，002sin x x ≤”的否定形式是“0x ∀>，2sin x x >”B ．若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥则//αβC ．随机变量ξ服从正态分布()21,N σ（0σ>），若(01)0.4P ξ<<=，则(0)0.8P ξ>= D ．设x 是实数，“0x <”是“11x<”的充分不必要条件 3．若,x y 满足约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（）A ．10B ．8C ．5D ．34．中，如果，则的形状是（）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形5．已知向量(1,0)a =，(1,3)b =，则与2a b -共线的单位向量为( )A ．13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ B ．13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C．221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D．1,22⎛- ⎝⎭或12⎛-⎝⎭ 6．在函数：①cos |2|y x =；②|cos |y x =；③cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；④tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（） A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③7．如果实数x y 、满足条件10{1010x y y x y -+≥+≥++≤，那么2x y -的最大值为（）A ．2B ．1C ．2-D ．3-8．已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA =E 为PC 的中点，则异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为（） A． BC．D．59．已知0a b >>，椭圆1C 的方程22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b -=，1C 和2C的离心率之积为2，则2C 的渐近线方程为（）A．0x ±=B0y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=10．若x ，y 满足约束条件-0210x y x y x ≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，，，则z =32x y ++的取值范围为（）A ．[2453，]B ．[25，3] C ．[43，2] D ．[25，2] 11．正ABC ∆的边长为2，将它沿BC 边上的高AD 翻折，使点B 与点CA BCD -的外接球表面积为（） A ．103πB ．4πC ．133πD ．7π12．设()'f x 函数()()0f x x >的导函数，且满足()()2'f x f x x>，若在ABC ∆中，34A π∠=，则（）A ．()()22sin sin sin sin f A B f B A <B ．()()22sinC sin sin sin f B f B C<C ．()()22cos sin sin cos f A B f B A > D ．()()22cosC sin sin cos f B f B C >二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试+数学+PDF版含答案

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2022届安徽省合肥市第一中学高三上学期段一测试数学(理)试题及答案

绝密★启用前2022届安徽省合肥市第一中学高三上学期段一测试数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上绝密★启用前一、单选题1．若集合A ={-1，0，1，2}，B ={x |x ≥1}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A ．{-1}B ．{0}C ．{-1，0}D ．{-1，0，1}答案：C首先判断出图中阴影部分表示()RA B ，然后结合已知条件求得正确选项.解：图中阴影部分表示()RAB ，{}R|1B x x =<，所以(){}R 1,0A B ⋂=-. 故选：C【点睛】本小题主要考查Venn 图，考查集合交集、补集. 2．“x y <”是“1122log log x y >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B【解析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；解：解：若0x y <<，则1122log log x y>不成立，故不具有充分性，因为12log y x=单调递减，若1122log log x y>，所以x y <，故有必要性，故选：B .3．函数()13x f x e x -=+-的零点所在的区间是（）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,3答案：C判断函数的单调性，利用函数零点存在定理，对区间端点函数值进行符号判断，异号的就是函数零点存在的区间．解：因为()13x f x e x -=+-单调递增，且是连续函数，故函数()f x 至多有一个零点，因为()111310f =+-=-<，()22310f e e =+-=->，所以()()120f f <，所以函数()13x f x e x -=+-的零点所在区间是()1,2,故选C ．