第六章回归分析误差理论与数据处理费业泰-PPT课件

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误差理论与数据处理
第二节
一元线性回归
（一）回归方程的方差分析 1、引起变差的原因： A、自变量x取值的不同； B、其它因素（包括试验误差）的影响。 2、方差分析 总的离差平方和（即N个观测值之间的变差）
S ( y t y ) 2 l yy
t 1 N
S N1
可以证明：
第一节
回归分析的基本概念
二、回归分析思路
1、由数据确定变量之间的数学表达式－回归方程或经 验公式； 2、 对回归方程的可信度进行统计检验； 3、 因素分析。
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第二节
一、回归方程的确定
19.1
76.30
一元线性回归
一元线性回归：确定两个变量之间的线性关系，即 直线拟合问题。
Q—残余平方和，反映所有观测点到回归直线的残 余误差，即其它因素对y变差的影响。
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第二节
一元线性回归
（二）回归方程显著性检验— F检验法 基本思路：方程是否显著取决于U和Q的大小，U越 大Q越小说明y与x的线性关系愈密切。 计算统计量F
U / U F Q / Q
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第一节
一、函数与相关
回归分析的基本概念
函数关系：可以用明确的函数关系式精确地表示 出来 相关关系：这些变量之间既存在着密切的关系， 又不能由一个（或几个）自变量的数 值精确地求出另一个因变量的数值，而 是要通过试验和调查研究，才能确定它 们之间的关系。
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第6章 回归分析
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主要内容
第一节 回归分析的基本概念 • 函数与相关 • 回归分析思路 第二节 一元线性回归 • 回归方程的确定 • 回归方程得方差分析及显著性检验 • 重复试验情况 • 回归直线的简便求法 第三节 一元非线性回归 • 求解思路 • 回归曲线函数类型得选取和检验 • 化曲线回归为直线回归问题
,
( x )( y ( x x t ) t )( ty t) t 1 t 1 t 1 t 1 b y b x 0 N N 2 2 N x ( x t t)
2 t t 1 t 1
N
N
N
N
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第二节
其中
1 x N 1 y N l xx l xy l yy
ˆ，设测得值 y t 的精度相等，则有 对照 VLA X
1 T T ˆ b ( X X ) XY
将测得值分别代入上式，可计算得
b N x xt )(yt ) ty t (
t 1 t 1 t 1 N N N
N x xt )2 t (
2 t 1 t 1
N
N

lxy lxx
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第二节
设得到的回归方程
一元线性回归
ˆ b y bx 0
残差方程为
ˆ v y y y b bx ,t 1 , 2 , , N i t t 0 t
根据最小二乘原理可求得回归系数b0和b。 对照第五章最小二乘法的矩阵形式，令
y1 y2 Y y N
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1 1 X 1
x1 x2 xN
b0 ˆ b b
v1 v2 V v N
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第二节
一元线性回归
则误差方程的矩阵形式为
ˆ YX b V

t 1
( yt y )2

N
t 1
1 N yt ( yt ) 2 N t 1
2
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第二节
一元线性回归
二、回归方程的方差分析及显著性检验
问题：这条回归直线是否符合y 与x之间的客观规 律回归直线的预报精度如何？ 解决办法： 方差分析法—分解N个观测值与其算术平均值之差 的平方和；从量值上区别多个影响因素；用F检验 法对所求回归方程进行显著性检验。
N
一元线性回归
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x
t 1 N t 1
N
t
y
t
t
(x
t 1 N
x)
2

N
t 1
1 N xt ( xt ) 2 N t 1
2
(x
t 1 N
t
x )( yt y )

N
t 1
N 1 N x t y t ( x t )( y t ) N t 1 t 1
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第二节
其中
2 U (y y ) bl t xy t 1 N
一元线性回归
S=U+Q
U 1
Q N2
2 ˆ Q ( y y l bl t t) yy xy t 1
N
U—回归平方和，反映总变差中由于x和y的线性关 系而引起 y变化的部分。
例：确定某段导线的电阻与温度之间的关系：
25.0
77.80
30.1
79.75
36.0
80.80
40.0
82.35
46.5
83.90
50.0
85.10
散点图：
84 82 80 78 76 2025 30 35 40 45 50 误差理论与数据处理
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一元线性回归
从散点图可以看出：电阻与温度大致成线性关系。 设测量数据有如下结构形式：
U /1 Q/(N 2)
对一元线性回归，应为
F
查F分布表，根据给定的显著性水平 和已知的 自由度1和N-2进行检验：
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第二节
若，
一元线性回归
F F ( 1 ,N 2 ), 回归在0.01的水平上高度显著。 0 . 01
F ( 1 , N 2 ) F F ( 1 , N 2 ), 回归在0.05的水平上显著。 0 . 05 0 . 01
y x , t 1 , 2 , , N t 0 t t
, ,N 分别表示其它随机因素对电阻值 式中， 1 2, y ,y ,y 1 2, N 影响的总和。

思路：要求电阻y与x的关系，即根据测量数据要求出 0 和 的估计值。根据测量数据，可以得到 7个测量方程，结合前面所学，未知数有两个， 而方程个数大于未知数的个数，适合于用最小 二乘法求解。