第三章 正弦量讲解
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正弦量的三要素和有效值
１．振幅值 正弦量的最大值称为振幅值，用大写字母表示，
如Im 、Um。
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2．角频率、周期、频率 正弦量在单位时间内所经历的电角度，称为角频率，用ω 表示，单位是弧度/秒，即
t
正弦量完成一次周期变化所需要的时间，称为周期，用T 表示，单位是秒。
正弦量在1秒钟内完成周期性变化的次数，称为频率，用 f 表示，单位是赫兹。
选零点为计时起点，则初相ψ =0，如图3-7所示是不同初相时
几种正弦电流的解析式和波形图。
首页
i
Im
i Im sint
0
t
a)
i i Im sin(t π 6)
i
i Im sin(t π 2)
0
t
b)
i i Im sin(t π 6)
0
t
0
t
π/6
π/6
首页
例3-3 两个同频率正弦电流的波形如图3-6所示，试写出 它们的解析式，并计算二者之间的相位差。
解 解析式
i/A 10 i1
i1
10 s in(314t
π )A 4
8
i2
i2
8 s in(314t Nhomakorabeaπ )A 4
0
4
4
0.02s
相位差
ωt/rad
i1
i2
π 4
(
c)
d)
图3-3 初相不同的几种正弦电流的波形图 a)初相为0; b)初相为π/2; c)初相为π/6; d)初相为-π/6
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注意：正弦量的初相、相位以及解析式都与参考方向有 关。改变参考方向，就是将正弦量的初相加上或减去π。
如Im 、Um。
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2．角频率、周期、频率 正弦量在单位时间内所经历的电角度，称为角频率，用ω 表示，单位是弧度/秒，即
t
正弦量完成一次周期变化所需要的时间，称为周期，用T 表示，单位是秒。
正弦量在1秒钟内完成周期性变化的次数，称为频率，用 f 表示，单位是赫兹。
选零点为计时起点，则初相ψ =0，如图3-7所示是不同初相时
几种正弦电流的解析式和波形图。
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i
Im
i Im sint
0
t
a)
i i Im sin(t π 6)
i
i Im sin(t π 2)
0
t
b)
i i Im sin(t π 6)
0
t
0
t
π/6
π/6
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例3-3 两个同频率正弦电流的波形如图3-6所示，试写出 它们的解析式，并计算二者之间的相位差。
解 解析式
i/A 10 i1
i1
10 s in(314t
π )A 4
8
i2
i2
8 s in(314t Nhomakorabeaπ )A 4
0
4
4
0.02s
相位差
ωt/rad
i1
i2
π 4
(
c)
d)
图3-3 初相不同的几种正弦电流的波形图 a)初相为0; b)初相为π/2; c)初相为π/6; d)初相为-π/6
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注意：正弦量的初相、相位以及解析式都与参考方向有 关。改变参考方向，就是将正弦量的初相加上或减去π。
电工学课件--第三章 正弦交流电路
U • o I= U =U 0 ∠ R
• •
u =Um sinω t u Um i = = sinω = Im sinω t t R R
U =I R
U =I R
•
•
可见： 可见：电压与电流同相位 ui
i
u
•
IU
•
I
•
U
+−
2．功率关系
ui
i
⑴ 瞬时功率
•
u
IU
p=ui=UmImsin2ωt =UI(1-cos2ωt)
角频率ω: 单位时间里正弦量变化的角度 称为角频率。单位是弧度/秒 （rad/s）. ω=2π/T=2πf 周期，频率，角频率从不同角度描 述了正弦量变化的快慢。三者只要知 道其中之一便可以求出另外两时值， 瞬时值中最大的称为最大值。Ｉm、 Ｕ m 、Ｅ m 分别表示电流、电压和电动 势的最大值. 表示交流电的大小常用有效值的概 念。
单位是乏尔（Var） 单位是乏尔（Var）
第四节 RLC串联交流电路 串联交流电路 一.电压与电流关系
i R u L C
uR uL
u =uR +uL +uC
U =UR+UL+UC
• • • •
uC
以电流为参考相量， 以电流为参考相量， 相量图为： 相量图为：
•
UL UL+UC
φ
• • • •
•
U I
•
U
φ UR
UL-UC
UR
UC
2 可见： 可见： U = UR +(UL −UC)2
U L −UC X L − XC = arctg = arctg UR R
正弦量与相量法的基本概念
U1
解：
•
U 1 = 220
0 ,
•
U 2 = 220
120
+ •
•
U 1 + U2 = 220
0
220 120
-120o
•
U2
•
•
U1+ U2
= 220 (cos0 + j sin 0 ) + 220[cos(120 ) + j sin(120 )] = 110 j190.5 = 1102 + (190.5)2 arctan 190.5 = 220 60
复常数
A(t)包含了三要素：I， ， 复常数包含了I , 。
•
称 I = I 为正弦量 i(t) 对应的有效值相量。
13
•
i(t) = 2I cos(t + ) I = I
正弦量的有效值相量表示:
以正弦量的有效值作为相量的模 正弦量的初相位作为相量的幅角
•
u(t) = 2U cos(t + ) U = U
注意:只适用正弦量
Im = 2I
i(t) = Im cos(t + ) = 2I cos(t + )
同理: u(t ) = Um cos(t + ) = 2U cos(t + )
★ 正弦量的有效值与最大值之间有固定的 2 关系，即
Im = 2I U m = 2U
10
二、 相 量 法 的 基 本 概 念
110
u1(t ) + u2 (t ) = 2 220cos(t 60 )
19
•
•
U 1 U2 = 220
0
220 120
解：
•
U 1 = 220
0 ,
•
U 2 = 220
120
+ •
•
U 1 + U2 = 220
0
220 120
-120o
•
U2
•
•
U1+ U2
= 220 (cos0 + j sin 0 ) + 220[cos(120 ) + j sin(120 )] = 110 j190.5 = 1102 + (190.5)2 arctan 190.5 = 220 60
复常数
A(t)包含了三要素：I， ， 复常数包含了I , 。
•
称 I = I 为正弦量 i(t) 对应的有效值相量。
13
•
i(t) = 2I cos(t + ) I = I
正弦量的有效值相量表示:
以正弦量的有效值作为相量的模 正弦量的初相位作为相量的幅角
•
u(t) = 2U cos(t + ) U = U
注意:只适用正弦量
Im = 2I
i(t) = Im cos(t + ) = 2I cos(t + )
