高中数学课件-指数概念的扩充陶淑珍
高中数学指数概念的扩充课件1 北师大版 必修1
(4)a b (2ab )
3
3 2
1 3
a b (3a b ) (5) 2 3 9a b
3
3 2
2 1
( a b) ( a b) (6) (a b 0, a b 0). 2 0 ( a b) ( a b)
4
分数指数幂(1) 解方程（其中b>0）：
n m
1 把b叫作a的 次幂，记作： b a n
1 m n 1 m n m n
1 n
a
n
则b＝？
解：b (a ) a
m n
a a
n
m
那么b a 叫作正分数指数幂， m、n N
分数指数幂(3)
正分数指数幂于根式的 比较P76
负分数指数幂规定： a
m n
1 a
m n
, m、n N
把b写成正分数指数幂的形式
(1)b 32
5
(2)b 3
4
5
(3)b
5n
3m
把b写成负分数指数幂的形式
(1)b 32 (2)b 3
4
x y
5
5
(3)b
5 n
3m
若b a , (a、b 0, x、y Q ) 则b a
y x
课后反思
3 3
3
2
3 27 3 2 3 9
3
3
3 ( 2 )
3
3 3
1
2 3 （－2 ）
可得： 3 3 ＝3
正整数指数运算性质可以推广为全体整数
新版高中数学北师大版必修1课件3.2.1指数概念的扩充
当堂检测
;
-9-
2.1 指数概念的扩充
探究一
探究二
探究三
首页 易错辨析
课前篇 自主预习
课课堂堂篇篇 探探究究学学习习
当堂检测
1.分数指数幂是一个正实数,即b=
������
������ ������
⇔bn=am,其中a,b均为正实
数,且m,n∈Z,m,n互素.
2.将bk=d中的正实数b改写成分数指数幂的形式时,主要根据分数
行计算.注意积累和记忆10以内的常用的正整数的幂值,这是快速、
准确进行幂值计算的关键.
-15-
2.1 指数概念的扩充
探究一
探究二
探究三
首页 易错辨析
课前篇 自主预习
课课堂堂篇篇 探探究究学学习习
当堂检测
变式训练 3813+36-12的值等于
.
解析:813+36-12 = 3 8 + 136=2+16 = 163.
【例 3】
计算下列各式的值:(1)823;(2)125-13;(3)
36 25
-32.
2
解:(1)83
=
3
82
=
3
64=4;
(2)125-13
=
1
1
1253
=
3
1 125
=
15;
(3)
36 25
-32 =
1 3=
36 2
25
1=
36 3 25
1
6
3
=
122156.
5
当堂检测
求指数幂的值时,首先要将指数幂转化为根式的形式,然后再进
(1)解析:由分数指数幂的意义知,应有 2x+1>0,
【高中课件】高中数学北师大版必修一3.2.1指数概念的扩充课件ppt.ppt
m
于灵活应用 an
＝n am(a>0，m，n∈N＋)．
(2)技巧：当表达式中的根号较多时，要搞清被开方数，由
里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性
质进行化简．
下列是根式的化成分数指数幂，是分数指数幂的化成根式
的形式：
4
(1)5－3 ；(2) a· a(a≥0)．
[解析]
4
(1)5－3
_求__a_的__n_次__方__根__叫作把 a 开 n 次方，称作开方运算.
