平行线中添加辅助线专题
平行线中添辅助线的方法
平行线中添辅助线的方法在几何学中，平行线是指在同一个平面内，永远不会相交的线。
平行线可以用于解决许多几何问题。
有时，为了更好地理解和解决问题，我们可能需要在已知的平行线中添加辅助线。
这篇文章将介绍一些经常在平行线中添加辅助线的方法，以及如何利用这些辅助线解决几何问题。
方法一：创建平行线之间的等距线段这是最常见的方法之一，可以通过创建平行线之间的等距线段来添加辅助线。
这个方法可以在几何证明中使用，以创建所需的形状或角度。
下面是一个例子：假设有两个平行线AB和CD，在这两条平行线上选择两个等距点E和F。
然后，通过连接EF，你就创建了一个辅助线，使得EF平行于AB和CD。
这样，你就可以利用这个平行四边形来证明或解决其他几何问题。
方法二：使用交叉线段这个方法涉及到在平行线上选择一个点，并通过它绘制一条与其他平行线相交的线段。
这种方法通常用于证明几何性质。
例如，假设有两个平行线AB和CD，我们可以在AB上选择一个点E，并通过它绘制一条线段EF与CD相交。
然后，通过观察EF与AB的关系，可以证明一些三角形的性质或者其他几何关系。
方法三：利用平行线之间的相似三角形利用平行线之间的相似三角形是另一种常用的方法。
通过观察平行线和与它们相交的第三条线，可以找到相似的三角形。
然后，利用这些相似三角形的性质来解决几何问题。
例如，假设有两个平行线AB和CD，以及一条与它们相交的第三条线EF。
通过观察，可以发现三角形ADE与三角形BCF相似。
这意味着可以使用相似三角形的性质来计算未知角度或线段的长度。
方法四：利用中位线和对角线这个方法通常涉及到在平行线形成的平行四边形中绘制中位线或对角线。
中位线是连接平行四边形两对相对顶点的线段，对角线是连接两对非相邻顶点的线段。
这些辅助线可以帮助我们找到形状的性质，或计算线段的长度。
例如，假设有一个平行四边形ABCD，你可以通过绘制对角线AC来创建两个互相重叠的三角形ABC和ADC。
通过观察这些三角形的性质，可以得出许多结论，例如它们的面积相等或角度相等。
添加辅助线解决平行线中角的问题 PPT
提问:
1、我们学过的直线平行的条件有哪些？ 2、平行线的性质又有哪些呢？ 3、练习：如图，AB//CD//EF，那么 B A AE E EC C （ CD）
（A） 180 （B） 270 （C） 360 （D） 540
A E
C
B F
D
若将上图做一下变化，我们来观察一下：
已知：如图，AB//CD，那么 A、C与AEC 有什么关系？为什么?
A
B
1
2
F
C
3 4
E
D
A
B
E
F
C
D
理由: 过E做EF//AB
EF //AB （所作）
AB//CD(已知） EF//CD（平行于同一直线的两直线平行） C CE 1F 8 （两0 直线平行，同旁内角互补） E/F /AB（已知）
A AE 1F 8（0 两直线平行，同旁内角互补）
即 A C AEC
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添加辅助线解决平行线中角的问题
两直线平行
请注意:
性质
｛1.同位角相等 2.内错角相等 判定 3.同旁内角互补
1.由_角__的__关__系__得到_两__直__线__平__行__的结 论是平行线的判定; 用途：说明直线平行
2.由_两__直__线__平__行___得到_角__相__等__或__互__补___的 结论是平行线的性质. 用途：说明角相等或互补
A
B
E
E
C
D
答: A C A E 3 C 60
理由
如果点E的位置发生变化，如图，已知：AB//CD，A、 C与 AEC 又有
什么样的关系呢？
A
B
E
C
平行线中添辅助线的方法
平行线中添辅助线的方法平行线中常见的添辅助线的方法：(1) 在平行线内(或外)一点作直线的平行线；(2) 加截线(连接两点、延长线段相交)例：探究：(1) 、如图1,若AB//CD ，贝U/ B+Z D=Z E,你能说明为什么吗？(2) 、反之，若Z B+Z D=Z E,直线AB 与CD 有什么位置关系？请证明(3) 、若将点E 移至图2所示位置，此时之间有什么关系？请证明。
(4) 、若将点E 移至图3所示位置，情况又如何？(5) 、若将点E 移至图4所示位置，情况又如何？(6) 、在图5中，AB//CD ，Z B+Z D+Z F 与Z E+Z G 又有何关系？平行线拓展延伸题一、填空题1、 如图，已知 AB// CD 若Z A=20°,Z E=35，则Z C 等于 ____________2、 如图，I 1//I 2，Z 1=120°,Z 2=100°,则Z 3= _____________ 。
4、如图，AB // CD , 1 50°, 2 110°,则 3 _____________ 。
&如图，已知 AB// EF,Z BAC=p Z ACD=x Z CDE=y Z DEF=q 用 p 、q 、y 来 表示x 得 _________________________________。