【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.4．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数.若(1)1f =-，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（）.A ．[]22-,B ．[]1,1-C ．[]0,4D ．[]1,3答案：D【解析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式1(2)1f x --化为121x --，解得答案．解：解：由函数()f x 为奇函数，得(1)(1)1f f -=-=，不等式1(2)1f x -≤-≤即为(1)(2)(1)f f x f ≤-≤-，又()f x 在(,)-∞+∞单调递减，所以得121x ≥-≥-，即13x ≤≤，故选：D.5．已知函数()y f x =的图象如图所示，则此函数可能是（）A ．()sin 622x xxf x -=-B ．()sin 622x x xf x -=-C ．()cos622x xxf x -=-D ．()cos622x xxf x -=-答案：D分析各选项中函数的奇偶性、及其在0,12π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数值符号，即可得出合适的选项.解：对于A 选项，由220x x --≠可得0x ≠，故函数()sin 622x xxf x -=-的定义域为{}0x x ≠，因为()()()sin 6sin 62222x x x xx xf x f x ----===--，函数()sin 622x x x f x -=-为偶函数，不满足条件；对于B 选项，由220x x --≠可得0x ≠，故函数()sin 622x x xf x -=-的定义域为{}0x x ≠，因为()()()sin 6sin 62222x x x xx xf x f x ----===--，函数()sin 622x x x f x -=-为偶函数，不满足条件；对于C 选项，由220x x --≠可得0x ≠，故函数()cos622x x xf x -=-的定义域为{}0x x ≠，因为()()()cos 6cos 62222x x x xx xf x f x ----==-=---，函数()cos622x x x f x -=-为奇函数，当012x π<<时，062x π<<，22x x ->，则()0f x <，不满足条件；对于D 选项，由220x x --≠可得0x ≠，故函数()cos622x xxf x -=-的定义域为{}0x x ≠，因为()()()cos 6cos 62222x x x xx xf x f x ----==-=---，函数()cos622x x x f x -=-为奇函数，当012x π<<时，062x π<<，22x x ->，则()0f x >，满足条件.故选：D.6．已知()f x 为定义在 R 上的偶函数，且()()2f x f x +=，当[]0,1x ∈时，()21xf x =+，记()()()0.52log 6,log 7,8a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系为 A ．a b c << B ．a c b << C ．c b a << D ．c a b <<答案：D解：分析：根据()f x 的周期性和单调性进行判断．详解：当[]0,1x ∈时，()21xf x =+，则()f x 在[]0,1上是增函数，且当[]0,1x ∈]时，12f x ≤≤（）， ∵()()2f x f x +=，∴()f x 的周期为2．()()0.5222221223log 6-log 62+log log -log log ,6332a f a f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴======= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()2227log 7-2+log 7log ,4f f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭()()()()282480log 1,c f f f f ==-⨯+==()2222223737371,log 1log log ,log 1log log .242424f f f ⎛⎫⎛⎫<<∴<<∴<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故选D ．点睛：本题考查了函数的周期性，单调性，以及利用单调性比较大小，是基础题. 7．若函数()()2f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 为（） A ．2 B ．6 C ．2或6 D ．-2或-6答案：B根据极值点的导数为0即可求出常数c 的值，然后验证求出的c 的值满足题意即可. 解：因为()()2f x x x c =-，所以()()()()()223f x x c x x c x c x c '=-+-=--，因为函数()()2f x x x c =-在2x =处有极大值，所以()()()2260f c c '=--=，解得2c =或6c =. 当2c =时，()()()232f x x x '=--，由()0f x '>得23x <或2x >；由()0f x '<得223x <<，所以()f x 在()2,,2,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭内单调递增，在2,23⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，此时不满足在2x =处有极大值；当6c =时，()()()362f x x x '=--，由()0f x '>得2x <或6x >；由()0f x '<得26x <<，所以()f x 在()(),2,6,-∞+∞内单调递增，在()2,6内单调递减，此时满足在2x =处有极大值. 