1
m
a－ n
＝__n_a_m__
一般地，当 a>0，α 为任意实数值时，实数指数幂 aα 都有
意义．
2．n次方根的性质
两个
相反数
n a
－n a
正数 n a
n 0＝0
负数 n a
3
1.将 52 写成根式，正确的是( )
中小学精编教育课件
成才之路 ·数学
北师大版 ·必修1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章 指数函数和对数函数
1 课前自主预习
3 易错疑难辨析
2 课堂典例讲练
4
课时作业
课前自主预习
指数源于整数乘法的简便运算.17世纪初，荷兰工 程师司蒂文(Stevin)最早使用分数指数记号，以后又有 人将其扩展到负指数，直到18世纪，英国数学家牛顿 (Newton)开始用an表示任意实数指数幂．现代工程技 术的计算不再仅仅是乘法计算，它还需要进行乘方、
A.3 52
B. 3 5
53 C. 2
[答案] [解析]
D. 53
D 由分数指数幂与根式的互化可知D正确．
2．b4＝3(b>0)，则 b 等于( )
3.2.1 指数概念的扩充
§3.2指数扩充及其运算性质教学分析我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幂的概念和运算性质．从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数．进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂．本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图像研究指数函数的性质)等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持．三维目标1．通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质．掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质．培养学生观察分析、抽象类比的能力．2．掌握根式与分数指数幂的互化，渗透“转化”的数学思想．通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理．3．能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力．4．通过训练及点评，让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质．展示函数图像，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美．重点难点教学重点：(1)分数指数幂和根式概念的理解．(2)掌握并运用分数指数幂的运算性质．(3)运用有理指数幂性质进行化简、求值．教学难点：(1)分数指数幂及根式概念的理解．(2)有理指数幂性质的灵活应用．课时安排2课时§3.2.1 指数概念的扩充导入新课思路1.碳14测年法．原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14，并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织，先为植物吸收，再为动物吸收，只要植物和动物生存着，它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平．而当有机体死亡后，即会停止吸收碳14，其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失．对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量，便可推断其年代(半衰期：经过一定的时间，变为原来的一半)．引出本节课题：指数概念的扩充．新知探究提出问题学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质，仔细观察，特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系，教师引导学生体会方根的意义，用方根的意义加以解释，指点启发学生类比(2)的规律表示，借鉴(2)(3)，我们把具体推广到一般，对写正确的同学及时表扬，其他学生鼓励提示．讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：a n＝a·a·a·…·a，a0＝1(a≠0)；00无意义；a－n＝1a n(a≠0)；a m·a n＝a m＋n；(a m)n＝a mn；(a n)m＝a mn；(ab)n＝a n b n.其中n，m∈N＋. (2)①a2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2105a =，②a 8＝82a，③124a，④102a =结果的a的指数是2,4,3,5分别写成了105，82，124，102，形式上变了，本质没变．根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式(分数指数幂形式)．(3)利用(2)的规律，453＝345，375＝537，5a 7＝75a ，nx m＝m n x .(4)53的四次方根是345，75的三次方根是537，a 7的五次方根是75a ，x m的n 次方根是m nx . 结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的．(5)如果a ＞0，那么a m的n 次方根可表示为na m＝m n a ，即m na ＝na m(a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)．综上所述，我们得到正数的正分数指数幂的意义，教师板书： 规定：正数的正分数指数幂的意义是m na ＝na m(a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)． 提出问题①负整数指数幂的意义是怎样规定的？ ②你能得出负分数指数幂的意义吗？③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义？ ④综合上述，如何规定分数指数幂的意义？⑤分数指数幂的意义中，为什么规定a ＞0？去掉这个规定会产生什么样的后果？ ⑥既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢？活动：学生回想初中学习的情形，结合自己的学习体会回答，根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比，把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来，与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质，教师在黑板上板书，学生合作交流，以具体的实例说明a ＞0的必要性，教师及时作出评价．讨论结果：①负整数指数幂的意义是：a －n＝1an (a ≠0，n ∈N ＋)．②既然负整数指数幂的意义是这样规定的，类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义．规定：正数的负分数指数幂的意义是1m nm naa-==a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)．③规定：零的分数指数幂的意义是：零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．④教师板书分数指数幂的意义．分数指数幂的意义就是：有时我们把正分数指数幂写成根式，即m na =a ＞0，m ，n ∈N ＋)，正数的正分数指数幂的意义是m na=(a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)，正数的负分数指数幂的意义是1m nm naa-==(a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．