|2图1D、选择题如图1, AB// CD 且/ BAP=60 —a, / APC=45 + a,/ PCD=30 —a,则a =（A、10图1 B 、15BD图32、如图2, AB//CD，且 A 25 , C 45，贝U E的度数是（）A. 60B. 70C. 110D. 803、如图3,已知AB// CD则角a、B、丫之间的关系为（）A、a + B + Y =180°B、a — B + 丫=180°C、a + B —丫=180°D、a +B + Y =3605、如图，已知AB// EF,Z C=90，则a、B和r的关系是（）A、B = a + r B 、a + B + r =180 C、a + B — r =180 D 、B + r — a =180°三、解答题1如图所示，AB// ED, / B= 48° , / D= 42° ,证明：BCLCD（选择一种辅助线）B2、如图，若AB//CD 猜想/ A 、/ E 、/ D 之间的关系，并证明之4、如图，AB// CD / BE&85°，求/ ABE^Z EFC+/ FCD 勺度数5.已知 AB/ DE / ABC= 80°,/ CDE= 140一副三角板的旋转与边的平行问题1、如图1是一副三角尺拼成的图案:(1) 求/ EBC 的度数；(2) 将图1中的三角尺ABC 绕点B 旋转口度(0°VaV 90°)能否使/ ABE=2 / DBC 若能，求出/ EBC 的度数；若不能，说明理由•(图 2、图3供参考)F2、如图1,点0为直线AB上一点，过点0作射线0C使/ AOC60。
第3讲 平行线辅助线(学生版)
第3讲平行线辅助线一、知识回顾：在解决平行线的问题时，当无法直接得到角的关系或两条线之间的位置关系时，通常借助辅助线来帮助解答，如何作辅助线需根据已知条件确定，辅助线的添加既可以产生新的条件，又能将题目中原有的条件联系在一起．一、加截线(连接两点或延长线段)1．如图，已知AB∥CD，∠ABF＝∠DCE.∠BFE与∠FEC有何关系？并说明理由．(第1题)【解析】：∠BFE＝∠FEC.理由一：连接BC，如图①.∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD(两直线平行，内错角相等)．又∵∠ABF＝∠DCE，∴∠ABC－∠ABF＝∠BCD－∠DCE，即∠FBC＝∠ECB.∴BF∥CE(内错角相等，两直线平行)．∴∠BFE＝∠FEC(两直线平行，内错角相等)．(第1题)理由二：延长AB，CE相交于点G，如图②.∵AB∥CD，∴AG∥CD.∴∠DCE＝∠G(两直线平行，内错角相等)．又∵∠ABF＝∠DCE，∴∠ABF＝∠G.∴BF∥CG(同位角相等，两直线平行)．∴∠BFE＝∠FEC(两直线平行，内错角相等)．二、过“拐点”作平行线a．“”形图2．如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠1＝32°，∠2＝25°，求∠BPC的度数．(第2题)【解析】：方法一：过点P作射线PN∥AB，如图①.∵AB∥CD，∴PN∥CD.∴∠4＝∠2＝25°.∵PN∥AB，∴∠3＝∠1＝32°.∴∠BPC＝∠3＋∠4＝57°.(第2题)方法二：过点P作射线PM∥AB，如图②.∵AB∥CD，∴PM∥CD.∴∠4＝180°－∠2＝180°－25°＝155°.∵AB∥PM，∴∠3＝180°－∠1＝180°－32°＝148°.∴∠BPC＝360°－∠3－∠4＝360°－148°－155°＝57°. 方法三：连接BC，略。
专题：平行线中作辅助线的方法(含答案)
专题：平行线中作辅助线的方法——形成思维定式，快速解题◆类型一含一个拐点的平行线问题1．(2017·南充中考)如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放．若∠1＝58°，则∠2的度数为()A．30°B．32°C．42°D．58°第1题图第2题图2．(2017·潍坊中考)如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足()A．∠α＋∠β＝180°B．∠β－∠α＝90°C．∠β＝3∠αD．∠α＋∠β＝90°3．阅读下列解题过程，然后解答后面的问题．如图①，已知AB∥CD，∠B＝35°，∠D＝32°，求∠BED的度数．解：过E作EF∥AB.∵AB∥CD，∴CD∥EF.∵AB∥EF，∴∠1＝∠B＝35°.又∵CD∥EF，∴∠2＝∠D＝32°，∴∠BED＝∠1＋∠2＝35°＋32°＝67°.如图②、图③，是明明设计的智力拼图玩具的一部分，现在明明遇到两个问题，请你帮他解决．(1)如图②，已知∠D＝30°，∠ACD＝65°，为了保证AB∥DE，∠A应多大？(2)如图③，要使GP∥HQ，则∠G，∠GFH，∠H之间有什么关系？【方法4】◆类型二含多个拐点的平行线问题4．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，则∠BCD的大小为【方法4】() A．20°B．30°C．40°D．70°第4题图第5题图5．如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2的度数为________．6．如图，给出下列三个论断：①∠B＋∠D＝180°；②AB∥CD；③BC∥DE.请你以其中两个论断作为已知条件，填入“已知”栏中，以剩余一个论断作为结论，填入“结论”栏中，使之成为一道由已知可得到结论的题目，并解答该题．已知：______________，结论：______________．解：7．如图①，AB∥CD，EOF 是直线AB，CD间的一条折线．【方法4】(1)试说明：∠EOF＝∠BEO＋∠DFO；(2)如果将折一次改为折两次，如图②，则∠BEO，∠EOP，∠OPF，∠PFC之间会满足怎样的数量关系？并说明理由．参考答案与解析1．B 2.B3．解：(1)∠A＝∠ACD－∠D＝35°.(2)过点F向右作FM∥PG.∵GP∥HQ，∴FM∥HQ，∴∠G＋∠MFG＝180°，∠H＋∠MFH＝180°，∴∠G＋∠GFH＋∠H＝360°.4．B解析：如图，过C向右作CM∥AB.∵AB∥DE，∴DE∥CM.