高中数学平面向量_ppt课件
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第六章第二节平面向量的基本定理及坐标表示课件共49张PPT
设正方形的边长为
1
，
则
→ AM
＝ 1，12
，
→ BN
＝
－12，1 ，A→C ＝(1，1)，
∵A→C ＝λA→M ＋μB→N
＝λ－12μ，λ2 ＋μ ，
λ－12μ＝1， ∴λ2 ＋μ＝1，
解得λμ＝ ＝6525， ．
∴λ＋μ＝85 .
法二：由A→M
＝A→B
＋12
→ AD
，B→N
＝－12
→ AB
＋A→D
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.理解平面向量的基本定理及其意义． 考情分析： 平面向量基本定理及
2．借助平面直角坐标系掌握平面向量 其应用，平面向量的坐标运算，向
的正交分解及其坐标表示．
量共线的坐标表示及其应用仍是
3．会用坐标表示平面向量的加法、减 高考考查的热点，题型仍将是选择
A．(－2，3)
B．(2，－3)
C．(－2，1)
D．(2，－1)
D [设 D(x，y)，则C→D ＝(x，y－1)，2A→B ＝(2，－2)，根据C→D ＝2A→B ， 得(x，y－1)＝(2，－2)，
即xy＝ －21， ＝－2， 解得xy＝ ＝2－，1， 故选 D.]
2．(2020·福建三明第一中学月考)已知 a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若
解析： ∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴2mm－＋2nn＝＝9－，8， ∴mn＝＝52.， ∴m－n＝2－5＝－3. 答案： －3
考点·分类突破
⊲学生用书 P93
平面向量基本定理及其应用
(1)(多选)(2020·文登区期中)四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠A＝90°，
平面向量的正交分解及坐标表示学习教材PPT课件
平面向量的坐标表示及运算
y
M ( x, y)
O
x
课前复习:
1 向量坐标定义. 2 加、减法法则.
4 向量坐标：
则
3 实数与向量积的运算法则： λa =λ(x i+y j )=λx i+λy j =(λx , λy) 若A(x1 , y1) , B(x2 , y2)
a + b=( x2 , y2) + (x1 , y1)= (x2+x1 , y2+y1) a - b=( x2 , y2) - (x1 , y1)= (x2- x1 , y2-y1)
1 5、若 a ( ,sin ) 为单位向量，则符合 2
题意的角 的取值集合为 ；
则m的长度为 2
Байду номын сангаас
(2)两个向量相等的充要条 件是它们的 对应坐标相等。
设a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) x1 x2 则a b y1 y2
例题1、已知向量a (2 x y 1, x y 2), b (2, 2).x, y为何值时， a与b共线？
例题2、已知 a 10, b (3, 4)且a // b， 求向量a.
解：设a ( x, y),则a x y 10
2 2
又 b (3,4), a // b
x y 10 x 6 x 6 解得： 或 4 x 3 y 0 y 8 y 8
2 2
a (6,8)或a (6,8)
课堂练习:
1、已知两点A(0,2)，B(2,0)，则与向量AB 同向量的单位向量是（ B）
2 2 A.( , ) 2 2
高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件 新人教A版必修4
1.若向量 a，b 不共线，则 c＝2a－b，d＝3a－2b， 试判断 c，d 能否作为基底． 解：设存在实数 λ，使 c＝λd， 则 2a－b＝λ(3a－2b)， 即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0， 由于向量 a，b 不共线， 所以 2－3λ＝2λ－1＝0，这样的 λ 是不存在的， 从而 c，d 不共线，c，d 能作为基底．
探究点二 用基底表示平面向量
如图所示，在▱ABCD 中，点 E，F
分别为 BC，DC 边上的中点，DE 与 BF 交 于点 G，若A→B＝a，A→D＝b，试用 a，b 表 示向量D→E，B→F.
[解] D→E＝D→A＋A→B＋B→E ＝－A→D＋A→B＋12B→C
＝－A→D＋A→B＋12A→D＝a－12b．
4．若 a，b 不共线，且 la＋mb＝0(l，m∈R)，则 l＝________， m＝________． 答案：0 0 5.若A→D是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，若 a，b 为基底，则A→D＝________． 答案：12(a＋b)
探究点一 对基底的理解
设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出下列向
解：D→E＝D→C＋C→E＝2F→C＋C→E＝－2C→F＋C→E＝－2b＋a．
B→F＝B→C＋C→F＝2E→C＋C→F
＝－2C→E＋C→F＝－2a＋b．
用基底表示向量的两种方法 (1基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一 性求解.