⑤若没有a ＞0这个条件会怎样呢？如13(1)-=1，26(1)-＝6－2＝1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果，这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的．因此在把根式化成分数指数时，切记要使底数大于零，如无a ＞0的条件，比如式子3a 2＝23a ，同时负数开奇次方是有意义的，负数开奇次方时，应把负号移到根式的外边，然后再按规定化成分数指数幂，也就是说，负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数，而不是负数，负数只是出现在指数上．⑥规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数． 有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r ，s ，均有下面的运算性质：(1)a r ·a s ＝a r ＋s(a ＞0，r ，s ∈Q )，(2)(a r )s ＝a rs(a ＞0，r ，s ∈Q )，(3)(a ·b )r ＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈Q )．我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题，来看下面的例题．应用示例例1 求值：(1)238；(2)1225-；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5；(4)341681-⎛⎫ ⎪⎝⎭.活动：教师引导学生考虑解题的方法，利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式，根据题目要求，把底数写成幂的形式，8写成23,25写成52，12写成2－1，1681写成(23)4，利用有理数幂的运算性质可以解答，完成后，把自己的答案用投影仪展示出来．解：(1)238＝233(2)＝2332⨯＝22＝4； (2)1225-＝122(5)-＝1225⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭＝5－1＝15；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5＝(2－1)－5＝2－1×(－5)＝32； (4)341681-⎛⎫⎪⎝⎭＝34423⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＝278.点评：本例主要考查幂值运算，要按规定来解．在进行幂值运算时，要首先考虑转化为指数运算，而不是首先转化为熟悉的根式运算，如238＝382＝364＝4.例2 用分数指数幂的形式表示下列各式的b .(1)b 5＝32；(2)b 4＝35；(3)b －5n ＝π3m(m ，n ∈N ＋)．活动：学生观察、思考，根据解题的顺序，先化为根式，把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，根式化为分数指数幂时，要由里往外依次进行，把握好运算性质和顺序，学生讨论交流自己的解题步骤，教师评价学生的解题情况，鼓励学生注意总结．解：(1)b ＝532＝1532；(2)b ＝435＝543；(3)b ＝－5nπ3m＝35m nπ-(m ，n ∈N ＋)． 点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先化为根式，再把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算．对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能既有分数指数又有根式，也不能既有分母又有负指数．例3 计算下列各式：(1)1327； (2)324.活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，根据方根的意义来解．解：(1)因为33＝27，所以1327＝3；(2)因为82＝43，所以324＝8.变式训练求值：(1)33·33·63；(2)6⎝⎛⎭⎪⎫27m3125n64.解：(1)33·33·63＝3·123·133·163＝11112363+++＝32＝9；(2)6⎝⎛⎭⎪⎫27m3125n64＝44333666362731255m mn n⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝443366443666(3)()(5)()mn＝9m225n4＝925m2n－4.例4 计算下列各式：(1)(325－125)÷425；(2)a2a·3a2(a＞0)．活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，化为同底．利用分数指数幂计算，在第(1)小题中，只含有根式，且不是同次根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，第(2)小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算，最后写出解答．解：(1)原式＝(113225125-)÷1425＝(233255-)÷125＝21325-－31225-＝165－5＝65－5；(2)a2a·3a2＝22132aa a⋅＝1252236a a--==课堂练习：P66课堂小结：教师，本节课同学们有哪些收获？请把你的学习收获记录在你的笔记本上，同学们之间相互交流．同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点：(1)分数指数幂的意义就是：正数的正分数指数幂的意义是mna＝na m(a＞0，m，n∈N＋，n＞1)，正数的负分数指数幂的意义是1mnmnaa-=＝1na m(a＞0，m，n∈N＋，n＞1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．(2)规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数．(3)有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r，s，均有下面的运算性质：①a r·a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)，②(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)，③(a·b)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．(4)说明两点：①分数指数幂的意义是一种规定，我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性，其中没有推出关系．②整数指数幂的运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用．因而分数指数幂与根式可以互化，也可以利用()m mnn n na a⨯=＝a m来计算．课后作业：P68习题3—2 A组1,2,3,4.。
高中数学北师大版必修一 3.2.1-2指数概念的扩充、指数运算的性质 课件(33张)
【解析】 (1) －23＝－2； 4 4 (2) －32＝ 32＝ 3； 8 (3) 3－π8＝|3－π|＝π－3； (4)原式＝ x－y2＋y－x＝|x－y|＋y－x. 当 x≥y 时，原式＝x－y＋y－x＝0； 当 x<y 时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x)． 0，x≥y， 所以原式＝ 2y－x，x<y.
