关于切线的几个认识误区
高考数学复习重点：高考数学易错知识点(3)
高考数学复习重点：高考数学易错知识点（3）
易错点
11 混杂两类切线致误
错因剖析：曲线上一点处的切线是指以该点为切点的曲线的切线，这样的切线只要一条;曲线的过一个点的切线是指过这个点的曲线的一切切线，这个点假设在曲线受骗然包括曲线在该点处的切线，曲线的过一个点的切线能够不止一条。
因此求解曲线的切线效果时，首先要区分是什么类型的切线。
易错点12 混杂导数与单调性的关系致误
错因剖析：关于一个函数在某个区间上是增函数，假设以为函数的导函数在此区间上恒大于0，就会出错。
研讨函数的单调性与其导函数的关系时一定要留意：一个函数的导函数在某个区间上单调递增(减)的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大(小)于等于0，且导函数在此区间的恣意子区间上都不恒为零。
易错点13 导数与极值关系不清致误
错因剖析：在运用导数求函数极值时，很容易出现的错误就是求出使导函数等于0的点，而没有对这些点左右两侧导函数的符号停止判别，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。
出现这些错误的缘由是对导数与极值关系不清。
可
导函数在一个点处的导函数值为零只是这个函数在此点处取到极值的必要条件，在此提示广阔考生在运用导数求函数极值时一定要留意对极值点停止检验。
不破不立,重识切线
2020年第10期魏学孰学10-41不破不立，重识切线王旭光（广东省肇庆市高要区第二中学，广东肇庆526100）切线的概念起源很早，在《几何原本》一书中，欧几里得曾经给切线下过定义：“与圆相遇，但延长后不与圆相交的直线.”⑷这个定义比较直观形象，适用于圆和椭圆等几何图形，我国现行的初中教材也基本上采用了这一定义•后来，到了17世纪，出现了瞬时速度、函数的最值和最优化等一系列问题•它们推动了微积分的产生，解决这些问题都要用到切线.如何求切线成了微积分中的重要问题，数学家们需要进一步研究切线问题•莱布尼茨结合前人的研究，认为曲线的切线是“连接曲线上无限接近两点的直线”⑵，这个定义蕴含着极限的思想，和我们国家目前的高中教材中的定义如出_辙.切线的定义从历史上来看,大致上经历了从静态几何直观阶段到动态极限分析阶段,切线的理解经历了一个漫长的认识过程⑶•切线的概念存在着不少认知误区，如：切线和曲线公共点的个数有几个，切线与曲线的位置关系怎么样等.同时,这也意味着我国的高中生在学习切线时面临着很大的困难,笔者和同事们在教学中也深有体会.因此，这要求我们在教学时应从学生已有的认知出发，层层分析，给出反例，不断纠正，以期最终能正确认识切线.初中的平面几何里，圆是一个重要的内容,但并不涉及抛物线等其他圆锥曲线，学生们只能在圆中认识切线，了解圆与切线的定义和性质.这样来学习切线，符合学生的认知特点，直观形象，易于理解和接受•其定义大致如下：当直线和圆有唯一的公共点时，叫做直线和圆相切.这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点⑷.受限于圆与切线的定义和性质，学生对切线的认知会产生偏差,他们一般会认为切线有三个特点：1.切线与图形只能有一个公共点；2.过一个点作图形的切线，只能作出—条；3.切线只能在图形的一侧,切线不能穿过图形.但是，由于圆的特殊性，其切线的定义和性质有很大的局限性，无法适用于三角函数图像等更多的曲线.到了高中以后，学生们学习了圆锥曲线，虽然里面涉及到了切线的问题，但教材中并未给出切线的确切定义，学生对切线的认知基本上停留在过去.一直到学习导数时,教材中才给出了“割线逼近切线”这一定义，将切线的应用范围扩大，使之更具有一般性.如图1所示，当点如））5=1, 2,3,4）沿着曲线/（%）趋近于P0（x0,f（x0））时，割线PP”变化趋势是什么？㈤当点P”趋近于点P。
对切线定义的辩证思考
对切线定义的辩证思考
切线是一种几何概念，它指的是从曲线上一点出发，沿着曲线切点方向延伸的直线。
它有许多应用，比如在求解曲线上点的切线斜率、求解曲线的极值点、求解曲线的拐点等。
从辩证法的角度来看，切线可以用来表达两种对立的思想，一种是坚持不懈地追求进步，另一种是坚持自我，不让外界的因素影响自己的思想和行为。
切线的两端可以代表这两种思想，一端代表持续进步，另一端代表坚持自我。
通过对切线的辩证思考，可以帮助我们更好地理解这两种思想，并在实践中把握好它们之间的关系，从而使我们的行为更加有效和有益。
用导数的几意义求切线方程的一个误区
用导数的几何意义求切线方程的一个“误区” ———忽视对切点的具体分析 曲线y f x =()在点x 0的导数f x '()0就是曲线在该点的切线的斜率，我们通常用导数的这个几何意义来研究一些与曲线的切线有关的问题，但同学们在解题时常忽视对切点的情况进行具体分析，引起错解。
本文仅对用导数几何意义求切线引起的误解进行剖析。
例 求曲线y x x =-33过点()2,2-P 的切线方程 误 显然点P 在曲线y x x =-33上，f x x '()=-332∴=-f '()29∴过点P （2，-2）的切线方程为： ()y x +=--292，即9160x y +-= 析 由于点()2,2-P 恰好在曲线y f x =()上，因此及容易得到一条切线方程，即以点P 为切点的切线。
本题求的是“经过点P 的切线”，而不是“点P 处的切线”，因而不排除有其他切线经过P 。
因此本题切线应有两条，一条以点P 为切点，另一条不以点P 为切点但经过点P .正： 设切点坐标为()P x y 00，，则在点P 处的切线方程为：()()y y x x x -=--002033∵过点()2,2-P ，且y x x 00033=-()()()∴---=--23332003020x x x x整理，得：x x 0302340-+= 即：()()x x 002120+-= ∴=-x 01或x 02=当x 01=-时，切点为()2,1--，此时切线方程为y =-2，当x 02=时，切点为()2,2-P ，此时切线方程为9160x y +-=∴过点()2,2-P 的切线方程为：y =-2或9160x y +-=评注：综上所述，当点P 在曲线y f x =()上时，要求过点P 的切线时，一定要注意可能存在两种情况：一是点P 本身即为切点；二是切线是以曲线y f x =()上的另一点Q 为切点，但该切线恰好过点P 。
解题时切勿混淆了“在P 点处的切线”与“过P 点的切线”两概念，否则会因概念理解不够深刻而“大意失荆州”。
帮你避开三个“陷阱”
帮你避开三个“陷阱”江苏 周立能一、求切线方程时，易把在某点处的切线与过某点的切线混淆求函数()y f x =在图象上某点处的切线方程是导数的重要应用之一．当点P 在曲线()y f x =上时，求过点P 的切线方程有以下两种可能的情形：一是P 点就是切点，二是切线以曲线()y f x =上另一点为切点，但该切线经过点P ．注意：曲线在点P 的切线，只指前一种情形．例1 已知函数3()3f x x x =-+．求过点P （1，3）的曲线的切线方程． 错解：∵3()3f x x x =-+，∴2()31f x x '=-，∴(1)2f '=．∴过点P （1，3）的曲线的切线方程为32(1)y x -=-，即210x y -+=． 剖析：根据曲线切线的定义，曲线的切线与曲线的交点个数未必为1．一般地，若点A 为曲线的切点，则过点A 的切线方程是一条；若点A 不为曲线上的切点，则过点A 的切线可能有多条（如图）．正解：经过点P （1，3）的曲线的切线方程有两种情形．（1）P 点为切点时易知切线方程为210x y -+=；（2）P 点不为切点时，设切点为00()Q x y ，，其中0(1)x ≠，则有3000200033311y x x y x x ⎧=-+⎪-⎨-=⎪-⎩，，解得 0012278x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，或0013.x y =⎧⎨=⎩，（舍去） 此时切线方程为13(1)4y x -=--，即4130x y +-=． 综上可知，所求切线有两条，其方程为2104130x y x y -+=+-=，．编者注：正解（2）不舍去0013x y =⎧⎨=⎩，，就是过三次函数上一点的切线方程一般求法，还可以将问题推广到更一般情况：所给点不是曲线上的点时仍用正解（2）可求出切线方程．如将P （1，3）改为P （1，2）可得0003x y =⎧⎨=⎩，，或0032398x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，，切线方程为30x y +-=或234150x y --=．