故选：B.8．若点P 是曲线2ln 1y x x =--上任意一点，则点P 到直线2y x =-的最小距离为（）A ．1BCD ．2答案：B因为点P 是曲线2ln 1y x x =--任意一点，所以当点P 处的切线和直线y ＝x －2平行时，点P 到直线2y x =-的距离最小，所以利用导数求出点P 处的切线，然后利用两平行线间的距离公式可得答案解：因为点P 是曲线2ln 1y x x =--任意一点，所以当点P 处的切线和直线2y x =-平行时，点P 到直线2y x =-的距离最小.因为直线2y x =-的斜率等于1，曲线2ln 1y x x =--的导数'12y x x=-，令'1y =，可得x ＝1或 12x =-(舍去)，所以在曲线2ln 1y x x =--与直线2y x =-平行的切线经过的切点坐标为(1，0)，所以点P 到直线2y x =-的最小距离为d =，故选：B【点睛】此题考查导数的几何意义的应用，考查两平行线间的距离公式，考查转化思想和计算能力，属于基础题9．已知函数()2f x x a =-+，()2e xg x x =，若对任意的[]21,1x ∈-，存在唯一的11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是（）A ．(]e,4B ．1e ,44⎛⎤+ ⎥⎝⎦C ．1e ,44⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D ．1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭答案：B利用导数求()g x 在[]1,1-上的值域记作集合A ，利用二次函数的单调性求()f x 在1,22⎛⎤⎥⎝⎦上的值域记作集合B ，根据题意可得A B ⊆，可得关于a 的不等式组，解不等式即可.解：由()2e x g x x =可得()()22e e 2e x x xg x x x x x '=+=+，当10x -<<时，()0g x '<；当01x <<时，()0g x '>；所以()2e xg x x =在()1,0-单调递减，在()0,1单调递增，所以()()min 00g x g ==，()111e eg --==，()1e g =，所以()2e xg x x =在[]1,1-上的值域为[]0,e ，记[]0,e A =()2f x x a =-+的对称轴为0x =，111224f f a ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()24f a =-，且()2f x x a =-+在1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以()14,4f x a a ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭，记14,4B a a ⎡⎫=--⎪⎢⎣⎭，若对任意的[]21,1x ∈-，存在唯一的11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =，则A B ⊆，所以401e 4a a -≤⎧⎪⎨->⎪⎩，解得：1e 44a +<≤，所以实数a 的取值范围是1e ,44⎛⎤+ ⎥⎝⎦，故选：B10．中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至5000，则C 大约增加了（）（附：lg 20.3010≈）A ．20%B ．23%C ．28%D ．50%答案：B根据题意，计算出22log 000log 51000的值即可解：当1000S N=时，2log 1000C W =，当5000SN =时，2log 0005C W =，因为22log 5000lg 50003lg 54lg 2 3.6991.23log 1000lg1000333+-===≈≈ 所以将信噪比SN从1000提升至5000，则C 大约增加了23%，故选：B.11．对任意实数x ，恒有10x e ax --≥成立，关于x 的方程()ln 10x a x x ---=有两根为1x ，2x ()12x x <，则下列结论正确的为A ．122x x +=B ．121=x xC ．122x x = D ．12xx e =答案：B先由10x e ax --≥可得出1a =，再由()1ln 10x x x ---=，得出1ln 1x x x +=-，由题意得出1111ln 1x x x +=-和111111ln 11x x x +=-，由此得出211x x =，由此可得出正确选项.解：构造函数()1xf x e ax =--，则()00f =，由题意得出()()0f x f ≥，则()()min 0f x f =. 且()xf x e a '=-.①当0a -≥时，即当0a ≤时，对任意的x ∈R ，()0f x '>，函数()y f x =在R 上单调递增，此时，函数()y f x =没有最小值；②当0a -<时，即当0a >时，令()0f x '=，得ln x a =. 当ln x a <时，()0f x '<；当ln x a >时，()0f x '>.此时，函数()y f x =在ln x a =处取得极小值，亦即最小值，即()()min ln f x f a =，ln 0a ∴=，得1a =.由题意可知，关于x 的方程()1ln 10x x x ---=有两个实根，即1ln 1x x x +=-有两个实数根. 