2．1 指数概念的扩充 2．2 指数运算的性质
【课标要求】 1.理解分数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义. ]2.掌握分数指数幂与根式的互化. 3.掌握幂的运算性质. 4.能熟练地运用性质进行化简或求值．
自主学习 |新知预习| 1．分数指数幂 (1)定义：给定正实数 a，对于任意给定的整数 m，n(m，n 互素)， m n m 存在唯一的正实数 b，使得 b ＝a ，我们把 b 叫作 a 的 次幂，记作 b n ＝a .
n 【思路点拨】 根式与分数指数幂互化的依据是 a ＝ am(a>0， m，n∈N＋，且 n>1)．当所求根式含有多重根号时，由里向外用分数指 数幂写出，然后再利用运算性质化简．
m n
【解析】 (1)－ x＝－x 6
2
1 2 6 1 3
1 2
(x>0)；
3 4 1 －3 4
4 1 y ＝(|y| ) ＝－y (y<0)；x ＝(x ) ＝ x 3(x>0)； 1 3 1 1 1 x 3 ＝x 3 ＝ x(x≠0)．故选 C.
m n
(2)意义：
2.无理数指数幂 无理数指数幂 aα(a>0，α 是无理数)是一个确定的正实数． 3．指数运算性质： 当 a>0，b>0 时，对任意实数 m，n 满足以下三条运算性质： (1)am· an＝am＋n. (2)(am)n＝amn. (3)(ab)n＝anbn.
北师大版高中数学必修1第三章《指数概念的扩充》参考课件
n
a bn
n
a bn
2a n是奇数 2a n是偶数
5、化简
3 2 5 12 3 2 2
6、求值
2 2 2 2x 2
【小结】
⑴. 当n为任意正整数时，( n a )n=a;
⑵. 当n为奇数时，n an =a；
当n为偶数时，n
an
a(a =|a|= a(a
当n 是偶数时，正数a的n次方根用符号± n a表示.
式子 n a 叫做根式，其中 n叫做根指数，a叫做被开方数
【练一练】 1、填空：
(1) 27的3次方根表示为
，
(2) －32的5次方根表示为
,
(3) a6的3次方根表示为
；
(4) 16的4次方根表示为
，
概念的理解
（1）25的平方根是________ （2）27的立方根是________ （3）--32的五次方根是_____ （4）16的四次方根是_______ （5）a6的三次方根是________ （6）0的七次方根是_______
底数不能等于0的规定. 【练一练】 1. 回答下列各题（口答）：
① a2·a3= a5
② (b4)2= b8
③ (m ·n)3=m. 3 ×n3
【想一想】
1.如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的 平方根 ；
2.如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的 立方根 .
例如，若32=9，则3是9的 平方根 ； 若53=125，则5是125的 立方根 .
(4) (ab)2 |a-b| =a-b(a>b)
3.化简下列各式：
⑴ 5 32
⑵ (3)4
⑶ ( 2 3)2
2020-2021学年北师大版必修1 第三章2.1 指数概念的扩充 课件(26张)
分数指数幂的求值 求值：(1)62543；(2)4－32；(3)1861－14. 【解】 (1)62543＝[(25)2]43＝54×34＝53 ＝125. (2)4－23＝(22)－23＝2－3＝213＝18. (3)1861－14＝234×－14＝32.