详解请参考《绕过讨论求切线》． 二、判断函数的单调性时，易犯()0()f x f x '>⇔为增函数，()0()f x f x '<⇔为减函数的错误确认在某区间内的符号，若()0f x '>，则()f x 为增函数；若()0f x '<，则()f x 为减函数（函数单调性的充分条件）．反之，若()f x 在该区间上单调递增（递减），则在该区间内()f x '≥0（或()0f x '≤）（函数单调性的必要条件）．当()f x '在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（负）时，()f x '在这个区间上仍旧是单调递增（递减）的． 例2 已知函数32()31f x ax x x =+-+在R 上是减函数，求a 的取值范围． 错解：∵2()361f x ax x '=+-，∴()f x 在R 上是减函数2()3610()0f x ax x x a '⇒=+-<∈⇒<R 且361203a a ∆=+<⇒<-．． ∴当(3)a ∈-∞-，时，()f x 为减函数．剖析：关于多项式函数的单调性有以下结论： ()f x '0≤且()f x '在定义域的任何子区间内不恒为零()f x ⇔为减函数．()f x 为增函数时亦有类似的结论．正解：∵2()361f x ax x '=+-，且()f x '在R 及其任意子区间内不恒为零，∴()f x '在R 上是减函数2()3610()f x ax x x '⇒=+-∈R ≤恒成立0a ⇒<且361203a a ⇒∆=+⇒-≤≤．． ∴当(3]a ∈-∞-，时，()f x 为减函数． 三、研究函数的极值时，易把“导数为零的点”与“极值点”等同可导函数()f x 在点x0取得极值的充要条件是()0f x '=且在0x 左右侧，()f x '符号不同．()0f x '=是0x 为极值点的必要而不充分条件，所以把“导数为零的点”等同于“极值点”是错误的．例3 已知函数432()346(2)24f x x bx a x ax =+-++，在x =1处取极值且函数432()346(1)12h x x bx a x ax =+---在区间(522)a a --，上是减函数．求a 的取值范围． 错解：由已知得32()121212(2)24f x x bx a x a '=+-++，由(1)0f '=，有1b a =-．∴32()121212(1)12h x x bx a x a '=+---，即322()1212(1)12(1)1212()(1)h x x a x a x a x a x x '=+----=-++．．∴当x a <时，()0()h x h x '<，在（－∞，a ）上是减函数；当x a >时，()0h x '>，()h x 在（－∞，a ）上是增函数．∴(522)()a a a --⊆-∞，，，即522a a a -<-≤，解得 32a -<≤．剖析与正解：在上述解法中应注意由(1)0f '=得1b a =-后，还应考虑()f x '在1x =左右两侧附近值不同为正数（或负数）以确保1x =是极值点，即32()121212(2)2412(1)()(2)f x x bx a x a x x a x '=+-++=--+．∵1x =是极值点．∴a ≠1（否则x =1不是极值点，但确有(1)0f '=）．故所求a 的范围为{32a a -<≤，且a ≠1}．。
初中数学 什么是切线
初中数学什么是切线在几何学中，切线是指与给定曲线（如圆、椭圆、抛物线等）仅有一个公共点且与该曲线相切的直线。
切线在数学中有着重要的应用和意义。
在本文中，我将详细解释切线的概念、性质和应用。
切线的定义如下：对于给定曲线上的一点P，经过P点且与曲线相切的直线称为曲线在P点的切线。
切线与曲线仅有一个公共点，即切点。
切线的位置和方向是由曲线在该点的切线斜率决定的。
切线的性质包括以下几个方面：1. 切线与曲线在切点处的切线斜率相等。
切线斜率可以用导数来表示，即切线斜率等于曲线在该点的导数值。
2. 切线与曲线在切点处的切线垂直。
这是因为切线斜率与曲线的斜率相等，而曲线的斜率是垂直于切线的。
3. 切线在切点处与曲线有公共的切点。
这是切线的定义所决定的，切线与曲线仅有一个公共点，即切点。
通过切线的性质，我们可以进行切线的求解和应用。
以下是一些常见的切线应用：1. 求解曲线的切线方程。
根据切线的性质，我们可以通过求解切线的斜率和切点来确定切线的方程。
通常，切线方程可以表示为y = kx + b的形式，其中k为切线的斜率，b为切线与y轴的截距。
2. 计算曲线上某点切线的斜率。
通过求解曲线在该点的导数，我们可以得到切线的斜率，从而确定切线的性质和方程。
3. 解决与切线相关的几何问题。
切线在几何学中有着广泛的应用，如切线与圆的性质、切线与曲线的相交问题等。
通过应用切线的性质和定理，我们可以解决与切线相关的几何问题。
总结起来，切线是与给定曲线仅有一个公共点且与曲线相切的直线。
切线的性质包括切线斜率相等、切线垂直于曲线、切线与曲线有一个公共切点等。
切线在数学中有着广泛的应用和意义，可以用于求解切线方程、计算切线斜率以及解决与切线相关的几何问题。
关于切线的几个认识误区
关于切线的几个认识误区误区一：曲线上某一点处附近的曲线一定在该点处切线的同一侧．错因分析：学生比较熟悉圆、椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的切线，这些曲线在某一点处附近的曲线确实都在该点处切线的同一侧，学生往往通过类比，认为误区一的结论是正确的，这种先入为主的错误认识影响了对切线概念的正确理解．解析：由曲线在某一点处的切线的定义可知，曲线在某一点处的切线是通过该点的割线的极限位置，切线既可以位于切点处曲线的一侧，也可以穿过切点处的曲线．例1：函数3()f x x =，导函数 2()3f x x '=，(0)0f '=，在点（0，0）处的切线为00(0)y x -=⨯-，即0y =.误区二：函数在某一点处的导数不存在，则在该点处的切线不存在．错因分析：学生一般是通过求导来求曲线在某一点处的切线的斜率．在某一点处导数存在，说明在该点处切线存在，学生容易类比出在某一点处的导数不存在就判定在该点处的切线不存在．解析：曲线在某一点处的导数不存在，既可能是曲线在该点处的左右割线的极限不同，也可能是在该点处的切线与Y 轴平行或重合．前者导致切线不存在，而后者是可以存在切线的. 例2：函数13()f x x =，导函数 233211()33f x x x -'==，(0)f '不存在，但在点（0，0）处的切线为0x =.（与例1是互为反函数）例3：函数()f x x =，导函数1,0()1,0x f x x >⎧'=⎨-<⎩，(0)f '不存在，在点（0，0）处的切线也不存在.误区三：经过曲线上的一点作曲线的切线只有一条．错因分析：同误区一．解析：经过曲线上的一点作曲线的切线时，该点可能是切点，也可能不是切点．例4：函数3()3f x x x =-，导函数2()33f x x '=-，令2()330f x x '=-=，解得1x =±，极值点为（－1，2）和（1，2）.(据此可画函数的草图)现在求过点（2，2）的切线：一方面，以（2，2）为切点：2(2)3239f '=⨯-=，切线为29(2)y x -=-；另一方面，以（－1，2）为切点的切线为2(1)(1)y f x '-=-⨯+ 即2y =，此切线也过点（2，2）.。
例谈利用导数求解曲线的切线问题
例谈利用导数求解曲线的切线问题作者：殷瑕来源：《中学课程辅导·教学研究》2013年第03期摘要：随着江苏高考改革的步伐，我们发现导数部分在高考数学试卷中所占的比例越来越大，而利用导数求解曲线的切线问题又是导数中的一个重要问题，几乎可以说是一个必考点。
因此，如何彻底解决这一问题已经成为我们高中数学教学的一个重中之重。
关键词：导数；切线；误区；通解通法一、对切线问题认识的误区1.切线与曲线的公共点不一定是切点例题1. 若直线是曲线的切线，求实数。
错解：曲线过定点，切线也过点因而点为切点，切线的斜率为1而故所以正解：设切点为因为切点一定在切线上，所以而切线斜率为1，切点又在曲线上故解得：，或当时，当时，所以，或2.曲线与切线只有一个交点例题2. 过曲线上一点的切线的方程是。
错解：。
过点的切线的方程为，即。
正解：设切点坐标为，则，切线方程为。
切线过点，切点在曲线上，。
化简得：，即。
解得：或。
当时，切点即，切线方程，即；当时，切点即为，切线方程为，即3.切线不能穿过曲线例题3. 已知两条曲线和y=x在处的点的切线互相平行，则的值为。
A.0或B.0C.D.0或错解：两条曲线在处的切线的斜率分别为，则，解得或0。
