专题：立体几何

复习专题：立体几何 空间几何体的体积

1.

了解球、

棱柱、棱锥、台体积的计算公式

2. 会求一些简单的组合体、不规则几何体的体积

例题1 如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，D 为BC 的中点，则三棱锥A －B 1DC 1的体积为（ ）

A. 3

B.

32

C. 1

D.

答案：C

解析：如题图，因为△ABC 是正三角形， 且D 为BC 中点，则AD ⊥BC 。

又因为BB 1⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，

故BB 1⊥AD ，且BB 1∩BC ＝B ，BB 1，BC ⊂平面BCC 1B 1， 所以AD ⊥平面BCC 1B 1，

所以AD 是三棱锥A －B 1DC 1的高。 所以11A B DC V 三棱锥－＝1

3

1B BC s △·AD ＝

1

3

1 总结提升：求规则几何体的体积，关键在求底面积和体高，然后代公式求解即可。斜棱柱要注意体高和斜高的区别。

例题2 如图所示，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱和底面边长都是a ，截面AB 1C 和A 1BC 1

相交于DE ，求三棱锥B-B 1DE 的体积。

解：∵V 三棱锥B-B1DE =V 三棱锥B1-BDE ，又在ΔA 1BC 1中，D ，E 分别是A 1B ，BC 1的中点，

∴11

1

//,2DE AC 111111

14B BDE BDE A BC B A BC V S V S -∆∆-∴==三棱锥三棱锥。

又111111

23

1,3B A BC B A B C V V a --==

⋅=三棱锥三棱锥

13

,B BDE V -∴=

三棱锥

即1

348

B B DE

V a -=三棱锥。 总结提升：

三棱锥是最简单的几何体，它的每一个顶点均可作为该三棱锥的顶点，每一个面均可作为棱锥的底面，因此要多角度观察图形，适当进行等积变换，可简化求解过程。

例题3 如图，在△ABC 中，AB ＝8，BC ＝10，AC ＝6，DB ⊥平面ABC ，且AE ∥FC ∥BD ，BD ＝3，FC ＝4，AE ＝5. 求此几何体的体积。

解法1： 如图，取CM ＝AN ＝BD ，连接DM ，MN ，DN ，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥。

则V 几何体＝V 三棱柱＋V 四棱锥。

由题知三棱柱ABC －NDM 的体积为V 1＝1

2

×8×6×3＝72。 四棱锥D －MNEF 的体积为

V 2＝

13×S 梯形MNEF ×DN ＝1

3

×12×（1＋2）×6×8＝24， 则几何体的体积为V ＝V 1＋V 2＝72＋24＝96.

解法2：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA ′＝BB ′＝CC ′＝8，所以V 几何体

＝

12V 三棱柱＝12×S △ABC ×

AA ′＝12

×24×8＝96。

总结提升：常用的求几何体体积的方法 （1）公式法：直接代入公式求解。

（2）等积法：例如，四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可。

（3）补形法：对几何体补成易求体积的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等。

（4）分割法：将几何体分割成易求出体积的几部分，分别求体积。

1. 求组合体的体积，要根据相应情况把它分解成柱、锥、台体等后分别求体积，然后求代数和。

2. 不规则几何体常通过分割或补形转化为规则几何体来求面积或体积。

（答题时间：30分钟）

一、选择题

1. 已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2π的正方形，则这个圆柱的体积是（ ） A. 2

2π

B. 2

π

C.

2

2

π D.

2

3

π

2. 设正六棱锥的底面边长为1 ）

A. B.

C. D. 2

3. 已知圆台上、下底面的面积分别为π，4π，侧面积为6π，则这个圆台的体积为（ ）.

A. 14π

B.

143

π

C.

D.

二、填空题

4. 如图所示，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水。若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ，则

R

r

＝________。

5. 一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________。

1. 答案：A

解析：底面圆周长22l r ππ==，1r =，2S r ππ==所以222V Sh πππ==⨯= 故选：A 2. 答案：B

解析：由底面边长为12h ==。

又因为底面积162S =⨯=所以正六棱锥体积11233V Sh === 故选B 。 3. 答案：C

解析：依题意知圆台上底面半径为1r =，下底面半径为2R =，

12)6S l ππ=+=圆台侧（，解得l =2。

所以高h =

圆台的体积221()3V h r rR R π=++= 故选C 。

4. 答案：3

解析：由水面高度升高r ，得圆柱体积增加了πR 2r ，恰好是半径为r 的实心铁球的体积，因此有

43πr 3＝πR 2r 。故R r ＝23

。 5. 答案：12

解析：设六棱锥的高为h ，则V ＝1

3

Sh ，

所以

13×4×6h ＝，解得h ＝1。 设六棱锥的斜高为h ′，

则h 22＝h ′2，故h ′＝2。

所以该六棱锥的侧面积为1622122

⨯⨯⨯=。