把 a±mn(m，n 互素且 n>1)化为(cn)±mn形式再计算求值．
义的条件)：
(1)底数 a 必须为正数，即 a>0；
m
(2)an及
a－mn 中的
m，n
均为整数，且
n>1.
1.把下列各式中的 b(b>0)写成负分数指数幂的形 式： (1)b－5＝32；(2)bห้องสมุดไป่ตู้4＝35.
解：根据分数指数幂的概念知 (1)b＝32－15＝(25)－15＝2－1. (2)b＝3－54.
化简： 3 （1＋ 2）3＋4 （1－ 2）4. 【解】 3 （1＋ 2）3＋4 （1－ 2）4＝(1＋ 2)＋|1－ 2|＝1 ＋ 2＋ 2－1＝2 2.
本题易出现 4 （1－ 2）4＝1－ 2而致误失分，此类问题要注 意分数指数幂定义中两个限制条件．
1．若 x5＝7，则 x＝( )
A．－5 7
B．5 7
C．±5 7
D．不确定
解析：选 B.由分数指数幂的定义得 x＝715＝5 7.
2．式子 912－70 的值等于( )
A．－4
B．－10
C．2
D．3
解析：选 C.912－70＝32×21－1＝3－1＝2.
3．若 a＝3 （3－π）3，b＝4 （2－π）4，则 a＋b 的值为( )
A．1
B．5
2.求值：(1)64－21；(2)823；(3)125－31. 解：(1)64－12＝82×(－12)＝8－1＝18. (2)832＝23×32＝22＝4. (3)125－31＝53×(－13)＝5－1＝15.
数学：3.2.1《指数概念的扩充》课件(北师大版必修1)
练习
1.计算 :
5 3 1 ; 25 ; ; 2 2 . 4 ; 8 ; 81 ; 2 3 1 2 1 3 1 4 1 3 3 2 0 3 5 4 3
2.计算
1 2
1a
a a ;
扩充
有理数指数幂
例7 把下列各式中的b写成负分数指数幂的形式
1b5 32;
解
2b4 35 ;
3b2n 3m m, n N .
1 5 5 4
1b 32 2b 3
;
3b
3m 2n
m, n N
例8 计算
18
3 1 3
1 4
5 4
1 2 x y 3
1 2 1 3
6
8a 3 27b 6 ;
5 1 2 3 3 . 42 x x 3 x 2
练习
3.计算 1 1 3 1216 341 ; 3 125 4 3 0 2 4.8 3 9 8
分数指数幂
想一想
在§1的问题2,关于臭氧含量Q与时间t的 函数关系,只讨论了自变量是正整数的情 况,如果时间t是半年,或15年零3个月,此 时自变量不是一个整数,而是分数,那么此 时平方根； x叫做a的立方根。 问题1：在正整数指数幂的运算bn=a中，已 知正实数a和正整数n，如何求b？
2
3 2 2
1 2 8
3
16 3 81
2 3
3 4 4
2 27 3
3
例10 计算下列各式(式中字母都是正数),并 把结果化为只含正有理数指数的形式
北师大版2017高中数学(必修一)第3章 2.1指数概念的扩充PPT课件
命题方向 3 ⇨求指数幂
m an
－
的值
1 2 2 ；(2)83
计算：(1)64
；(3)125
－
1 3
. 导学号 00814574
[思路分析] 将分数指数幂化为根式，再求值．
[规范解答]
2 (2)83
(1)64
2
－
1 2
1 1 ＝ ＝ ； 64 8
＝ 8 ＝ 64＝4；
－
3
3
(3)125
1 3
＝
1 3 125
m an
＝
〔跟踪练习 2〕 导学号 00814573 下列是根式的化成分数指数幂，是分数指数幂的化成根式的形式： (1)5
－
4 3
；(2) a· a(a≥0)．
－
[解析] (1)5
4 3
＝ 4 ＝ ＝ . 3 4 3 53 5 5 5
1 )2
1
1
1
(2) a
1 a＝(aa2
3 1 3 ＝(a2 )2 ＝a4 .