方程1ln 1x x x +=-的其中一个实根为1x ，则1111ln 1x x x +=-，1111111ln 11x x x x x ++∴-=-=--，即111111ln 11x x x +=-，又方程1ln 1x x x +=-的另一个实根为2x ，211x x ∴=，因此，121=x x ，故选B.【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，同时也考查了方程两根之间的关系，解题时要充分利用对数的运算性质来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12．设实数0m ＞，若对任意的()1,x ∈+∞，不等式2ln 20mx xe m-≥恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)1,+∞D ．[),e +∞答案：A 把不等式2ln 20mxxem-≥成立，转化为2ln 2ln ln mx x mxe x x e x ≥=⋅恒成立，设函数()x g x xe =，进而转化为(2)(ln )g mx g x ≥恒成立，得出2ln mx x ≥恒成立，构造函数()ln xh x x=，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解. 解：因为0m >，不等式2ln 20mxxe m-≥成立，即2ln 2mx x e m ≥成立，即22ln mx me x ≥，进而转化为2ln 2ln ln mx x mxe x x e x ≥=⋅恒成立，构造函数()x g x xe =，可得()2(1)x x g x e xe x e '=+=+，当0x >，()0g x '>，()g x 单调递增，则不等式2ln 20mxxem-≥恒成立等价于(2)(ln )g mx g x ≥恒成立，即2ln mx x ≥恒成立，进而转化为ln 2xm x≥恒成立，设()ln x h x x=，可得()21ln xh x x -'=，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 单调递增；当x e >时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以当x e =，函数()h x 取得最大值，最大值为()1h e e=，所以12m e ≥，即实数m 的取值范围是1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 故选：A.【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、构造函数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围. 二、填空题13．函数()()3212f x x =-+的极值点是___________.答案：0x =求得()226(1)f x x x '=-，结合函数的单调性和极值点的定义，即可求解. 解：由题意，函数()()3212f x x =-+，可得()226(1)f x x x '=-，令()0f x '>，即226(1)0x x ->，解得0x >，即()f x 在(0,)+∞单调递增；令()0f x '<，即226(1)0x x -<，解得0x <，即()f x 在(,0)-∞单调递减，所以当0x =时，函数()f x 取得极小值，所以0x =是函数()f x 的极小值点. 故答案为：0x =14．已知命题p ：“()1,2x ∀∈，1a x x<+”，若p ⌝为假命题，则实数a 的取值范围为___________. 答案：(],2-∞由于p ⌝为假命题，所以命题p 为真命题，只要利用基本不等式求出1x x+的最小值即可解：因为p ⌝为假命题，所以命题p 为真命题，12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时取等号，因为(1,2)x ∈，所以取不到等号，所以12x x+>，所以2a ≤，故答案为：(],2-∞15．已知函数()|lg |2f x x =+,若实数,a b 满足0b a >>，且()()f a f b =，则2+a b 的取值范围是__________. 答案：(3,)+∞根据对数的运算性质把函数()|lg |2f x x =+的解析式写成分段函数的形式，并判断出单调性，结合已知0b a >>、()()f a f b =可以确定实数,a b 的取值范围以及它们之间的关系，根据这个关系可以把代数式2+a b 写成关于,a b 中一个变量的形式，再构造新函数，用单调性的定义判断出新函数的单调性，最后利用新函数的单调性进行求解即可.解：因为lg 2,1()lg 2lg 2,01x x f x x x x +≥⎧=+=⎨-+<<⎩，因为两段函数均为单调函数，实数,a b 满足0b a >>，且()()f a f b =，所以有01a b <<<；又()()f a f b =，所以lg lg a b =，于是lg lg a b =-，则1a b=，所以122+=+a b b b；令 1()2,1=+>g x x x x，任取121x x <<，则()()()1212121212111222g x g x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为121x x <<，所以120x x -<，12120->x x ，因此()()()121212120g x g x x x x x ⎛⎫-=--<⎪⎝⎭，所以函数1()2=+g x x x在(1,)+∞上单调递增；因此()(1)3>=g x g ，即23+>a b . 故答案为：(3,)+∞【点睛】本题考查了利用消元法、构造新函数法求代数式的取值范围问题，考查了对数的运算性质，考查了对数函数的性质，考查了单调性定义的应用，考查了数学运算能力. 16．