导数题型分析及解题方法

导数题型分析及解题方法

一、考试内容

导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。 二、热点题型分析

题型一：利用导数研究函数的极值、最值。

1．

32

()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2．已知函数2)()(2

=-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ；

3．函数3

31x x y -+=有极小值 －1 ,极大值 3

题型二：利用导数几何意义求切线方程

1．曲线3

4y x x =-在点

()1,3--处的切线方程是 2y x =- 2．若曲线x x x f -=4

)(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点的坐标为 （1，0）

3．若曲线4

y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 430x y --=

4．求下列直线的方程：

（1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线； （2）曲线2

x y =过点P(3,5)的切线； 解：（1）

123|y k 23 1)1,1(1x /2/2

3===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P

所以切线方程为02

11=+-+=-y x x y 即， （2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为),(00y x A ，则2

00x y =①又函数的导数为x y 2/=，

所以过

)

,(00y x A 点的切线的斜率为

/2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以有

3

5

2000--=

x y x ②，由①②联立方程组得，⎩⎨⎧⎩⎨⎧====25

5 110

000y x y x 或，即切点为（1，1）时，切线斜率为

;

2201==x k ；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切线有两条，方程分

别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即，

或

题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值

1．已知函数

))1(,1()(,)(2

3f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1

（Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围

解：（1）由

.23)(,)(2

23b ax x x f c bx ax x x f ++='+++=求导数得 过))1(,1()(f P x f y 上点=的切线方程为：

).1)(23()1(),1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即

而过.13)]1(,1[)(+==x y f P x f y 的切线方程为上

故⎩⎨

⎧-=-=+⎩⎨

⎧-=-=++30233

23c a b a c a b a 即

∵124,0)2(,2)(-=+-∴=-'-==b a f x x f y 故时有极值在 ③

由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴

.542)(2

3+-+=x x x x f （2）).2)(23(443)(2

+-=-+='x x x x x f

当;

0)(,32

2;0)(,23<'<≤->'-<≤-x f x x f x 时当时

13)2()(.0)(,132

=-=∴>'≤

（3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又

,23)(2

b ax x x f ++='由①知2a+b=0。 依题意)(x f '在[－2，1]上恒有)(x f '≥0，即.032≥+-b bx x

①当

6,03)1()(,16min ≥∴>+-='='≥=

b b b f x f b

x 时； ②当

φ∈∴≥++=-'='-≤=

b b b f x f b

x ,0212)2()(,26min 时；

③当.

60,01212)(,1622min ≤≤≥-='≤≤-b b b x f b 则时

综上所述，参数b 的取值范围是),0[+∞

2．已知三次函数32

()f x x ax bx c =+++在1x =和1x =-时取极值，且(2)4f -=-．

① ②

(1) 求函数()y f x =的表达式； (2) 求函数()y f x =的单调区间和极值；

(3) 若函数()()4(0)g x f x m m m =-+>在区间[3,]m n -上的值域为[4,16]-，试求m 、n 应满足的条件．

解：(1) 2()32f x x ax b '=++，

由题意得，1,1-是2

320x ax b ++=的两个根，解得，0,3a b ==-．

再由(2)4f -=-可得2c =-．∴

3

()32f x x x =--．

(2) 2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，

当1x <-时，()0f x '>；当1x =-时，()0f x '

=； 当11x -<<时，()0f x '<；当1x =时，()0f x '

=；

当1x >时，()0f x '

>．∴函数()f x 在区间(,1]-∞-上是增函数； 在区间[1,]-１

上是减函数；在区间[1,)+∞上是增函数． 函数()f x 的极大值是(1)0f -=，极小值是(1)4f =-．

(3) 函数()g x 的图象是由()f x 的图象向右平移m 个单位，向上平移4m 个单位得到的， 所以，函数()f x 在区间[3,]n m --上的值域为[44,164]m m ---（0m >）． 而(3)20f -=-，∴4420m --=-，即4m =．

于是，函数()f x 在区间[3,4]n --上的值域为[20,0]-． 令()0f x =得1x =-或2x =．由()f x 的单调性知，142n --，即36n

．

综上所述，m 、n 应满足的条件是：4m =，且36n

．

3．设函数()()()f x x x a x b =--．

（1）若()f x 的图象与直线580x y --=相切，切点横坐标为２，且()f x 在1x =处取极值，求实数,a b 的值；