一般地，当 a>0，α 为任意实数值时，实数指数幂 aα 都有意义．
2．n次方根的性质
3 1．将 52 写成根式，正确的是 导学号 00814566 ( D )
A． 5
3
2
B．
3
5
5 3 C． 2
D． 53
[解析] 由分数指数幂与根式的互化可知 D 正确．
2．b4＝3(b>0)，则 b 等于 导学号 00814567 ( B ) A．3
－2
4． (2017· 海口月考)某种细菌的长约为 0.0000018 米，用科学记数法表示为
1.8×10－6 导学号 00814569 __________.
高中数学：《正整数指数函数与指数概念的扩充》课件
求 4x2 4x 1 2 x 2
第七页，编辑于星期一：点 四十四分。
练习2
• P75:1,2 • P78:1,2,3,4 • P81:1,2,3
第八页，编辑于星期一：点 四十四分。
练习3
已知a=(2+ 3 )-1
求
1、(a3
b3)
1 2
2、a-b
第一页，编辑于星期一：点 四十四分。
?
1、某种细胞分裂时，由一个分为2个，2个分 为4个，……一直分下去。
（1）列表表示1个细胞分裂次数分别是1，2， 3，4，5，6，7，8时，得到的细胞个数。
（2）用图像表示1个细胞分裂次数n(n∈N+)与 得到的细胞个数y之间的关系。
(3)写出y与n之间的关系式，试用科学计算器计 算细胞分裂15、20次得到的细胞个数。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m
an
n
am
• 幂的运算性质p72
a ·负分数指数
m n
1
1
·无理数指数p79
m
an
n am
0n=0,n为正无理数
第五页，编辑于星期一：点 四十四分。
例题
1. 求下列各式的值:
3 (3)3
4 (10)4
3 (3 )6
a2 2ab b2
第六页，编辑于星期一：点 四十四分。
例题
2. 若 9a2 6a 1 3a 1
第二页，编辑于星期一：点 四十四分。
2、电冰箱使用的氟化物的释放破坏了大
气上层的臭氧层。臭氧含量Q近似满足
Q=Q0 × 0.9975t,其中Q0是臭氧的初始量，t 是时间(年)。设Q0 =1. (1)计算经过20，40，60，80，100年，臭
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把整数指数幂 扩充 分数指数幂
x 2 a x叫做a的平方根； x3 a x叫做a的立方根。
问题1：在正整数指数幂的运算bn=a中， 已知正实数a和正整数n，如何求b？
x2 9, x ? 只有唯一的正数3, 使得32 9
1
1
把3记作92 ,即3 92.
x5 32, x ? 只有唯一的正数2, 使得25 32
101.4,101.41,101.414,101.414 2,101.414 21,...
把用10做底数, 2 的过剩近似值做指数的各个幂,
排成由大到小的一列数
101.5,101.42,101.415,101.414 3,101.414 22,...
再将两者进行排列
101.4 101.41 101.414 101.414 2 10 2 101.4143 101.415 101.42 101.5
如果 2 的近似值精确度越高,即越来越逼近 2
时, 10 的值会是越趋近一个数10 2
10 2 是一个实数 10 2 25.954 553 519 5
1
2 , 1
3
,3
都是实数
10 2
对于任意的实数α
1
1和a
1 a
a
0
这样就把指数扩大为全体实数了，值得注意 的是，指数幂a 中，a一定大于零，a 也大
1
解 1b 32 5 ;
5
2b 34 ;
3m
3b 5n ;
例题讲解
例6 计算
1
127 3 ;
3
44 2.
