电路-第10章 状态方程
大二工科电路学习最后第8-10章复习
当激励为直流或正弦信号时， 当激励为直流或正弦信号时，强制分量就 是稳态分量，自由分量也就是暂态分量。 是稳态分量，自由分量也就是暂态分量。
第8章 线性动态电路的时域分析
四、一阶电路的全响应 求全响应） 三要素法 （求全响应）
f (t ) = f ' (t ) + [ f (0 + ) − f ' (0 + )]e
d 2uC du C LC + RC + uC = 0 2 dt dt
衰减常数 固有振荡角频率
R δ= 2L
1 ω0 = LC
第8章 线性动态电路的时域分析 七、二阶电路的零输入响应
L 时，响应是非振荡性质的； 响应是非振荡性质 是非振荡性质的 1 、当 R ≥ 2 C 响应是振荡性质 振荡性质的 而当 R < 2 L 时，响应是振荡性质的。 C 2、 R < 2 L ——欠阻尼 欠阻尼 C
入信号无关的分量）。 入信号无关的分量）。
第8章 线性动态电路的时域分析 四、一阶电路的全响应 全响应 = 稳态分量 + 暂态分量
暂态分量：随着时间的推移趋于0的分量， 暂态分量：随着时间的推移趋于0的分量， t 形式为： 形式为： −
Ae
τ
稳态分量：达到新稳定状态时的响应分量。 稳态分量：达到新稳定状态时的响应分量。
二、二端口网络的方程和参数
U 1 = Z 11 I 1 + Z 12 I 2 参数方程: Z参数方程: • • • U 2 = Z 21 I 1 + Z 22 I 2
• • •
参数方程: Y参数方程: I 1 = Y11 U 1 + Y12 U 2 • • • I 2 = Y21 U 1 + Y22 U 2 • • • U 1 = AU 2 − B I 2 参数方程: T参数方程: • • • I 1 = CU 2 − D I 2
第10章 非线性电路
u1=u2=u；
i=i1+i2
i i i1 i i2 i1 u u i2
+ i u
i1 + u1
i2 + u2
二、曲线相交法
Decomposition of a circuit into linear and nonlinear parts
If in a nonlinear circuit the nonlinear element can be isolated from the linear part, the linear part can be replaced by its Thevenin equivalent circuit. The analysis is thus simplified.
例：电路如图所示，其中非线性电阻的伏安特性关系为u3 20i3 ，列出求解支路电流的方程。 i1 R1 解： i3 + u 1 i2 + + 0.5 u1 R1i1 , u2 R2i2 , u3 20i3 US R2 u 2 R3 u3
i1 i2 i3 , u1 u2 U S , u2 u3
i U0 R0 + u R i=g(u)
U0 R0i u , u U0 R0i
i g (u )
i U0 R0 + u R i=g(u)
i U0 /R 0 A Q
( U Q, IQ) B U0 u
0
U0 R0 IQ UQ , IQ g (UQ )
The operating point is the intersection of the load line and the i-u characteristic of the nonlinear resistor. (静态工作点) The straight AB line is called the load line. (负载线)
信号与系统基础-第10章
10.1 系统的状态空间描述
(3) 状态向量：状态变量
x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ) 的列向量形式就是状态向量，用 x (t ) 表示，
x1 (t ) x (t ) x (t ) 2 x1 (t ) 1 系统的状态空间描述
1．输入～输出描述 本章将介绍不仅与系统输出和输入信号有关，还涉及系统内部参数的“状态空间”描述法。 图10-1是一个SISO系统的两种描述法示意图。
f (t ) f [ n]
LTI系统 微分/差分方程 （a）外部法
y (t ) y[n]
f (t ) f [ n]
LTI系统 状态方程 输出方程 （b）状态空间法
f (t ) 、状态向量 x (t ) 和响应向量
y(t )
12
三者关系的代数方程称为系统的输出方程。