同理: u(t ) = Um cos(t + ) = 2U cos(t + )
★ 正弦量的有效值与最大值之间有固定的 2 关系，即
Im = 2I U m = 2U
10
二、 相 量 法 的 基 本 概 念
110
u1(t ) + u2 (t ) = 2 220cos(t 60 )
19
•
•
U 1 U2 = 220
0
220 120
电路基础-§3-1正弦量的基本概念
第三章正弦交流电路§3-1 正弦量的基本概念目前，无论是生产用电还是生活用电，绝大部分都应用正弦交流电。
交流电被广泛采用的主要原因：一是交流电压易于升降，这样便于实现远距离传输和安全用电；二是交流电动机比直流电动机性能优越，使用方便。
因此，发电厂生产的电都是交流电，即使在需要直流电的情况下，也多是将交流电通过整流设备变换为直流电。
大小和方向都随时间作正弦规律变化的电压、电流、电动势，统称为正弦交流电。
电路中所有电源都是同一频率的正弦交流电源，电路中各处得到的电压、电流也都是同一频率的正弦函数，这样的电路称为正弦交流稳态电路，简称正弦交流电路。
在正弦交流电路中，除了有电阻元件外，还有电感元件和电容元件。
正弦交流电路采用相量法进行分析。
一、正弦量的概念由于交流电是变化的，交流电在每一时刻的数值称为瞬时值，以小写字母表示，如u 、i 、e 分别表示正弦交流电压、正弦交流电流、正弦交流电动势的瞬时值。
在选定了参考方向后，以瞬时值为纵坐标，以时间为横坐标来画出正弦交流电的波形，如图3-1为正弦交流电流的波形图。
正半周表示电流的参考方向与实际方向相同，负半周表示电流的参考方向与实际方向相反。
其瞬时表达式（又称解析式）为)sin(ψω+=t I i m二、正弦量的三要素(一）最大值（振幅）交流电在变化过程中所能达到的最大的值称为最大值或振幅，分别用加注下标m 的大写字母表示，如U m 、I m 、E m 分别表示电压、电流、电动势的幅值。
（二）角频率1、周期和频率正弦函数是周期函数，通常将正弦量完成一个循环所需要的时间叫做周期，用T 表示，单位为秒(S)。
每秒内完成的周期数称为频率，用f 表示，单位为赫兹(Hz)。
在工程中，常用单位还有千赫（kHz ）、兆赫（MHz ）。
根据此定义，频率和周期应互为倒数，即T f 1=fT 1=2、角频率周期和频率反映了正弦量变化的快慢。
除此外，还可用角频率来表示正弦量变化的快慢。
电工技术教学课件第三章正弦交流电路
平均功率： P=0
无功功率： Qc=－UI
Page 38
3.6.1
3.6.6 电阻、电感、电容的交流功率及物理意义
例
Page 39
3.6.7 功率因数与功率因数的提高
Page 40
3.6.2
3.6.7 功率因数与功率因数的提高
例
Page 41
3.7 交流电路的最大功率传输
Page 42
3.7 交流电路的最大功率传输
3.1.1 幅度、频率和初相位
Page 5
ωT=2π
3.1.2 正弦量相位差
相位差可用φ表示，规定|φ|≤180°。 显然同频正弦信号的相位差即它们的初相之差。综合相位 差的情况有以下几种： （1）φ=φu－φi>0，即φu>φi，表示u超前于i的度数为φ。 （2）φ=φu－φi<0，即φu<φi，表示u滞后于i的度数为φ。 （3）φ=φu－φi=0，表示u与i同相。 （4）φ=φu－φi=180°，表示u与i反相。 （5）φ=φu－φi=90°，表示u与i正交。
Page 46
Page 6
3.1.2 正弦量相位差
已知正弦信号u(t)=3cos (ωt+140°)， i(t)=8cos (ωt－100°)，求u与i的相位差。
Page 7
3.1.3 正弦量有效值
周期电流i流过电阻R在一个周期T内所做功与直流电流I流过 同样电阻R在同样时间T内所做功相等，称直流电流I为此周期性 电流i的有效值。
Page 17
Page 18
3.4 复阻抗和复导纳
• RC串联电路和复阻抗 • RC并联电路和复导纳 • 阻抗和导纳的串、并联电路
3.4.1 RC串联电路和复阻抗
无功功率： Qc=－UI
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3.6.1
3.6.6 电阻、电感、电容的交流功率及物理意义
例
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3.6.7 功率因数与功率因数的提高
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3.6.2
3.6.7 功率因数与功率因数的提高
例
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3.7 交流电路的最大功率传输
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3.7 交流电路的最大功率传输
3.1.1 幅度、频率和初相位
Page 5
ωT=2π
3.1.2 正弦量相位差
相位差可用φ表示，规定|φ|≤180°。 显然同频正弦信号的相位差即它们的初相之差。综合相位 差的情况有以下几种： （1）φ=φu－φi>0，即φu>φi，表示u超前于i的度数为φ。 （2）φ=φu－φi<0，即φu<φi，表示u滞后于i的度数为φ。 （3）φ=φu－φi=0，表示u与i同相。 （4）φ=φu－φi=180°，表示u与i反相。 （5）φ=φu－φi=90°，表示u与i正交。
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3.1.2 正弦量相位差
已知正弦信号u(t)=3cos (ωt+140°)， i(t)=8cos (ωt－100°)，求u与i的相位差。
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3.1.3 正弦量有效值
周期电流i流过电阻R在一个周期T内所做功与直流电流I流过 同样电阻R在同样时间T内所做功相等，称直流电流I为此周期性 电流i的有效值。
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3.4 复阻抗和复导纳
• RC串联电路和复阻抗 • RC并联电路和复导纳 • 阻抗和导纳的串、并联电路
3.4.1 RC串联电路和复阻抗
03-正弦量的相量表示法知识点
正弦量相量表示1、基本概念（1）正弦电路相量表示方法。
正弦量的相量表示实质上就是用复数表示正弦量。
为与一般的复数相区别，将表示正弦量的复数称为相量。
正弦量的相量表示如表1所示。
表1正弦量的相量式三角函数式相量的极坐标式相量的直角坐标式电压tU u ωsin 2=o 0∠=U U ）（o o 0sin j 0cos +=U U 电流)30sin(2o +=t I i ωo 30∠=I I ）（o o 30sin j 0cos3+=I I电动势)30sin(2o -=t I e ωo 30-∠=E E）（o o 30sin j 0cos3-=E E （2）相量的实质与目的。
相量表示的实质上就是用复数表示正弦量。
正弦量可用三角函数式、波形图等表示，但以此方法分析正弦交流电路比较困难，引入相量的目的是为了简化正弦交流电路的分析方法，即将正弦交流电路的计算变成复数式的代数运算。
2、正弦交流电路的相量分析方法正弦交流电路引入相量后，正弦交流电路就有相量式法和相量图法两种分析方法。
