二四阶拟线性椭圆方程组的弱解存在性

摘要利用变分方法，讨论了二四阶拟线性椭圆方程组对更一般的f、g在较弱的条件下获得弱解的存在性。

关键词拟线性椭圆方程组变分法弱解
Existence of the Weak Solution for Second and Fourth-Order Quasilinear Elliptic Equations／／ＤｉＦａｎｇ
AbstractＵｓｉｎｇｔｈｅｖａｒｉａｔｉｏｎａｌｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｉｓｐａｐｅｒｄｉｓｃｕｓｓｅｄｔｈｅｗｅａｋｓｏｌｕｔｉｏｎｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｓｅｃｏｎｄａｎｄｆｏｕｒｔｈ－ｏｒｄｅｒｑｕａｓｉｌｉｎｅａｒｅｌｌｉｐｔｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｓｔｏｍｏｒｅｇｅｎｅｒａｌｆ，ｇｕｎｄｅｒｔｈｅｗｅａｋｅｒｃｏｎｄｉｔｉｏｎ．Key wordsｔｈｅｖａｒｉａｔｉｏｎａｌｍｅｔｈｏｄ；ｃａｌｃｕｌｕｓｏｆｖａｒｉａｔｉｏｎｓ；ｗｅａｋｓｏｌｕｔｉｏｎ
Author＇s addressＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＲｅｓｅａｒｃｈＣｅｎｔｅｒ，ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＳａｎ－Ｊｉａｎｇ，２１００１２，Ｎａｎｊｉｎｇ，Ｊｉａｎｇｓｕ，Ｃｈｉｎａ
１引言
设Ω为Ｒｎ的有界开子集，本文考虑二四阶拟线性椭圆方程组问题。

－ｄｉｖ（ｇ
１
（｜荦ｕ｜２）荦ｕ）＝ｆ（ｘ，ｕ，ｖ）在Ω中
△（ｇ
２
（（△ｕ）２）△ｕ）＝ｇ（ｘ，ｕ，ｖ）在Ω中
ｕ｜
坠Ω＝ｖ｜
坠Ω
＝△ｖ｜
坠Ω
＝
荦荦荦荦荦荦荦荦荦
荦荦荦荦０
（１．１）
本文的目的是用变分方法，研究二四阶拟线性椭圆方程组问题（１．１）对更一般的函数ｆ、ｇ，在较弱的条件下获得弱解的存在性。

２基本引理
设Ω奂Ｒｎ为有界开子集。

又设Ｈ：Ω×Ｒ→Ｒ为ｃ１类的，（Ｈｕ，Ｈｖ）＝（ｆ，ｇ）且ｆ，ｇ：Ω×Ｒ→Ｒ为Ｃａｒａｔｈｅｏｄｏｒｙ函数，且满足下列条件：
（ｉ）存在ａ，ｂ≥０和ｆ１，ｇ１缀Ｌｑ（Ω）使
｜ｆ（ｘ，ｓ，ｔ）｜≤ａ（｜ｓ｜２＋｜ｔ｜２）ｒ／２＋ｆ１（ｘ），｜ｇ（ｘ，ｓ，ｔ）｜≤ｂ（｜ｓ｜２＋｜ｔ｜２）ｒ／２＋ｇ１（ｘ），ａ．ｅ．ｘ缀Ω，坌ｓ缀Ｒ，这里１≤ｒ＜（ｎ＋２）／（ｎ－２）（ｎ≥３），ｐ＝ｒ＋１和１／ｐ＋１／ｑ＝１。

（ｉｉ）存在λ缀Ｌ∞（Ω）使
ｌｉｍｓｕｐ｜μ｜→∞２Ｆ（ｘ，ｕ，ｖ）
ｕ＋｜ｖ｜
≤λ（ｘ），
ａ．ｅ．ｘ缀Ω，这里Ｆ（ｘ，ｕ）＝
ｕ
０
乙ｆ（ｘ，ｓ）ｄｓ
设ｇ１，ｇ２缀Ｃ（Ｒ，Ｒ），为连续的非减函数。

又设ｇ１和ｇ２满足下列条件：
（ｉｉｉ）存在α１，α２，β１和β２缀Ｒ使
０＜α１≤ｇ１（ｔ）≤β１，０＜α２≤ｇ２（ｔ）≤β２
在上述条件下，通过方法我们给出问题（１．１）的弱解的存在性定理。