∵∠ABC＝70°，∠CDE ＝140°，∴∠BCM＝70°，∠DCM＝180°－140°＝40°，∴∠BCD＝∠BCM－∠DCM＝70°－40°＝30°.5．140°解析：如图，延长AE交l2于点B.∵l1∥l2，∴∠3＝∠1＝40°.∵∠α＝∠β，∴AB∥CD，∴∠2＋∠3＝180°，∴∠2＝180°－∠3＝180°－40°＝140°.6．解：①②③∵AB∥CD，∴∠B＝∠C.又∵∠B＋∠D＝180°，∴∠C＋∠D＝180°，∴BC∥DE(答案不唯一)．7．解：(1)如图①，过O向左作OM∥AB，∴∠1＝∠BEO.∵AB∥CD，∴OM∥CD，∴∠2＝∠DFO，∴∠1＋∠2＝∠BEO＋∠DFO，即∠EOF＝∠BEO＋∠DFO.(2)∠EOP＋∠PFC＝∠BEO＋∠OPF.理由如下：如图②，过O向左作OQ∥AB，过P 向右作PN∥CD.∵AB∥CD，∴OQ∥PN∥AB∥CD，∴∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC，∴∠1＋∠2＋∠PFC＝∠BEO＋∠3＋∠4，∴∠EOP＋∠PFC＝∠BEO＋∠OPF.。
特殊平行四边形辅助线的添加技巧提升策略
特殊平行四边形辅助线的添加技巧提升策略特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法.平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形.1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形2．利用两组对边平行构造平行四边形3．利用对角线互相平分构造平行四边形二.和菱形有关的辅助线的作法和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅助线的方法有：（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线.三、与矩形有辅助线作法和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.四.与正方形有关辅助线的作法正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.一. 和平行四边形有关的辅助线作法平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形.1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1 .如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE 是平行四边形.求证:OE与AD互相平分.分析:因为四边形OCDE是平行四边形,所以OC//ED,OC=DE,又由O是AC的中点,得出AO//ED,AO=ED,则四边形AODE是平行四边形,问题得证.证明:连结AE、OD，因为是四边形OCDE是平行四边形，所以OC//DE，OC=DE，因为0是AC的中点，所以A0//ED，AO=ED,所以四边形AODE是平行四边形，所以AD与OE互相平分.说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形.2．利用两组对边平行构造平行四边形例2. 如图2，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G.求证:ED+FG=AC.分析:要证明ED+FG=AC,因为DE//AC,可以经过点E作EH//CD交AC于H得平行四边形,得ED=HC,然后根据三角形全等,证明FG=AH.证明:过点E作EH//BC,交AC于H,因为ED//AC,所以四边形CDEH是平行四边形,所以ED=HC,又FG//AC,EH//BC,所以∠AEH=∠B,∠A=∠BFG,又AE=BF,所以△AEH≌△FBG,所以AH=FG,所以FG+DE=AH+HC=AC.说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问题.3．利用对角线互相平分构造平行四边形例3 .如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC.分析：要证明BF=AC，一种方法是将BF和AC变换到同一个三角形中，利用等边对等角；另一种方法是通过等量代换，寻找和BF、AC相等的相段代换.寻找相等的线段的方法一般是构造平行四边形.证明：延长AD到G，使DG=AD，连结BG，CG，因为BD=CD，所以四边形ABGC是平行四边形，所以AC=BG，AC//BG，所以∠1=∠4，因为AE=EF，所以∠1=∠2，又∠2=∠3，所以∠1=∠4，所以BF=BG=AC.说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法.所以CE、DF互相垂直平分.所以四边形CDEF是菱形.例5.如图，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF的最小值等于DE长.分析：要证明EF+BF的最小值是DE的长，可以通过连结菱形的对角线BD，借助菱形的对角线互相垂直平分得到DF=BF，然后结合三角形两边之和大于第三边解决问题.证明：连结BD、DF.因为AC、BD是菱形的对角线，所以AC垂直BD且平分BD，所以BF=DF，所以EF+BF=EF+DF≥DE，当且仅当F运动到DE与AC的交点G处时，上式等号成立，所以EF+BF的最小值恰好等于DE的长.