期末复习 章总结 第二章 静电场

b b a a
U 0 = ∫ E1 dl = ∫ E2 dl
第二章 静 电 场 所以
U =∫ U =∫
因而得
b
a
ρ l1 dρ , 1ερ
ρ l1 =
1εU
b 1n a (2π 1 )ε 0U ρl 2 = b 1n a
b
a
ρl 2 dρ , (2π 1 )ε 0 ρ
E1 = E2 = U b ρ1n a
第二章 静 电 场
四、电位梯度
E = φ
第二章 静 电 场 例2 - A 求均匀带电球体产生的电位。
ρ 0a Er = 3ε 0 r 2
3
(r>a)
ρ0r Er = 3ε 0
解： 当r>a时，
(r<a)
= ∫ Er dr = ∫
r
∞
∞
r
ρ 0a ρ 0a dr = 2 3ε 0 r 3ε 0 r
R q' r r ' E (r ) = = 3 4πε 0 R 4πε 0 r r ' 3 q'
E (r ) = E1 + E2 + + E N = ∑
i =1 n
点电荷
N个点电荷
4πε 0 r r ' 3 i
qi
r ri '
分布电荷：电荷分布在一定的区域内，——实际的带电体
第二章 静 电 场
D1n = D2 n
据高斯定理可得
D1ρ = D2 ρ
令内、外导体表面上单位长度电量分别为+ρl、-ρl(C/m), 根
第二章 静 电 场 a＜ρ＜c时,
ρl D1 = ρ (C / m 2 ) 2πρ ρl D1 E1 = = ρ (V / m) ε 2περ
c＜ρ＜b时,
ρl D2 = ρ (C / m 2 ) 2πρ ρl D2 E2 = = ρ (V / m) ε 0 2πεε 0 ρ
第二章 静 电 场 当r＜a时,
4 3 ρv ∫S E1 ds = 4πr E1ar ar = 3 πr ε 0
2
所以
ρv r E1 = ar (V / m) 3ε 0
4 3 ρv 4πr E2 = πa 3 ε0
2
当r＞a时,
所以
ρv a E2 = a (V / m) 2 r 3ε 0 r
（4）分别求出 ）
s ∫ D d，从而求得 D 及 E 。 ∑q
s
i S内
第二章 静 电 场 例1 设有一个半径为a的球体, 其中均匀充满体电荷密度为
ρv(C/m3)的电荷, 球内外的介电常数均为ε0, 如图所示。试求: (1)球 内外的电场强度E;
解 (1) 因为电荷分布为均匀球体, 所以电场有球对称性, 即在与带电球同心, 半径为r的高斯面上, E是常数,方向是 径向, 可以应用高斯定理求距球心r处的电场强度。
2.2 静电场的无旋性与电位函数
一 、静电场的无旋性
∫ E ( r ) dl = 0
l
× E (r ) = 0
第二章 静 电 场 二、电位 电位差
U AB = φ A φB = ∫______ E dl
AmB
若设B点为 参考点 P, 则
φ A (r) = ∫ E dl
A
P
第二章 静 电 场
第二章 静 电 场
U = ∫ E1 dl + ∫ E2 dl = ∫
a c
c
b
c
a
b ρl ρl dρ + ∫ dρ c 2περ 2πε 0 ρ
ρl = 2π
所以
1 c 1 b 1n + 1n ε a ε c 0
2πU ρl = 1 cBaidu Nhomakorabea1 b 1n + 1n ε a ε0 c
(C / m)
q 4 πε
0
RP
若令RP→∞, 则
φ =
q 4 πε
0
R
第二章 静 电 场 (2) n个点电荷电场中的电位: ; 应用叠加原理, 对每个点电荷计算电位, 且均取无穷远处为 参考点, 则可得
n n
φ = ∑φi = ∑
i =1 i =1
4πε 0 Ri
qi
第二章 静 电 场 (3) 体、 面、 线电荷场中的电位: 同样利用叠加原理, 可得 ; 体电荷:
aR
介质中点电荷q的场：
q E (r ) = a 2 R 4πεR
第二章 静 电 场
2.5 泊松方程和拉普拉斯方程
2.5.1 静电场的基本方程
积分形式:
∫ D dS = q ∫ E dl = 0
S l
微分形式： D =
ρ
× E = 0
本构关系:
D = εE
线形、各向同性媒质
第二章 静 电 场
第二章 静 电 场 ［解］ 因为同轴圆柱是轴对称结构, 故只有沿半径ρ方向的电 场。图(a) 结构中, 电场垂直于介质与空气的交界面, 根据两介质交 界面上法向分量电通量密度相等的边界条件, 可知道不同介质内D 的表示式相同。而在图(b)结构中, 电场平行于介质与空气交界面, 由交界面上电场强度切向分量连续的边界条件, 得知不同介质内E 的表示式相同。 (1) 图(a)结构: 当ρ=c时,
高斯定理解题步骤： 高斯定理解题步骤：
（1）分析电场是否具有对称性。 ）分析电场是否具有对称性。