10.1 系统的状态空间描述
采用状态空间分析法研究系统特性主要有以下特点：
(1) 一阶微分方程组便于求解，尤其便于计算机处理。
(2) 由于系统响应（输出）与状态变量和激励（输入） 之间满足的是代数方程（输出方程），
y (t ) y[n]
图10-1 SISO系统的两种描述法示意图
6
10.1 系统的状态空间描述
2．状态变量描述 在状态空间描述法中，不是直接给出系统输出和 输入之间满足的微分（差分）方程，而是首先在系统 内部适当地选择一组辅助变量——状态变量，然后找 出这组状态变量与系统输入之间满足的关系式——状 态方程，再找出系统输出和这组状态变量以及输入之 间满足的代数方程——输出方程，从而完成系统输入 、状态变量和系统输出三者之间的关系描述。
具有
x2 (t )
xn (t )
《数字电路-分析与设计》1--10章习题及解答(部分)_北京理工大学出版社
6-17先分别将‘290接为8421和5421计数器，再分别用M-1=6(QDQCQBQA=0110)8421和(QAQDQCQB=1001)5421置位即可，应特别注意高低位的顺序。波形图和状态图略。
低电平噪声容限：
甲的关门电平大，所以甲在输入低电平时的
抗干扰能力强。
3-6 试说明下列各种门电路中哪些可以将输出端并联使用（输入端的状态不一定相同）。
⑴ 具有推拉式输出级的TTL电路；
⑵ TTL电路的OCபைடு நூலகம்；
⑶ TTL电路的TS门；
⑷ 普通的CMOS门；
⑸ 漏极开路输出的CMOS门；
⑹ CMOS电路的TS门。
6-24应从RCO引出，此时不管分频比为多少，分频关系都是正确的。
6-25画出状态顺序表或状态图即可。
对于图（a），只要注意QB=0时预置，并且DCBA=QD110即可。
由状态图知，这是模6计数器。
对于图（b），只要注意QC=0时预置，并且DCBA=QD100即可。
由状态图知，这是模10计数器。
该电路设计巧妙，QD均为占空比为50%的方波。
3-5 有两个相同型号的TTL“与非”门，对它们进行测试的结果如下：
⑴ 甲的开门电平为1.4V，乙的开门电平为1.5V；
⑵ 甲的关门电平为1.0V，乙的关门电平为0.9V。
试问在输入相同高电平时，哪个抗干扰能力强？在输入相同的低电平时，哪个抗干扰能力强？
解：高电平噪声容限：
甲的开门电平小，所以甲在输入高电平时的抗干扰能力强；
11-6 电路 状态方程
§11-6 状态方程一、状态：指在某给定时刻描述网络所需要的一组最少量信息，它连同从该时刻开始的任意输入，便可以确定网络今后的性状。
二、状态变量：描述系统所需要的一组最少量的变量。
三、状态方程：以状态变量为未知量的一组一阶微分方程。
状态变量[,]Tc L X u i =取111CL L L c sC L L c L s du Ci dt diL Ri u u dtdu i dt C di R u i u dt L L L==--+==--+写成矩阵形式.10011C c s L L du u dt C u i di R L dt L L X AX BU ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+标准形式状态变量的选择不唯一, 也可12[,][,]TCC du X x x u dt==取 122212211()C C S C S dx x dtd u du dx R x x u LC RC u u dt LC L LC dt dt==--+++= 写成标准形式()C u t112201011S dx x dt u R dx x LC L LC dt ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦四、状态方程的列写 1, 直观法1c C du i dt C =对仅含一条电容支路的节点列KCL 方程 1L Ldi u KVL dt L=对仅含一条电感支路的节点列方程例1：列写如下图所示电路的状态方程。
解：选取单一电感回路，如图l 1、l 2所示；状态变量12[,]T L L X i i =取12211112112221211ss L L L di R i u L dtdi R i R i u L dti i i i i +=++==+=整理并消去中间变量i 1、i 2，得1122122225s sL L L L L L d u dt d u dti i i i i i =--+=--+写成标准形式R R 2L21L H1122221251s L L L L d dt u d dt i i i i ⎡⎤⎢⎥⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦例2：列如下图所示电路的状态方程。
