2013年全国大学生高教杯数学建模C题古塔变形论文

2013年全国大学生高教杯数学建模C题古塔变形论文

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模

竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建

模竞赛网站下载）。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮

件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的

问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的

成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表

述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行

公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发

表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：长春工业大学

参赛队员 (打印并签名) ：1. 武太彬

2. 贾光辉

3. 牛文正

指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：李纯净

（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以

上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被

取消评奖资格。）

日期： 2013 年 9 月_16_日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编

号）：

古塔的变形

摘要

本文对古塔的变形问题建立数学模型，它实质上是一个空间解析几何问题。首先建立空间解析几何模型，并利用这个模型对问题1进行求解，然后对模型进行数据处理和图形分析，精确地给出了中心位置坐标；之后对于问题2，在问题1的基础上我们计算出中心坐标的拟合直线，计算出曲率的值；最后对于问题3，运用AR自回归模型给出古塔的变形趋势。

在问题1中，通过分析这四年古塔的每一层中的8 个离散点，运用MATLAB 数学软件建立观测数据模拟图，依据此图作出每一层相应散点的投影平面，经过计算基本近似正八边形，得出正八边形的中心，并运用空间直线拟合模型，求出古塔的一条轴心拟合直线；并且运用空间平面拟合模型，求出每一层的8个散点拟合的平面，那么直线与每一平面相交的点，即为每一层的中心坐标，以所求第一层中心坐标为例，1986年第一层中心坐标为(566.6616,522.6994,1.9738)，1996年第一层中心坐标为(566.662,522.6992,2.0117)，2009年第一层中心坐标为(566.6588,522.7012,1.7033)，2011年第一层中心坐标(566.6587,522.7012,1.7018)，其它（算上塔尖）14层见正文表5。

在问题2中，首先运用MATLAB软件画出每一年的俯视图，即各年的平面图，可以看出这四年的古塔是逐渐倾斜和弯曲的，且在第五层开始发生了扭曲。建立曲率数学模型，运用软件求解出相应的曲率值18.27。

在问题3中，首先建立带季节项的AR自回归模型，运用问题2中所求的曲率作为自变量，代入到模型中，运用时间序列分析的统计软件SPSS，得出古塔变形的趋势，即随年代的增长，古塔的倾斜和弯曲将更加严重，且在第五层由于空间中心的改变，将更加扭曲。

在本文最后，对模型的优缺点及改进之处进行分析。

关键词：空间解析几何最小二乘法拟合曲率AR预测模型MATLAB7.0软件

1问题的重述与分析

由于许多外在原因，古塔会产生各种变形，倾斜，弯曲，扭曲等。为了了解各种变形量，测绘公司先后于1986年7月，1996年8月，2009年3月和2011年3月对该塔进行了四次观测。讨论3个问题，

问题1，给出确定古塔各层中心位置的通用方法，列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。本文首先对古塔的变形情况进行分析，可以获取位置信息，且只有四次的观测数据信息。建立适当的坐标系，先研究一层塔的八个点的投影所得的八个点的坐标点，然后再确定各中心的坐标，从而找到各层的中心点，可以拟合成一条直线。并且运用空间拟合平面模型，求出每一层的8个散点拟合的平面，那么直线与每一平面相交的点，即为每一层的中心坐标[1,2]。

问题2，分析该塔倾斜，弯曲，扭曲等变形情况。首先运用MATLAB 软件画出每一年的俯视图，即各年的平面图，可以看出四年的古塔是倾斜还是弯曲或是扭曲，建立相应的数学模型。

问题3，分析该塔的变形趋势。首先建立带季节项的AR 自回归模型，运用问题2中所求的结果作为自变量，代入到模型中，得出古塔变形的趋势。

2 基本假设

1. 观测的数据准确；

2. 以古塔的地面为水平面；

3. 假设人在观测时是围绕塔的中心进行八个不同的方面进行大量的测量；

4. 两点的距离作到小数点后百分位即为等长，后面忽略；

5. 不考虑异常点；

3 符号说明

0:x 已知每个点的横坐标； 0:y 已知每个点的纵坐标； 0:z 已知每个点的竖坐标；

,,,:a b c d 直线方程的待估系数；

,,:m n p 空间直线的对应,,x y z 的方向向量；

,a b θθ：分别是边12a a -和边12b b -由其原始位置旋转的角度；

W T : 变化率；

4 模型的建立与求解

4.1 问题1的求解

首先根据已知每一年数据中的每一层的8个散点坐标(,,)i j k x y z 运用MATLAB 软件，得到如下每年观测数据的模拟图。

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1986年观测数据模拟图

图1 1986年观测数据模拟图

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1996年数据观测数据模拟图

图2 1996年观测数据模拟图

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2009年观测数据模拟图