已知函数()21,0ln ,0x x f x x x x⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若函数()2y f f x a =+⎡⎤⎣⎦有两个零点，则实数a 的取值范围是___________. 答案：()1111(,)(0,)1,2222e e-∞---+∞由()ln (0)x f x x x =>，利用导数求得函数的单调与极值，画出函数()21,0ln ,0x x f x x x x⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩的图象，令0f x，得到()21f x a =--或()21f x a =-+，根据函数()f x 的值域为R ，所以()21f x a =--或()21f x a =-+各至少一个根，结合图象，列出不等式，即可求解. 解：由()ln (0)x f x x x =>，可得()21ln (0)xf x x x -'=>，当(0,)x e ∈时，0f x；当(,)x e ∈+∞时，0fx，所以函数()ln xf x x=在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞单调递减，当x e =时，函数()f x 取得最大值，最大值()1f e e=，作出函数()21,0ln ,0x x f x x x x⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩的图象，如图所示，令0f x，即()20f f x a +=⎡⎤⎣⎦，可得()21f x a +=-或()21f x a +=，即()21f x a =--或()21f x a =-+，因为函数()f x 的值域为R ，所以()21f x a =--或()21f x a =-+各至少一个根，要使得函数()2y f f x a =+⎡⎤⎣⎦有两个零点，结合图象，则满足121a e -->或211a -+<-或121211a e a ⎧-+>⎪⎨⎪--<-⎩，解得1122a e <--或1a >或11022a e <<-，所以实数a 的取值范围是()1111(,)(0,)1,2222e e -∞---+∞.故答案为：()1111(,)(0,)1,2222e e-∞---+∞.三、解答题 17．已知221:12;:210(0)3x p q x x m m --≤-+-≤> 若p ⌝是q ⌝的必要非充分条件，求实数m 的取值范围．答案：9m >【解析】解：试题分析：先解不等式，得p ，再因式分解得q ；由逆否命题等价性得q 是p 的必要非充分条件，即pq ,最后结合数轴得不等式，解得实数m 的取值范围试题解析： {}1:12,2,10,|2,103x p x x A x x x -⌝->-=-或或 {}22:210,1,1,|1,1q x x m x m x m B x x m x m ⌝-+->-+=-+或或p ⌝是q ⌝的必要非充分条件，B∴A ，即129,9110m m m m -<-⎧⇒>∴>⎨+>⎩.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．18．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2x f x =. （1）求函数()f x 的解析式；（2）解不等式2(1)8f x x -+>.答案：(1)()2,0,0,0,2,0.x x x f x x x -⎧>⎪==⎨⎪-<⎩；(2){2?x x >或}1x <-.【解析】解：试题分析：(1)结合奇函数的性质确定f (0)=0，求得当0x <时，()2xf x -=-.则函数()f x 的解析式为()2,0,0,0,2,0.x x x f x x x -⎧>⎪==⎨⎪-<⎩(2)结合函数的单调性和函数的解析式脱去f 符号可得：213x x -+>，则()218f x x -+>的解集为{2x x >或}1x <-. 试题解析：（1）因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()00f =.当0x <时， 0x ->， ()()2xf x f x -=--=-.所以函数()f x 的解析式为()2,0,0,0,2,0.x x x f x x x -⎧>⎪==⎨⎪-<⎩（2）因为()38f =，()f x 在()0,+∞上为增函数，且21x x -+= 213024x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，由()()2183f x x f -+>=得： 213x x -+>，解得2x >或1x <-，所以()218f x x -+>的解集为{2x x >或}1x <-.19．已知函数()()21e 12xax f x x =--+，R a ∈，e 2.718=…为自然对数的底数.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当(],1x ∈-∞时，()0f x ≤，求实数a 的取值范围. 答案：（1）答案见解析；（2）2a ≥.（1）求()f x '，分别讨论0a ≤、01a <<、1a =以及1a >时，求不等式()0f x '<和()0f x '>的解集即可求解；（2）结合（1）中的结论，分四类0a ≤、01a <<、1a =以及1a >时讨论()max 0f x ≤时a 的范围，前三类只需举反例说明不成立，当1a >时，分1e a <<和e a ≥两种情况讨论即可求解.