第10章 习题解答
第10章 二端口网络10.1 求图示各二端口网络的Y 参数。
22u (b)图题10.1解：(a) 列写节点电压方程如下：1211221212223111() (1)111()3 (2)U U I R R R U U I I R R R ⎧+-=⎪⎪⎨⎪-++=+⎪⎩ 式(1)代入式(2) 整理得： 1121222121223111()3441()()I U U R R R I U U R R R R ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-+++⎪⎩所以Y 参数为：12212231113441R R R R RR R -⎡⎤+⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦Y (b) 10i =, 11/i u R =3212212112333()()/u u R R i u R R u R i R R R -+-+===12121331R R u u R R R +=-+ 所以12133001R R R R R ⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦Y10.2 一个互易网络的两组测量值如图题10.2所示。
试根据这些测量值求Y 参数。
(a)(b)22-+U图题10.2解：图(a)中11222A,j2V 2j5j 10V j5A I U U I ===⨯==-,,由Y 参数方程得：11112221222j2j 10 (1)j5j2j 10 (2)I Y Y I Y Y ⎧==⨯+⨯⎨=-=⨯+⨯⎩ 由图(b)得 222jA 1V I Y ==⨯ (3) 对互易网络有：1221Y Y = (4)由式(3) 得： 22j 1S Y =，代入式(2) 得：2112( 2.5j5)S Y Y ==-- 再代入式(１)得：11(12.5j24)S Y =+ 所以12.5j2425j52.5j5j1.+--⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦Y S 10.3 求图示各二端口网络的Z 参数。
(b)图题10.3解 (a)：按网孔列写KVL 方程得1211221(2)2 (1)2(2)3 (2)R R I RI U RI R R I U U ++=⎧⎨++=+⎩ 将式(1)代入式(2)整理得1122123273U RI RI U RI RI =+⎧⎨=--⎩ 所以 3273RR R R ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦Z(b) 将∆联接的三个阻抗转换成Y 形联接，如图(c)所示，由此电路可直接写出Z 参数1j j j 0+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦Z Ω10.4求图示各二端口网络的A 参数。
第十章 同步电机的运动方程
28
其中
由上式可见，
与Lad关系见后页
（1）定、转子自感互感均为常数，不再与θ有关，不再是
时变参数
（2）d,q 轴因为相互垂直而解耦，d,q轴间互感为0
（3）定转子间的互感变为不可逆，这对形成等效电路将造
成一定困难。可通过引入标幺值系统或用恒功率变换加
以解决。
展开矩阵，定子绕组
29
≈ ≈
3 Ld Ls0 M s0 2 Ls2
0 Ψs
1
Ψ
r
0 Ls 1 Mrs
Msr is
Lr
ir
C0dq10
0 Ls 1 Mrs
Msr
Lr
C0dq0
0 1
i
ir
' s
C1dMq10LrsCsCdqd0q0
Cdq10M Lr 1
sr
1
is
ir
27
ML's'rs
M
' sr
L'r
i
i's
r
经矩阵运算，可得
FAd cos 0 FAd cos 2cos2
FAd
cos（ 0
1 2
2）
FAd
1 2
2
c
os
3
其基波幅值
空间磁感应强度的基波
BAd1
FAd
λδ
0
1 2
λδ 2
简写为FAd*d
8
同理由fAq产生bAq（） fAq
沿整个气隙圆周，图b中fAq波形
bAq(α） FAq co（s
90 α）
2
10-1 ABC坐标系下同步电机的运动方程
1. 正方向
电路第十章 二阶电路的时域分析
