概率论与数理统计--第二章

一般的,若I是一个实数集合,{X I}记为事件B
即 B w X (w) I
于是PX I P(B) Pw X (w) I.
随机变量的取值随试验的结果而定，而试验的各个 结果出现有一定的概率，因而随机变量的取值有一 定的概率.
按照随机变量可能取值的情况，可以把它们分为两 类：离散型随机变量和非离散型随机变量，而非离 散型随机变量中最重要的是连续型随机变量.因此， 本章主要研究离散型及连续型随机变量.
0,1, 2,L
.
例 4 为保证设备正常工作，需要配备一些维修工.如果各台设备
发生故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是 0.01.
试求在以下情况下，求设备发生故障而不能及时修理的概率.
(1) 一名维修工负责 20 台设备.
(2) 3 名维修工负责 90 台设备.
(3) 10 名维修工负责 500 台设备.
解 （1）以 X1 表示 20 台设备中同时发生故障的台数， 则 X1 : B(20, 0.01). 用参数为 np 20 0.01 0.2 的 泊松分布作近似计算，得所求概率为
P
X1 1
1 1 0.2k e0.2 1 0.982 0.018. k0 k !
（2）以 X2 表示 90 台设备中同时发生故障的台数，则
第二章 一维随机变量及其分布
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
随机变量 离散型随机变量 随机变量的分布函数 连续型随机变量及其概率密度 随机变量的函数的分布
第一节 随机变量
定义 设X ＝X (w )是定义在样本空间W上的实值函
数，称X ＝X (w )为随机变量.
随机变量通常用大写字母X，Y，Z，W，...等表示．
（1）
分布律也可以直观地用下面的表格来表示：
X x1 x2 xn pk p1 p2 pn
由概率的定义，式（1）中的 pk应满足以下条件：
1。 pk 0, k 1,2, ,
2。
pk 1.
k 1
随机变量X 随的机所变有量取X值的 各个取值所 对应的概率
例1 某系统有两台机器相互独立地运转．设第一台
维修工负责500台设备相当于每个维修工负责50台设备，
工作效率是(2)的1.67倍，是(1)中的2.5倍.
第三节 随机变量的分布函数
定义 设X是一个随机变量，x是任意实数，函数
F(x) PX x
称为X的分布函数
分布函数是一个普通的函数，其定义域是整个 实数轴．
在几何上，它表示随机变量X的取值落在实数 x左边的概率
0.95
0.95
，
15
k 0
10k k！e
10
0.9513
0.95 .
只要在月底进货15件(假定上个月没有存货)，就可
以95%的概率保证这种商品在下个月内不会脱销．
2.二项分布的泊松近似
定理（泊松定理） 在 n 重伯努利试验中，事件 A 在每次试验中发生概率为 pn （注意这与实验的次数
n 有关），如果 n 时， npn （ 0为常数），
与第二台机器发生故障的概率分别为0.1，0.2，以X 表示系统中发生故障的机器数，求X 的分布律．
解 设Ai表示事件“第i台机器发生故障”，i 1,2
P{X 0} P( A1 A2 ) 0.9 0.8 0.72
P{X 1} P(A1 A2 ) P(A1A2 ) 0.1 0.8 0.9 0.2 0.26 P{X 2} P(A1A2 ) 0.1 0.2＝0.02
下图给出样本点w与实数X ＝X (w )对应的示意图
e1
e2
W
e3
x
这个定义表明，随机变量 X是样本点 w 的一个函
数，这个函数可以是不同样本点对应不同的实数， 也允许多个样本点对应同一个实数.这个函数的自变 量（样本点）可以是数，也可以不是数，但因变量 一定是实数.
根据讨论可知，对实验结果 w 本身就是一个数的随
它在X＝－1,0,1处有跳跃 其跳跃值分别为X 取－1,0,1的概率 1 ,1 ,1 .
424
一般地，设离散型随机变量X的分布函数为
PX xk pk， k 1，2，
由概率的可列可加性得X的分布函数为
F(x) pk xk x
分布函数F(x)在x xk , 其跳跃值为pk P{X
对k 所1,有2,满足处x有k 跳 x跃的，k求和。
变量 X 如下：
X
1, 0,
w 合格品； w 不合格品.
例2 一射手对目标进行射击，击中目标记为1分， 未中目标记为0分.设X表示该射手在一次射击中的得 分，它是一个随机变量，可以表示为
1, w 击中； X 0, w 未中.
例3 观察一个电话交换台在一段时间（0，T）内接 到的呼叫次数．如果用X表示呼叫次数， 那么 {X k} (k 0,1,2, )表示一随机事件， 显然 {X k} (k 0,1,2, )也表示一随机事件．
解 由概率的有限可加性 分布函数为：
0
1
F
(
x)
4 3
4
1
x 1 1 x 0
0 x 1 x 1
P0 X 1 P0 X 1 PX 0 F (1) F (0) PX 0
1 3 1 42
3. 4
F ( x)的图形如下图所示
F(x)
1
－1
Ｏ
1
x
分布函数F x的图形是一条阶梯曲线，
售量服从参数为 10的泊松分布．为了以95%以上的
概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商 品多少件？ 解 设商店每月销售该种商品X件，月底的进货量为n件，
按题意要求为 PX n 0.95
由X服附从录的泊1松0的分泊布松表分知布k，140 1则k0！k有e1k0n01k00！k.9e1160 6
X2 : B(90, 0.01). 用参数为 np 90 0.01 0.9 的泊松分布
作近似计算，得所求概率为
P
X2 3
1 3 0.9k e0.9 1 0.987 0.013. k0 k !
注意 此种情况下，不但所求概率比（1）中有所降低， 而且3名维修工负责90台设备相当于每个维修工负责30台 设备，工作效率是（1）中的1.5倍.
xk }
第四节 连续型随机变量及其概率密度
定义 对于随机变量X的分布函数F(x),如果存在非 负函数f (x)，使对于任意实数有
Fx
x
f
t dt
则X称为连续型随机变量，其中函数f (x)称 为X的概率密度函数，简称概率密度.
由定义知道，概率密度f x具有以下性质
映而 上机((13出)式 是变) XX表量对取Pf在明，x于 x点x1概用附x任率概近的X意0密率的概实度密值率x2(数 f度2的分()x描概x布F)1不,述率的xx是 22它大密,fx随的小1集Fx机分．程dxx变1x布因2度,量有比此,1fxXx1分对(2取xf布 )于的值x性两性函连d大x质个质x的数续小(最1概直型)能基,(率2观随本反)是,．的
而取各个值的概率为
PX
k
k e
k！
k 0，1，2， ，其中 0是常数
则称X 服从参数为的泊松分布，记为X ~ ()
显然，P{X k} 0, k 1,2, ,且有
P X k
k 0
k 0
k e
k！
e
k 0
k！k
e
e
1
即P{X k}满足分布律的两个条件
例3 商店的历史销售记录表明，某种商品每月的销
Xx
分布函数具有以下基本性质：
1. 0 F(x) 1
2. F(x)是x的不减函数
3. F() lim F(x) 0，F() lim F(x) 1
x
x
4. F(x 0) F(x) 即F(x)是右连续的
例1 设随机变量X的分布律为
X -1 0 1
pk ¼ ½ ¼
求X的分布函数，并求P0 X 1
机试验，可令 X X w w ，则 X 就是一个随机变量，
例如 掷一颗骰子，出现的点数X是一个随机变量.
电视机的寿命T是一个随机变量.
对于样本点本身不是数的随机试验，这时可根据需 要设计随机变量。
例 1 检验一个产品，只考察其合格与否，则其样本
空间为 W 合格品，不合格品. 这时可设计一个随机
0.002
≥11
< 0.001
作出上表的图形，如下图所示
从上图可以看出，当k增加时，概率P{X k}先是随之增加,直至达到 最大值（k 4），随后单调减少.一般地，对于固定的n及p，二项分布
B(n, p) 都有类似的结果。
（三）泊松分布
1.泊松分布
设随机变量X所有可能取值为0,1, 2,L ，
二项分布
PX
k
n
k
pk qnk
，
k 0，1，2，L ，n
显然 PX k 0
n
P
k 0
X k
n n
k
0
k
pk qnk
(p
q)n
1
即PX k满足分布律的两个条件
注意到
n k
pk
qnk刚好是二项式(
p
q) n的展开式中
出现pk的那一项，故称随机变量X服从参数为n, p的二项分布
记为X ～ B(n, p)
例2 已知某类产品的次品率为0.2，现从一大批这类产 品中随机地抽查20件，问恰好有k (k=0,1,2,…,20)件次品 的概率是多少？
解 这是不放回抽样．但由于这批产品的总数很大，
且抽查的产品的数量相对于产品的总数来说又很小， 因而可以当作放回抽样来处理．这样做会有一些误 差，但误差不大.我们将检查一件产品是否为次品看 成是一次试验，检查20件产品相当于做20重伯努利 试验．以X记抽出的20件产品中次品的件数，那么X
（二） 伯努利试验与二项分布
设试验 E 只有两个可能结果：A 及 A , 则称 E为伯努利
（Bernoulli）试验．设P(A) p (0 p 1) ，此时
P(A) 1 p ,将E 独立重复地进行n次，则称这一串重
复的独立试验为n重伯努利试验.
伯努利试验是一种非常重要的概率模型，它是“在同 样条件下独立地进行重复试验或观察”的一种数学模 型，有着广泛的实际应用．
Hale Waihona Puke Baidu
故所求概率分布为： X 0 1
2
pk 0.72 0.26 0.02
（一）（0－1）分布
设随机变量 X 只可能取0与1两个值，它的分布律是
P{X k} pkq1k , k 0,1 (0 p 1, p q 1)
则称 X 服从（0－1）分布或两点分布．
（0－1）分布的分布律也可写成
抛一枚硬币，观察出
(4) 若f (x)在点x连续，则有F '(x) f (x)
X 落在由区性间(质x1,(x42)]知上,的对概于率f (x)的连续点x有
则对任意给定的非负整数 k，有
lim
n
n k
pnk
1 pn
nk k e .
k!
证明略．
由于泊松定理是在 npn 条件下获得的，故在计算二项分布
Bn, p 时，当 n 很大，p 很小，而乘积 np 大小适中时，
可以用泊松分布作近似，即
n
k
pk
1
p
nk
np k
k!
enp , k
第二节 离散型随机变量
定义 如果随机变量的全部可能取的值只有有限个 或可列无限多个，则称这种随机变量为离散型随机 变量.
一般地，设离散型随机变量 X 所有可能取的值为
xk (k 1,2, )
X 取各个可能值的概率，即事件{X xk }的概率为
P{X xk} pk , k 1, 2,L 称（1）式为离散型随机变量X的分布律 .
是一个随机变量，且X～B(20,0.2)
则所求的概率为
PX
k
20 k
(0.2)k
(0.8)20k
，
k 0，1，L ，20
将计算结果列表如下：
k
PX k
0
0.012
1
0.058
2
0.137
3
0.205
4
0.218
5
0.175
k
PX k
6
0.109
7
0.055
8
0.022
9
0.007
10
现正面H还是反面T，
X0
1
正面X＝0,反面X＝1
pk
q
p
HT
对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元
素，即 W {w1,w2}，我们总能在W上定义一个服从（0
－1）分布的随机变量．
0,
X X (w) 1,
当w w1, 当w w2.
来描述这个随机试验的结果。
检查产品的质量是否合格，对新生婴儿的性别 进行登记，检验种子是否发芽以及前面多次讨 论过的“抛硬币”试验都可以用（0-1）分布的 随机变量来描述．
（3）以 X3 表示 500 台设备中同时发生故障的台数，则
X3 : B(500, 0.01). 用 参 数 为 np 500 0.01 5 的 泊 松 分
布作近似计算，得所求概率为
P
X 3 10
1 10 5k e5 1 0.986 0.014. k0 k !
注意 此种情况下所求概率与(2)中基本上一样，而10名