解：（1）由()()21e 12xax f x x =--+可得()()e e x xf x x a x x a '==--①若0a ≤，e 0x a ->，当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 在(),0-∞上单调递减；当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上单调递增； ②若01a <<，由()0f x '=得：0x =或ln x a =，且ln 0a <，当(),ln x a ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在(),ln a -∞上单调递增；当()ln ,0x a ∈时，()0f x '<，()f x 在()ln ,0a 上单调递减；当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上单调递增； ③若1a =，由()0f x '=得：0x =，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在(),-∞+∞上单调递增，④若1a >，由()0f x '=得：0x =或ln x a =，且ln 0a >，当(),0x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在(),0-∞上单调递增；当()0,ln x a ∈时，()0f x '<，()f x 在()0,ln a 上单调递减；当()ln ,x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()ln ,a +∞上单调递增；综上，当0a ≤时，()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增当01a <<时，()f x 在(),ln a -∞，()0,∞+上单调递增；在()ln ,0a 上单调递减；当1a =时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当1a >时，()f x 在(),0-∞，()ln ,a +∞上单调递增；在()0,ln a 上单调递减；（2）由（1）知，当0a ≤时，()()100f f ->=，不满足题意，当01a <<时，ln 0a <，()()ln 00f a f >=，不满足题意，当1a =时，()()010f f >=，不满足题意，所以1a >，当1e a <<时，ln 1a <，()f x 在(),0-∞上单调递增；在()0,ln a 上单调递减；在(]ln ,1a 上单调递增；所以()0f x ≤对(],1x ∈-∞恒成立，则()()0001102f af ⎧=≤⎪⎨=-≤⎪⎩，所以2e a ≤<，当e a ≥时，ln 1a >，()f x 在(),0-∞上单调递增；在()0,1上单调递减；所以()()000f x f ≤=≤，所以e a ≥，综上可知：2a ≥.【点睛】思路点睛：由不等式恒成立（或能成立）求参数：①可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；②可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.20．已知函数()()()2111ln ,022f x x a x a R a =-+-∈≠. （1）当时2a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若对任意的[)1,x ∈+∞，都有()0f x ≥成立，求a 的取值范围. 答案：（1）220x y +-=；（2）(],0-∞.（1）当2a =时，求得()3f x x x'=-，得到()12f '=-，()10f =，结合直线的点斜式方程，即可求解；（2）由题意得到[)1,x ∈+∞，()min0f x ≥，求得()()21x a f x x-+'=，分0a ≤和0a >类讨论，分别求得函数的单调性和最小值，即可求解. 解：（1）当2a =时，()2113ln 22f x x x =--的定义域为()0,∞+，可得()3f x x x'=-，所以()12f '=-，又由()10f =，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()021y x -=--，即220x y +-=. （2）对任意的[)1,x ∈+∞，要使()0f x ≥成立，只需任意的[)1,x ∈+∞，()min 0f x ≥.又由()()()2111x a a f x x x x x-++'=-=≥，当11a +≤时，即0a ≤时，()f x 在[)1,+∞上是增函数，所以只要()()min 10f x f =≥，从而()()1111ln1022f a =-+-=，所以0a ≤满足题意；当11a +>时，即0a >1>，所以()f x 在1,1a ⎡⎤+⎣⎦上是减函数，)1,a ⎡++∞⎣上是增函数，从而()01,1x a ∀∈+时，()()010f x f <=与()0f x ≥矛盾，故0a >不满足题意. 综上所述，实数a 的取值范围是(],0-∞.21．如图，一个圆心角为直角的扇形AOB 花草房，半径为1，点P 是花草房弧上一个动点，不含端点，现打算在扇形BOP 内种花，PQ OA ⊥,垂足为Q ，PQ 将扇形AOP 分成左右两部分，在PQ 左侧部分三角形POQ 为观赏区，在PQ 右侧部分种草，已知种花的单位面积的造价为3a ，种草的单位面积的造价为2a ，其中a 为正常数，设AOP θ∠=,种花的造价与种草的造价的和称为总造价，不计观赏区的造价，总造价为f求f 关于θ的函数关系式；求当θ为何值时，总造价最小，并求出最小值．答案：（1）313()sin cos 2sin cos ,02222422a f a a πθθπθθθθπθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=--<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）当3πθ=时，总造价最小，且总造价最小为7312a π⎛ ⎝⎭. 