§10-1 二阶电路的零输入响应
L R 2 1 ，即 R 2 时，此时的过度过程为临界阻尼情况， ) 2L LC C 在这种情况下特征方程有两个相等的负实根。
当 (
R p1 p 2 p 2L
电容电压uC( t )的一般形式为
uC (t ) A3 A4t )e pt
电流
d 2 uC duC LC RC uC U s 2 dt dt
初值
uC (0 ) uC (0 ) 0
i(0 ) i(0 ) 0
方程的特解即为稳态解
uCp (t ) U S
§10-2 二阶电路的零状态响应和全响应
10.2.1 二阶电路的零状态响应
按照特征方程的根的不同情况，方程的通解即暂态解也分为三种情况：
令
di 0 ，得 dt
p1e p1t p2 e p2t 0
p2 ln p1 t1 p1 p 2
t = t1是 i 的极值点，也是uC波形的转折点，因为 可求得 uL达到最大值的时刻 t2 为
d 2uC dt
2
t t1
0 。
p2 2 ln p1 t2 2t1 p1 p2
uC (t ) U 0 (1 pt)e pt
U 0 pt i (t ) te L di u L (t ) L U 0 (1 pt )e pt dt
§10-1 二阶电路的零输入响应
当 ( R ) 2 1 ，即 R 2 L 时，过度过程为周期性振荡情况，也称为
2L LC
uC (0 ) A sin U 0 i(0 ) CA[ sin d cos ] 0
联立求解得 于是
第10章习题与解答
第10章 习题与解答10-1 电路如下图，（1）试确信图（a ）中两线圈的同名端；（2）假设已知互感0.04M H =，,流经1L 的电流1i 的波形如图（b ）所示，试画出2L 两头的互感电压21u 的波形；（3）如图（c ）所示的两耦合线圈，已知0.0125M H =，1L 中通过的电流1=10cos800i t （A ），求2L 两头的互感电压21u 。
122')（a ） （b ）121（c ）题10-1图解：（1）依照同名端概念可知，图（a ）中两线圈的同名端为1和2。
（2）依照同名端的位置和电压、电流参考方向，互感电压121=di u Mdt由图（b ）可得133131(08)8101510(810)2100(10)i t t ms i t t ms t ms ---⎧=≤≤⎪⨯⎪⎪=⨯-≤≤⎨⨯⎪>⎪⎪⎩因此3131125(/)(08)8101500(/)(810)2100(10)A s t ms di A s t ms dt t ms --⎧=≤≤⎪⨯⎪⎪=-=-≤≤⎨⨯⎪>⎪⎪⎩则1210.041255()0.04(500)20()0V di u M V dt ⨯=⎧⎪==⨯-=-⎨⎪⎩21u 的波形图为)-题10－1 附图(3) 依照同名端概念可知，图（c ）中两线圈的同名端为1和2',因此 1210.012510cos800di du Mt dt dt=-=-⨯ 0.012510(800sin800)100sin800100cos(80090)()t t t V =-⨯⨯-==-10-2有两组线圈，一组的参数为1=0.01L H ，2=0.04L H ，=0.01M H ；另一组的参数为1'=0.04L H ，2'=0.06L H ，'=0.02M H 。
别离计算每组线圈的耦合系数，通过比较说明，是不是互感大者耦合必紧？什么缘故？解：计算耦合系数0.5k == 0.41k ==比较：'M M <但'k k >，k 大者耦合较紧。
电路理论基础课后习题答案第十到十四章
题12.1图示电路，设)(),(21R R L u f i f i ==ψ。
以q 及ψ为状态变量列出状态方程，并讨论所得方程是自治的还是非自治的。
图题12.1解：分别对节点①和右边回路列KCL 与KVL 方程：C q u u i i q i CL L R C C /===--==ψ将各元件方程代入上式得非线性状态方程：Cq C q f f q /)/()(21=--=ψψ方程中不明显含有时间变量t ，因此是自治的。
题12.2图示电路，设)(),(222111q f u q f u ==，列出状态方程。
4R R 图题12.2解：分别对节点①、②列KCL 方程： 节点①：=1i 321S 1/)(R u u i q --= 节点②：=2i 423212//)(R u R u u q --= 将)(),(222111q f u q f u == 代入上述方程，整理得状态方程：⎩⎨⎧+-=++-=)/())((/)(/)(/)(4343223112S3223111R R R R q f R q f q i R q f R q f q 题12.3在图示电路中电容的电荷与电压关系为)(111q f u =，电感的磁链电流关系为)(222ψf i =。
