苏教版学高中数学必修一函数函数的奇偶性讲义

学习目标核心素养１．了解函数奇偶性的定义及奇偶函数的图象特征.２．会判断函数的奇偶性．（重点）３．掌握函数奇偶性的运用．（难点）通过学习本节内容培养学生的直观想象和逻辑推理核心素养，提升学生的数学运算核心素养.１．偶函数一般地，设函数y＝f（x）的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f（—x）＝f（x），那么称函数y＝f（x）是偶函数．２．奇函数一般地，设函数y＝f（x）的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f（—x）＝—f（x），那么称函数y＝f（x）是奇函数．３．奇偶性如果函数f（x）是奇函数或偶函数，我们就说函数f（x）具有奇偶性．４．奇、偶函数的图象性质（１）偶函数的图象关于y轴对称，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数．（２）奇函数的图象关于原点对称，图象关于原点对称的函数一定是奇函数．１．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）函数f（x）＝x的图象关于（0,0）对称．（）（２）偶函数的图象一定与y轴相交．（）（３）若对函数f（x）有f（—１）＝f（１），则f（x）为偶函数．（）（４）奇函数的图象一定过（0,0）．（）[答案] （１）√（２）×（３）×（４）×２．若f（x）是定义在区间[a—２,５]上的奇函数，则a＝________.—３[易知a—２＋５＝0，∴a＝—３．]３．已知f（x）＝ax３＋bx—４，其中a，b为常数，若f（—２）＝２，则f（２）的值等于________．—１0 [f（—２）＝２，∴—8a—２b—４＝２，∴8a＋２b＝—6，∴f（２）＝8a＋２b—４＝—１0．]函数奇偶性的判断【例１】（１）若函数f（x）的图象如图，则f（x）为________函数．（填“奇”或“偶”或“非奇非偶”）（２）判断下列函数的奇偶性．１f（x）＝错误!；２f（x）＝错误!＋错误!；３f（x）＝错误!＋错误!.思路点拨：（１）观察图象的对称性．（２）利用奇偶性的定义，先确定定义域，再看f（x）与f（—x）的关系．（１）偶[因为函数的图象关于y轴对称，所以函数是偶函数．]（２）[解]１因为函数的定义域为（—∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称．又f（—x）＝错误!＝错误!＝f（x），所以函数f（x）是偶函数．２定义域要求错误!所以—１≤x＜１，所以f（x）的定义域不关于原点对称，所以f（x）是非奇非偶函数．３由错误!得x∈{２，—２}，定义域关于原点对称，且f（±２）＝0，所以f（x）既是奇函数又是偶函数．判断函数奇偶性的方法（１）定义法（２）图象法若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用于选择题中．１．判断下列各函数的奇偶性．（１）f（x）＝（x—２）错误!；（２）f（x）＝错误![解] （１）由错误!≥0，得定义域为[—２,２），关于原点不对称，故f（x）为非奇非偶函数．（２）当x<—１时，f（x）＝x＋２，—x>１，∴f（—x）＝—（—x）＋２＝x＋２＝f（x）；当x>１时，f（x）＝—x＋２，—x<—１，f（—x）＝—x＋２＝f（x）；当—１≤x≤１时，f（x）＝0，—１≤—x≤１，f（—x）＝0＝f（x）．∴对定义域内的每个x都有f（—x）＝f（x），因此f（x）是偶函数.已知函数奇偶性求解析式【例２】（１）已知f（x）是R上的奇函数，当x∈（—∞，0）时，f（x）＝—x（１＋x），求f （x）；（２）若函数f（x）＝x２＋（m—１）x＋３（x∈R）是偶函数，求m的值．思路点拨：（１）已知x<0时的解析式，用奇偶性求x>0的解析式，应通过（—x）进行过渡，但别忽视x＝0的情况；（２）应用偶函数满足f（—x）＝f（x）．[解] （１）∵f（x）为R上的奇函数，∴f（—0）＝—f（0），∴f（0）＝0．当x∈（0，＋∞）时，—x∈（—∞，0），∴f（—x）＝x（１—x）．∵f（x）为R上的奇函数，∴—f（x）＝x（１—x），∴f（x）＝—x（１—x）．综上可知，f（x）＝错误!错误!（２）∵f（x）为偶函数，∴f（—x）＝f（x），即x２—（m—１）x＋３＝x２＋（m—１）x＋３，∴２（m—１）x＝0．∵x∈R，∴m—１＝0，得m＝１．１．（变条件）若将（１）中的“奇函数”改为“偶函数且f（0）＝0”，求f（x）．[解] 设x∈（0，＋∞），则—x∈（—∞，0），∴f（—x）＝—（—x）[１＋（—x）]＝x（１—x）．又f（x）为偶函数，∴f（—x）＝f（x），∴f（x）＝x（１—x），x∈（0，＋∞）．∴f（x）＝错误!２．（变条件）若（２）中的“偶函数”改为“奇函数”，求m的值．[解] f（0）＝３，f（0）≠0，无解．１．本题易忽视定义域为R的条件，漏掉x＝0的情形．