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共 线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个向量都可以由 这组基底唯一线性表示出来，设向量 a 与 b 是平面内两个不共 线的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则xy11＝＝yx22.，
人教A版高中数学必修四课件：第二章2.3.1平面向量基本定理 (共16张PPT)
x
e2
O
a 3e1 2e2
3 a x 4y 2
yn
A
a 3m 2n
当a 0时, 有且只有1 2 0时可使 0 1 e1 2 e2 , (e1 , e2不共线).
若1与2中只有一个为零 , 情况会是怎样?
若2 0, 则a 1 e1 ,即a与e1共线, 若1 0, 则a 2 e2 ,即a与e2共线,
本题在解决过程中用到了两向量共 线的等价条件这一定理，并用基向量表 示有关向量,用待定系数法列方程，通 过消元解方程组。这些知识和考虑问题 的方法都必须切实掌握好。
课堂总结 1.平面向量基本定理可以联系物理 学中的力的分解模型来理解，它说明在
同一平面内任一向量都可以表示为不共
线向量的线性组合，该定理是平面向量
D
A
N M B
C
例2.用向量的方法证明: 1 平行四边形OACB中, BD BC , OD与BA 3 1 相交于E , 求证 : BE BA. 4 D B C E
O
A
例3.证明: 向量OA, OB, OC的终点A, B, C共线 的等价条件是存在实数 、 且 1， 使得 OC OA OB.
问题 3 : 设 e1 , e2 是同一平面内两个不共 线的向量, a是这一平面内的任一向 量, 我们来通过作图研 究a与e1 , e2 之间的关系?
平面向量基本定理: 如果e1 , e2 是同一平面内两个不共 线的向量, 那 么对于平面内的任一向 量a , 有且只有一对实数
1 , 2 , 使得a 1 e1 2 e2 .
坐标表示的基础，其本质是一个向量在
其他两个向量上的分解。
2. 在实际问题中的指导意义在于
高中数学必修四《平面向量的基本定理》PPT
栏目 导引
第二章 平面向量
想一想 1.判断两个向量能否作为基底的关键是什么？ 提示：判断两个向量能否作为基底的关键是看它们是否共 线，若共线，则不能作为基底，否则可以作为基底．
栏目 导引
第二章 平面向量
2．两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个__非__零__向__量___a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠__A_O__B__＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
【答案】 30° 60°
栏目 导引
第二章 平面向量
【名师点评】 两向量夹角的实质和求解 (1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两 个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识 加以解决． (2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量 起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三 算”的步骤求出．
栏目 导引
第二章 平面向量
跟踪训练
2．如图所示，已知等边三角形 ABC. (1)求向量A→B与向量B→C的夹角； (2)若 E 为 BC 的中点，求向量A→E与E→C的夹角．
栏目 导引
第二章 平面向量
解：(1)∵△ABC 为正三角形， ∴∠ABC＝60°.延长 AB 至点 D，使|A→B|＝|B→D|， ∴A→B＝B→D， ∴∠DBC 为向量A→B与B→C的夹角，且∠DBC＝120°. (2)∵E 为 BC 的中点，∴AE⊥BC， ∴A→E与E→C的夹角为 90°.
已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，则向量－3a 和－12b 的夹 角为________．
答案：60°
栏目 导引
第二章 平面向量
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 对基底概念的理解 例1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
第二章 平面向量
想一想 1.判断两个向量能否作为基底的关键是什么？ 提示：判断两个向量能否作为基底的关键是看它们是否共 线，若共线，则不能作为基底，否则可以作为基底．
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第二章 平面向量
2．两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个__非__零__向__量___a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠__A_O__B__＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
【答案】 30° 60°
栏目 导引
第二章 平面向量
【名师点评】 两向量夹角的实质和求解 (1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两 个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识 加以解决． (2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量 起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三 算”的步骤求出．
栏目 导引
第二章 平面向量
跟踪训练
2．如图所示，已知等边三角形 ABC. (1)求向量A→B与向量B→C的夹角； (2)若 E 为 BC 的中点，求向量A→E与E→C的夹角．
栏目 导引
第二章 平面向量
解：(1)∵△ABC 为正三角形， ∴∠ABC＝60°.延长 AB 至点 D，使|A→B|＝|B→D|， ∴A→B＝B→D， ∴∠DBC 为向量A→B与B→C的夹角，且∠DBC＝120°. (2)∵E 为 BC 的中点，∴AE⊥BC， ∴A→E与E→C的夹角为 90°.