试列出电路的状态方程。
1u u 图题12.3解：分别对节点①列KCL 方程和图示回路列KVL 方程得：⎩⎨⎧-=-=(2) (1) /323321u u R u i q S ψ3u 为非状态变量，须消去。
由节点①的KCL 方程得：0413332432=-++-=++-R u u R u i i i i 解得()([)/()(224114332413f R q f R R R i R u u +=++=将)(111q f u =、)(222ψf i = 及3u 代入式(1)、(2)整理得：⎩⎨⎧++-+-=+++-=S u R R R R f R R R q f R R R f R R q f q )/()()/()()/()()/()(4343224331124332243111ψψψ 题12.4图示电路，设)sin(,S 3t u a i ωβ==ψ，试分别写出用前向欧拉法、后向欧拉法和梯形法计算响应)(t ψ的迭代公式，步长为h 。
电路-状态方程
第7章一阶电路和二阶电路的时域分析状态方程的概念 会写电路的状态方程状态方程√ 状态方程的列写 √ 输出方程的列写 √状态变量的选择 状态方程的求解（时域或频域求解） × 输出方程的求解（时域或频域求解） ×2010/11/1电路 自动化科学与电气工程学院11、状态和状态变量 状态 电路在tk时刻的状态是指在该时刻电路所必须具 有的一组独立完备数据，这组数据不仅反映了tk 时刻以前所有输入对电路的作用效果，而且结 合（tk，t）期间的输入就能够完全确定t时刻电 路的特性。
2010/11/1电路 自动化科学与电气工程学院2状态变量一组独立的网络变量(1)这组变量在t=t0时刻的值和从t=t0开始的输入能唯一 决定这组变量在任何时刻t>t0时的值。
(2) t时刻的这组变量值和t时刻的输入值能唯一决定网 络的任一变量在时刻t的值。
则这组变量称为状态变量,由这组变量构成的集合称为网 络的状态。
通常选独立的电容电压和电感电流作为网络的 状态变量2010/11/1 电路 自动化科学与电气工程学院 32. 状态方程和输出方程tRLiLuCd uC C = iL dtuSuRuLCd uC 1 = iL d 2 uC d uC + RC + uC = uS LC dt C 2 dt dt d iL 1 R 1 = − u C − iL + u S dt L L Ld iL uS = RiL + L + uC dtt >0⎡ d uC ⎤ ⎡ ⎢ dt ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥=⎢ ⎢ d iL ⎥ ⎢ − 1 ⎢ dt ⎥ ⎢ L ⎣ ⎦ ⎣2010/11/11 ⎤ ⎡0⎤ C ⎥ ⎡ uC ⎤ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ + 1 [uS ] R ⎥ ⎣ iL ⎦ ⎢ ⎥ − ⎣L⎦ ⎥ L⎦电路 自动化科学与电气工程学院4⎡ x1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢ x ⎥ = A ⎢ x ⎥ + B [ uS ] ⎣ 2⎦ ⎣ 2⎦状态方程的标准形式：χ=A χ+B ν状态方程是状态向量的一阶微分方程，描述了 电路中有记忆元件的输入－输出关系，体现了 电路的动态特性。
电路第10章---含有耦合电感的电路讲解
§10.1 互感耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。
1. 互感两个靠得很近的电感线圈之间有磁的耦合，如图10.1所示，当线圈1中通电流 i 1 时，不仅在线圈1中产生磁通f 11，同时，有部分磁通 f 21 穿过临近线圈2，同理，若在线圈2中通电流i 2 时，不仅在线圈2中产生磁通f 22，同时，有部分磁通 f 12 穿过线圈1，f 12和f 21称为互感磁通。
定义互磁链：图 10.1ψ12 = N 1φ12 ψ21 = N 2φ21当周围空间是各向同性的线性磁介质时，磁通链与产生它的施感电流成正比，即有自感磁通链：互感磁通链：上式中 M 12 和 M 21 称为互感系数，单位为（H ）。