给定的开集Ω奂Ｒｎ。

设Ｖ表示Ｈｉｌｂｅｒｔ空间Ｈ１
０
（Ω）×Ｈ（Ω）
∩Ｈ１
０
（Ω），Ｖ上的范数定义为
｜｜（ｕ，ｖ）｜｜２＝
Ω
乙｜荦ｕ｜２＋（△ｖ）２
乙乙ｄｘ（２．１）
设λｋ（ｋ＝１，２，…）表示为特征值问题
△ｕ＋λｕ＝０在Ω中，
ｕ｜
坠Ω
＝
乙
０
（２．２）的特征值，准ｋ（ｋ＝１，２，…）为相应的特征函数（关于Ｌ２（Ｄ）的内积适当规范化）。

其中每一特征值λｋ依重数重复计数，且０＜λ１＜λ２≤λ３≤…，λｋ→∞，φ１（ｘ）＞０，ｘ缀Ω。

△２ｕ＝μｕ在Ω中，
ｕ｜
坠Ω
＝△ｕ｜
坠Ω
＝
乙
０
（２．３）
有无穷多特征值μ
ｋ
＝λ２
ｋ
，ｋ＝１，２，…，
对应特征函数准ｋ（ｘ）．
｛准ｋ｝构成Ｖ的一组正交基，因此，Ｖ的元素（ｕ，ｖ）能表成
ｕ＝
∞
ｋ＝１
Σａｋ准ｋ，ｖ＝∞
ｋ＝１
Σｂｋφｋ，∞
ｋ＝１
Σａ２ｋ＜∞，∞
ｋ＝１
Σｂ２ｋ＜∞，（２．４）用Ｖ＇表示Ｖ的对偶空间，＜，＞表示Ｖ＇与Ｖ之间的对偶积。

定义映像Ｂｇ：Ｖ→Ｖ＇为
＜Ｂ
ｇ
（ｕ，ｖ），（准，ψ）＞＝
Ω
乙［ｇ１（｜荦ｕ｜２）荦ｕ荦准＋ｇ２（（△ｖ）２）△ｕ△ψ］ｄｘ（２．５）坌（ｕ，ｖ），（准，ψ）缀Ｖ．
定义２．１．称ｕ缀Ｖ为问题（１．１）的弱正解，如果下列等式成立
＜Ｂ
ｇ
（ｕ，ｖ），（准，ψ）＞＝
Ω
乙［ｆ（ｘ，ｕ，ｖ）准＋ｇ（ｘ，ｕ，ｖ）ψ］ｄｘ（２．６）坌（准，ψ）缀Ｖ．
下面是本文得到的主要结果：
定理２．１．设α１≤α２，又设（ｉ），（ｉｉ）和（ｉｉｉ）成立．假定在Ω上λ（ｘ）≤α１λ１（１＋λ１），在Ω的正测子集上λ（ｘ）＜α１λ１（１＋λ１）．则问题（１．１）至少有一个弱解。

定理２．２，设α１≥α２又设（ｉ），（ｉｉ）和（ｉｉｉ）成立．假定在Ω上λ（ｘ）≤α２λ１（１＋λ１），在Ω的正测子集上λ（ｘ）＜α２λ１（１＋λ１）．则问题（１．１）至少有一个弱解。

３定理的证明
设Ω奂Ｒｎ为有界开子集，设Ｖ＝Ｈ１
０
（Ω）×Ｈ（Ω）∩Ｈ１
０
（Ω）。

中图分类号：Ｏ１３文献标识码：Ａ文章编号：１６７２－７８９４（２０１２）３３－０１００－０２１００
＜Ｂ
ｇ（ｕ，ｖ），（准，ψ）＞－
Ω
λ（ｘ）［ｕ２＋ｖ２］ｄｘ≥２ε｜｜（ｕ，ｖ）｜｜２（３．１）
坌（ｕ，ｖ）缀Ｖ．
定理２．１的证明设
Ｇ
１（ｐ２）＝１
ｐ２
０
乙ｇ１（ｓ）ｄｓ，Ｇ２（ｐ２）＝１ｐ２０乙ｇ１（ｓ）ｄｓ，
Ｅ（ｕ，ｖ）＝
Ω
乙［Ｇ１（｜荦ｕ｜２）＋Ｇ２（（△ｖ）２）－Ｈ（ｘ，ｕ，ｖ）］ｄｘ（３．２）坌（ｕ，ｖ）缀Ｖ．
记Ｇ（ｕ，ｖ）＝
Ω
乙［Ｇ１（｜荦ｕ｜２）＋Ｇ２（（△ｖ）２）］ｄｘ，易见Ｇ是凸和弱下半连续的，因此，Ｇ弱下半连续的，由定理２．１的证明，我们知道Ｈ軓是弱连续的，于是Ｅ＝Ｇ－Ｈ軓是弱下半连续的。

由（ｉｉｉ）和引理３．１，存在ε＞０使
Ω
乙［Ｇ１（｜荦ｕ｜２）＋Ｇ２（（△ｖ）２）－λ（ｘ）［ｕ２＋ｖ２］／２］ｄｘ
≥１
２Ω
乙［α１｜荦μ｜２α２（△ｖ）２－λ（ｘ）［ｕ２＋ｖ２］／２］ｄｘ
＝１
２Ω
乙α１（｜荦ｕ｜２＋（α２／α１）（△ｖ）２－λ（ｘ）［ｕ２＋ｖ２］／２α１）ｄｘ≥α１ε｜｜（ｕ，ｖ）｜｜２
坌（ｕ，ｖ）缀Ｖ，因而可得
Ｇ（ｕ，ｖ）－
Ω
乙λ（ｘ）［ｕ２＋ｖ２］／２ｄｘ≥α１ε｜｜（ｕ，ｖ）｜｜２（３．３）坌（ｕ，ｖ）缀Ｖ．由（ｉ）和（ｉｉ），存在函ｆ３缀ＬＩ（Ω）使／２＋ｆ３（ｘ）］ｄｘ．
由引理３．１证明和（３．３），我们得到
Ｅ（ｕ，ｖ）≥α１ε
２
｜｜（ｕ，ｖ）｜｜２－
Ω
乙ｆ３（ｘ）ｄｘ，
于是Ｅ在Ｖ强制．由（ｉ），（ｉｉ）和（ｉｉｉ），Ｅ在Ｖ是连续可微的且Ｅ＇（ｕ，ｖ），（准，ψ
軓軓
）＝
Ω
乙［ｇ１（｜荦ｕ｜２）△ｕ△准＋ｇ２（（△ｖ）２）荦ｕ荦ψ－ｆ（ｘ，
ｕ，ｖ）准－ｇ（ｘ，ｕ，ｖ）ψ］ｄｘ＝＜Ｂｇ（ｕ，ｖ），（准，ψ）＞－
Ω
乙［ｆ（ｘ，ｕ，ｖ）准＋ｇ（ｘ，ｕ，ｖ）ψ］ｄｘ．
坌（ｕ，ｖ），（准，ψ）缀Ｖ于是Ｅ有极小点（ｕ，ｖ），Ｅ＇（ｕ，ｖ）＝０。

即（ｕ，ｖ）是
（１．１）的弱解。

参考文献
［１］ＡｎＹＫ．Ｐｅｒｉｏｄｉｃｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｔｅｌｅｇｒａｐｈｗａｖｅｃｏｕｐｌｅｄｓｙｓｔｅｍａｔｎｏｎｒｅｓｏｎａｎｃｅ［Ｊ］．ＮｏｎｌｉｎｅａｒＡｎａｌｙｓｉｓ，２００１，４６：５２５－５３３．
［２］ＡｎＹＫ．Ｍａｘｉｍｕｍｐｒｉｎｃｉｐｌｅｓｆｏｒａｃｏｕｐｌｅｄｓｙｓｔｅｍｏｆｓｅｃｏｎｄａｎｄｆｏｕｒｔｈｏｒｄｅｒｅｌｌｉｐｔｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｓａｎｄａｎａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ［Ｊ］．２００５：１６１，１２１－１２７．
［３］ＴａｒａｎｔｅｌｌｏＧ．Ａｎｏｔｅｏｎａｓｅｍｉｌｉｎｅａｒｅｌｌｉｐｔｉｃｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ］．Ｄｉｆｆ．Ｉｎｔ－ｅｇｒａｌＥｑｎｓ．，１９９２，５：５６１－５６６．
［４］ＭｉｃｈｅｌｅｔｔｉＡＭ，ＰｉｓｔｏｉａＡ．．Ｍｕｌｔｉｐｌｉｃｉｔｙｒｅｓｕｌｔｓｆｏｒａｆｏｕｒｔｈ－ｏｒｄｅｒｓｅｍ－ｉｌｉｎｅａｒｅｌｌｉｐｔｉｃｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ］．ＮｏｎｌｉｎｅａｒＡｎａｌｙｓｉｓ，１９９８，３１：８９５－９０８．
编辑胡俊龙
１０１。