当时，曲线在原点处的切线为x轴，但从图象上看x轴穿过该曲线，不是切线，故舍去。
因此，填。
正解：在学习圆锥曲线时，平行于双曲线的渐进线（抛物线的轴）的直线与双曲线（抛物线）只有一个交点，但并不是切线，由此便以为切线不能穿过曲线。
其实，题中x轴是曲线y=x3的切线，也不难从切线的几何背景来加以解释。
根据导数的几何意义，如果函数在点x=x0处的导数存在，那么这个导数值就是曲线在该点处切线的斜率，至于该直线与曲线有多少个交点、是否穿过曲线等等，是不会影响它的切线“身份”的。
所以，答案为0或。
小结：利用导数求解曲线的切线问题中主要有以上三种误区，那么，我们怎样在以后的学习中避免这些错误，这些都是我们研究的方向。
高一数学复习考点知识讲解课件41---曲线上一点处的切线
高一数学复习考点知识讲解课件5.1.2瞬时变化率——导数第1课时曲线上一点处的切线考点知识1.了解以直代曲的数学思想，体会利用无限逼近的思想把曲线上两点的割线逼近为某点的切线的过程.2.会求函数在某点处的切线方程．导语“天圆地方”是我国先哲们认识世界的思维方式，几千年的社会实践证明了它的正确性，尤其体现在古代中国的建筑和钱币上，而反映到我们数学上，则是以直代曲，无限逼近的数学思想，比如我国古代刘徽在运用“割圆术”求圆的周长时，在圆内作正多边形，用正多边形的周长无限逼近圆的周长，这是最早出现的“以直代曲”的例子，今天让我们一起来探究如何通过利用直线或直线段来近似代替曲线或曲线段，并以此来研究曲线的某些性质．一、以直代曲问题1如图，我们把一条曲线上的任意一点P附近的图象不断放大，观察有何现象出现？提示当不断放大时，曲线在点P附近的图象逼近一条确定的直线，即在很小的范围内，曲线可以看作直线，这就是以直代曲的思想．例1刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家，他采用了以直代曲、无限趋近、内夹外逼的思想，创立了割圆术，如图是半径为1尺的圆内接正六边形，若用该正六边形的面积近似代替圆的面积，则该圆的面积的近似值为_________．答案33 2解析S正六边形＝6×34＝332.反思感悟以直代曲思想用来研究函数的局部性质，重在体会“无限逼近”，“量变到质变”，“近似与精确”的思想．跟踪训练1已知函数f(x)的部分图象如图所示．若把曲线AB近似地看成线段，则图中阴影部分的面积近似为________．答案3 2解析若把曲线AB近似看成线段，则阴影部分的面积近似为直角三角形的面积S＝1 2×1×3＝3 2.二、曲线的割线和切线问题2如图，过P 作割线PQ ，当点Q 逐渐向P 靠近时，有何现象出现？提示割线PQ 在点P 附近越来越逼近该曲线，当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，此时称这条直线l 为曲线在点P 处的切线． 知识梳理名称割线切线斜率设曲线C 上一点P (x ，f (x ))，另一点Q (x ＋Δx ，f (x ＋Δx ))，则割线PQ 的斜率为k PQ ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx当点Q 沿曲线C 向点P 运动，并无限靠近点P 时，割线PQ 逼近点P 的切线l ，从而割线的斜率逼近切线l 的斜率，即当Δx 无限趋近于0时，f (x ＋Δx )－f (x )Δx 无限趋近于点P (x ，f (x ))处的切线的斜率例2已知曲线y ＝x 2－1上两点A (2,3)，B (2＋Δx,3＋Δy )，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率是______；当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率是______． 答案54.1解析当Δx ＝1时，割线AB 的斜率k 1＝Δy Δx ＝(2＋Δx )2－1－22＋1Δx ＝(2＋1)2－221＝5；当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率k 2＝Δy Δx ＝(2＋0.1)2－1－22＋10.1＝4.1.反思感悟一条直线与一条曲线有两个公共点，我们就说这条直线是这条曲线的割线，当这两个点不断靠近，并重合为一个点时，这条直线就变成了这条曲线的切线． 跟踪训练2过曲线y ＝2x 上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______，过两点(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的割线的斜率为________． 答案122－2解析由平均变化率的计算公式及几何意义，可得过两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为k ＝2－11－0＝1.同理，过两点(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的割线的斜率为k ＝2－112－0＝22－2.三、切线的斜率例3已知曲线y ＝13x 3＋43.求曲线在点P (2,4)处的切线方程． 解∵点P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上， Δy Δx ＝13(2＋Δx )3＋43－13×23－43Δx ＝4·Δx ＋2(Δx )2＋13(Δx )3Δx＝4＋2·Δx ＋13(Δx )2，当Δx无限趋近于0，ΔyΔx无限趋近于4，∴在点P(2,4)处的切线的斜率为4，∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.反思感悟根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线在某点处的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数．跟踪训练3(1)已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线的斜率为16，则点P坐标为________．答案(3,30)解析设点P坐标为(x0，y0)，则f(x0＋Δx)－f(x0)(x0＋Δx)－x0＝2(Δx)2＋4x0Δx＋4ΔxΔx＝4x0＋4＋2Δx.当Δx无限趋近于0时，4x0＋4＋2Δx无限趋近于4x0＋4，因此4x0＋4＝16，即x0＝3，所以y0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30.即点P坐标为(3,30)．(2)已知曲线y＝f(x)＝3x2－x，求曲线在点A(1,2)处的切线的斜率及切线方程．解设A(1,2)，B(1＋Δx，f(1＋Δx))，则k AB＝3(1＋Δx)2－(1＋Δx)－2Δx＝5＋3Δx，当Δx无限趋近于0时，5＋3Δx无限趋近于5，所以曲线y＝3x2－x在点A(1,2)处的切线斜率是5.切线方程为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0.1．知识清单：(1)以直代曲．(2)曲线的割线和切线．(3)求曲线在一点处的切线．2．方法归纳：局部以直代曲、无限逼近的思想．3．常见误区：不能正确理解用割线无限逼近切线的思想．1．函数y＝f(x)＝1x在x＝1处的切线斜率为()A．－2B．－1C．1D．2 答案B解析因为Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －11＝－Δx1＋Δx ，所以ΔyΔx ＝－11＋Δx， 所以当Δx 趋近于0时，ΔyΔx 趋近于－1. 故函数f (x )在x ＝1处的切线斜率为－1.2．抛物线y ＝x 2在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14处的切线的倾斜角是()A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 答案B解析∵点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14在抛物线y ＝x 2上，Δy Δx ＝⎝⎛⎭⎪⎫12＋Δx 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫122Δx＝1＋Δx ， 当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于1，∴在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14处的切线的斜率为1，故倾斜角为45°.3．已知曲线y ＝x 3在点(2,8)处的切线斜率为12a ，则实数a 的值是() A ．－1B ．1C ．－2D ．2 答案B解析Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝(x ＋Δx )3－x 3Δx＝3x 2＋3Δx ·x ＋(Δx )2，因为当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于3x 2， 所以曲线在点(2,8)处切线的斜率k ＝12， 所以12a ＝12，即a ＝1.4．已知曲线y ＝1x －1上两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋Δx ，－12＋Δy ，当Δx ＝1时，割线AB的斜率为________． 答案－16解析由函数的解析式有Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝12＋Δx －12＝－Δx 2(2＋Δx )，则Δy Δx ＝－Δx2(2＋Δx )Δx ＝－12(2＋Δx ).当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为k ＝－12(2＋Δx )＝－12(2＋1)＝－16.课时对点练1．已知函数f (x )的图象如图所示，A (x 0，y 0)在曲线上，x 0∈[2,2＋Δx ]且Δx 无限趋近于0，则在A 点处的切线斜率近似为()A ．f (2)B ．f (2＋Δx ) C.f (2＋Δx )－f (2)Δx D ．f (x 0)答案C解析由两点割线的斜率，当Δx 无限趋近于0时，函数f (x )在A 点处的切线斜率近似为f (2＋Δx )－f (2)Δx.2．已知抛物线y ＝14x 2，抛物线上有一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14，Q 是抛物线上点P 附近的一点，则点Q 的坐标为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx ，14()Δx 2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫Δx ，14()Δx 2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx ，14()Δx ＋12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫Δx ，14()1＋Δx 2 答案C解析当x ＝1＋Δx 时，y ＝14(1＋Δx )2.3．已知函数f (x )＝x 2＋4上两点A ，B ，x A ＝1，x B ＝1.3，则割线AB 的斜率为() A ．2B ．2.3C ．2.09D ．2.1 答案B解析f (1)＝5，f (1.3)＝5.69.∴k AB ＝f (1.3)－f (1)1.3－1＝5.69－50.3＝2.3.4．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T 内完成房产供应量任务Q .已知房产供应量Q 与时间t 的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率(单位时间的供应量)逐步提高的是()答案B解析单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，故函数的图象应是一直下凹的．5．已知点P ()－1，1为曲线上的一点，PQ 为曲线的割线，当Δx 无限趋近于0时，若k PQ 无限趋近于－2，则在点P 处的切线方程为() A ．y ＝－2x ＋1B ．y ＝－2x －1 C ．y ＝－2x ＋3D ．y ＝－2x －2 答案B解析根据题意可知，在点P 处切线的斜率为－2，所以在点P 处的切线方程为y －1＝－2(x ＋1)，整理可得y ＝－2x －1.6．曲线y ＝－1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线方程是() A ．y ＝x －2B ．y ＝x －12C ．y ＝4x －4D ．y ＝4x －2答案C解析因为Δy ＝－1x ＋Δx ＋1x ＝Δx x (x ＋Δx )， 所以Δy Δx ＝1x (x ＋Δx )， 当Δx 无限接近于0时，Δy Δx 无限接近于1x 2，所以函数在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线斜率是k ＝4， 所以切线方程为y ＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝4x －4. 7．当h 无限趋近于0时，(4＋h )2－42h 无限趋近于______，4＋h －4h无限趋近于________．答案814解析(4＋h )2－42h＝8h ＋h 2h ＝8＋h ， 当h 无限趋近于0时，8＋h 无限趋近于8.4＋h －4h ＝4＋h －4h (4＋h ＋4)＝14＋h ＋4， 当h 无限趋近于0时，14＋h ＋4无限趋近于14.8．过曲线y ＝x 2上两点A ()2，4和B ()2＋Δx ，4＋Δy 作割线，当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率为______．答案4.1解析k AB ＝Δy Δx ＝()Δx ＋22－22Δx ＝()Δx 2＋4Δx Δx＝Δx ＋4， 所以当Δx ＝0.1时，AB 的斜率为4.1.9．求函数f (x )＝－x 2＋x 的图象在点A (2，f (2))处切线的方程．解设点B (2＋Δx ，f (2＋Δx ))，则割线AB 的斜率为Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝－(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－(－4＋2)Δx＝－4Δx ＋Δx －(Δx )2Δx＝－3－Δx ， 当Δx 无限接近于0时，函数f (x )＝－x 2＋x 的图象在点A (2，f (2))处切线的斜率为k ＝－3，又f (2)＝－22＋2＝－2，所以切线的方程为y －(－2)＝－3(x －2)，即3x ＋y －4＝0.10．求曲线y ＝x 在点(1,1)处的切线方程． 解∵点(1,1)在曲线y ＝x 上，Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1，当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx 无限趋近于12，∴在点(1,1)处切线的斜率为12，∴在点(1,1)处的切线方程为y －1＝12(x －1)，即x －2y ＋1＝0.11．已知函数f (x )＝x 2图象上四点A (1，f (1))，B (2，f (2))，C (3，f (3))，D (4，f (4))，割线AB ，BC ，CD 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则()A ．k 1<k 2<k 3B ．k 2<k 1<k 3C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2答案A解析k 1＝f (2)－f (1)2－1＝4－1＝3，k 2＝f (3)－f (2)3－2＝9－4＝5，k 3＝f (4)－f (3)4－3＝16－9＝7， ∴k 1<k 2<k 3.12．若曲线y ＝ax 2在x ＝a 处的切线与直线2x －y －1＝0平行，则a 等于()A ．－1B ．1C ．－1或1D ．－12或1答案A解析根据题意得Δy Δx ＝a (a ＋Δx )2－a ·a 2Δx ＝2a 2＋a ·Δx ，当Δx 无限接近于0时， 2a 2＝2，∴a ＝±1，当a ＝1时，y ＝x 2，切点是(1,1)，切线的斜率k ＝2，故切线方程是y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0和直线2x －y －1＝0重合，故a ＝－1.13．曲线y ＝x 2－3x 的一条切线的斜率为1，则切点坐标为()A ．(2,2)B ．(2，－2)C ．(－2,2)D ．(－2，－2)答案B解析设切点坐标为(x 0，y 0)，Δy Δx ＝(x 0＋Δx )2－3(x 0＋Δx )－(x 20－3x 0)Δx ＝(Δx )2＋2x 0Δx －3Δx Δx＝Δx ＋2x 0－3， 当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx 无限趋近于2x 0－3，即k ＝2x 0－3＝1，解得x0＝2，y0＝x20－3x0＝4－6＝－2.故切点坐标为(2，－2)．14．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为________________．答案3x－y－11＝0解析设切点为P(x0，y0)，在点P处的切线斜率为k，Δy Δx＝(x0＋Δx)3＋3(x0＋Δx)2＋6(x0＋Δx)－10－(x30＋3x20＋6x0－10)Δx＝3x20＋6x0＋6＋(Δx)2＋(3x0＋3)Δx，当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于3x20＋6x0＋6＝3(x0＋1)2＋3.所以k＝3(x0＋1)2＋3.当x0＝－1时，k有最小值3，此时点P的坐标为(－1，－14)，其切线方程为3x－y－11＝0.15．若函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝________.答案1 4解析根据题意，Δy Δx ＝a(x＋Δx)2＋1－ax2－1Δx＝2a·x·Δx＋a·(Δx)2Δx＝2ax＋a·Δx，当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于2ax，设切点为(x0，y0)，则2ax0＝1，且y0＝ax20＋1，y0＝x0，解得a＝14.16．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程；(2)求直线l1，l2与x轴所围成的三角形的面积．解(1)ΔyΔx＝(x＋Δx)2＋(x＋Δx)－2－(x2＋x－2)Δx＝2x＋1＋Δx，当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于2x＋1，∴直线l1的斜率k1＝3，∴直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3.设直线l2与曲线y＝x2＋x－2相切于点P(x0，x20＋x0－2)，则直线l2的方程为y－(x20＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0)．∵l1⊥l2，∴3(2x0＋1)＝－1，解得x0＝－2 3.∴直线l2的方程为y＝－13x－229，即3x＋9y＋22＝0.(2)解方程组⎩⎨⎧ y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝16，y ＝－52.又∵直线l 1，l 2与x 轴的交点坐标分别为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，0， ∴所求三角形的面积为S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋223＝12512.。
高中数学易混淆知识点
高中数学易混淆知识点高中数学易混淆知识点易混概念辨析切线和切线的长“切线”和“切线的长”请研究下面的问题：已知：⊙O的半径为3cm，点P和圆心O的距离为6cm，经过P 作⊙O的切线并求切线的长。
在这个问题中出现了“切线”和“切线的长”这两个名词，它们有什么区别?和圆只有一个公共点的直线叫做圆的切线。
如上面问题中过P点所作⊙O的切线PT，它和⊙O只有一个公共点T.在切线上，某一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线的长。
如上面问题中，P是切线PT上的一点，T是切点，线段PT的长就叫做P点到⊙O的切线的长。
由此可见，“切线”和“切线的长”这两个概念是有联系的。
没有切线，就谈不上切线的长。
但是，它们又是有区别的。
切线是直线，不可以度量，谈不上具体的长度；切线的长则是切线上一条线段的长，即圆外一已知点到切点之间的距离，是可以度量的。
切线是一条直线，它是一个图形；切线的长是一个数量。
不能把图形和数量混为一谈。
了解了“切线”和“切线的长”的区别，我们回过头来分析上面的问题，所谓“过P点作圆O的切线”，是一个作图题，要求作出过P点和圆O相切的直线。
而“求切线的长’则是一个计算题，要求算出线段PT的长度，两者的区别是很明显的，至于它们具体的作法和解法，就留给同学们自己去完成了。
易混概念辨析共点线和共线点“共点线”和“共线点”步枪射击时，战士要把自己的眼睛通过枪管前面的“准心”，瞄准敌方的目标。
也就是说，从几何上看，就是要使眼睛、准心、目标三点共线，这样才能击中目标。
像这样位于同一条直线上的若干个点，叫做共线点。
下面我们来证明一个“三点共线的问题”。
例：自三角形外接圆上任一点，分别作三角形三边或其延长线的垂线，试证三垂足共线。
已知：图中，⊙O是△ABC的外接圆，P是⊙O上的一点，PD、PE、PF分别垂直于直线AB、BC、AC，D、E、F是垂足。
求证：D、E、F三点共线。
证明：连结BP、PC、DE、EF∵∠BDP=∠PEB=90°，∴B、D、E、P四点共圆。
九年级切线知识点详解
九年级切线知识点详解直至连线知识点详解切线是数学中的一个重要概念，它与曲线的性质密切相关。
在九年级的数学学习中，切线知识点是一个重要的内容。
本文将详细介绍九年级切线的相关知识，包括切线的定义、切线的性质以及切线的应用。
一、切线的定义切线是指在曲线上某一点处与该点所在曲线的切点重合的一条直线。
切线与曲线之间只有一个公共点，且在该点处切线与曲线的斜率相等。
二、切线的性质1. 切线的斜率等于曲线导函数在该点处的斜率。
对于曲线y=f(x)，如果曲线在某一点P(x0,y0)处有切线，则切线的斜率等于曲线的导函数f'(x)在x0处的导数值，即：k = f'(x0)2. 切线与曲线相切于该点处。
由切线的定义可知，切线与曲线只有一个公共点，且在该点处切线与曲线相切。
3. 切线与曲线的切点相互重合。
切线与曲线在切点处重合，即切线通过曲线上的该点。
三、切线的应用1. 切线的应用于曲线的切线方程的求解。
通过切线的定义和性质，可以求解曲线的切线方程。
以曲线y=f(x)和该曲线上的一点P(x0,y0)为例，切线方程的一般形式为：y - y0 = f'(x0)(x - x0)2. 切线的应用于几何问题的解决。
切线在几何问题中也有广泛的应用，比如判断两个图形之间的关系、求解切线长度等。
四、切线知识点的例题现在我们通过一些例题来巩固对切线知识点的理解。
例题1：求曲线y=2x^2的切线方程，并画出该曲线和切线的图像。
解：首先求曲线的导函数：f'(x) = 4x然后选择曲线上的一点P(x0,y0)，我们选取P(1,2)作为切点。
根据切线方程的一般形式可以得到切线方程：y - 2 = 4(1)(x - 1)y - 2 = 4x - 4y = 4x - 2画出曲线y=2x^2和切线y=4x-2的图像如下：（图像略）例题2：在曲线y=x^3 - 6x^2 + 9x - 2上寻找切线与x轴平行的点。
解：首先求曲线的导函数：f'(x) = 3x^2 - 12x + 9然后设曲线上的一点为P(x0,y0)，根据题目要求，切线与x轴平行，则切线的斜率为0。
九年级数学圆的切线知识点
九年级数学圆的切线知识点《九年级数学圆的切线知识点》圆的切线在九年级数学里可是个很有趣的知识点呢。
咱先来说说圆的切线的定义。
切线就是和圆只有一个公共点的直线。
想象一下，圆就像一个超级圆润的小皮球，切线就像一把小剑，刚刚好刺到这个皮球上，就只碰到那么一个点，多神奇呀。
这个公共点就叫做切点。
圆的切线有个超级重要的性质哦。
切线是垂直于经过切点的半径的。
这就像是小皮球上插着那把剑，剑和从球心到切点的那根半径是垂直的关系呢。
这个性质在解题的时候可好用啦。
比如说，要是知道一条直线是圆的切线，还知道切点，那就可以得出垂直的关系，这样就能在三角形里用勾股定理之类的知识来求线段的长度啦。
那怎么判定一条直线是不是圆的切线呢？有两种常见的方法。
一种是定义法，就看这条直线和圆是不是只有一个公共点。
不过这个有时候不太好判断呢。
还有一种更常用的方法，就是经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
就像你先找到圆的一条半径，然后有一条直线，它经过这个半径的外端，还和这个半径垂直，那这条直线就是圆的切线啦。
这就像是给小皮球的半径外面找了个保镖，这个保镖站得笔直，那他就是切线啦。
圆的切线长定理也很有意思。
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
这就像是从外面一个地方向小皮球射出两支箭，这两支箭在皮球上的切点到外面那个点的距离是一样长的呢。
而且圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
这就好像是给这两支箭做了个平衡的规划。
在做关于圆的切线的题目时，我们要学会灵活运用这些知识点。
有时候要先证明切线，再利用切线的性质去解题。
有时候又要根据已知条件去求出切线的长度或者其他相关的量。
这就像是在玩一个解谜游戏，要把这些知识点像拼图一样组合起来。
我觉得圆的切线知识点虽然有点小复杂，但只要理解了它的定义、性质和判定方法，就像掌握了打开宝藏的钥匙一样。
在做数学题的时候，就能顺利地解决那些和圆的切线有关的难题啦。
数学人教A版选修4-1素材：教材梳理 第二讲三圆的切线的性质及判定定理 含解析 精品
庖丁巧解牛知识·巧学一、圆的切线的性质定理及推论1.圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.此定理强调半径必须经过切点，否则结论不成立.由于过已知点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以经过圆心且垂直于切线的直线一定过切点；反过来，过切点且垂直于切线的直线一定经过圆心，由此可以得到两个推论.2.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.知识拓展分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，可得出如下结论：如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个:(1)垂直于切线；(2)过切点；(3)过圆心.于是在利用切线性质时，过切点的半径是常作的辅助线.误区警示圆的切线还有两条性质应当注意，一是切线和圆只有一个公共点；二是切线和圆心的距离等于圆的半径.在许多实际问题中，我们也利用它们来解决.二、切线的判定定理1.切线的判定定理是经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.在定理中要分清定理的题设和结论，强调“经过半径外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线，如图2-3-1的例子就不同时满足两个条件，所以都不是圆的切线.图2-3-12.用判定定理证明一直线与圆相切时，必须满足两个条件：①过半径的外端；②垂直于这条半径.方法归纳在解决相关问题时，若已知要证的切线经过圆上一点，则需把这点与圆心相连，证这直线与这半径垂直；否则需先向这直线作垂线，再证这垂线段是圆的半径.问题·探究问题判断一条直线是否是圆的切线，通常有哪些方法？一般如何选取合适的方法？思路:从圆与直线公共点的个数、直线到圆心的距离、直线与半径的位置思考.探究:判定切线通常有三种方法：（1）和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线；（2）和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3）过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线. “过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线”只是把“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”的定理具体化，在使用时要根据题目的具体要求选取合适的方法，如果涉及到数值计算或距离问题，通常利用（2），如果涉及到线段的位置关系等，通常选取（3）.典题·热题例1如图2-3-2所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，且AD+BC=AB，AB为⊙O的直径，图2-3-2求证：⊙O 与CD 相切.思路分析：欲证⊙O 与CD 相切,只需证明圆心O 到直线CD 的距离等于⊙O 的半径即可.证明：过O 点作OE ⊥CD ，垂足为E ，∴AD ∥OE ∥BC.∵O 为AB 的中点，∴E 为CD 的中点.∴OE=21(AD+BC). 又∵AD+BC=AB ， ∴OE=21AB=OA,即OE 是⊙O 的半径. ∴⊙O 与CD 相切.方法归纳 在不知道圆与直线是否有公共点的情况下,通常过圆心作直线的垂线段，然后证垂线段的长等于半径，即“作垂直，证半径”，这是证直线与圆相切的常用方法之一.例2如图2-3-3所示，已知AB 为半圆O 的直径，直线MN 切半圆于点C ，AD ⊥MN 于点D ，BE ⊥MN 于点E ，BE 交半圆于点F ，AD=3 cm ，BE=7 cm.图2-3-3（1）求⊙O 的半径；（2）求线段DE 的长.思路分析：（1）连结OC ，证C 为DE 的中点.在解有关圆的切线问题时，常常需要作出过切点的半径.对于（2）则连结AF ，证四边形ADEF 为矩形，从而得到AD=EF ，DE=AF ，然后在Rt △ABF 中运用勾股定理,求AF 的长.解：（1）连结OC.∵MN 切半圆于点C ，∴OC ⊥MN.∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴AD ∥OC ∥BE.∵OA=OB ，∴CD=CE.∴OC=21（AD+BE ）=5 cm. ∴⊙O 的半径为5 cm.（2）连结AF.∵AB 为半圆O 的直径，∴∠AFB=90°.∴∠AFE=90°.又∠ADE=∠DEF=90°，∴四边形ADEF 为矩形.∴DE=AF ，AD=EF=3 cm.在Rt △ABF 中，BF=BE-EF=4 cm ，AB=2OC=10 cm.由勾股定理，得AF=2124102222=-=-BF AB ，∴DE=212 cm.深化升华 在梯形当中，最常见的辅助线是高，通过作高，可以构造出直角三角形，然后在直角三角形中进行相关计算；当题目中涉及圆的切线问题时，常常需要作出过切点的半径，通过它可以构建有用的垂直关系.例3如图2-3-4所示，AB 为⊙O 的直径，BC 、CD 为⊙O 的切线，B 、D 为切点，图2-3-4（1）求证：AD ∥OC ；（2）若⊙O 的半径为1，求AD·OC 的值.思路分析：对于（1），连结OD 、BD ，证AD ⊥BD ，OC ⊥BD ；对于（2），连结BD ，证△ABD ∽△OCB 即可.（1）证明：连结OD 、BD.∵BC 、CD 是⊙O 的切线，∴OB ⊥BC ，OD ⊥CD.∴∠OBC=∠ODC=90°.又∵OB=OD ，OC=OC ，∴Rt △OBC ≌Rt △ODC.∴BC=CD.∵OB=OD ，∴OC ⊥BD.又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB=90°,即AD ⊥BD.∴AD ∥OC.（2）解：∵AD ∥OC ，∴∠A=∠BOC.又∠ADB=∠OBC=90°，∴△ABD ∽△OCB. ∴OBAD OC AB =. ∴AD·OC=AB·OB=2×1=2.例4如图2-3-5,已知两个同心圆O,大圆的直径AB 交小圆于C 、D ，大圆的弦EF 切小圆于C ，ED 交小圆于G ，若小圆的半径为2，EF=34，试求EG 的长.图2-3-5思路分析：由EF 和小圆切于点C ，易知EF ⊥CD.因为CD 为小圆的直径，联想“直径上的圆周角为90°”，考虑连结GC ，则GC ⊥ED.由已知条件容易求出CD 、EC 的长.在Rt △ECD 中利用勾股定理和射影定理不难求出EG 的长.解：连结GC ，则GC ⊥ED.∵EF 和小圆切于C ，∴EF ⊥CD ，EC=21EF=32. 又CD=4，∴在Rt △ECD 中，有ED=724)32(2222=+=+CD EC .∵EC 2=EG·ED ， ∴EG=77672)32(22==ED EC。
对切线概念的误区的澄清
存在经过点 C 且与曲线 r 切于另一点的切线”其 ; 中猜想为:“ 有心曲线r : y =f (x) 不存在经过对称中
心 C 的切线. ” 本人认为上述两个结论和猜想是不正
另 ，察Y二于 点 外考 二在 (0,0)处 线 从 何 切 ，几 上
我们立刻可得到这条曲线在点( 0 ,0 ) 处切线为x =0 ,
P( 1,1) 的点;有心曲线 y = sinx 在任一个对称中心
处均存在切线且过该中心.
当△ + 时， x- 0 它的极限不存在. 但若把极限概念推广
到非正常极 限， 基于上述几何 事实， 我们说 函数
Y二 在二 有 数， 作 f ' (o) 二 . 故 般 振 =0处 导 记 为 0 一
说来， = f ( x ) 在 x 二xu 处 连 续 且 Y
2 华东师大数学系编 . ( 数学分析》 高等教育出版社 . ( 收稿日 期:20071120 )
k=一
f ( X) - f (xo) 二 ， f ( x) - f (xo) 一一 _ 、一。 . .
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值 ， 以此极 限为斜率， 则 过点 P 的直线 就是 曲线
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对 切 线 概 念 的 “ 区” 误 的澄清
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湖北省武 昌实验 中学 张鸿志
武汉市教育科学研究院 孔 峰
文( 1) 中关于曲线的切线的求法中得到两个一
Y=f (x) 在点 P 处的切线. 因此曲线Y=f (x) 在某一 点p (xo,Y ) 处的切线是否存在， . 应取决于该点的导
中学阶段对曲线切线的认识
中学阶段对曲线切线的认识杨君利通过教学我发现我们大多数人对曲线的切线认识的还不够全面，甚至还有一些错误的观点。
本文就曲线的切线给予简短的归纳和总结。
一、对圆的切线的认识首先，学生对于切线的认识，是一个循序渐进的过程。
从初中到高中，大致分为三个阶段。
第一阶段是在初中从圆的切线开始的。
由于当时对切线只是一种直观的认识，学习了圆的切线后，很多学生认为，所谓曲线的切线，就是和曲线只有一个公共点的直线。
这种认识是把对圆的切线的直观感觉进行了错误的推广。
二、对圆锥曲线的切线的认识第二阶段是在学习圆锥曲线时。
对于抛物线，其对称轴和对称轴的平行线都与这条抛物线只有一个交点，但这些直线不是抛物线的切线；对于双曲线，与双曲线的渐近线平行的直线与这条双曲线也只有一个交点，但它们也不是这条双曲线的切线。
通过圆锥曲线的学习，学生对切线的认识有了更深入的认识，知道直线与曲线只有一个交点时，直线不一定是曲线的切线。
从数的意义上来说，就是当直线的方程与二次曲线的方程联立的方程组，在消去一个坐标量后所得的方程是关于另一个坐标量的一元二次方程，并且判别式等于零时，直线才是该二次曲线的切线。
但是学生这个时候对于切线的认识还不是本质的，例如还有不少学生会认为，直线与曲线有多个交点时，直线不可能是曲线的切线；过一点作曲线的切线，最多只有两条，等等一些错误的观点。
三、学习导数后对曲线的切线的认识那么要澄清上述的一些错误观点，即第三阶段在我们学习导数后得出曲线的切线的定义：在曲线的某点A附近取点B，并使点B沿曲线不断接近点A。
这样直线AB的极限位置就是曲线在点A的切线。
这是切线在高中数学中的唯一定义，在高中数学北师大版选修2-2中就运用了这一定义，精确的定义了曲线在某点或过某点的切线。
通过定义我们知道如果是圆的切线，的确切线与圆只有一个交点。
但是求曲线的切线则不能错误的用“只有一个交点”来确定。
这就需要利用导数的几何意义：函数在某点处的导数值等于函数在该点处的切线的斜率。
高考数学易忽视的知识点
高考数学易忽视的知识点数学是高考中的一门重要科目，它涵盖了广泛的知识点和考点。
在备考过程中，同学们常常会集中精力在一些重要的知识点上，而忽视了一些看似不太重要的内容。
然而，这些经常被忽视的知识点却往往成为考试中的“绊脚石”。
本文将介绍一些高考数学易忽视的知识点，并提供相应的解决方法。
一、向量的法线与切线在高考数学中，向量的法线与切线是一个常被忽视的知识点。
在解题过程中，同学们常常将向量的法线与切线的概念混淆，进而导致答题错误。
事实上，向量的法线与切线是两个完全不同的概念，需要准确地理解与运用。
向量的法线是垂直于向量的直线或面，它的方向与向量的方向垂直。
而向量的切线是与向量共线的直线或面，它的方向与向量的方向相同。
在解题过程中，同学们应该根据具体情况准确判断应该使用法线或切线的概念，并进行相应的计算与分析。
二、解方程时的注意事项解方程是高考数学中的一个基本技能，但同学们在解方程时经常会出现一些易忽视的错误。
首先，同学们在方程两边进行操作时，往往会忽略掉“等号两边的对称性”。
这就导致了一些隐形的解被忽略掉。
因此，在解方程的过程中，同学们应该注意等式两边的对称性，确保每一步操作都是等价的。
此外，在解方程时，同学们还需要注意方程的定义域。
有些方程在某些特殊情况下是不成立的，因此需要将这些特殊情况排除在外。
无效的解并不应该出现在最终的解集中。
三、概率的计算问题概率是高考数学中的一个重要知识点，但也是同学们经常容易忽视的问题。
在计算概率时，同学们常常会将事件的独立性与互斥性概念混淆，导致计算错误。
事实上，独立事件和互斥事件是两个完全不同的概念。
独立事件指的是事件之间相互独立，发生一个事件不会影响其他事件的发生。
而互斥事件指的是事件之间不可能同时发生。
在计算概率时，同学们需要根据具体情况准确判断事件的性质，并选择相应的计算方法。
四、平面几何中的形状分类平面几何是高考数学中一个重要的考点，但同学们在解决平面几何问题时常常会将不同形状的特征混淆，导致答题错误。
高考数学易错知识点(3)
高考数学易错知识点（3）
易错点
11 混淆两类切线致误
错因分析：曲线上一点处的切线是指以该点为切点的曲线的切线，这样的切线只有一条;曲线的过一个点的切线是指过这个点的曲线的所有切线，这个点如果在曲线上当然包括曲线在该点处的切线，曲线的过一个点的切线可能不止一条。
因此求解曲线的切线问题时，首先要区分是什么类型的切线。
易错点12 混淆导数与单调性的关系致误
错因分析：对于一个函数在某个区间上是增函数，如果认为函数的导函数在此区间上恒大于0，就会出错。
研究函数的单调性与其导函数的关系时一定要注意：一个函数的导函数在某个区间上单调递增(减)的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大(小)于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为零。
易错点13 导数与极值关系不清致误
错因分析：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误就是求出使导函数等于0的点，而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的
极值点。
出现这些错误的原因是对导数与极值关系不清。
可导函数在一个点处的导函数值为零只是这个函数在此点处取到极值的必要条件，在此提醒广大考生在使用导数求函数极值时一定要注意对极值点进行检验。
有关曲线的切线错误观点辨析
有关曲线的切线错误观点辨析刘斌【摘要】对于曲线的切线，大部分高中生自以为并不陌生。
然而，在学习、解题过程中，许多同学经常出现一些意想不到的错误。
如在习题中遇到函数y=｜x｜在x=0处有无切线的问题，有些同学无法理解，认为“x轴与此函数图像在x=0处只有一个交点，x由就是切线。
”基于此，笔者对曲线的切线的概念发展史做简单梳理，并就高中生常见的一些关于切线的错误观点，通过列举反例进行剖析。
【期刊名称】《青苹果：高中版》【年(卷),期】2015(000)011【总页数】4页(P21-24)【关键词】错误观点;切线;曲线;函数图像;解题过程;高中生;发展史;同学【作者】刘斌【作者单位】合肥一中【正文语种】中文【中图分类】G633.7对于曲线的切线，大部分高中生自以为并不陌生。
然而，在学习、解题过程中，许多同学经常出现一些意想不到的错误。
如在习题中遇到函数y=|x|在x=0处有无切线的问题，有些同学无法理解，认为“x轴与此函数图像在x=0处只有一个交点，x轴就是切线。
”基于此，笔者对曲线的切线的概念发展史做简单梳理，并就高中生常见的一些关于切线的错误观点，通过列举反例进行剖析。
1.圆的切线欧几里得《几何原本》第三卷有这样一个命题：过一个圆的直径的端点作与直径成直角的直线，则该直线落在圆外，这个平面内在这条直线和圆之间不能插入另外的直线。
该命题中，所作直线即是圆的切线，由其可推出：圆与切线只有一个公共点。
2.圆锥曲线的切线古希腊数学家阿波罗尼奥斯在其著作《圆锥曲线论》中将圆锥曲线的切线定义为：与圆锥曲线只有一个公共点且完全在圆锥曲线之外的直线。
现在看来，这种定义显然不适用于所有曲线。
3.17 世纪初有关切线的三种定义（1）解析几何法这种方法由笛卡儿在1637年提出，又叫笛卡儿圆法（重根法）。
它是由代数形式给出求曲线的方法，不涉及极限的概念。
具体做法如下：过曲线上任一点作圆，当圆与曲线只有一个交点时，圆心与该点的连线即是法线，过该点与法线垂直的直线即是切线。
切线的判定和性质---王玉怀
数学 教师： 王玉怀 上课日期： 2013.1.12 学生数： 内容：直线和圆的位置关系目标：理解和掌握直线和园的位置关系以及切线的判断和性质 重点：切线的判断和性质 难点：切线的判断和性质的应用 一、直线与圆的位置关系1、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；2、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”。
3 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。
4 .与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点。
任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形。
注意：直角三角形外接圆半径R=c 2，内切圆半径r = a+b-c 2（其中a ，b 为直角边，c 为斜边）5 .三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角。
rdd=rdr例1、（2012•自贡）如图AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．（1）若AB=2，∠P=30°，求AP的长；（2）若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．【变式练习】（2012•孝感）如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD 交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD=4，BC=9，求⊙O的半径R3.切线的判定、性质及切线长定理的综合应用例题2（2011•济宁）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM与于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连接OF．（1）求证：OD∥BE；（2）猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由∴∠AOD=∠EOD=12∠AOE，∵∠ABE=12∠AOE，∴∠AOD=∠ABE，∴OD∥BE；（2）OF=12 CD．理由：连接OC，∵BC、CE是⊙O的切线，∴∠OCB=∠OCE，∵AM∥BN，∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180°，由（1）得∠ADO=∠EDO，∴2∠EDO+2∠OCE=180°，即∠EDO+∠OCE=90°，在Rt△DOC中，∵F是DC的中点，∴OF=12 CD．第三部分：思维误区1、不会运用切线的判定定理例题如图，已知△ABC，AB=AC，O为BC的中点，以O为圆心作圆与AB相切于点D。
高中生对切线的错误理解
高中生对切线的错误理解何百通;汪晓勤【期刊名称】《数学教育学报》【年(卷),期】2013(22)6【摘要】切线问题是导致微积分诞生的基本问题，是学生学习导数概念的认知起点。
对苏、沪、皖三地高二和高三224名学生的调查表明，尽管学过“切线是割线的极限位置”这一近代分析定义，但绝大多数学生仍然持有“圆的切线”或“与曲线只有一个公共点的直线”的表象，与该定义完全分离；绝大多数高中生对切线的理解只达到古典几何阶段，他们只是根据公共点个数来判别切线，与古希腊数学家的理解具有相似性；绝大多数高中生在从圆和圆锥曲线的切线过渡到一般曲线的切线，从切线的静态的直观定义过渡到动态的分析定义时存在困难，表现出高度的历史相似性。
%The tangent line is one of the basic problems leading to the birth of the calculus and is the starting point of its learning. A questionnaire survey was conducted to 224 senior high school students from Jiangsu, Shanghai and Anhui. It is found that, in spite of the modern analytic definition of the tangent line, most of students hold the images of“the tangent line of circle”and“the straight line sharing only one point with the curve”; most of students only attain the stage of classic geometry, similar to the understanding of ancient Greek mathematicians;most students have difficulties in passing from the static definition to the analytic one, showing evident historical parallelism.【总页数】4页(P45-48)【作者】何百通;汪晓勤【作者单位】衢州职业技术学院，浙江衢州 324000;华东师范大学数学系，上海200241【正文语种】中文【中图分类】G420【相关文献】1.高中生英语阅读理解测试的常见错误类型及其教学对策 [J], 郭华2.函数图像的"切线斜率"的理解及在高中物理解题中的应用 [J], 于胜寒3.高中生对切线的错误理解 [J], 汪晓勤;殷克明4.整合切线定义理解概念内涵——一堂有关切线概念的高三复习课 [J], 俞萍;5.高中生对切线的理解 [J], 陈慧因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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关于切线的几个认识误区
误区一：曲线上某一点处附近的曲线一定在该点处切线的同一侧．
错因分析：学生比较熟悉圆、椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的切线，这些曲线在某一点处附近的曲线确实都在该点处切线的同一侧，学生往往通过类比，认为误区一的结论是正确的，这种先入为主的错误认识影响了对切线概念的正确理解．
解析：由曲线在某一点处的切线的定义可知，曲线在某一点处的切线是通过该点的割线的极限位置，切线既可以位于切点处曲线的一侧，也可以穿过切点处的曲线．
例1：函数3
()f x x =，导函数 2()3f x x '=，
(0)0f '=，在点（0，0）处的切线为00(0)y x -=⨯-，
即0y =.
误区二：函数在某一点处的导数不存在，则在该点处的切线不存在．
错因分析：学生一般是通过求导来求曲线在某一点处的切线的斜率．在某一点处导数存在，说明在该点处切线存在，学生容易类比出在某一点处的导数不存在就判定在该点处的切线不存在．
解析：曲线在某一点处的导数不存在，既可能是曲线在该点处的左右割线的极限不同，也可能是在该点处的切线与Y 轴平行或重合．前者导致切线不存在，而后者是可以存在切线的. 例2：函数13()f x x =，导函数 233211
()33f x x x -'==，
(0)f '不存在，但在点（0，0）处的切线为0x =.
（与例1是互为反函数）
例3：函数()f x x =，导函数
1,0()1,0
x f x x >⎧'=⎨-<⎩，
(0)f '不存在，在点（0，0）处的切线也不存在.
误区三：经过曲线上的一点作曲线的切线只有一条．
错因分析：同误区一．
解析：经过曲线上的一点作曲线的切线时，该点可能是切点，也可能不是切点．
例4：函数3()3f x x x =-，导函数2()33f x x '=-，令2()330f x x '=-=，解得1x =±，
极值点为（－1，2）和（1，2）.(据此可画函数的草图)
现在求过点（2，2）的切线：
一方面，以（2，2）为切点：2(2)3239f '=⨯-=，切线为
29(2)y x -=-；
另一方面，以（－1，2）为切点的切线为2(1)(1)
y f x '-=-⨯+ 即2y =，此切线也过点（2，2）.。