已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，则向量－3a 和－12b 的夹 角为________．
答案：60°
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第二章 平面向量
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 对基底概念的理解 例1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
6-3-1 平面向量基本定理(教学课件)——高中数学人教A版(2019)必修第二册
44
D.
1 4
AB
3 4
AC
解析：如图，由
E
为
AD
的中点，得
AE
1 2
AD
，
EB AB AE AB 1 AD .
2
又
D
为
BC
的中点，
AD
1 2
AB
1 2
AC
，
EB
AB
1 4
AB
1 4
AC
3 4
AB
1 4
AC
.故选
A.
AD 7.如果 e1 ， e2 是平面 内两个不共线的向量，那么下列说法中正确的是( )
对于 D，由 AM x AB y AC ，且 x y 1 ，可得 2AM 2x AB 2 y AC ，2x 2y 1 ， 2
设 AD 2AM ，则 AD 2x AB 2 y AC ， 2x 2y 1 ，可知 B，C，D 三点共线，
△MBC
的边
BC
上的高是△ABC
的边
BC
上的高的
BC
4BD
，所以
BD
1 4
BC
1 4
( AC
AB)
1 4
AC
1 4
AB
，
所以 AD AB BD AB 1 AC 1 AB 3 AB 1 AC .
4 4 44
因为
AC
3CE
，所以
AE
2 3
AC
，所以
BE
AE
AB
2 3
AC
AB
.
(2)因为 AM 2 AB 2 AC ，所以 BM AM AB 1 AB 2 AC .
1 4
AB
D.
1 4
AB
3 4
AC
解析：如图，由
E
为
AD
的中点，得
AE
1 2
AD
，
EB AB AE AB 1 AD .
2
又
D
为
BC
的中点，
AD
1 2
AB
1 2
AC
，
EB
AB
1 4
AB
1 4
AC
3 4
AB
1 4
AC
.故选
A.
AD 7.如果 e1 ， e2 是平面 内两个不共线的向量，那么下列说法中正确的是( )
对于 D，由 AM x AB y AC ，且 x y 1 ，可得 2AM 2x AB 2 y AC ，2x 2y 1 ， 2
设 AD 2AM ，则 AD 2x AB 2 y AC ， 2x 2y 1 ，可知 B，C，D 三点共线，
△MBC
的边
BC
上的高是△ABC
的边
BC
上的高的
BC
4BD
，所以
BD
1 4
BC
1 4
( AC
AB)
1 4
AC
1 4
AB
，
所以 AD AB BD AB 1 AC 1 AB 3 AB 1 AC .
4 4 44
因为
AC
3CE
，所以
AE
2 3
AC
，所以
BE
AE
AB
2 3
AC
AB
.
(2)因为 AM 2 AB 2 AC ，所以 BM AM AB 1 AB 2 AC .
1 4
AB
高一数学平面向量 PPT课件 图文
解: ka+b=k(1, 2)+(－3, 2)= (k－3,2k+2)
a－3b=(1, 2)－3(－3, 2)= (10, －4)
(ka+b)∥(a－3b)
－4(k－3)－10(2k+2)=0
K=－ 1
3
∵
ka+b=
10 3
,
4 3
=－
1 3
(a－3b)
∴它们反向
例2
思考:
此题还有没有其它解法?
分析 要证A、B、D三点共线，可证 AB=λBD关键是找到λ
解： ∵BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b
∴AB=2 BD
AB∥ BD
且AB与BD有公共点B
∴ A、B、D 三点共线
例3
知识结构
平面向量小 复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
练习5 已知a=（1，0），b=（1，1），c =（－1，0） 求λ和μ，使 c =λa +μb.