说明：菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅助线的方法有：（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线.三、与矩形有辅助线作法和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.例6.如图，已知矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求PD的长.分析：要利用已知条件，因为矩形ABCD，可过P分别作两组对边的平行线，构造直角三角形借助勾股定理解决问题.解：过点P分别作两组对边的平行线EF、GH交AB于E，交CD于F，交BC 于点H，交AD于G.因为四边形ABCD是矩形，所以PF2=CH2=PC2-PH2，DF2=AE2=AP2-EP2，PH2+PE2=BP2，所以PD2=PC2-PH2+AP2-EP2=PC2+AP2-PB2=52+32-42=18，所以PD=3说明：本题主要是借助矩形的四个角都是直角，通过作平行线构造四个小矩形，然后根据对角线得到直角三角形，利用勾股定理找到PD与PA、PB、PC 之间的关系，进而求到PD的长.四.与正方形有关辅助线的作法正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.例7.如图，过正方形ABCD的顶点B作BE//AC，且AE=AC，又CF//AE.求证：∠BCF=∠AEB.分析：由BE//AC，CF//AE，AE=AC，可知四边形AEFC是菱形，作AH⊥BE 于H，根据正方形的性质可知四边形AHBO是正方形，从AH=OB=AC，可算出∠E=∠ACF=30°，∠BCF=15°.证明：连接BD交AC于O，作AH⊥BE交BE于H.在正方形ABCD中，AC⊥BD，AO=BO，又BE//AC，AH⊥BE，所以BO⊥AC，所以四边形AOBH为正方形，所以AH=AO=AC，因为AE=AC，所以∠AEH=30°，因为BE//AC，AE//CF，所以ACFE是菱形，所以∠AEF=∠ACF=30°，因为AC是正方形的对角线，所以∠ACB=45°，所以∠BCF=15°，所以∠BCF=∠AEB.说明：本题是一道综合题，既涉及正方形的性质，又涉及到菱形的性质.通过连接正方形的对角线构造正方形AHBO，进一步得到菱形，借助菱形的性质解决问题.真题反馈:1. （2018•青岛）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．（1）求证：AB=AF；（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．2. （2018•徐州）已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，给出下列四个论断：①OA=OC，②AB=CD，③∠BAD=∠DCB，④AD∥BC．请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论，完成下列各题：①构造一个真命题，画图并给出证明；②构造一个假命题，举反例加以说明．3. （2018•大庆）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F．（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；（2）若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求线段AB的长度．4. （2018•永州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；（2）若AB=6，求平行四边形BCFD的面积．5. （2018•沈阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE=1，DE=2，ABCD的面积是．6. （2018•玉林）如图，在▱ABCD中，DC＞AD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点分别是E，F，过点E，F分别作DC与AB间的垂线MM'与NN'，在DC与AB上的垂足分别是M，N与M′，N′，连接EF．（1）求证：四边形EFNM是矩形；（2）已知：AE=4，DE=3，DC=9，求EF的长．7. （2018•广西）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）若AB=5，AC=6，求▱ABCD的面积．8. （2018•扬州）如图，在平行四边形ABCD中，DB=DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．（1）求证：四边形AEBD是菱形；（2）若DC=，tan∠DCB=3，求菱形AEBD的面积．9. （2018•乌鲁木齐）如图，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若AB=6，BC=10，求EF的长．10. （2018•盐城）在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．11. （2018•遵义）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE ＜BE），且∠EOF=90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM=ON．（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．12. （2018•湘潭）如图，在正方形ABCD中，AF=BE，AE与DF相交于点O．（1）求证：△DAF≌△ABE；（2）求∠AOD的度数．11。