当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与互磁链的代数和：需要指出的是：１）M 值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与线圈中的电流无关，因此，满足M12 =M21 =M２）自感系数L 总为正值，互感系数 M 值有正有负。
正值表示自感磁链与互感磁链方向一致，互感起增助作用，负值表示自感磁链与互感磁链方向相反，互感起削弱作用。
2. 耦合因数工程上用耦合因数k 来定量的描述两个耦合线圈的耦合紧密程度，定义一般有：当k =1 称全耦合，没有漏磁，满足f11 = f21，f22 = f12。
耦合因数k 与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关。
3. 耦合电感上的电压、电流关系当电流为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线圈两端产生感应电压。
根据电磁感应定律和楞次定律得每个线圈两端的电压为：即线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压。
在正弦交流电路中，其相量形式的方程为注意：当两线圈的自感磁链和互感磁链方向一致时，称为互感的“增助”作用，互感电压取正；否则取负。
电路理论基础习题答案第十章
答案解：0<t 时，电容处于开路，故V 20k 2m A 10)0(=Ω⨯=-C u由换路定律得：V 20)0()0(==-+C C u u换路后一瞬间，两电阻为串联，总电压为)0(+C u 。
所以m A 5k )22()0()0(1=Ω+=++C u i再由节点①的KCL 方程得：m A 5m A )510()0(m A 10)0(1=-=-=++i i C答案解：0<t 时电容处于开路，电感处于短路，Ω3电阻与Ω6电阻相并联，所以A 3)363685(V45)0(=Ω+⨯++=-i ，A 2)0(366)0(=⨯+=--i i L V 24)0(8)0(=⨯=--i u C 由换路定律得：V 24)0()0(==-+C C u u ，A 2)0()0(==-+L L i i 由KVL 得开关电压：V 8V )2824()0(8)0()0(-=⨯+-=⨯+-=+++L C i u u答案解：0<t 时电容处于开路，0=i ，受控源源电压04=i ，所以V 6.0V 5.1)69(6)0()0()0(1=⨯Ω+Ω===--+u u u C C0>t 时，求等效电阻的电路如图(b)所示。
等效电阻Ω=++-==5)36(4i ii i i u R时间常数s 1.0i ==C R τ0>t 后电路为零输入响应，故电容电压为：V e 6.0e )0()(10/t t C C u t u --+==τΩ6电阻电压为：V e 72.0)d d (66)(101t Ctu Ci t u -=-⨯Ω-=⨯Ω-=)0(>t答案解：0<t 时电感处于短路，故A 3A 9363)0(=⨯+=-L i ，由换路定律得： A 3)0()0(==-+L L i i求等效电阻的电路如图(b)所示。
(b)等效电阻Ω=+⨯+=836366i R ，时间常数s 5.0/i ==R L τ 0>t 后电路为零输入响应，故电感电流为 A e 3e )0()(2/t t L L i t i --+==τ)0(≥t电感电压V e 24d d )(21t L tiL t u --==)0(>tΩ3电阻电流为A e 23632133t L u i u i --=Ω+⨯Ω=Ω=Ω3电阻消耗的能量为：W 3]e 25.0[1212304040233=-==Ω=∞-∞-∞Ω⎰⎰t t dt e dt i W答案解：由换路定律得0)0()0(==-+L L i i ，达到稳态时电感处于短路，故A 54/20)(==∞L i求等效电阻的电路如图(b)所示。
状态方程
C2+ u1
i5
i6 R5
L3 i3
C1
L4 i4
R6 uS +
i5= (u2 u1)/R5 i6 = i4 i3
代入上式，整理
将状态方程整理为矩阵形式为
电路理论基础
1 R5C1
u1 1
uii432
R5C 2 0
则
x1
duC dt
x2
x2
x1
x2
d 2 uC dt 2
1 RC
duC dt
1 LC
uC
1 LC
uS (t)
即
x1 x2
0 1
LC
1 1
RC
x1 x2
0
1 LC
uS
(t
0
1 L1 1 L2
1 C
R1 L1
R1 L2
1
(