若函数f（x）的定义域内含0且为奇函数，则必有f（0）＝0．２．利用奇偶性求解析式的思路（１）在待求解析式的区间内设x，则—x在已知解析式的区间内；（２）利用已知区间的解析式进行代入；（３）利用f（x）的奇偶性，求待求区间上的解析式．奇偶函数的单调性１．观察图中的两个图象，说明这两个图象对应的函数具有何种奇偶性？它们在y轴左右两侧的单调性相同吗？由此，我们可以得出的结论是什么？[提示] 两个图象均为奇函数的图象，在y轴左右两侧，函数的单调性相同，可得出结论：奇函数在对称区间上的单调性相同．２．能否证明一下探究１中的结论（不妨以“已知f（x）在[a，b]（a>0）上递增”为例）．[提示] 已知f（x）是奇函数，在区间[a，b]（a>0）上是单调递增的．证明f（x）在区间[—b，—a]上也单调递增．证明：任取x１，x２∈[—b，—a]且x１<x２.则f（x１）—f（x２）＝—f（—x１）—[—f（—x２）]＝f（—x２）—f（—x１），∵—b≤x１<x２≤—a，∴a≤—x２<—x１≤b，由f（x）在[a，b]上单调递增，∴f（—x２）<f（—x１），∴f（—x２）—f（—x１）<0，即f（x１）<f（x２），∴f（x）在区间[—b，—a]上单调递增．３．从图两个偶函数的图象中，能否找出偶函数的图象在对称区间上的关系？[提示] 偶函数的图象在对称区间上单调性相反．【例３】已知函数f（x）是奇函数，其定义域为（—１,１），且在[0,１）上为增函数．若f（a—２）＋f（３—２a）<0，试求a的取值范围．思路点拨：可将f（a—２）＋f（３—２a）<0移项得f（a—２）<—f（３—２a），根据奇偶性和单调性转化为研究a—２与２a—３的大小关系，注意定义域．[解] ∵f（a—２）＋f（３—２a）<0，∴f（a—２）<—f（３—２a）．∵f（x）为奇函数，∴—f（３—２a）＝f（２a—３），∴f（a—２）<f（２a—３）．∵f（x）在[0,１）上为增函数，∴f（x）在（—１,１）上单调递增，∴错误!解得１<a<２．１．函数奇偶性和单调性的关系（１）若f（x）是奇函数，且f（x）在[a，b]上是单调函数，则f（x）在[—b，—a]上也为单调函数，且具有相同的单调性．（２）若f（x）是偶函数，且f（x）在[a，b]上是单调函数，则f（x）在[—b，—a]上也为单调函数，且具有相反的单调性．２．利用单调性和奇偶性解不等式的方法（１）充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f（x１）＞f（x２）或f（x１）＜f（x２）的形式，再利用单调性脱掉“f ”求解．（２）在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响．２．已知定义在[—２,２]上的函数f（x）是偶函数，在[0,２]上单调递增，则满足不等式f（２a—１）>f （１）的a的取值范围是________．错误!∪错误![由f（x）为偶函数，得f（２a—１）＝f（|２a—１|），又f（x）在[0,２]上单调递增，且f（|２a—１|）>f（１），∴|２a—１|>１，故错误!∴１<a≤错误!或—错误!≤a<0．]１．定义域在数轴上关于原点对称是函数y＝f（x）为奇函数或偶函数的一个必要条件，f（—x）＝—f（x）或f（—x）＝f（x）是定义域上的恒等式．２．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f（—x）＝±f（x）⇔f（—x）∓f（x）＝0⇔错误!＝±１（f（x）≠0）．３．（１）若f（x）＝0且y＝f（x）的定义域关于原点对称，则y＝f（x）既是奇函数又是偶函数．（２）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.１．下列函数为奇函数的是（）Ａ．y＝xＢ．y＝２x２—３Ｃ．y＝错误!Ｄ．y＝x３，x∈[0,１]A[A中函数是奇函数；B中函数是偶函数；C、D中函数是非奇非偶函数．]２．已知函数f（x）＝错误!＋３错误!，则f（x）的奇偶性为________．既是奇函数又是偶函数[要使函数有意义，需满足x２—２≥0,２—x２≥0，∴x＝±错误!，此时y＝0，因此函数图象为点错误!，既关于原点对称又关于y轴对称，因此函数既是奇函数又是偶函数．]３．设f（x）是定义在（—∞，＋∞）上的偶函数，且当x≥0时，f（x）＝x３＋１，则当x<0时，f （x）＝________.—x３＋１[当x<0时，—x>0，∴f（—x）＝（—x）３＋１＝—x３＋１，∵f（—x）＝f（x），∴f（x）＝—x３＋１．]４．已知定义在[—２,２]上的奇函数f（x）在[0,２]上单调递增，f（m）＋f（m—１）>0，求实数m的取值范围．[解] ∵f（x）是奇函数，在[0,２]上单调递增，∴f（x）在[—２,２]上都递增．由f（m）＋f（m—１）>0，∴f（m）>—f（m—１）＝f（１—m），由f（x）的单调性知１—m<m，∴错误!⇒错误!<m≤２，∴m的取值范围为错误!.。