2023年九年级数学中考压轴复习专题几何综合——添加辅助线
1
（2）若弦MN垂直于AB，垂足为G， = ，MN= 3，求⊙O的半径；
4
（3）在（2）的条件下，当∠BAC=36°时，求线段CE的长
【详解】
(3) 作∠ABC的平分线BF交AC于F,连接AD
∵∠BNC=36°，AB=AC
∴∠ABC=∠ACB=72°
∵BF平分∠ABC
∴∠ABF=∠CBP=36°
∴∠BFC=72°即∠BAF=∠ABF、
∠BFC=∠ACB
∴BC=BF=AF
∵∠CBF=∠BAC,∠C=∠C
∴△CBF∽△CAB
∴BC²=CF·AC
设BC=x则AF=x
∴CF=2-x
∴x²=2（2-x）解得：x=± 5 − 1
∴BC= 5 − 1
∴AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°
∵AB=AC
1
∴CD=BD= BC
【分析】①由旋转性质证明△ABD∽△ACE即可判断；
②由①的结论可得，∠ABD=∠ACE，进而得到∠BOC=∠CAB=45°，即可判断∠COD；
③证明△ABD为等腰三角形即可判断；
④由题意直线BD、CE相交于点O，当AD⊥AC时，△AOC的面积最大，通过勾股定理计
算求出最大值，进而进行判断
试炼场：
从而得出∠ODE=90°，即可得证DE是CO的切线；
3
1
（2）连接OM，先求出MG= ，得出OG= OM，最后用勾股定理求解，即可得
2
2
出结论；
（3）作∠ABC的平分线交AC于F，判断出△BCF∽△ACB，得出比例式求成
BC= 5 − 1，连接AD，再求出CD=
例式求解，即可得出结论
5−1
，再判断出△DEC∽△ADC，得出比
平行线中辅助线的添加
平⾏线中辅助线的添加
授之以渔
ZU 型辅助线的添加
题型⼀、“U ”型中辅助线请安题号把图重新编号
已知：如图，AB ∥CD ，求证：∠BED=360°-（∠B+∠D ）。
证明：过点E 作EF ∥AB ，则∠B+∠1=180°（）。
∵AB ∥CD （已知），
⼜∵EF ∥AB （已作），
∴EF ∥CD （）。
∴∠D+∠2=180°（）。
∴∠B+∠1+∠D+∠2=180°+180°（）。
⼜∵∠BED=∠1+∠2，
∴∠B+∠D+∠BED=360°（）。
∴∠BED==360°-（∠B+∠D ）（）。
变式.已知：如图,AB ∥CD,求∠BAE ＋∠AEF ＋∠EFC ＋∠FCD 的度数.
题型⼆、“Z ”型中辅助线
如图所⽰，AB ∥ED ，∠B ＝48°,∠D ＝42°, 证明：BC ⊥CD 。
（选择⼀种辅助线）
变式1 已知：如图9，AB ∥CD ，∠ABF=∠DCE 。
求证：∠BFE=∠FEC 。
变式2已知：如图，AB ∥CD ，求证：∠BED=∠D-∠B 。
“平⾏线间的折线问题”题型⼩结
第3题
1.原题的难点在于平⾏线间没有截线或截线不明显
2.添加辅助线的⽬的是构造截线或构造新的平⾏线
3.处理平⾏线间折线的问题，过所有折点作平⾏线是⼀种通法
4.加截线（连结两点、延长线段相交）构造三⾓形，应⽤三⾓形内⾓和定理，也是⼀种“转化”的数学思想。
平行线常用辅助线知识点_概述说明以及解释
平行线常用辅助线知识点概述说明以及解释1. 引言1.1 概述在几何学中，平行线是指在同一个平面内永远不会相交的两条直线。
对于平行线的研究，人们发现通过引入一些辅助线能够更好地理解和证明平行线的性质，从而简化许多几何问题的解决过程。
1.2 说明平行线的性质平行线具有一些重要的性质。
首先，它们具有共面性，即两条平行线存在于同一个平面上。
其次，在给定直线外，与该直线平行的直线只有唯一一条。
此外，在给定直线上，存在无数与该直线平行且互不相交的直线。
利用这些性质，我们可以快速判断两条直线是否平行，并进行相关推断和证明。
1.3 辅助线的重要性辅助线在几何推导和证明中起到了至关重要的作用。
通过合理选择和应用辅助线，我们可以将原本复杂的几何问题转化为更简单、直观且易于解决的形式。
辅助线还能够帮助我们揭示隐藏在复杂图形背后的规律和特点，并为后续分析提供有效途径。
总之，在本文中，我们将重点介绍平行线常用的辅助线知识点，并通过实例来解析其应用。
通过全面理解和熟练运用这些辅助线知识点，读者将能够更好地理解平行线的特性，并在几何学习和问题解决中获得更高的效率和成果。
2. 平行线的辅助线知识点：2.1 垂直平分线:垂直平分线是指一个线段的中垂线与另一个线段相交于垂直平分线上。
在平行线的几何证明中，使用垂直平分线可以帮助我们得到一些有用的性质和结论。
例如，如果两条平行线被一条垂直平分线所截断，则截断处所形成的各对应角相等。
2.2 角平分线:角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角划分为两个相等的角，并且其划分位置在这个角的内部。
在证明平行关系时，使用角平分线能够帮助我们找到具有特定性质的几何图形。
例如，在证明两条直线平行时，当一条辅助角平分线与已知直线及其延长线相交时，可以推导出其他相关性质。
2.3 对称线:对称线是指将一个图形折叠成两半时能完全重合的折痕所在的那根过对称中心点（通常为一条直线）。
在使用对称性进行几何证明时，对称辅助会被广泛应用。
七年级-人教版-数学-下册-第6课时--与平行线有关的辅助线问题