（1）相量式法1）将电路中已知的正弦量电压、电流、电动势用相量表示；2）将电路中无源元件用阻抗表示，如R 、jX L 、-jX C ；3）用各种电路分析方法求解，所有方程均为相量方程。
一般加减运算用代数式；乘除运算用指数式或极坐标式。
（2）相量图法1）选取参考相量，一般并联电路选电压U 、串联电路选电流I ，复联电路要视具体情况而定；2）以参考相量为基础，根据元件上电压与电流的相位关系画出电路的相量图；3）根据相量的几何关系（平行四边形法则）求解待求物理量。
2、注意事项（1）正弦量与相量间为对应关系，不是“相等”或“等效”关系。
（2）相量法是分析计算正弦交流电路的一种辅助数学工具，可使正弦量的数学运算更为简便，且只适应于同频率的正弦量的分析计算。
（3）分析和计算正弦交流电路时，必要时可借助相量图的几何关系，同一相量图中各正弦量必须频率相同。
第三章 正弦交流电路和向量法
上 页
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2. 正弦量的三要素
i(t)=Imcos(ω t+ψ)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1)幅值 振幅、 最大值) (1) 幅值 (amplitude) (振幅、 最大值)Im 反映正弦量变化幅度的大小。 反映正弦量变化幅度的大小。 角频率(angular frequency)ω (2) 角频率 相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。 相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。
0
t = 0 → 50 = 100cosψ
由于最大值发生在计时起点右侧
i(t ) = 100cos(103 t − ) 3
当 10 t1 = π 3 有最大值
3
π
ψ = ±π 3 π ψ =−
3
t1＝ 3 ＝ .047ms 1 10
上 页 下 页
π 3
3. 同频率正弦量的相位差 (phase difference)。 。
i1 = 2 I1 cos(ω t +ψ 1 )
i2 = 2 I2 cos(ω t +ψ 2 )
上 页
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ω
角频率： 角频率：
u, i i1 I1
i1 0
ω
i2
i2 I2
i1+i2 →i3 i3 ω I3 ωt
有效值： 有效值： Ψ 1 初相位： 初相位：
Ψ2
Ψ3
因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以， 因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只 要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。因此， 要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。因此，
第3章
正弦交流电路和相量法
重点： 重点： 正弦量的表示、相位差； 1. 正弦量的表示、相位差； 2. 正弦量的相量表示 电路定理的相量形式； 3. 电路定理的相量形式；
11正弦量itiOT章节第3章正...
－
＋
刻的储能状况
动态 突变 直流 sin
电容元件VCR的相量形式
时域形式：
已知 u( t ) 2U cos(t Ψu )
du( t ) 2CU sin( t Ψu ) dt π 2CU cos( t Ψu ) 2
iC(t) + u(t) C
则 iC ( t ) C
1 T 2 I i (t )dt 0 T
def
I
1 T
T
0
2 Im cos 2 ( t Ψ ) dt
T
T
0
cos 2 ( t Ψ ) dt
0
1 1 cos 2( t Ψ ) dt t 2 2
T 0
1 T 2
I
1 2 T I I m m 0.707 I m T 2 2
总 步
同频率正弦量的加减 1 1. 写出 正弦量 i1 i2对应的相量 I
3. 相量
2 I
i ( t ) I IΨ
2. 计算 3. 结果
1 I 2 II
i ( t ) 2 I cos( t Ψ ) I IΨ
ex
9
例 u1 ( t ) 6 2cos( 314t 30 ) V
Im 2I
i ( t ) I m cos( t Ψ ) 2 I cos( t Ψ )
下 U
5
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
U m 2U
若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V； U=380V， 注 Um537V。
（1）测量中，仪表指示的读数: 有效值。
＋
刻的储能状况
动态 突变 直流 sin
电容元件VCR的相量形式
时域形式：
已知 u( t ) 2U cos(t Ψu )
du( t ) 2CU sin( t Ψu ) dt π 2CU cos( t Ψu ) 2
iC(t) + u(t) C
则 iC ( t ) C
1 T 2 I i (t )dt 0 T
def
I
1 T
T
0
2 Im cos 2 ( t Ψ ) dt
T
T
0
cos 2 ( t Ψ ) dt
0
1 1 cos 2( t Ψ ) dt t 2 2
T 0
1 T 2
I
1 2 T I I m m 0.707 I m T 2 2
总 步
同频率正弦量的加减 1 1. 写出 正弦量 i1 i2对应的相量 I
3. 相量
2 I
i ( t ) I IΨ
2. 计算 3. 结果
1 I 2 II
i ( t ) 2 I cos( t Ψ ) I IΨ
ex
9
例 u1 ( t ) 6 2cos( 314t 30 ) V
Im 2I
i ( t ) I m cos( t Ψ ) 2 I cos( t Ψ )
下 U
5
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
U m 2U
若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V； U=380V， 注 Um537V。
（1）测量中，仪表指示的读数: 有效值。
正弦量的基本概念正弦量的相量表示法电容元件
第3章 正弦交流电路
3.1 正弦量的基本概念 3.2 正弦量的相量表示法 3.3 电容元件和电感元件 3.4 三种元件伏安特性的相量形式 3.5 基尔霍夫定律的相量形式 3.6 RLC串联的交流电路 3.7 RLC并联电路 3.8 用相量法分析正弦交流电路 3.9 正弦交流电路中的功率 3.10 正弦交流电路中的最大功率
当两个同频率正弦量的计时起点改变时，它们之间 的初相也随之改变，但二者的相位差却保持不变。
下面分别加以讨论：
(1)φ 12=θ 1-θ 2>0且|φ 12|≤π 弧度
(2) φ 12=θ 1-θ 2<0且|φ 12|≤π 弧度 (3) φ 12=θ 1-θ 2=0,称这两个正弦量同相 (4) φ 12=θ 1-θ 2=π , 称这两个正弦量反相 (5) φ 12=θ 1-θ 2=π /2, 称这两个正弦量正交
u1
.