【解析】解：试题分析：(1)利用题意结合图形关系可得()f θ关于θ的函数关系式()3,0422f sin cos a θπθπθθθ⎛⎫=--<<⎪⎝⎭； (2)结合函数的解析式和定义域可得当3πθ=时，总造价最小，且总造价最小为7312a π⎛ ⎝⎭. 试题解析：（1）种花区的造价为322a πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，种草区的造价为1sin cos 222a θθθ⎛⎫- ⎪⎝⎭故总造价()3132,02222422a f sin cos a sin cos a πθθπθθθθπθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=--<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, （2）()22111cos cos sin sin 2cos 2cos 224f a a a θθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'112cos cos (0)222a πθθθ⎛⎫⎛⎫=+-<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭令()0f θ'=，得到πθ=………………………………………………………故当3πθ=时，总造价最小，且总造价最小为712a π⎛ ⎝⎭. 22．已知函数()2ln 1f x x x ax =-+．（1）若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．（2）若函数()31y f x ax ax =-+-的两个零点为1x ，2x ，证明：212e x x >．答案：（1）1a ≤；（2）证明见解析. （1）分离常数后构造函数()1ln g x x x x=+，求导后利用函数的单调性求得函数的最小值即可得出结论；（2）要证212e x x >，即要证()1212ln ln 2x x a x x +=+>，即证122x x a +>．构造函数()()2F x h x h x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，求导后利用函数的单调性求解即可. 解：（1）解：因为()0f x ≥恒成立，所以2ln 10x x ax -+≥，即1ln a x x x≤+恒成立．令()1ln g x x x x =+，则()21ln 1g x x x'=-+，易知()g x '在()0,∞+上单调递增，且()10g '=．所以当()0,1x ∈时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>．所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()min 11g x g ==，故1a ≤．（2）证明：由题意可知方程ln 0x ax -=的两根为1x ，2x ．令()ln h x x ax =-，则()h x 的两个零点为1x ，2x ．()11ax h x a x x-'=-=．当0a ≤时，()0h x '>，()h x 在()0,∞+上单调递增，不存在两个零点；当0a >时，()h x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，则()max 11ln 10h x h a a ⎛⎫==-> ⎪⎝⎭，得10e a <<．设12x x <，则110,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，21,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭．因为()()120h x h x ==，所以11ln x ax =，22ln x ax =．要证212e x x >，即要证()1212ln ln 2x x a x x +=+>，即证122x x a+>．令()()222ln ln F x h x h x x a x x ax a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=----+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2ln ln 22x x ax a ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．则()()()22102ax F x x ax -'=<-，所以()F x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()10F x F a ⎛⎫>= ⎪⎝⎭．因为()()11120F x h x h x a ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，所以()()11220h x h x h x a ⎛⎫->== ⎪⎝⎭．因为2x ，121,x a a ⎛⎫-∈+∞ ⎪⎝⎭，且()h x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以212x x a>-，即122x x a +>，故212e x x >成立．。

安徽合肥一中2016-2017高一数学上册段一考试卷(含答案)