G
H
则∠DCH＋∠CDE＝180°(两直线平行，同旁内角互补)． ∵∠CDE＝140°，∴∠DCH＝180°－∠CDE＝40°．
G
H
∵AB∥DE，∴AB∥GH(平行于同一条直线的两条直线平行)． ∴∠ABC＝∠BCH(两直线平行，内错角相等)． ∵∠ABC＝80°， ∴∠BCH＝80°． ∴∠BCD＝∠BCH－∠DCH＝40°．
解：如图，过点 C 作CG∥AB，过点 D 作DH∥EF．
1
G
2
3
H
4
∵AB∥EF，∴AB∥CG∥DH∥EF． ∴∠B＝∠1，∠2＝∠3，∠E＝∠4． ∵∠CDE＝∠3＋∠4，∠BCD＝∠1＋∠2＝90°， ∴∠B＋∠CDE－∠E＝∠1＋∠3＋∠4－∠4＝∠1＋∠2＝90°．
通过添加辅助线可将较复杂的几何图形转 化为由平行线构成的基本图形，从而得到相关 角之间的数量关系．
例3 如图，AB∥CD，P 为AB，CD 之间的一点，已知∠1＝ 34°，∠2＝26°，求∠BPC 的度数．
分析：此图不是我们所学过的“三线八角”的基本图形， 需添加辅助线，把它转化成我们所熟悉的基本图形．
你能用多种方法添加辅助线解决此题吗？
3
4
N
解：方法 1：过点 P 作射线 PN∥AB，如图． ∵PN∥AB，∴∠3＝∠1＝34°． ∵AB∥CD，∴PN∥CD． ∴∠4＝∠2＝26°． ∴∠BPC＝∠3＋∠4＝60°．
例2 如图，若∠B＋∠D＋∠E＝360°，则 AB 与 CD 平行吗？ 为什么？
分析：过点 E 构造 AB 的平行线是解决此题的关键．可以先 过点 E 作 AB 的平行线，再利用“两直线平行，同旁内角互补” 以及已知条件判断所作直线与 CD 平行，最后利用平行公理的推 论得到 AB∥CD．
冀教版2018-2019年七年级数学下册3.微专题：教材P65T1拓展——平行线中作辅助线的方法(含答案)
3．微专题：教材P65T1拓展——平行线中作辅助线的方法◆类型一含一个拐点的平行线问题【方法点拨】在有关图形的计算和推理中，常见一类“折线”“拐角”型问题，解决这类问题的方法是经过拐点作平行线，建立已知角和未知角的联系，从而化“未知”为“已知”．常见的类型有以下几种：1.阅读下列解题过程，然后解答后面的问题．如图①，已知AB∥CD，∠B＝35°，∠D＝32°，求∠BED的度数．解：过E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF.∵AB∥EF，∴∠1＝∠B＝35°.∵CD∥EF，∴∠2＝∠D＝32°.∴∠BED＝∠1＋∠2＝35°＋32°＝67°.然后解答下列问题：如图，是明明设计的智力拼图玩具的一部分，现在明明遇到两个问题，请你帮他解决：(1)如图②，∠D＝30°，∠ACD＝65°，为了保证AB∥DE，∠A应为多大？(2)如图③，∠G、∠GFH、∠H之间有什么关系时，GP∥HQ?【变式题】改变图形(2017·邢台期末)如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP＝∠1，∠PFB＝∠2，∠EPF＝∠3.(1)若点P在图①位置时，试说明：∠3＝∠1＋∠2；(2)若点P在图②位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；(3)若点P在图③位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并说明理由．◆类型二含多个拐点的平行线问题【方法点拨】遇到含多个拐点的平行线问题时，通常过每个拐点作已知直线的平行线，然后根据平行线的性质解决．2．如图①，已知AB∥CD，E，F分别为AB，CD上的点．(1)在AB，CD之间有一点M(点M不在线段EF上)，连接ME，MF，试探究∠AEM，∠EMF，∠MFC之间有怎样的数量关系．请补全图形，并在图形下面写出相应的数量关系，选其中一个进行说明；(2)如图②，在AB，CD之间有两点M，N，连接ME，MN，NF，请选择一个图形直接写出∠AEM，∠EMN，∠MNF，∠NFC之间存在的数量关系.【变式题】改变图形如图，已知AB∥CD，试解决下列问题：(1)如图①，∠1＋∠2＝________°；(2)如图②，∠1＋∠2＋∠3＝________°；(3)如图③，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数；(4)如图④，试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n的度数．参考答案与解析1．解：(1)∠A＝35°.理由如下：如图②，过C作CM∥DE，则∠1＝∠D＝30°，∴∠2＝∠ACD－∠1＝35°，∴∠2＝∠A，∴CM∥AB.又∵CM∥DE，∴AB∥DE.即∠A＝35°时，AB∥DE.(2)当∠G＋∠GFH＋∠H＝360°时，GP∥HQ.理由如下：如图③，过F作FN∥GP，则∠G＋∠4＝180°.又∵∠G＋∠GFH＋∠H＝360°，∴∠3＋∠H＝180°，∴FN∥HQ，∴GP∥HQ.即∠G＋∠GFH＋∠H＝360°时，GP∥HQ.【变式题】解：(1)如图①，过P作PQ∥l1.∵l1∥l2，∴PQ∥l1∥l2，∴∠1＝∠QPE，∠2＝∠QPF.∵∠3＝∠QPE＋∠QPF，∴∠3＝∠1＋∠2.(2)∠3＝∠2－∠1.解析：如图②，过P作PQ∥l1.∵l1∥l2，∴PQ∥l2.∴∠1＝∠QPE，∠2＝∠QPF.∵∠3＝∠QPF－∠QPE，∴∠3＝∠2－∠1.(3)∠3＝360°－∠1－∠2.理由如下：如图③，过P作PQ∥l1，∵l1∥l2，∴PQ∥l2.同(1)可证得：∠3＝∠CEP＋∠DFP.