U1
141 2
π 3
100
π 3
V
.
70 .5 - π
-π
u2 U 2
50
V
26
6
相量图如右所示:
例 3-6 已知两个频率均为50Hz的正弦电压，它们
的相量分别为Ù1=380/π /6 V, Ù2=220/-π /3 V，试求这两个电压的解析式。
3.旋转因子及旋转相量
相量与ejwt相乘是一个随时间变化的函数，它随时
间的推移而旋转，且旋转速度为ω 。我们把相量乘
以ejwt再乘以常数 2 称为旋转相量，旋转相量在虚 轴上的投影Imsin(ω t+φ i)为正旋量的瞬时值。 Imsinφ i为i(t)的初始值，如图3-2-1（b）所示。
所以也可以用正弦相量来表示正旋量。
3.1 正弦量的基本概念 3.2 正弦量的相量表示法 3.3 电容元件和电感元件 3.4 三种元件伏安特性的相量形式 3.5 基尔霍夫定律的相量形式 3.6 RLC串联的交流电路 3.7 RLC并联电路 3.8 用相量法分析正弦交流电路 3.9 正弦交流电路中的功率 3.10 正弦交流电路中的最大功率
当两个同频率正弦量的计时起点改变时，它们之间 的初相也随之改变，但二者的相位差却保持不变。
下面分别加以讨论：
(1)φ 12=θ 1-θ 2>0且|φ 12|≤π 弧度
(2) φ 12=θ 1-θ 2<0且|φ 12|≤π 弧度 (3) φ 12=θ 1-θ 2=0,称这两个正弦量同相 (4) φ 12=θ 1-θ 2=π , 称这两个正弦量反相 (5) φ 12=θ 1-θ 2=π /2, 称这两个正弦量正交
u1
.
U1
141 2
π 3
100
π 3
V
.
70 .5 - π
-π
u2 U 2
50
V
26
6
相量图如右所示:
例 3-6 已知两个频率均为50Hz的正弦电压，它们
的相量分别为Ù1=380/π /6 V, Ù2=220/-π /3 V，试求这两个电压的解析式。
3.旋转因子及旋转相量
相量与ejwt相乘是一个随时间变化的函数，它随时
间的推移而旋转，且旋转速度为ω 。我们把相量乘
以ejwt再乘以常数 2 称为旋转相量，旋转相量在虚 轴上的投影Imsin(ω t+φ i)为正旋量的瞬时值。 Imsinφ i为i(t)的初始值，如图3-2-1（b）所示。
所以也可以用正弦相量来表示正旋量。
第三章 正弦量
Um 2 220 311V
这个电压超过了电容器的耐压，可能击穿电容器，
所以不能接在220V的电源上。
首页
小
一、交流电的有效值:
结
1 I T
二 、正弦量的有效值：
T
0
i 2dt
Im I 0.707I m 2
Um U 0.707U m 2
首页
第三节 正弦量的相量表示法
一、复数
正弦量在单位时间内所经历的电角度，称为角频率，用ω 表示，单位是弧度/秒，即
表示，单位是秒。
t
正弦量完成一次周期变化所需要的时间，称为周期，用T
正弦量在1秒钟内完成周期性变化的次数，称为频率，用 f
表示，单位是赫兹。 周期和频率的关系为
1 f T
首页
角频率与周期和频率的关系是
2π 2πf T
2π 1 T 0.02s 314 50 1 1 f 50Hz T 0.02 2π
i 120
首页
二、相位差 两个同频率正弦量的相位之差，称为相位差，用 表示。
例如
u U m sin( t u ) i I m sin( t i )
相位差
(t u ) (t i ) u i
上式表明，同频率正弦量的相位差等于初相之差。且相位差与
计时起点的选择无关。
规定：
| | 180
首页
如图3-4，u 比i先到达零点或峰值
点，则称u 比i 超前 滞后 角。
u,i
u i
角，或i 比u
u i
首页
A B 685 11 130 0.52 j5.98 (7.07 j8.43)
3-1、2正弦量及其表示
矢量图
8
（2）旋转因子
j
ej90°=cos90°+jsin90°= 0 +j
j=1×j 其几何意义为
ej90°——90°的旋转因子。
实轴
1
ejωt ——以ω为角速度的旋转因子。
（3）复数的计算
四则运算： 加、减运算——相量用代数式表示 乘、除演算——相量用指数式表示
两复数相等的条件：
对代数式：实部、虚部分别相等。
对指数式：模相等，辐角相同。
3+j4=5ej53°和 3-j4=5e-j53° ——共轭复数 9
2. 正弦量的相量表示 （1） 指数与三角的关系（欧拉公式）
ej= cos+jsin e-j= cos-jsin
ej（t+）= cos(t+)+jsin(t+)
在该式两边同乘以Im得
《电路》动画2.exe
ωt
u i
i Im sint i
两正弦量的相位之差定义为相位差 ，用表示
t u t i
u i
可见，同频率正弦量的相位之差等于初相位之差 。
3
4. 同频率正弦量的相位关系
i
i
（1）同相 同相
t （2）反相
t
反相
（3）超前与滞后
u Um sint u
ωt
u i
i Im sint i
1
3-1 正弦量交流电的基本概念
3-1-1 正弦量三要素
1.正弦量的三角函数式与波形图 幅值
2.正弦量的三要素
i=Imsin(t+)
ωt
0 初相位 周期 T
Im —最大值，它是描述正弦量的大小的要素。 (t+)—相位，单位为弧度（或度）。 它描述正弦函数 任—意把时时刻间所在“的秒位”置换。算成“弧度或度”的常数，称角 正
电路分析课件——正弦量
t 2 t 1 21
两种正弦信号的相位关系
同
相 位
2
1
相
i2
位
领
先 1 2
i2
1 2
i1
t
i1 1 2 0
t
i i 领先于
1
2
相
i1
位
落 后
2 1
i2
1 2 0
t i i1 落后于 2
(a)同相
(b)正交
©反相
dt
描述变化周期的几种方法：
1. 周期 T： 变化一周所需的时间 单位：秒，毫秒..