合肥一中2016-2017学年第一学期高一段一考试数学试卷一、选择题1.设集合{1,2,3},{4,5},{|,,}A B M x x a b a A b B ====+∈∈，则M 中的元素个数为（）A.3B.4C.5D.62.下列各组中的两个函数是同一函数的为（）A.12(3)(5),53x x y y x x +-==-+ B.(),()f x x g x ==C.()()f x F x ==D.12()|25|,()25f x x f x x =-=-3.在映射:f A B →中，{(,)|,}A B x y x y R ==∈,且:(,)(,)f x y x y x y →-+，则与A 中的元素(1,2)-对应的B 中的元素是（）A.(3,1)- B.(1,3)C.(1,3)-- D.(3,1)4.右图中函数图象所表示的解析式为（）A.3|1|(02)2y x x =-≤≤ B.33|1|(02)22y x x =--≤≤C.3|1|(02)2y x x =--≤≤ D.1|1|(02)y x x =--≤≤5.设函数3,10()((5)),10x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(6)f 的值为（）A.5B.6C.7D.86.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“合一函数”，那么函数解析式为221y x =-，值域为{1,7}的“合一函数”共有（）A.10个 B.9个C.8个D.4个7.函数21()3x f x x -=+，则[()]y f f x =的定义域是（）A.{|,3}x x R x ∈≠-B.5{|,3,}8x x R x x ∈≠-≠-C.1{|,3,}2x x R x x ∈≠-≠ D.8{|,3,}5x x R x x ∈≠-≠-8.定义两种运算：a b a b ⊕=⊗=2()2(2)xf x x ⊕=-⊗是（）函数A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数9.定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,(,0]()x x x x ∈-∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，且(2)0f =，则不等式2()()05f x f x x +-<的解集是（）A.(,2)(2,)-∞-+∞B.(2,0)(0,2)-C.(2,0)(2,)-+∞ D.(,2)(0,2)-∞- 10.若函数2()24(03)f x ax ax a =++<<，且对实数1212,1x x x x a <+=-，则（）A.12()()f x f x <B.12()()f x f x =C.12()()f x f x > D.1()f x 与2()f x 的大小不能确定11.函数()f x 对任意正整数,m n 满足条件()()()f m n f m f n +=，且(1)2f =，则(2)(4)(6)(2016)(1)(3)(5)(2015)f f f f f f f f ++++=（）A.4032B.1008C.2016D.1008212.在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()(2)f x f x =-，若()f x 在区间[1,2]上的减函数，则()f x （）A.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是增函数B.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]上是减函数C.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数。

安徽省合肥一中2013-2014学年高一上学期第一次月考数学试题 Word版含答案

合肥一中高一年级第一学期阶段一考试数学试卷考试时间：100分钟；满分：150分；一、选择题（每小题5分，共10小题，计50分）1.已知集合{}9|7|＜-=x x M ，{|N x y =，且N M 、都是全集U 的子集，则下图韦恩图中阴影部分表示的集合（）A ．{}23-≤-＜x xB ．}{23-≤≤-x xC．}{16≥x xD ．}{16＞x x2.定义集合A 、B 的一种运算：1212{,,}A B x x x x x A x B *==+∈∈其中，若{1,2,3}A =，{1,2}B =，则A B *中的所有元素数字之和为（）A ．9B ．14C ．18D ．213.下列命题中的真命题是（） A ．3是有理数 B ．22是实数 C ．2e 是有理数D ．{}R x x =是小数|4．下述函数中，在]0,(-∞内为增函数的是（）（A ）y ＝x 2－2 （B ）y ＝x3（C ）y ＝12x +（D ）2)2(+-=x y5．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是()f x ＝0（x ∈R ），其中正确命题的个数是（）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）16．函数()xf x e =（e 为自然对数的底数）对任意实数x 、y ，都有（）（A ）()()()f x y f x f y += （B ）()()()f x y f x f y +=+ （C ）()()()f xy f x f y = （D ）()()()f xy f x f y =+7、设，则（）A 、B 、C 、D 、8、已知镭经过100年，剩留原来质量的95．76%，设质量为1的镭经过x 年的剩留量为y ，则y 与x 的函数关系是（）（A ）y =(0．9576)100x （B ）y =(0．9576)100x（C ）y =( )x（D ）y =1－（0．0424）100x9．当时，函数和的图象只可能是（）10．设g (x )为R 上不恒等于0的奇函数，(a ＞0且a ≠1)为偶函数，则常数b 的值为（）A ．2B ．1C ．D ．与a 有关的值二、填空题（每小题5分，共5小题，计25分）11．设集合A={23≤≤-x x },B={x 1212+≤≤-k x k },且A ⊇B ，则实数k 的取值范围是 .12、已知f （x ）=g （x ）+2，且g(x)为奇函数，若f （2）=3，则f （-2）= 。