高中数学课件-指数概念的扩充陶淑珍

可以知道
2 不足相近似值
1.4 1.41 1.414 1.414 2 2
1.414 3 1.415 1.412 1.5 2 过剩近似值
如果按这样做下去会有什么结果出现?
越来越逼近 2
Байду номын сангаас助于科学计算器，可以得到下表
把用10做底数, 2 的不足近似值做指数的各个幂,
排成由小到大的一列数
1
解 1b 32 5 ;
5
2b 34 ;
3m
3b 5n ;
例题讲解
例6 计算
1
127 3 ;
3
44 2.
1
解 1因为33 27,所以27 3 3;
3
2因为82 43,所以42 8;
提升总结:
正分数指数幂的根式形式：
m
a n n am
写一写
1
2
（1）82 _8_ （2）27 3 3__272
如果 2 的近似值精确度越高,即越来越逼近 2
时, 10 的值会是越趋近一个数10 2
10 2 是一个实数 10 2 25.954 553 519 5
1
2 , 1
3
,3
都是实数
10 2
对于任意的实数α
1
1和a
1 a
a
0
这样就把指数扩大为全体实数了，值得注意 的是，指数幂a 中，a一定大于零，a 也大
时， n an＝|a|＝－ a，a， a≥a＜ 0 0 .
如 3 (3)3 3
(3)2 3
易错一：忽略n的范围导致式子 n an 化简出错
例：3 (1 2)3 4 (1 2)4
正数的负分数指数幂
规定
m
a n
1
m
a
0, m, n
N , 且n
1
an
0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂无意义.
Q 0.9975 t
把整数指数幂 扩充 分数指数幂
x 2 a x叫做a的平方根； x3 a x叫做a的立方根。
问题1：在正整数指数幂的运算bn=a中， 已知正实数a和正整数n，如何求b？
x2 9, x ? 只有唯一的正数3, 使得32 9
1
1
把3记作92 ,即3 92.
x5 32, x ? 只有唯一的正数2, 使得25 32
于零。
算一算，把下面式子化为正实数指数幂的形式
1- 2 ;
10- 2 ;
1
-
2
.
2
课堂练习
P69练习B组
3
5
（3） 42 _4_3 （4）27 3 3_2_75
5
2
（5） a5 _a_2 （6）3 m2 _m_3
想一想
(n a)n 与n an(n∈N＋，n＞1)相同吗？
提示：不同(n a)n＝a.
式子 n an(n∈N＋，且 n＞1)对任意的 a∈R 都
有意义，当 n 是奇数时n an＝a；当 n 是偶数
101.4,101.41,101.414,101.414 2,101.414 21,...
把用10做底数, 2 的过剩近似值做指数的各个幂,
排成由大到小的一列数
101.5,101.42,101.415,101.414 3,101.414 22,...
再将两者进行排列
101.4 101.41 101.414 101.414 2 10 2 101.4143 101.415 101.42 101.5
一般地，给定正实数a,对于任意给定的正
整使数得mbn,=na,(mm,我,n们互把素）b叫存作在a唯的一m 的次正幂实，数记b,
作
n
m
ban
它就是正分数指数幂。
说一说
b3 52
x5 254
43 82
2
b叫做5的 次幂
3
b叫做25的 4次幂 5
4叫做8的 2次幂 3
由于有理数分为整数和分数，则引入分数指数幂的
概念后，指数概念就实现了由整数指数幂向有理数
指数幂的扩充．
想一想
1.
a
m n
是mn 个
a
相乘吗？
m
提示：分数指数幂a n
不是mn 个
a
相乘，实质
上是关于 b 的方程 bn＝am 的解．
例题讲解
例5 把下列各式中的b写成正分数指数幂的形式.
(1)b5 32; (2)b4 35; (3)b5n 3m m, n N ;
例：下列关系式中，根式与分数指
数幂的互化正确的是（）
x
1
x2
(x
0)
1
6 y 2 y 3 ( y 0)
实数指数幂
指数已经扩充为可以是任意的整数和分数 了，也就是可以是任意的有理数了，那么 指数还可以扩充为任意的无理数吗？
10 2 无理数指数幂.
2 1.414 213 562 373 095 048 801 688 724 210
1
1
把2记作32 5 ,即2 32 5
一般地，给定正实数a,对于任意给定的正
整数n,存在唯一的正实数b,使得bn=a,我们
把b叫作a的 1次幂，记作b= 1
n
an
说一说
b2 4
b3 17
x5 25
b叫做4的1 次幂
2
b叫做17的1 次幂
3
x叫做25的
1 5
次幂
问题2：在bn= am中，已知正实数a和正整数m,n， 如何求b？
1.理解分数指数幂的概念;(重点） 2.掌握分数指数幂和根式之间的互化；（难点） 3.培养学生观察、分析、抽象概括的能力，渗透转化 的数学思想.
复习
整数指数幂
a n a•a••an N
n个a
a0 1(a 0)
an
1 an
a
0,
n
N
想一想
在§1的问题2,关于臭氧含量Q与时间t的函 数关系,只讨论了自变量是正整数的情况, 如果时间t是半年,或15年零3个月,此时自 变量不是一个整数,而是分数,那么此时情 况又怎样呢?