2. 频率 f： 每秒变化的次数 单位：赫兹，千赫兹
3. 角频率 ω： 每秒变化的弧度 单位：弧度/秒
f 1 2π 2πf
T
T
频率 f与磁极对数p和转子的转速n有关
f=
np 60
我国电网的工业频率是50赫兹
小常识
旋转电枢式（线圈转动）
N
直流发电机
A
XS
旋转磁极式（磁极转动）
磁极（转子） 交流发电机
电枢（定子）
三相交流电动势的产生
定子中放三个线圈：
A•
AX B Y
S Y•
CZ 首端 末端
C
N 三线圈空间位置
各差120o
X
转子装有磁极并以
的速度旋转。三个
线圈中便产生三个单相电动势。
定子 Z
•
B 转子
一.正弦量的解析式
电量名称必须大 写,下标加 m。 如：Um、Im
热效应相当
有
效
值
T i2R dt I 2RT
概0
念
交流
直流
有效值
电量必须大写 如：U、I
两种正弦信号的相位关系
同
相 位
2
1
相
i2
位
领
先 1 2
i2
1 2
i1
t
i1 1 2 0
t
i i 领先于
1
2
相
i1
位
落 后
2 1
i2
1 2 0
t i i1 落后于 2
(a)同相
(b)正交
©反相
dt
描述变化周期的几种方法：
1. 周期 T： 变化一周所需的时间 单位：秒，毫秒..
2. 频率 f： 每秒变化的次数 单位：赫兹，千赫兹
3. 角频率 ω： 每秒变化的弧度 单位：弧度/秒
f 1 2π 2πf
T
T
频率 f与磁极对数p和转子的转速n有关
f=
np 60
我国电网的工业频率是50赫兹
小常识
旋转电枢式（线圈转动）
N
直流发电机
A
XS
旋转磁极式（磁极转动）
磁极（转子） 交流发电机
电枢（定子）
三相交流电动势的产生
定子中放三个线圈：
A•
AX B Y
S Y•
CZ 首端 末端
C
N 三线圈空间位置
各差120o
X
转子装有磁极并以
的速度旋转。三个
线圈中便产生三个单相电动势。
定子 Z
•
B 转子
一.正弦量的解析式
电量名称必须大 写,下标加 m。 如：Um、Im
热效应相当
有
效
值
T i2R dt I 2RT
概0
念
交流
直流
有效值
电量必须大写 如：U、I
正弦量的名词解释
正弦量的名词解释正弦量是数学中一个重要的概念，广泛应用于几何、物理、工程等领域。
在数学中，正弦量是指一个周期性函数，同时也是三角函数中的一种。
它的形式可由一个单位圆在平面上进行旋转所得。
正弦量在解决各种实际问题时起着重要的作用，拥有广泛的应用和研究价值。
一、正弦量的概念和定义正弦量可以用几何的观点理解。
我们可以想象一个圆的中心位于坐标原点，半径为1。
当圆在平面上以匀速旋转时，与圆上某一点连线和x轴的夹角就是正弦角θ。
根据几何关系，我们可以得到一个基本的三角恒等式：在一个直角三角形中，sinθ=对边/斜边，其中θ为直角对边和斜边间的夹角。
这个基本三角恒等式使得正弦量的定义更清晰明了。
二、正弦量的周期性正弦量在数轴上的图像是一条连续曲线，它呈现出周期性的特点。
这意味着正弦量在进行周期性旋转时，它的函数值在一个特定的范围内反复变化。
这个范围是[-1, 1]。
周期性可以用数学公式sin(θ + 2π) = sinθ来表示，其中θ是某一特定角度的值。
这样的周期性特征使得正弦量在研究波动、震动等周期性现象时具有重要意义。
三、正弦量的应用1. 几何学中的应用正弦量在几何学中的应用非常广泛。
例如，在解决直角三角形的问题时，我们可以利用正弦量来求解未知边长或角度大小。
正弦量的概念和性质在解决三角形相关问题时提供了有效的数学工具。
2. 物理学中的应用正弦量在物理学中的应用非常重要。
它可以用来描述和分析波动、振动等周期性现象。
许多物理量，如声音、光、电磁波等都具有周期性的特点，而正弦量提供了理解和研究这些周期性现象的数学模型和工具。
例如，在声学中，正弦量可以帮助我们研究声音的频率和振幅。
在光学中，正弦量可以描述光的波长和振动方向。
在电磁学中，正弦量可以用来表示电场和磁场的振荡行为。
3. 工程学和应用数学中的应用正弦量在工程学和应用数学中也有广泛的应用。
例如，在交流电路中，正弦量可以用来表示电流和电压的周期性变化。
在信号处理中，正弦量可以用来分析和合成各种信号波形。
《正弦量的基本概念》课件
《正弦量的基本概念》ppt课 件
contents
目录
• 正弦量及其表示方法 • 正弦量的运算 • 正弦量的线性性质 • 正弦量的初值与相位角 • 正弦量在交流电中的应用
பைடு நூலகம் 01
正弦量及其表示方法
正弦量的定义
总结词
正弦量是随时间按正弦规律变化 的量，是交流电的基本特征。
详细描述
正弦量是随时间变化且符合正弦 函数规律的物理量，如交流电的 电压、电流等。它们具有周期性 、波动性和相位差等特性。
正弦交流电的表示方法
正弦交流电的三要素
幅值、角频率和相位。幅值表示交流 电的最大值，角频率表示交流电变化 的快慢，相位表示交流电与时间的关 系。
正弦交流电的波形图
正弦交流电的相量图
相量图是一种用复数表示正弦交流电 的方法，可以方便地表示出正弦交流 电的相位和幅度。