1
解 1因为33 27,所以27 3 3;
3
2因为82 43,所以42 8;
提升总结:
正分数指数幂的根式形式：
m
a n n am
写一写
1
2
（1）82 _8_ （2）27 3 3__2722 32 5
一般地，给定正实数a,对于任意给定的正
整数n,存在唯一的正实数b,使得bn=a,我们
把b叫作a的 1次幂，记作b= 1
n
an
说一说
b2 4
b3 17
x5 25
b叫做4的1 次幂
2
b叫做17的1 次幂
3
x叫做25的
1 5
次幂
问题2：在bn= am中，已知正实数a和正整数m,n， 如何求b？
概念后，指数概念就实现了由整数指数幂向有理数
指数幂的扩充．
想一想
1.
a
m n
是mn 个
a
相乘吗？
m
提示：分数指数幂a n
不是mn 个
a
相乘，实质
上是关于 b 的方程 bn＝am 的解．
例题讲解
例5 把下列各式中的b写成正分数指数幂的形式.
(1)b5 32; (2)b4 35; (3)b5n 3m m, n N ;
一般地，给定正实数a,对于任意给定的正
整使数得mbn,=na,(mm,我,n们互把素）b叫存作在a唯的一m 的次正幂实，数记b,
作
n
m
ban
它就是正分数指数幂。
说一说
b3 52
x5 254
43 82
2
b叫做5的 次幂
3
b叫做25的 4次幂 5
4叫做8的 2次幂 3
由于有理数分为整数和分数，则引入分数指数幂的
3
5
（3） 42 _4_3 （4）27 3 3_2_75
5
2
（5） a5 _a_2 （6）3 m2 _m_3
想一想
(n a)n 与n an(n∈N＋，n＞1)相同吗？
提示：不同(n a)n＝a.
式子 n an(n∈N＋，且 n＞1)对任意的 a∈R 都
有意义，当 n 是奇数时n an＝a；当 n 是偶数
可以知道
2 不足相近似值
1.4 1.41 1.414 1.414 2 2
1.414 3 1.415 1.412 1.5 2 过剩近似值
如果按这样做下去会有什么结果出现?
越来越逼近 2
借助于科学计算器，可以得到下表
把用10做底数, 2 的不足近似值做指数的各个幂,
排成由小到大的一列数
1.理解分数指数幂的概念;(重点） 2.掌握分数指数幂和根式之间的互化；（难点） 3.培养学生观察、分析、抽象概括的能力，渗透转化 的数学思想.
复习
整数指数幂
a n a•a••an N
n个a
a0 1(a 0)
an
1 an
a
0,
n
N
想一想
在§1的问题2,关于臭氧含量Q与时间t的函 数关系,只讨论了自变量是正整数的情况, 如果时间t是半年,或15年零3个月,此时自 变量不是一个整数,而是分数,那么此时情 况又怎样呢?
时， n an＝|a|＝－ a，a， a≥a＜ 0 0 .
如 3 (3)3 3
(3)2 3
易错一：忽略n的范围导致式子 n an 化简出错
例：3 (1 2)3 4 (1 2)4
正数的负分数指数幂
规定
m
a n
1
m
a
0, m, n
N , 且n
1
an
0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂无意义.
于零。
算一算，把下面式子化为正实数指数幂的形式
1- 2 ;
10- 2 ;
1
-
2
.
2
课堂练习
P69练习B组
例：下列关系式中，根式与分数指
数幂的互化正确的是（）
x
1
x2
(x
0)
1
6 y 2 y 3 ( y 0)
实数指数幂
指数已经扩充为可以是任意的整数和分数 了，也就是可以是任意的有理数了，那么 指数还可以扩充为任意的无理数吗？
10 2 无理数指数幂.
2 1.414 213 562 373 095 048 801 688 724 210