C R1
L1 R1
L2
R2
)
uc i1 i2
0 1
L1 1
L2
0
0
us is
R2 L2
(5) iS 单独作用( uS =0，iL=0 , uC1=0 ，uC2=0)
iC 1
R1 i S R1 R2
电路_李裕能_第10章拉普拉斯变换及网络函数讲解
第10章拉普拉斯变换及网络函数本章的主要内容有：拉普拉斯变换的基本概念，拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系；拉普拉斯变换的基本性质；拉普拉斯反变换；电路定律的运算形式，运算电路，应用拉普拉斯变换分析线性电路中的过渡过程；网络函数的定义及其性质，复频率平面及网络函数的零点与极点；极点、零点与冲激响应，极点、零点与频率响应;拉普拉斯变换与正弦稳态相量法之间的对应关系。
10.1拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系概述——求解动态电路的两种方法比较经典法在第九章，主要介绍了用时域分析法分析一阶电路和二阶电路的动态过程，其要点是运用数学方法，列写换路后电路的微分方程、解微分方程、由电路的初始条件确定积分常数。
这种方法也称为经典法。
时域分析法有其优点：数学推导严密，物理概念清晰。
但是运用时域分析法分析高阶电路时就比较麻烦：首先，将描述储能元件电压、电流关系的一阶微分方程组化为单一变量的高阶微分方程的运算复杂；其次，求解高阶微分方程的特征方程的特征根运算量大；最后，确定电路的初始条件、定积分常数相当麻烦。
另外，当电路中有冲激电源或者冲激响应时，时域分析法在确定初始条件时也比较困难。
复频域分析法复频域分析法的要点是将时域电路转换成运算模型，正如在正弦稳态相量法分析稳态电路时将时域电路转化成相量模型，将描述动态电路的微分方程，变换成为相应的代数方程，将求解微分方程的全解转化成求解代数方程，由代数方程的解对应找出原微分方程的解。
这种方法的优点在于将描述动态过程时域电路转换成为复频域形式的运算电路，由运算电路形成代数方程，它既不需要列写电路的微分方程；也不需要由电路的初始条件确定积分常数。
这种方法也称为积分变换法。
10.1.1拉普拉斯变换１、由傅里叶变换到拉普拉斯变换傅里叶变换与拉普拉斯变换都是积分变换，时域函数f ( t ) 的傅里叶变换为要使上式的积分收敛，函数f ( t )在无限区间内必须满足绝对可积，即 d t 存在，其傅里叶变换才能确定，显然这是傅里叶变换的局限性。
电路分析基础[第十章状态方程]课程复习
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第十章状态方程10．2．1 基本概念与定义一、状态变量在任意瞬时都能与输入激励一起用一组线性代数方程来确定电路全部响应的一组独立完备的变量。
对于一个电路，状态变量的选取不是唯一的，但在电路分析中，常取电容上的电压和电感电流作为状态变量。
在含R、L、C的动态电路中，状态变量的数目就等于电路图中独立储能元件的数目。
二、状态方程用来从已知的激励和初始状态求状态变量的一阶微分方程，称为状态方程，它描述了状态变量的一阶导数与状态变量和激励之间的关系。
三、输出方程用来从已知的激励和状态变量求响应的代数方程，称为输出方程。
它描述了输出与状态变量和激励之间的关系。
10．2．2 状态方程的列写方法线性电路状态方程的列写方法主要有：观察法、叠加法和拓扑法。
一、观察法观察法列写状态方程的步骤：(1)选所有独立的电容电压和电感电流作为状态变量；(2)对接有独立电容的节点列写KCL方程，对含有独立电感的回路列写KVL 方程；(3)若第(2)步所列的KCL和KVL方程中含有非状态变量，则利用适当的KCL 和KVL方程，将非状态变量消去；(4)将状态方程整理成标准矩阵形式。
二、叠加法叠加法是基于替代定理和线性叠加定理的一种方法，用叠加法列写状态方程的步骤为：(1)用电压为UC 的电压源替代电路中的电容、用电流为iL的电流源替代电路中的电感；(2)求每个独立源单独作用时在电容中产生的电流iC 和电感中的电压uL；(3)应用线性叠加定理将各分量叠加即得到状态方程；(4)将状态方程整理成标准矩阵形式。
三、拓扑法拓扑法即是借助网络图论法列写状态方程的方法，用拓扑法列写状态方程的步骤为：(1)将电路图变为拓扑图；(2)选择一棵常态树，它的树枝包含了电路中所有电压源支路和电容支路，以及一些必要的电阻支路，不包含任何电流源支路和电感支路；(3)对单电容树枝割集列写KCL方程，对单电感连枝回路列写KVL方程，消去非状态变量；(4)将状态方程整理成标准矩阵形式。
电路原理12.6.4状态方程 - 状态方程2
写基本回路方程，使方程的左边尽量出现C、duC/dt和L、diL/dt 的各项，而右边尽可能含uC、iL(状态变量)和uS、iS(输入变量)， 以及其他非状态变量uR、iR、iC、uL等等，利用支路电压电流 关系从这些方程中消去就可得到
2Ω uR2 4H iL2
uC iL1 iL2 u(t) uR1 -0.6 -1.2 1.2 0.6
uR2 -0.4 1.2 -1.2 0.4
uR1 -0.6uC - 1.2iL1 1.2iL2 0.6u(t ) uR2 -0.4uC 1.2iL1 - 1.2iL2 0.4u(t)
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iL
iC1
R1
uL -
R2
uC2 0。求 iC1、iC2、uL。 iC1 iL；iC2 -iL；uL 0
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电路方程的矩阵形式
C2 iC2
iC2
uC2 -
L iL
C1 iC1
uL R1
uC1 -
R2
iS
uS
-
iC1
uL -
R1
R2
uS
-
(4) uS单独作用，即iS 0，iL 0，uC1 0，uC2 0。求 iC1、iC2、uL。
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电路方程的矩阵形式
3. 叠加法 uC-
uC -
(1) 将电源、电容、电感均抽到网 络外。
C
uS
R
-
iL L
iS iL
(2) 电容用电压源替代，电感用电 流源替代。
(3) 用叠加定理求iC，uL。
则 uS、iS、uC、iL共同作用下的iC，
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10.1 状态变量和状态方程
(1)状态及状态变量的概念
状态：电路状态指在任何时刻必需的最少量的信息，它们和自该时刻以后的输入（激励）足以确定该电路此后的性状。
状态变量：描述电路状态的一组变量，这组变量在任何时刻的值表明了该时刻电路的状态。
状态变量的选取方法：电路变量选取不是唯一的，对于动态电路，动态变量的个数与动态元件的个数相同，常取电感中的电流和电容上的电压作为动态变量。
10.1 状态变量和状态方程
(2)状态方程
图示电路，以电容上的电压和电感中的
电流为状态变量列出方程：
写成矩阵形式：
10.1 状态变量和状态方程
状态方程标准形式：
——n维状态变量列向量
——n维状态变量列向量对时间的一阶导数V——r维输入（激励）列向量
B——为nXr阶常数矩阵
10.1 状态变量和状态方程
(3)输出方程
对电路的输出变量列写的方程即为输出方程。
例如，
如图示，我们关心的是电流i和R2电阻上的电压，
则输出方程为：
写成矩阵形式：
输出方程的一般形式：
式中，X,Y分别是状态变量和输出变量列向量；C,D是常数矩阵。
10.2 状态方程列写方法
(1)观察法
对简单电路通过观察列写状态方程。
方法是：对含C的结点列写KCL，对含L的回路列写KVL。
如图所示，对结点①列KCL对回路1列KVL:
即：
写成矩阵形式：
10.2 状态方程列写方法
(2)叠加法
基本思路：用电压源代替电容，用电流源代替电感，然后用叠加定理求电容中的电流和电感中的电压。
如图右上图所示，用电压源替代电容用电流源替代电感后得到右下图。
10.2 状态方程列写方法
10.2 状态方程列写方法
(3)拓扑法
对复杂电路，借助网络图论列写状态方程，称为拓扑法。
拓扑法基本思路：
A、将图中的每个元件看成一条支路。
B、选一棵常态树：树支包含的有电压源支路和电容支路和一些必要的电阻支路，不含任何电感支路和电流源支路。
当电路存在由电压源和电容构成的回路以及不存在由电感的电流源构成的割集时，这样的常数树是存在的。
存在常态树的电路叫常态电路，非则称为病态电路。
C、对单电容树支割集列写KCL；对单电感连支回路列写KVL。
D、消去非状态变量。
10.2 状态方程列写方法
列出图示电路的状态方程。
解：选1、2、3、4为树支。
对割集Q1和Q2列KCL ，对回路1和回路
2
列KVL
即：【例10.2.1】
10.2 状态方程列写方法
消去非状态变量i6和u4，对回路3列KVL，对Q3列KCL
联立解得：
10.2 状态方程列写方法消去非状态变量并整理得：
本章结束！
习题。