圆形磁场中的几个典型问题分析

圆形磁场中的几个典型问题

许多同学对带电粒子在圆形有界磁场中的运动问题常常无从下手, 分别是“最值问题、汇聚发散问题、边界交点问题、周期性问题” 体类

型，抓住关键要素，问题就能迎刃而解，下面举例说明.

一、最值问题的解题关键一一抓弦长 1 .求最长时间的问题

例1真空中半径为 R=3X 10 m 的圆形区域内，有一磁感应强 度为B=0.2T 的匀强磁场，方向如图 1所示一带正电的粒子以初速 度v o =106

m / s 从磁场边界上直径 ab 一端a 点处射入磁场，已知 该粒子比荷为q/m=108c / kg ，不计粒子重力，若要使粒子飞离磁 场时偏转角最大，其入射时粒子初速度的方向应如何？（以

V 。与

Oa 的夹角二表示）最长运动时间多长？

小结：本题涉及的是一个动态问题， 即粒子虽然在磁场中均做同一半径的匀速圆周运动， 但因其初速度方向变化， 使粒子运动轨迹的长短和位置均发生变化， 并且弦长的变化一定对

应速度偏转角的变化， 同时也一定对应粒子做圆周运动轨迹对应圆心角的变化，

因而当弦长

为圆形磁场直径时，偏转角最大.

2 .求最小面积的问题

例2 一带电质点的质量为 m ，电量为q ,以平行于 Ox 轴 的速度v 从y 轴上的a 点射人如图3所示第一象限的区域.为 了使该质点能从 x 轴上的b 点以垂直于x 轴的速度v 射出，可 在适当的地方加一个垂直于 xoy 平面、磁感应强度为 B 的匀强

磁场.若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求此圆形磁场区 域的最小面积，重力忽略不计.

小结：这是一个需要逆向思维的问题， 而且同时考查了空间想象能力， 即已知粒子运动

轨迹求所加圆形磁场的位置.解决此类问题时，要抓住粒子运动的特点即该粒子只在所加磁 场中做匀

速圆周运动，所以粒子运动的

1 /4圆弧必须包含在磁场区域中且圆运动起点、终

点必须是磁场边界上的点，然后再考虑磁场的最小半径.

上述两类“最值”问题，解题的关键是要找出带电粒子做圆周运动所对应的弦长. 二、汇聚发散问题的解题关键一一抓半径

当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律； 规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场， 如杲圆形磁场的半径与圆轨迹

半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入 射点的切线方向平行，如甲图所示。

规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒 子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等， 则所 有粒子都从磁场边界上的同一点射出， 并且出射点 的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。

一做就错.常见问题 .对于这些问题，针对具

例3如图5所示，x 轴正方向水平向右， y 轴正方向竖直向

上.在半径为 R 的圆形区域内加一与 xoy 平面垂直的匀强磁场. 在 坐标原点 0处放置一带电微粒发射装置，它可以连续不断地发射 具有相同质量 m 、电荷量q ( q > 0 )且初速为v °的带电粒子，不 计重力.调节坐标原点 0处的带电微粒发射装置，使其在 xoy 平 面内不断地以相同速率

v 0沿不同方向将这种带电微粒射入

x 轴上

方，现要求这些带电微粒最终都能平行于 x 轴正方向射出，则带电

微粒的速度必须满足什么条件？

小结：研究粒子在圆形磁场中的运动时， 要抓住圆形磁场的半径和圆周运动的半径， 建

立二者之间的关系，再根据动力学规律运动规律求解问题.

3. 如图甲所示，x 轴正方向水平向右，y 轴正方向竖直向上。在 xoy 平面内有与y 轴平行

的匀强电场，在半径为 R 的圆形区域内加有与 xoy 平面垂直的匀强磁场。在坐标原点 0处

放置一带电微粒发射装置，它可以连续不断地发射具有相同质量

m 、电荷量q (0》° )和

(1)

当带电微粒发射装置连续不断地沿 y 轴正方向发射这种带电微粒时，这些带电微粒将

沿圆形磁场区域的水平直径方向离开磁场， 并继续沿x 轴正方向运动。求电场强度和磁感应

强度的大小和方向。

(2)

调节坐标原点处的带电微粒发射装置， 使其在xoy

平面内不断地以相同速率 vO 沿不同 方向将这种带电微粒射入第

1象限，如图乙所示。现要求这些带电微粒最终都能平行于

x

轴正方向运动，则在保证匀强电场、匀强磁场的强度及方向不变的条件下， 应如何改变匀强

磁场的分布区域？并求出符合条件的磁场区域的最小面积。

答案

图5

初速为’一的带电粒子。已知重力加速度大小为 g o

（1）（8^）由题目中“带电粒子从坐标原点0处沿y轴正方冋逬入腿场后+最绛沿圆形磁场区域的水平直径离开確场并堆爨沿r轴正方同运討“ 可知*带电徹粒所赍重力与电场力平衡。设电场强度大小为匚由平衡条件得，啊二我二誉=竺电场方向沿*抽正方向

带电微粒进人磁场后，做匀速圆周运动，且圆运动半径r=臨*

设匀吨眄的瑋感应程厦大屮为B*由牛極第二定存存,

磁场方冋垂亘干妖面向外

⑵（&管）设由带电微越主射黄負射入弟I集岷的带电徽赴的制速度方向与x轴威夬甬6

则3满足尺恥巴由于带电樹：粒最集搐沿X轴正方向运动+

2

故B应垂負于X妙平西同外"带电抽粗在磁场内就半径为氏=

运动"

由干制电擁粒的入射方问下同.若磁场充満旣面.

它『1所对匯的运动的轨迹如图所示.

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由图可知*它力爵须胎至D点佯團运罰的各圆的最高自飞离確场* 这祥应场边畀上P盘的坐标P 0亦应淸足方程* x R cui 令B

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三、边界交点问题的解题关键一抓轨迹方程

例4如图7所示，在xoy平面内x>0区域中，有一半圆形匀强磁场区域，圆心为0,半径为R =0.10m，磁感应强度大小为B=0.5T，磁场方向垂直xoy平面向里.有一线状粒

子源放在y轴左

侧（图中未画出），并不断沿平行于x轴正方向释放出电荷量为

19 6

-

q=+1.6x 10 C，初速度v o = 1.6 x 10 m / s的粒子，粒子的质量为

26

m =1.0x 10- kg，不考虑粒子间的相互作用及粒子重力，求：从y轴

任意位置（0, y）入射的粒子离开磁场时的坐标.

点评：带电粒子在磁场中的运动是最能反映抽象思维与数学方法