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修4
2.6《平面向量-复习》
平面向量复习
知识结构 要点复习 例题解析
巩固练习
制作：曾毅 审校：王伟
知识结构
平面向量 复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
表示 向量的三种表示
平
三角形法则
面
向量加法与减法
向
平行四边形法则
量
向量平行的充要条件
运算 实数与向量的积
知识Байду номын сангаас点 例题解析 巩固练习
课外作业
a－3b=(1, 2)－3(－3, 2)= (10, －4)
(ka+b)∥(a－3b)
－4(k－3)－10(2k+2)=0
K=－ 1
3
∵
ka+b=
10 3
,
4 3
=－
1 3
(a－3b)
∴它们反向
例2
思考:
此题还有没有其它解法?
分析 要证A、B、D三点共线，可证 AB=λBD关键是找到λ
解： ∵BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b
∴AB=2 BD
AB∥ BD
且AB与BD有公共点B
∴ A、B、D 三点共线
例3
知识结构
平面向量小 复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
练习5 已知a=（1，0），b=（1，1），c =（－1，0） 求λ和μ，使 c =λa +μb.
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《高中数学》
必修4
2.6《平面向量-复习》
平面向量复习
知识结构 要点复习 例题解析
巩固练习
制作：曾毅 审校：王伟
知识结构
平面向量 复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
表示 向量的三种表示
平
三角形法则
面
向量加法与减法
向
平行四边形法则
量
向量平行的充要条件
运算 实数与向量的积
知识Байду номын сангаас点 例题解析 巩固练习
课外作业
2025届高中数学一轮复习课件《平面向量基本定理及坐标表示》ppt
)
高考一轮总复习•数学
第10页
2．已知平面向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b＝( )
A．(－2，－1) B．(－2,1)
C．(－1,0)
D．(－1,2)
解析：因为 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，所以12a－32b＝12(1，1)－32(1，－1)＝12，12－32，－32 ＝(－1,2)．
∴54<k<32.即 k 的取值范围为54，32.
高考一轮总复习•数学
第23页
题型
平面向量的坐标运算
典例 2(1)已知 A(－2,5)，B(10，－3)，点 P 在直线 AB 上，且 P→A ＝－13P→B ，则点 P 的
由线性关系，转化到坐标运算．
坐标是( )
A．(－8,9)
B．(1,3)
C．(－1，－3) D．(8，－9)
高考一轮总复习•数学
第3页
01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
高考一轮总复习•数学
第4页
理清教材 强基固本
高考一轮总复习•数学
第5页
一 平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只 有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2，若 e1，e2 不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内 所有向量的一个基底．若 e1，e2 互相垂直，则称这个基底为正交基底；若 e1，e2 分别为与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，则称这个基底为单位正交基底．
高考一轮总复习•数学
第22页
解析：如图，分别取 BD，AE 的中点 G，N，连接 GN 交 EF 于 H，
高中数学平面向量的坐标运算全版.ppt
解： a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）； a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）； 3a+4b=3（2，1）+4（-3，4） =（6，3）+（-12，16） =（-6，19）
精选整理
8
例3． 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为 （－2，1）、（ －1，3）、（3，4），求顶点D的坐标．
精选整理
15
作业： 课本P101 A组：1，2，3，4，5, 6, 7
精选整理
16
y
2．点A的坐标与向量a 的坐标的关系？
a
A(x, y)
两者相同
a j
向量a 一 一 对 应 坐标（x ，y）
Oi
x
3.a b x1 x2且y1 y2
精选整理
4
概念应用
例1．如图，用基底i ，j 分别表示向量a、b 、c 、d ，并 求它们的坐标．
解：由图可知
A2
a AA1 AA2 2i 3 j a (2,3) 同理， b 2i 3 j (2,3)
且
MP
1 2
MN
,
求P点的坐标；
解：设P(x, y) 则(x-3, y+2)= 1 (-8, 1)=(-4, 2
1
2)
xy32124
∴
x y
1 3
2
∴P点坐标为(-1, - 3 ) 2