正弦交流电的波形图可以直观地表示 出其随时间变化的规律。
03
正弦量的线性性质
线性性质的定义
线性性质
正弦量在经过加、减、数乘运算后，其波形 沿时间轴平移或拉伸，但不改变其形状。
数学表达式
若 $y_1(t) = A_1 sin(omega_1 t + varphi_1)$ 和 $y_2(t) = A_2 sin(omega_2 t + varphi_2)$，则 $y(t) = A_1 y_1(t) + A_2 y_2(t)$ 或 $y(t) = k y_1(t)$，其中 $k$ 是常数。
实例分析
在交流电路中，多个电压和电流源产 生的正弦量可以通过线性性质进行叠 加，得到总电压和总电流，方便计算 电路的性能指标。
04
正弦量的初值与相位角
contents
目录
• 正弦量及其表示方法 • 正弦量的运算 • 正弦量的线性性质 • 正弦量的初值与相位角 • 正弦量在交流电中的应用
பைடு நூலகம் 01
正弦量及其表示方法
正弦量的定义
总结词
正弦量是随时间按正弦规律变化 的量，是交流电的基本特征。
详细描述
正弦量是随时间变化且符合正弦 函数规律的物理量，如交流电的 电压、电流等。它们具有周期性 、波动性和相位差等特性。
正弦交流电的表示方法
正弦交流电的三要素
幅值、角频率和相位。幅值表示交流 电的最大值，角频率表示交流电变化 的快慢，相位表示交流电与时间的关 系。
正弦交流电的波形图
正弦交流电的相量图
相量图是一种用复数表示正弦交流电 的方法，可以方便地表示出正弦交流 电的相位和幅度。
正弦交流电的波形图可以直观地表示 出其随时间变化的规律。
03
正弦量的线性性质
线性性质的定义
线性性质
正弦量在经过加、减、数乘运算后，其波形 沿时间轴平移或拉伸，但不改变其形状。
数学表达式
若 $y_1(t) = A_1 sin(omega_1 t + varphi_1)$ 和 $y_2(t) = A_2 sin(omega_2 t + varphi_2)$，则 $y(t) = A_1 y_1(t) + A_2 y_2(t)$ 或 $y(t) = k y_1(t)$，其中 $k$ 是常数。
实例分析
在交流电路中，多个电压和电流源产 生的正弦量可以通过线性性质进行叠 加，得到总电压和总电流，方便计算 电路的性能指标。
04
正弦量的初值与相位角
电路基础03
压有效值的乘积为该端口的视在功率，用S表示。
即 S=UI
电路基础
5.功率三角形
P、Q、S可以构成一个直角三角形，称之为功
率三角形。
电路基础
二、功率因数的提高
根据有功功率的计算公式可知，发电机、变
压器等电气设备输出的有功功率（即负载消耗的 有功功率），与负载的功率因数有关。
电路基础
三、最大功率传输
i=Imsin（ω t+ψ i），u=Umsin（ω t+ψ u） 则电压u与电流i的相位差 φ
ui
=ψ u -ψ i
电路基础
3.2 正弦量的表示法
一、复数的实部、虚部和模
有向线段A可用下面的复数表示为A=a+jb。r表示复 数的大小，称为复数的模。有向线段与实轴正方 向间的夹角，称为复数的幅角，用φ表示，规定幅 角的绝对值小于180°。
电路基础
三、正弦量的向量表达式
表示正弦量的复数称为相量，并在大写字母上打“·” 表示。于是表示正弦电压u=Umsin（ω t+φ ）的相量为： U =U （cosφ +jsinφ ）=U ejφ =Um∠φ
m
m
m
或
U m=U（cosφ +jsinφ ）=Uejφ =U∠φ
电路基础
3.3 正弦电路定律的相量形式和相量图
电路基础
三、电路的相量图
正弦量的相 量可以用复平面 上的有向线段来 表示，把相量在 复平面上用有向 线段表示的图形 称为正弦量的相 量图。
电路基础
3.4 阻抗串并联的计算
一、阻抗和导纳 R、L、C单个元件的复阻抗分别为： ZR=R ZL=jω L 1 1 j ZC= jC =- C R、L、C单个元件的复导纳分别为 1 Y R= R Y L=
电路分析基础第三章讲解
IC
CUC
UC 1
UC XC
安
C
徽 职
11
X C C 2fC
业 技
XC称为容抗, 单位为Ω。
术 电流和电压之间的相位关系为正交，即电流超前电压
学
院
ui uC
iC
2
i
u
2
0
t
第三章 正弦交流电路
2.电压与电流的相量关系
安
uC UCm sin(t u )
URIR T
(T
0)
URIR
P
URIR
I
2 R
R
U
2 R
R
第三章 正弦交流电路
p u,i p
安 徽 职
P
Pm=UmIm
P=
1 2
Pm=UI
业
0
t
技
i
术
u
学
电阻元件的功率曲线图
院
例： 一只功率为100W，额定电压为220V 的电烙铁, 接在380V的交流电源上, 问此时它接受的功率为多少？ 若接到110V的交流电源上, 它的功率又为多少？
. jt
第三章 正弦交流电路
正弦量的有效值用复数的模表示，
正弦量的初相用复数的幅角来表示。
安 徽 职
该方法为相量表示法。 表示为：
业
.
技 术
I Ie j(ti ) I i
学
院 注：正弦量与相量一一对应。
２、相量图
相量图就是把正弦量的相量画在复平面上。
第三章 正弦交流电路
学
院
同频率正弦量的几种相位关系：
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3.初相
在正弦量的解析式中，角度（ωt +ψ）称为正弦量的相位。 初相是指t=0时的相位,用ψ表示。相位和初相都与计时起点的 选择有关，其单位用弧度表示。 规定:
|ψ|≤π。
规定正弦量由负值向正值变化的一个零值点叫做零点。若
选零点为计时起点，则初相ψ =0，如图3-7所示是不同初相时 几种正弦电流的解析式和波形图。
ห้องสมุดไป่ตู้
i I m sin(t i )
u U m sin(t u )
从上式可知，当 Im、ω和ψi三个量确定以后，电流i 就被
唯一确定。因此，这三个量称为正弦量的三要素。
一、正弦量的三要素
１．振幅值 正弦量的最大值称为振幅值，用大写字母表示， 如Im 、Um。
首页
2．角频率、周期、频率
正弦量在单位时间内所经历的电角度，称为角频率，用ω 表示，单位是弧度/秒，即
表示，单位是秒。
t
正弦量完成一次周期变化所需要的时间，称为周期，用T
正弦量在1秒钟内完成周期性变化的次数，称为频率，用 f
表示，单位是赫兹。 周期和频率的关系为
1 f T
首页
角频率与周期和频率的关系是
2π 2πf T
图3-6 例3-3波形图
i1比i2超前90o，也即i2滞后i1 90o 。
首页
小
一、正弦量的解析式
结
u Um sin( t u )
二、正弦量的三要素
i Im sin( t i )
振幅值、角频率ω、初相 三、同频率正弦量的相位差
12 1 2
首页
第二节 交流电的有效值
1.复数的表示
电工中常用j代表虚单位，即 j
+j b A r
1
0
(1)代数式
A a jb
θ
a +1
a ——实部， b——虚部。 用该点对应的矢量来表示。如图3-8所示。 (2)极坐标式
图3-8 复数的表示
由代数式可知，复数可在复平面上用一个点来表示，还可
A r
r ——模，θ——幅角。
首页
(3)三角函数式
A r cos jr sin
复数的代数式、三角函数式和极坐标式可以按以下公式相 互转换。
r a 2 b2 b arctg a
(4)特殊复数
0 时，称两个正弦量同相 ； π 时，称两个正弦量反相。
如图3-5所示。
u
t
图3-4
初相不同的两个正弦量
u1 u2
i
i1
0
ωt
a)
0
i2
b)
ωt
图3-5 同相与反相的正弦波形 a) 同相的正弦波形; b)反相的正弦波形
首页
例3-3 两个同频率正弦电流的波形如图3-6所示，试写出
Um 2 220 311V
这个电压超过了电容器的耐压，可能击穿电容器，
所以不能接在220V的电源上。
首页
小
一、交流电的有效值:
结
1 I T
二 、正弦量的有效值：
T
0
i 2dt
Im I 0.707I m 2
Um U 0.707U m 2
首页
第三节 正弦量的相量表示法
一、复数
2π 1 T 0.02s 314 50 1 1 f 50Hz T 0.02 2π
i 120
首页
二、相位差 两个同频率正弦量的相位之差，称为相位差，用 表示。
例如
u U m sin( t u ) i I m sin( t i )
一、有效值的定义
交流电的有效值是通过电流的热效应来确定的。若交流电
流与直流电流分别通过相同的电阻，在相同的时间内产生的热
量相等，则直流电流的数值就叫做交流电流的有效值。交流电 压与电流的有效值分别用大写字母U、I 表示。 椐此定义可得 有效值
T
0
i 2 Rdt I 2 RT
1 I T 二、正弦量的有效值
相位差
(t u ) (t i ) u i
上式表明，同频率正弦量的相位差等于初相之差。且相位差与
计时起点的选择无关。
规定：
| | 180
首页
如图3-4，u 比i先到达零点或峰值
点，则称u 比i 超前 滞后 角。
u,i
u i
角，或i 比u
u i
首页
注意：正弦量的初相、相位以及解析式都与参考方向有
关。改变参考方向，就是将正弦量的初相加上或减去π。 例3-1 在选定参考方向下，已知正弦量的解析式为
i=10sin(314t +240o)A，试求正弦量的振幅、频率、周期、角
频率和初相。 解 则
i 10sin( 314t 240 )A 10sin( 314t 120 )A I m 10A 314rad / s
T
0
i dt
2
若交流电为正弦量，则其有效值和最大值符合下列关系:
首页
Im I 0.707I m 2
Um U 0.707U m 2
电器设备铭牌上所标的电压、电流值以及交流电表所测的 数值都是有效值。 例3-4 解 有一电容器，耐压为250V，问能否接在电压为 220V的民用电源上。 因为民用电是正弦交流电，电压的最大值，
第三章 正弦交流电路的基本概念和基本定律
第一节 正弦量 第二节 交流电的有效值 第三节 正弦量的相量表示法 第四节 电阻元件的交流电路
第五节 电感元件的交流电路
第六节 电容元件的交流电路 第七节 相量形式的基尔霍夫定律
本章小结
第一节 正弦量
在正弦交流电路中，由于电流、电压等物理量均按正弦 规律变化，因此常称之为正弦量。其解析式如下:
首页
i Im
0
i I m sin t
i
0
i I m sin(t π 2)
t
a)
t
b)
i
i I m sin(t π 6)
0
π/6
i
i I m sin(t π 6)
t
0
π/6 d)
t
c)
图3-3 初相不同的几种正弦电流的波形图 a)初相为0; b)初相为π/2; c)初相为π/6; d)初相为-π/6
它们的解析式，并计算二者之间的相位差。 解 解析式
i/A
10 8 0
π i1 10 si n ( 314t ) A 4 π i 2 8 si n ( 314t )A 4
相位差
i1 i2
4
4
ωt/rad
0.02s
i1 i 2
π π π ( ) 4 4 2