∵∠CEP＋∠1＝180°，∠DFP＋∠2＝180°，∴∠CEP＋∠DFP ＋∠1＋∠2＝360°，即∠3＝360°－∠1－∠2.2．解：(1)在图①中，∠EMF＝∠AEM＋∠MFC.理由如下：过点M作MP∥AB.∵AB∥CD，∴MP∥CD∥AB，∴∠4＝∠3，∠1＝∠2.∵∠EMF＝∠2＋∠3，∴∠EMF＝∠1＋∠4＝∠AEM＋∠MFC.在图②中，∠AEM＋∠EMF＋∠MFC＝360°.理由如下：过点M作MQ∥AB.∵AB∥CD，∴MQ∥CD∥AB，∴∠CFM＋∠1＝180°，∠AEM＋∠2＝180°，∴∠CFM＋∠1＋∠AEM＋∠2＝360°.∵∠EMF＝∠1＋∠2，∴∠AEM＋∠EMF＋∠MFC＝360°.(2)在图③中，∠EMN＋∠MNF－∠AEM－∠NFC＝180°；在图④中，∠EMN－∠MNF ＋∠AEM＋∠NFC＝180°.【变式题】解：(1)180(2)360(3)如图③，分别过点E，F作EG∥AB，FH∥AB.∵AB∥CD，∴AB∥EG∥FH∥CD，∴∠1＋∠AEG＝180°，∠GEF＋∠EFH＝180°，∠HFC＋∠4＝180°.∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝540°.(4)如图④，根据上述规律，作(n－2)条辅助线，运用(n－1)次两条直线平行，同旁内角互补，即可得到n个角的和是180°(n－1)．∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n＝180°(n－1)．。
初中数学常用辅助线添加技巧
初中数学常用辅助线添加技巧初中数学常用辅助线添加技巧一.添辅助线有二种情况：1按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”!这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：(1)平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线(2)等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
(3)等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
(4)直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
(5)三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形; 当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
(6)全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等;如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。
湘教版七年级数学下册解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法
解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法◆类型一含一个拐点的平行线问题【方法17】1．(天门中考)如图，将一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在两条平行的直线a，b上，如果∠2＝50°，那么∠1的度数为()A．10°B．20°C．30°D．40°第1题图第2题图2．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数为()A．20°B．30°C．40°D．70°3．(金华中考)如图，已知AB∥CD，BC∥DE.若∠A＝20°，∠C＝120°，则∠AED的度数是________．第3题图第4题图4．如图，AB∥CD，∠A＝120°，∠1＝70°，则∠D的度数为________．5．小柯同学平时学习善于自己动手操作，以加深对知识的理解和掌握．学习了相交线与平行线的知识后，他又探索起来：如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两角，并使∠1＝115°，AB⊥CB于B，那么∠2的度数是多少呢？请你帮他计算出来．◆类型二含多个拐点的平行线问题【方法17】6．如图，直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，则∠1＋∠2＝()A．30°B．35°C．36°D．40°第6题图第7题图7．如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2＝________.8．如图，如果AB∥CD，则∠α，∠β，∠γ之间的关系为______________．第8题图9．★如图①，AB∥CD，EOF是直线AB，CD间的一条折线．(1)试说明：∠EOF＝∠BEO＋∠DFO；(2)如果将平行线间的1个拐点改为2个拐点，如图②，则∠BEO，∠EOP，∠OPF，∠PFC 之间会满足怎样的数量关系，请说明理由．参考答案与解析1．A2．B解析：如图，过C作CF∥DE，∴∠CDE＋∠DCF＝180°.∵∠CDE＝140°，∴∠DCF ＝40°.∵AB∥DE，∴CF∥AB，∴∠FCB＝∠ABC＝70°，∴∠BCD＝70°－40°＝30°.3．80° 4.50°5．解：过点B向左作BE∥AD.