2．若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则 AB 2 BC = (-3,-3)
3．已知：四点A(5, 1), B(3, 4), C(1, 3), D(5, -3) 求3 j (2,3)
d 2i 3 j (2,3)
练习:已知O是坐标原点,点A在
精选整理
8
例3． 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为 （－2，1）、（ －1，3）、（3，4），求顶点D的坐标．
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15
作业： 课本P101 A组：1，2，3，4，5, 6, 7
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16
y
2．点A的坐标与向量a 的坐标的关系？
a
A(x, y)
两者相同
a j
向量a 一 一 对 应 坐标（x ，y）
Oi
x
3.a b x1 x2且y1 y2
精选整理
4
概念应用
例1．如图，用基底i ，j 分别表示向量a、b 、c 、d ，并 求它们的坐标．
解：由图可知
A2
a AA1 AA2 2i 3 j a (2,3) 同理， b 2i 3 j (2,3)
且
MP
1 2
MN
,
求P点的坐标；
解：设P(x, y) 则(x-3, y+2)= 1 (-8, 1)=(-4, 2
1
2)
xy32124
∴
x y
1 3
2
∴P点坐标为(-1, - 3 ) 2
2．若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则 AB 2 BC = (-3,-3)
3．已知：四点A(5, 1), B(3, 4), C(1, 3), D(5, -3) 求3 j (2,3)
d 2i 3 j (2,3)
练习:已知O是坐标原点,点A在
6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示课件高中数学
解：由图可知,a AA1 AA2 2i 3 j， ∴ a (2, 3). 同理,可得 b 2i 3 j (2, 3)， c 2i 3 j (2, 3)，
y
A2
b
a
A
A1
j
Oi
x
c
d
d 2i 3 j (2, 3).
如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量 i ,j ，{i ,j }作为基底，分别用i ,j 表示 OA,OB, AB ，并求出它们的坐标.
a
定理可知，有且只有一对实数x, y，使得
a ห้องสมุดไป่ตู้i yj
j
Oi
x
这样，平面内的任一向量 a 都可以由x, y唯一确定，我们把有序数对(x, y) 叫做向量a 的坐标，记作 a (x, y) ，其中x叫做a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y 轴上的坐标，a (x, y)叫做向量 a 的坐标表示．显然，i (1, 0), j (0,1),0 (0, 0).
6.3.2 平面向量的正交分解 及坐标表示
CONTENTS
01
新知讲解
02
课堂达标
1. 正交分解
给定平面内两个不共线的向量e1, e2 ，由平面向量基本定理可知，平面 上的任意向量 a，均可以分解成两个向量 1e1, 2e2 ，即 a 1e1 2e2 ，其中 向量1e1与 e1 共线，向量2e2 与e2 共线.
如图示，以原点O为起点作OA a ，则点A的位置由向量 a 唯一确定.
设 OA xi yj ，则向量OA 的坐标(x, y)就是终点 a y
A的坐标；反之，终点A的坐标(x, y)也就是向量OA 的坐标. 这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间 的联系.
a
人教A版数学必修四第二章2.3《平面向量的坐标表示与运算》(共20张PPT)
解：设c→=x→a+→yb，即 （4，2）=x(1,1)+y(-1,1) =(x,x)+(-y,y)
X-y=4
解得
X+y=2
X=3
y=-1
=(x-y，x+y) c→=3→a-→b,故选B
随堂演练：
1、下列说法正确的有（ B ）个 （1）向量的坐标即此向量终点的坐标。 （2）位置不同的向量其坐标可能相同。 （3）一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标。 （4）相等的向量坐标一定相同。 A2、：已1 知M→NB=（：-21，2）C：，3则-3M→ND等：于4 （ C ） A3、、已（知-3a→，=3（）1B，、3）（，-6→，b=3（）-C2、，（1）3，，-则6）→b-Da→、等（于-（4，C-1）） A、（-3，2）B、（3，-2）C、（-3，-2）D、（-2，-3） 4、已知A→B=（5，7），λAB→=（10，14）则实数λ=___2_
探索研究
设得问出： 向已 量知a r向b r量,a ra r b r(，x1， λa→y的1)坐，标b r 表(示x2， 吗？y2)，你能
r rrr rr 解 ： a b ( x 1 i r y 1 j ) r( x 2 i y 2 j )
(x1 x2)i(y1y2)j
即 a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2 ) 同理可得
a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2)
结论：两个向量和与差的坐标分别等 于这两个向量相应坐标的和与差.
（2）实数与向量的积的坐标表示
r
已 知 R ， 向 量 a (x ， y )， 那 么
a r _ _ ( _ x _ r i _ _ _ y _ u j r _ ) _ _ _ _ x _ r i _ _ _ _ y _ r _ j
平面向量的概念 课件-高中数学人教A版(2019)必修第二册
系.
(3)不正确.依据规定：与任意向量平行.
(4)不正确.因为向量与向量若有一个是零向量，则其方向不定.
(5)正确.向量完全由它的模和方向确定，与起点无关.
练习
变1.下列说法正确的是( ).
A.若与平行，与平行，则与一定平行
B.一定在同一直线上
C.若|| < ||，则 <
解：(1)如图所示，作出 ， ， ： 解：(2)由题意知//， = ，
所以四边形是平行四边形.
所以 = = 400，所以|| =
400.
Байду номын сангаас
练习
变3.在四边形中， = ，且|| = ||，则这个四边形是（ ）.
A.正方形
B.矩形
C.等腰梯形
D.菱形
答案：D.
解：由 = 可知//，且|| = ||，
所以四边形为平行四边形.
练习
方法技巧：
平面向量在实际生活中的应用
生活中很多问题可以归结为向量的问题，如力、速度、位移等，因此运用
向量的知识进行解答可使问题简化，易于求解，解答时，一般先把实际问题用
有向线段表示向量，使向量有了直观形象.
向量的大小称为向量的长度(或模)，记作||.长度为0的向量叫做零向量，
记作.长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.
(向量的字母表示)向量也可以用字母, , , …表示.
印刷用黑体，书写用.
Ԧ
新知探索
1.向量的定义及表示
(1)定义：既有大小又有方向的量叫做向量.
头的线段来表示向量，线段按一定比例(标度)画出，它的长短表示向量的大小，
箭头的指向表示向量的方向.
新知探索
通常在线段的两个端点中,规定一个顺序,假设为起点，为终点，我们就
(3)不正确.依据规定：与任意向量平行.
(4)不正确.因为向量与向量若有一个是零向量，则其方向不定.
(5)正确.向量完全由它的模和方向确定，与起点无关.
练习
变1.下列说法正确的是( ).
A.若与平行，与平行，则与一定平行
B.一定在同一直线上
C.若|| < ||，则 <
解：(1)如图所示，作出 ， ， ： 解：(2)由题意知//， = ，
所以四边形是平行四边形.
所以 = = 400，所以|| =
400.
Байду номын сангаас
练习
变3.在四边形中， = ，且|| = ||，则这个四边形是（ ）.
A.正方形
B.矩形
C.等腰梯形
D.菱形
答案：D.
解：由 = 可知//，且|| = ||，
所以四边形为平行四边形.
练习
方法技巧：
平面向量在实际生活中的应用
生活中很多问题可以归结为向量的问题，如力、速度、位移等，因此运用
向量的知识进行解答可使问题简化，易于求解，解答时，一般先把实际问题用
有向线段表示向量，使向量有了直观形象.
向量的大小称为向量的长度(或模)，记作||.长度为0的向量叫做零向量，
记作.长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.
(向量的字母表示)向量也可以用字母, , , …表示.
印刷用黑体，书写用.
Ԧ
新知探索
1.向量的定义及表示
(1)定义：既有大小又有方向的量叫做向量.
头的线段来表示向量，线段按一定比例(标度)画出，它的长短表示向量的大小，
箭头的指向表示向量的方向.
新知探索
通常在线段的两个端点中,规定一个顺序,假设为起点，为终点，我们就
人教高中数学必修4PPT课件：平面向量的实际背景及基本概念
（× ）
√ （5）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量（ ） （6）直角坐标平面图上的x轴,y轴都是向量（√ ）
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2.判断下面命题的对错
（1）若a = b，b = c，则a = c。（ √） （2）若|a|=0，则a = 0 （×） （3）若|a|=|b|，则a = b （×）
人教高中数学必修4PPT课件：平面向 量的实 际背景 及基本 概念
说明： 1、向量的几何表示：用有向线段表示。 人教高中数学必修4PPT课件：平面向量的实际背景及基本概念
向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记
作 |AB |。
向量不能比较大小，模可以比较大小。
2、向量的字母符号表示：（1）a , b , c , . . . （2）用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示， 例如，AB，CD。 注意字母的顺序
量
长度（模）符 概号 念表示 : AB , a
零向量
单位向量
关系相 平等 行向 （量 共线）向量 用向量表示点的位置：位置向量
CB、DO、FE
人教高中数学必修4PPT课件：平面向 量的实 际背景 及基本 概念
人教高中数学必修4PPT课件：平面向 量的实 际背景 及基本 概念
在平面图形中寻求共线向量、相等向量的方法： (1)在平面图形中找共线向量时，应逐个列举，做到不 重不漏，可先找在同一条直线上的共线向量，然后再 找平行直线上的共线向量，要注意一条线段有一正一 反两个共线向量，而方向相同、长度不等的有向线段 又可以表示不同的共线向量． 对于相等向量，一定是共线向量，因此在找相等向量 时，可以从共线向量中筛选，找出长度相等、方向相 同的共线向量即可．
√ （5）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量（ ） （6）直角坐标平面图上的x轴,y轴都是向量（√ ）
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2.判断下面命题的对错
（1）若a = b，b = c，则a = c。（ √） （2）若|a|=0，则a = 0 （×） （3）若|a|=|b|，则a = b （×）
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说明： 1、向量的几何表示：用有向线段表示。 人教高中数学必修4PPT课件：平面向量的实际背景及基本概念
向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记
作 |AB |。
向量不能比较大小，模可以比较大小。
2、向量的字母符号表示：（1）a , b , c , . . . （2）用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示， 例如，AB，CD。 注意字母的顺序
量
长度（模）符 概号 念表示 : AB , a
零向量
单位向量
关系相 平等 行向 （量 共线）向量 用向量表示点的位置：位置向量
CB、DO、FE
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在平面图形中寻求共线向量、相等向量的方法： (1)在平面图形中找共线向量时，应逐个列举，做到不 重不漏，可先找在同一条直线上的共线向量，然后再 找平行直线上的共线向量，要注意一条线段有一正一 反两个共线向量，而方向相同、长度不等的有向线段 又可以表示不同的共线向量． 对于相等向量，一定是共线向量，因此在找相等向量 时，可以从共线向量中筛选，找出长度相等、方向相 同的共线向量即可．
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上海
台北 香港
合作探究：
观察下述三个量有什么区别？
m=20kg
(1)
F=20N
(2)
V =20km/h
(3)
（2）（3）都是有大小和方向的量
26.06.2020
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26.06.2020
江苏省板浦高级中学
26.06.2020 5:46:12
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一、向量的定义 既有大小又有方向的量
向量的模
向量的长度
.
BACK
练习 1、若两个向量在同一直线上，则这两个
向量是什么向量？
共线向量 或者说平行向量
2、共线向量一定在一条直线上吗？ 不一定
26.06.2020
BACK
.
练习： 在质量、重力、速度、加速度、身 高、面积、体积这些量中，哪些是 数量？哪些是向量？
数量有：质量、身高、面积、体积
向量有：重力、速度、加速度
r a
r rr r
r
c=-a a = -c
c
r
r
-(-a)=？
26.06.2020
b
.
三：向量之间的关系
5.共线向量与平行向量的关系：
rrr a// b// c
a r,b r,c r为 共 线 向 量
r a r b
r c rr r bc a
任意一组平行向量都可以平移到同一直线上
平行向量就是共线向量
26.06.2020
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金钱豹以5m/s的速度追赶一只以2m/s逃跑的小狗……
请问：金钱豹 能追上小狗吗？为什么？
26.06.2020
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由于大陆和台湾没有直航，因此2006年春节探亲， 乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，这里发 生了两次位移。
位移和距离 这两个量有 什么不同？
26.06.2020
所以 0 向量只有一个， 而单位向量可以有无数个
思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，
26.06.2020
它们的终点的轨迹是什么图形？ .
三：向量之间的关系
3.平行向量的定义：
➢方向相同或相反的非零向量叫做平行向量
➢我r 们规定零向量与任一向量平行
ra b
r 记 做 ： a r//br//cr
不一定
2、单位向量的大小是否一定相等？
一定
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BACK
.
练习： 1、平行向量是否一定方向相同？
不一定
2、不相等的向量一定不平行吗？
不一定
26.06.2020
BACK
.
练习 1、与零向量相等的向量一定是什么向量？
零向量
2、与任意向量都平行的向量是什么向量？
零向量
26.06.2020
26.06.2020
BACK
.
在下列结论中，哪些是正确的？ （1）如果两个向量相等，那么它们的起点和终
点分别重合； （2）模相等的两个平行向量是相等的向量； （3）如果两个向量是单位向量，那么它们相等； （4）两个相等向量的模相等。
向。
B
D
B
D
A
C
A
C
有向线段AB、CD是不 向量 AB、CD 是同一个向量。 同的。
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.
说明3：两个特殊向量
1、零向量 ：长度为 0 的向量。记作 0
2、单位向量 ：长度为 1 个单位长度的向量。 0 向量大小为0，方向
不确定的。可以是任意方向 单位向量大小为1，方向 不一定相同。
二、向量的表示方法
①几何表示——向量常用有向线段表示：有向线段的 长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。 以A为起点、B为终点的向量记为：ＡＢ。
大小记着：│AB│
Ｂ
A
a
②也可以表示： a b c d ….
26.06.2020
.
大小记为┃a┃
说明1：
我们现在研究的向量，与起点无关，用有向线段表 示向量时，起点可以取任意位置。所以数学中的向 量也叫 自由向量
26.06.2020
但 是 它 们 方 向 相 反 ， 故 这 两 个 向 量 不 相 等 .
uuur uuur OABC.
例2：在图中的4×5方格纸中有一个向量 A（1）其中与 AB 相等的向量有多少个？
（2）与 AB长度相等的共线向量有多少个？
（ AB 除外）
两向量的共线与平面几何里两线段的共线是否一样？
为什么？
说明：在平行向量、共线向量、相等向量的
26.06.2020
概念中应注意零. 向量的特殊性
例1：已知O为正六边形ABCDEF的中心，
在图中所标u 出u u r 的向量中：
E
( 1 ) 试 找 出 与 F u E u r 共 线 的 向 量 ；
（ 2 ） 确 定 与 F E 相 等 的 向 量 ；
如图：他们都表示
a
a
同一个向量。
1、温度有零上和零下之分，温度是向量吗？为
什么？ 不是，温度只有大小，没有方向。
2、向量 AB 和 BA 同一个向量吗？为什么？
26.06.2020
不是，方向. 不同
说明2： 有向线段与向量的区别：
有向线段：有固定起点、大小、方向
向量：可选任意点作为向量的起点、有大小、有方
.
共有8种不同的向量
若改为1×2的方格纸中的格点为起点和 终点的所有向量中，可得到多少种不同 的模？多少种不同的向量呢？
共有4种不同的模
26.06.2020
共有14种不同的向量
.
欢迎来到：
过关竞技场
★题：
1
2
3
4
5
6
★★题：
7
★★★题：
26.06.2020
8
11
.
9
10
12
练习：
1、单位向量是否一定相等？
B
u u u r
( 1 ) 共 有 7 个 向 量 与 A B 相 等
u u u r
A
( 2 ) 共 有 1 5 个 向 量 与 A B 共 线
26.06.2020
.
合作探究：
如图：以1× 1方格纸中的格点为起点和 终点的所有向量中，可得到多少种不同 的模？有多少种不同的向量？
共有2种不同的模
26.06.2020
r e
cu r
f
ru r 那 么 e 与 f 之 间 是 什 么 关 系 ？
两向量的平行与平面几何里两线段的平行有什么区别？
26.06.2020
.
三：向量之间的关系
4.相等向量的定义： 长度相等且方向相同的向量
A
D
u u u r u u u r
记 作 ： A BD C
B
C
s
相反向量的定义：向 我 量 们 叫 把 做 与 a r a的 长 相 度 反 相 向 等 量 ， . 方 记 向 做 相 反 ：-的 ar
u u r u u u r （ 3 ） O A 与 B C 相 等 吗 ？
O F
D C
若 不 相 等 ， 则 之 间 有 什 么 关 系 ？
解：（1） Buuuu Crr， O uuA uruuu r
A
B
（ 2） BCFE
u u r u u u r u u r u u r
（ 3 ） 虽 然 O A //B C ， 且 | O A | = | B C | ，