封闭面)， （2）取合适的高斯面 封闭面 ，即取在电场强度相等的曲面上。 ）取合适的高斯面(封闭面 即取在电场强度相等的曲面上。 3）电场强度相等的面不构成闭合面时， 的面， （3）电场强度相等的面不构成闭合面时，另选法线 n ⊥ E 的面，使其成为闭 合面。 合面。
3
第二章 静 电 场 例 5 设有一电荷均匀分布的无限长细直导线, 线密度是 ρl(C/m)。试求空间各点的电场强度。
图 用高斯定理计算细直导线的电场强度
第二章 静 电 场 解
ρl l ∫s E ds = ε 0
上式左边是计算从闭合面上穿出的通量, 因为E与上下两底面平 行, 没有通量穿过两底面, 所以从闭合面内穿出的通量为
s
0
D = ε0E
D = ρ0
高斯定理：穿过任一封闭面的电通量等于此面所包围的自由电荷总电量。
☆对于简单的电荷分布, 可方便地利用此关系来求场分布。
D == εE
第二章 静 电 场 对介质中的点电荷q 对真空中的点电荷q
D = εE
D = ε0E
E (r ) = q 4πε 0 R
2
真空中点电荷q的场：
D1 =
εU
b ρ1n a
, D2 =
ε 0U
b ρ1n a
第二章 静 电 场
基本内容
库仑定律 E 基本方程 高斯定理 无旋性
D = ρv
∫ D ds = ∫
s
V
ρ v dυ
E = φ
D
×E = 0
∫ E dl
l
=0
ρv φ= ε 2φ = 0
2
边界条件 E
φ
D
导体系的电容 静电能量及静电力
第二章 静 电 场
§2 .1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量
内导体带电量为+ρl ，外导体带电量为-ρl
第二章 静 电 场 (2) 图(b)结构: 当φ=0时, 当0< φ< φ1
E1ρ = E2 ρ
ρ l1 ρ D1 = 1 ρ ρ l1 E1 = = ρ ε 1ερ
D1
当φ1< φ< 360。时
ρl 2 ρ D2 = (2π 1 ) ρ ρl 2 D2 E2 = = ρ ε 0 (2π 1 )ε 0 ρ
3
3
当r<a时，
= ∫ Er dr + ∫
r
a
∞
a
ρ0 2 r 2 a Er dr = 3ε 0 3
第二章 静 电 场 真空中的高斯通量定理
一般形式的高斯通量定理
∫
S
E dS =
∑q
ε0
0
ρ v (r ) E (r ) = ε0
D = ε0E + P
∫ D ds = ∑ q
总结
——已知源电荷分布，求空间场分布 已知源电荷分布，
应用场强叠加原理 利用高斯定理的积分形式
∫ D ds = ∑ q
s
0
（当电场分布具有某种空间对称性） 已知场空间分布， ——已知场空间分布，求源电荷分布 已知场空间分布 利用高斯定理的微分形式
D = ρ0
D = εE
第二章 静 电 场
ρv φ=∫ dv V 4πε R 0 ρs φ=∫ ds S 4πε R 0 ρl φ=∫ dl l 4πε R 0
面电荷:
线电荷:
第二章 静 电 场
B.首先计算电场强度，再由线积分求电位；
φ A (r ) =
∫
P A
E dl
E (r ) = [φ (r ) + C ]
C. 解电位所满足的方程；
体分布的电荷
E (r ) =
1 4πε 0
∫
S
ρ (r ' )(r r ' )
V
r r'
3
dV '
面电荷
E (r ) =
1 4πε 0
∫
ρ S (r ' )( r r ' )
r r'
3
dS '
线电荷
E (r ) =
1 4πε 0
∫
ρ l (r ' )(r r ' )
l
r r'
3
dl '
第二章 静 电 场
☆参考点的选取
有意义 表达式简单
点电荷及电荷分布于有限区域时，一般选取无限远处 电荷分布于无限区域时，一般选取有限处 实际工程中，选取大地表面为参考点
第二章 静 电 场
三、电位的计算
A. 应用叠加原理 (1) 单个点电荷q的电场中任一点的电位:
φ =
∫
R R
P
E dl =
q 4 πε
0
R
1 . 库仑定律
q1q2 F = aR (N ) 2 4πε 0 R
图 2-1 两点电荷间的作用力
第二章 静 电 场
2. 电场强度
（1）点电荷的电场
F q' R q' r r ' E (r ) = = = 3 q 4πε 0 R 4πε 0 r r ' 3
第二章 静 电 场
（2）叠加原理求解电场强度 E
从而得
ρl l Eρ ( S柱 ρ ) = E 2πρl = ε0
ρl E= ρ 2πε 0 ρ
第二章 静 电 场 例 11 如图所示,两个无限长同轴圆柱, 内、 外导体半径分 别为a和b, 两导体间部分填充介电常数为ε的电介质, 内外导体间 的电压为U0。图(a)中电介质与空气分界面的半径为c; 图(b)中0＜ φ＜φ1间部分填充电介质。试对该二同轴线分别求出: (1) 内、 外导体间的电场强度E及电通量密度D; ; (2) 导体表面上单位长度的带电量ρl。