∵AD∥CF，∴AD∥BE∥CF，∴∠1＋∠ABE＝180°，∠2＋∠CBE＝180°，∴∠1＋∠2＋∠ABC＝360°.∵∠1＝115°，∠ABC＝90°，∴∠2＝360°－∠1－∠ABC＝155°.6．A解析：如图，作AC∥l1，BD∥l2，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4.∵l1∥l2，∴AC∥BD，∴∠CAB＋∠ABD＝180°，∴∠3＋∠4＝125°＋85°－180°＝30°，∴∠1＋∠2＝30°.7．140°解析：如图，延长AE交l2于点B.∵l1∥l2，∴∠3＝∠1＝40°.∵∠α＝∠β，∴AB∥CD，∴∠2＋∠3＝180°，∴∠2＝180°－∠3＝180°－40°＝140°.8．∠α＋∠β－∠γ＝180°解析：如图，过点E作EF∥AB，∴∠α＋∠AEF＝180°.∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED＝∠γ，∴∠AEF＝∠β－∠FED＝∠β－∠γ，∴∠α＋∠β－∠γ＝180°.9．解：(1)过点O作OM∥AB，如图①，∴∠1＝∠BEO.∵AB∥CD，∴OM∥CD，∴∠2＝∠DFO，∴∠1＋∠2＝∠BEO＋∠DFO，即∠EOF＝∠BEO＋∠DFO.(2)∠EOP＋∠PFC＝∠BEO＋∠OPF.理由如下：分别过点O，P作OM∥AB，PN∥CD，如图②.∵AB∥CD，∴OM∥PN∥AB∥CD，∴∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC，∴∠1＋∠2＋∠PFC＝∠BEO＋∠3＋∠4，即∠EOP＋∠PFC＝∠BEO＋∠OPF.。
平行线分线段成比例(添辅助线)精编版
平行线分线段成比例(添辅助线)一、知识要点：1、平行线分线段成比例的基本图形；2、构造基本图形来解题。
二、例题简析及练习：例1、已知FD 与△ABC 的边AB 交于F ，与AC 交于E ，与BC 的延长线交于D ，且AF=CD ，求证：BC ABEF DE =练习1、已知如图BD=21CD ，求证：AC AFBE EF 2=例2、△ABC 中AF ∶FC=1∶2，G 是BF 的中点，AG 的延长线交BC 于E ，求BE:EC练习2、△ABC 中D 是BC 上的一点，AE ∶EC=3∶4，BD ∶DC=2∶3，求BF ∶FEA B C D E FC A B C GEF A B C E F例3、□ABCD 中，E 是AB 的中点，AF=21FD ，连接FE 交AC 于G ，求AG ∶AC练习3、已知，如图，△ABC 中，E 、F 分别为BC 的三等分点，D 为AC 的中点，BD 分别与AE 、AF 交于点M 、N ，求BM:MN:ND三、巩固练习：1、△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC ，AP=PD 。
求证：1）PB=3PF ；2）如果AC=13，求AF 的长。
2、如图，D 、F 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且AD∶DB＝CF∶FA＝2∶3 连DF 交BC 的延长线于E.求EF∶FD.A B CDE F GN M FE D C B A A B C D FP3、已知OM ∶MP=ON ∶NR ，求证：△PQR 为等腰三角形。
4、直线截△ABC 的边AB 、BC 、AC 或其延长线于D 、E 、F ，求证：1=⋅⋅FACFEC BE DB AD5、在△ABC 中AC=BC ，F 为底边AB 上的一点，nmAF BF =，（n m ,为正数）。
取CF 的中点D ，连接AD 并延长交BC 于E 。
1）求ECBE的值；2）如果BE=2EC ，那么CF 所在的直线与边AB 有怎样的位置关系？证明你的结论。
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添加辅助线——
平行线间的折线问题
1. 如图，已知AB∥CD，那么BAE ECD AEC 度．
A
B
A
B
E
E
C
D
F
C
D
A
B
A
FB
A
B
E C
E
E
F
D
C
D
C
D
拓展
2. 增加点E的“个数”：发现上述哪种辅助线的添法
是具有普适性、可推广的；探究E点个数的增加与角
度加和间的规律．
A
E1 E2 3 2
一种通法． (d)添加辅助线，构造三角形，应用三角形内角和定
理，也是一种“转化”的数学思想．
初一数学 5月27日
添加辅助线专题——平行线间 的折线
相关复习：
对顶角、邻补角、平行线间内错角、同位角、同 旁内角的位置关系．
平移的角度重新认识和理解这组结论：直线平移出平行线 （l平移至m）；相应地，原角与平移后的角构成同位角 （∠1→∠4），原对顶角平移后成为内错角（∠2和 ∠3→∠2和∠5），原邻补角平移后出同旁内角（∠2和 ∠1→∠2和∠4）．
1
E3 4 E4
5
6
C
FB
A
E
D
C
B
A
E1 E2 3 2
1
F
E3 4 E4
5
6
D
C
FB D
变式
3. 改变E点位置，渗透分类讨论的思想．这里的分 类讨论可以由教师引领，让学生看到随着E点位 置的变化，图形的性质会发生变化即可．
A E
C
BA
BE
A
E
D
C
D
C
B A
E B
D
C
D
小结
“平行线间的折线问题”题型小结： (a)原题的难点在于平行线间没有截线； (b)添加辅助线的目的是构造截线或构造新的平行线； (c)处理平行线间折线的问题，过所有折点作平行ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ是