导数题型分析及解题方法

导数题型分析及解题方法
一、考试内容
导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。

二、热点题型分析
题型一：利用导数研究函数的极值、最值。

1．
32
()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2．已知函数2)()(2
=-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ；
3．函数3
31x x y -+=有极小值 －1 ,极大值 3
题型二：利用导数几何意义求切线方程
1．曲线3
4y x x =-在点
()1,3--处的切线方程是 2y x =- 2．若曲线x x x f -=4
)(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点的坐标为 （1，0）
3．若曲线4
y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 430x y --=
4．求下列直线的方程：
（1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线； （2）曲线2
x y =过点P(3,5)的切线； 解：（1）
123|y k 23 1)1,1(1x /2/2
3===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P
所以切线方程为02
11=+-+=-y x x y 即， （2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为),(00y x A ，则2
00x y =①又函数的导数为x y 2/=，
所以过
)
,(00y x A 点的切线的斜率为
/2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以有
3
5
2000--=
x y x ②，由①②联立方程组得，⎩⎨⎧⎩⎨⎧====25
5 110
000y x y x 或，即切点为（1，1）时，切线斜率为
;
2201==x k ；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切线有两条，方程分
别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即，
或
题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值
1．已知函数
))1(,1()(,)(2
3f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1
（Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围
解：（1）由
.23)(,)(2
23b ax x x f c bx ax x x f ++='+++=求导数得 过))1(,1()(f P x f y 上点=的切线方程为：
).1)(23()1(),1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即
而过.13)]1(,1[)(+==x y f P x f y 的切线方程为上
故⎩⎨
⎧-=-=+⎩⎨
⎧-=-=++30233
23c a b a c a b a 即
∵124,0)2(,2)(-=+-∴=-'-==b a f x x f y 故时有极值在 ③
由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴
.542)(2
3+-+=x x x x f （2）).2)(23(443)(2
+-=-+='x x x x x f
当;
0)(,32
2;0)(,23<'<≤->'-<≤-x f x x f x 时当时
13)2()(.0)(,132
=-=∴>'≤<f x f x f x 极大时当 又)(,4)1(x f f ∴=在[－3，1]上最大值是13。

（3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又
,23)(2
b ax x x f ++='由①知2a+b=0。

依题意)(x f '在[－2，1]上恒有)(x f '≥0，即.032≥+-b bx x
①当
6,03)1()(,16min ≥∴>+-='='≥=
b b b f x f b
x 时； ②当
φ∈∴≥++=-'='-≤=
b b b f x f b
x ,0212)2()(,26min 时；
③当.
60,01212)(,1622min ≤≤≥-='≤≤-b b b x f b 则时
综上所述，参数b 的取值范围是),0[+∞
2．已知三次函数32
()f x x ax bx c =+++在1x =和1x =-时取极值，且(2)4f -=-．
① ②
(1) 求函数()y f x =的表达式； (2) 求函数()y f x =的单调区间和极值；
(3) 若函数()()4(0)g x f x m m m =-+>在区间[3,]m n -上的值域为[4,16]-，试求m 、n 应满足的条件．
解：(1) 2()32f x x ax b '=++，
由题意得，1,1-是2
320x ax b ++=的两个根，解得，0,3a b ==-．
再由(2)4f -=-可得2c =-．∴
3
()32f x x x =--．
(2) 2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，
当1x <-时，()0f x '>；当1x =-时，()0f x '
=； 当11x -<<时，()0f x '<；当1x =时，()0f x '
=；
当1x >时，()0f x '
>．∴函数()f x 在区间(,1]-∞-上是增函数； 在区间[1,]-１
上是减函数；在区间[1,)+∞上是增函数． 函数()f x 的极大值是(1)0f -=，极小值是(1)4f =-．
(3) 函数()g x 的图象是由()f x 的图象向右平移m 个单位，向上平移4m 个单位得到的， 所以，函数()f x 在区间[3,]n m --上的值域为[44,164]m m ---（0m >）． 而(3)20f -=-，∴4420m --=-，即4m =．
于是，函数()f x 在区间[3,4]n --上的值域为[20,0]-． 令()0f x =得1x =-或2x =．由()f x 的单调性知，142n --，即36n
．
综上所述，m 、n 应满足的条件是：4m =，且36n
．
3．设函数()()()f x x x a x b =--．
（1）若()f x 的图象与直线580x y --=相切，切点横坐标为２，且()f x 在1x =处取极值，求实数,a b 的值；
（2）当b=1时，试证明：不论a 取何实数，函数()f x 总有两个不同的极值点．
解：（1）2
()32().f x x a b x ab '=-++
由题意(2)5,(1)0f f ''==，代入上式，解之得：a=1，b=1．
（2）当b=1时，
()0f x '=令得方程2
32(1)0.x a x a -++= 因
,0)1(42
>+-=∆a a 故方程有两个不同实根21,x x ． 不妨设21x x <，由))((3)(21'x x x x x f --=可判断)('
x f 的符号如下：
当时，1x x <)('x f ＞０；当时，21x x x <<)('x f ＜０；当
时，2x x >)('
x f ＞０ 因此1x 是极大值点，2x 是极小值点．，当b=1时，不论a 取何实数，函数()f x 总有两个不同的极值点。

题型四：利用导数研究函数的图象
1．如右图：是f （x ）的导函数， )(/x f 的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ D ）
（A ） （B ） （C ） （D ） 2．函数的图像为14313
+-=
x x y ( A )
3．方程内根的个数为在)2,0(07622
3=+-x x ( B )
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围
x
y
o 4 -4 2 4 -4
2 -2 -2
x y
o 4 -4 2 4 -4
2 -2 -2
x
y
y 4 -4 2 4 -4
2
-2 -2
6 6 6 6 y
x
-4
-2 o
4 2 2
4
1．设函数
.1
0,
3
2
3
1
)
(2
2
3<
<
+
-
+
-
=a
b
x
a
ax
x
x
f
（1）求函数
)
(x
f的单调区间、极值.
（2）若当
]2
,1
[+
+
∈a
a
x时，恒有a
x
f≤
'|)
(
|，试确定a的取值范围.
解：（1）
22
()43
f x x ax a
'=-+-
=
(3)()
x a x a
---，令()0
f x
'=
得12
,3
x a x a
==
列表如下：
x （-∞，a） a （a，3a）3a （3a，+∞）()
f x
'- 0 + 0 -
() f x
极小
极大
∴
()
f x在（a，3a）上单调递增，在（-∞，a）和（3a，+∞）上单调递减
x a
=时，
3
4
()
3
f x b a
=-
极小
，3
x a
=时，()
f x b
=
极小
（2）
22
()43
f x x ax a
'=-+-
∵01
a
<<，∴对称轴21
x a a
=<+，
∴
()
f x
'
在[a+1，a+2]上单调递减
∴
22
(1)4(1)321
Max
f a a a a a
'=-+++-=-
，
22
min
(2)4(2)344
f a a a a a
'=-+++-=-
依题|()|
f x a
'≤⇔||
Max
f a
'≤
，min
||
f a
'≤
即
|21|,|44|
a a a a
-≤-≤
解得4
1
5
a
≤≤
，又01
a
<<∴a的取值范围是
4
[,1)
5
2．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－2
3与x＝1时都取得极值（1）求a、b的值与函
数f（x）的单调区间
（2）若对x∈〔－1，2〕，不等式f（x）<c2恒成立，求c的取值范围。

解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f'（x）＝3x2＋2ax＋b
由f'（
2
3
－
）＝
124
a b0
93
－＋＝
，f'（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝
1
2
－
，b＝－2
f'（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：
所以函数f （x ）的递增区间是（－∞，－23）与（1，＋∞），递减区间是（－2
3，1）
（2）f （x ）＝x3－12x2－2x ＋c ，x ∈〔－1，2〕，当x ＝－23时，f （x ）＝2227＋c
为极大值，而f （2）＝2＋c ，则f （2）＝2＋c 为最大值。

要使f （x ）<c2（x ∈〔－1，2〕）恒成立，只需c2>f （2）＝2＋c ，解得c <－1或c > 2
题型六：利用导数研究方程的根
1．已知平面向量a =(3,－1). b =(21
,23).
（1）若存在不同时为零的实数k 和t ，使x =a +(t2－3)b ，y =-k a +t b ，x ⊥y ， 试求函数关系式k=f(t) ；
(2) 据(1)的结论，讨论关于t 的方程f(t)－k=0的解的情况. 解：(1)∵x ⊥y ，∴x y ⋅=0 即[a +(t2-3) b ]·(-k a +t b )=0. 整理后得-k 2
a +[t-k(t2-3)] a
b ⋅+ (t2-3)·2
b =0
∵a b ⋅=0，2
a =4，2
b =1，∴上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=41
t(t2-3)
(2)讨论方程41t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)= 41
t(t2-3)与直线y=k
的交点个
数.
于是f ′(t)= 43(t2-1)= 43
(t+1)(t-1).
当t=－1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=21
.
当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=－21
函数f(t)=41
t(t2-3)的图象如图13－2－1所示，
可观察出：
(1)当k ＞21或k ＜－21
时,方程f(t)－k=0有且只有一解； (2)当k=21或k=－21
时,方程f(t)－k=0有两解； (3) 当－21＜k ＜21
时,方程f(t)－k=0有三解.
题型七：导数与不等式的综合
1．设
ax x x f a -=>3
)(,0函数在),1[+∞上是单调函数. （1）求实数a 的取值范围； （2）设
x ≥1，)(x f ≥1，且0
0))((x x f f =，求证：00)(x x f =.
解：（1） ,3)(2a x x f y -='='若)(x f 在[)+∞,1上是单调递减函数，则须
,3,02x a y ><'即这样的实数a 不存在.故)(x f 在[)+∞,1上不可能是单调递减函数.
若)(x f 在[)+∞,1上是单调递增函数，则a ≤2
3x ， 由于
[)33,,12
≥+∞∈x x 故.从而0<a ≤3. （2）方法1、可知)(x f 在[)+∞,1上只能为单调增函数. 若1≤)
(00x f x <，则,
))(()(000矛盾x x f f x f =< 若1≤
)
(),())((,)(000000x f x x f x f f x x f <<<即则矛盾，故
只有
0)(x x f =成立.
方法2：设
0)(,)(x u f u x f ==则，
,
,0303
0x au u u ax x =-=-∴两式相减得
00330)()(x u u x a u x -=---
0202
00,0)1)((x a u u x x u x =-+++-∴≥1,u ≥1，
30,32020≤<≥++∴a u u x x 又，0
12020>-+++∴a u u x x
2．已知a 为实数，函数23
()()()
2f x x x a =++
（1）若函数()f x 的图象上有与x 轴平行的切线，求a 的取值范围 （2）若'(1)0f -=，（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间
（Ⅱ）证明对任意的
12(1,0)
x x ∈-、，不等式
125
|()()|16f x f x -<
恒成立
解：
3233()22f x x ax x a =++
+，23'()322f x x ax ∴=++
函数()f x 的图象有与x 轴平行的切线，'()0f x ∴=有实数解
2344302a ∴∆=-⨯⨯≥，292a ≥，所以a 的取值范围是33
2][222-∞-+∞（，，）
'(1)0f -=，
33202a ∴-+
=，94a =，2931
'()33()(1)222f x x x x x ∴=++=++ 由'()0,1f x x ><-或
12x >-
；由1
'()0,12f x x <-<<-
()f x ∴的单调递增区间是1(,1),(,)2-∞--+∞；单调减区间为
1(1,)
2-- 易知()f x 的最大值为
25(1)8f -=
，()f x 的极小值为149()216f -=，又27
(0)8f =
()f x ∴在[10]-，上的最大值
278M =
，最小值49
16m =
∴对任意12,(1,0)x x ∈-，恒有
1227495
|()()|81616f x f x M m -<-=
-=
题型八：导数在实际中的应用
1．请您设计一个帐篷。

它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图所示）。

试问当帐篷的顶点O 到底面中心1o 的距离为多少时，帐篷的体积最大？ 解：设OO1为x m ，则41<<x
由题设可得正六棱锥底面边长为：22228)1(3x x x -+=--，（单位：m ）
故底面正六边形的面积为：
(436⋅⋅
22)28x x -+=)28(2332x x -+⋅，（单位：2
m ）
帐篷的体积为：
)(V 22823
3x x x -+=
）（]1)1(31[+-x )1216(233x x -+=（单位：3m ）
求导得
)312(23
V '2x x -=
）（。

令0V'=）（x ，解得2-=x （不合题意，舍去），2=x ， 当21<<x 时，0V'>）（x ，）（x V 为增函数； 当42<<x 时，0V'<）（x ，）（x V 为减函数。

∴当2=x 时，）（x V 最大。

答：当OO1为2m 时，帐篷的体积最大，最大体积为3163
m 。

2．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/
小时）的函数解析式可以表示为：
313
8(0120).
12800080y x x x =
-+<≤
已知甲、乙两地相距100千米。

（I ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
解：（I ）当40x =时，汽车从甲地到乙地行驶了100
2.5
40=小时，
要耗没313
(40408) 2.517.5
12800080⨯-⨯+⨯=（升）。

（II ）当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100
x 小时，设耗油量为()h x 升，
依题意得3213100180015
()(8).(0120),
1280008012804h x x x x x x x =-+=+-<≤
2800'()120).640x h x x x =-=≤
令'()0,h x =得80.x =
当(0,80)x ∈时，'()0,()h x h x <是减函数； 当(80,120)x ∈时，'()0,()h x h x >是增函数。

∴当80x =时，()h x 取到极小值(80)11.25.h =
因为()h x 在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值。

答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。

当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。

题型九：导数与向量的结合
1．设平面向量
3113(
),().2222a b =-=，，若存在不同时为零的两个实数s 、t 及实数k ，使
，且y x b t a s y b k t a x ⊥+-=-+=,,)(2
（1）求函数关系式()S f t =；
（2）若函数()S f t =在[)∞+，
1上是单调函数，求k 的取值范围。

解：（1）
).23,21(),21,23(
=-=b a 10a b a b ==•=，
2
22
2223,0000x y x y a t k b sa tb sa t t k b t st sk a b s t k t s f t t kt ⊥•=⎡⎤+--+=⎣⎦-+--+⋅=∴-+-===-又，得
（）（）
，即（）-（）。

（），故（）。

（2）
[)上是单调函数，，）在（且）（∞+-='132t f k t t f
则在[)+∞,1上有00)(≤'≥'）
（或t f t f 由
3)3(3030)(min 2
22≤⇒≤⇒≤⇒≥-⇒≥'k t k t k k t t f ； 由223030)(t k k t t f ≥⇒≤-⇒≤'。

因为在t ∈[)+∞,1上2
3t 是增函数，所以不存在k ，使2
3t k ≥在[)+∞,1上恒成立。

故k 的取值范
围是3≤k 。