在正弦量的解析式中，角度（ωt +ψ）称为正弦量的相位。 初相是指t=0时的相位,用ψ表示。相位和初相都与计时起点的 选择有关，其单位用弧度表示。 规定:
|ψ|≤π。
规定正弦量由负值向正值变化的一个零值点叫做零点。若
选零点为计时起点，则初相ψ =0，如图3-7所示是不同初相时 几种正弦电流的解析式和波形图。
ห้องสมุดไป่ตู้
i I m sin(t i )
u U m sin(t u )
从上式可知，当 Im、ω和ψi三个量确定以后，电流i 就被
唯一确定。因此，这三个量称为正弦量的三要素。
一、正弦量的三要素
１．振幅值 正弦量的最大值称为振幅值，用大写字母表示， 如Im 、Um。
首页
2．角频率、周期、频率
正弦量在单位时间内所经历的电角度，称为角频率，用ω 表示，单位是弧度/秒，即
表示，单位是秒。
t
正弦量完成一次周期变化所需要的时间，称为周期，用T
正弦量在1秒钟内完成周期性变化的次数，称为频率，用 f
表示，单位是赫兹。 周期和频率的关系为
1 f T
首页
角频率与周期和频率的关系是
2π 2πf T
图3-6 例3-3波形图
i1比i2超前90o，也即i2滞后i1 90o 。
首页
小
一、正弦量的解析式
结
u Um sin( t u )
二、正弦量的三要素
i Im sin( t i )
振幅值、角频率ω、初相 三、同频率正弦量的相位差
12 1 2
首页
第二节 交流电的有效值
1.复数的表示
电工中常用j代表虚单位，即 j
+j b A r
1
0
(1)代数式
A a jb
θ
a +1
a ——实部， b——虚部。 用该点对应的矢量来表示。如图3-8所示。 (2)极坐标式
图3-8 复数的表示
由代数式可知，复数可在复平面上用一个点来表示，还可
A r
r ——模，θ——幅角。
首页
(3)三角函数式
A r cos jr sin
复数的代数式、三角函数式和极坐标式可以按以下公式相 互转换。
r a 2 b2 b arctg a
(4)特殊复数
0 时，称两个正弦量同相 ； π 时，称两个正弦量反相。
如图3-5所示。
u
t
图3-4
初相不同的两个正弦量
u1 u2
i
i1
0
ωt
a)
0
i2
b)
ωt
图3-5 同相与反相的正弦波形 a) 同相的正弦波形; b)反相的正弦波形
首页
例3-3 两个同频率正弦电流的波形如图3-6所示，试写出
Um 2 220 311V
这个电压超过了电容器的耐压，可能击穿电容器，
所以不能接在220V的电源上。
首页
小
一、交流电的有效值:
结
1 I T
二 、正弦量的有效值：
T
0
i 2dt
Im I 0.707I m 2
Um U 0.707U m 2
首页
第三节 正弦量的相量表示法
一、复数
2π 1 T 0.02s 314 50 1 1 f 50Hz T 0.02 2π
i 120
首页
二、相位差 两个同频率正弦量的相位之差，称为相位差，用 表示。
例如
u U m sin( t u ) i I m sin( t i )
一、有效值的定义
交流电的有效值是通过电流的热效应来确定的。若交流电
流与直流电流分别通过相同的电阻，在相同的时间内产生的热
量相等，则直流电流的数值就叫做交流电流的有效值。交流电 压与电流的有效值分别用大写字母U、I 表示。 椐此定义可得 有效值
T
0
i 2 Rdt I 2 RT
1 I T 二、正弦量的有效值
相位差
(t u ) (t i ) u i
上式表明，同频率正弦量的相位差等于初相之差。且相位差与
计时起点的选择无关。
规定：
| | 180
首页
如图3-4，u 比i先到达零点或峰值
点，则称u 比i 超前 滞后 角。
u,i
u i
角，或i 比u
u i
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注意：正弦量的初相、相位以及解析式都与参考方向有
关。改变参考方向，就是将正弦量的初相加上或减去π。 例3-1 在选定参考方向下，已知正弦量的解析式为
i=10sin(314t +240o)A，试求正弦量的振幅、频率、周期、角
频率和初相。 解 则
i 10sin( 314t 240 )A 10sin( 314t 120 )A I m 10A 314rad / s
T
0
i dt
2
若交流电为正弦量，则其有效值和最大值符合下列关系:
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Im I 0.707I m 2
Um U 0.707U m 2
电器设备铭牌上所标的电压、电流值以及交流电表所测的 数值都是有效值。 例3-4 解 有一电容器，耐压为250V，问能否接在电压为 220V的民用电源上。 因为民用电是正弦交流电，电压的最大值，
第三章 正弦交流电路的基本概念和基本定律
第一节 正弦量 第二节 交流电的有效值 第三节 正弦量的相量表示法 第四节 电阻元件的交流电路
第五节 电感元件的交流电路
第六节 电容元件的交流电路 第七节 相量形式的基尔霍夫定律
本章小结
第一节 正弦量
在正弦交流电路中，由于电流、电压等物理量均按正弦 规律变化，因此常称之为正弦量。其解析式如下:
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i Im
0
i I m sin t
i
0
i I m sin(t π 2)
t
a)
t
b)
i
i I m sin(t π 6)
0
π/6
i
i I m sin(t π 6)
t
0
π/6 d)
t
c)
图3-3 初相不同的几种正弦电流的波形图 a)初相为0; b)初相为π/2; c)初相为π/6; d)初相为-π/6
它们的解析式，并计算二者之间的相位差。 解 解析式
i/A
10 8 0
π i1 10 si n ( 314t ) A 4 π i 2 8 si n ( 314t )A 4
相位差
i1 i2
4
4
ωt/rad
0.02s
i1 i 2
π π π ( ) 4 4 2