第6章 假设检验
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第六章 假设检验2006
第六章参数假设检验假设检验（test of hypothesis）亦称显著性检验（test of statistical significance），就是先对总体的参数或分布做出某种假设，如假设两个总体均数相等，总体服从正态分布或两总体分布相同等，然后用适当的统计方法计算某检验统计量，根据检验统计量的大小来推断此假设应当被接受或拒绝，它是统计推断的另一重要方面。
假设检验可以分为两类：一类是已知总体分布类型，对其未知总体参数的假设作假设检验，称为参数检验（parametric test），主要讨论总体参数（均值、方差、总体率等）的检验；另一类是对未知总体分布类型的总体假设作假设检验，称为非参数检验（non-parametric test），主要包括总体分布形式的假设检验、随机变量独立性的假设检验等。
本章主要介绍有关总体参数（均值、方差、总体率等）的参数检验问题。
第一节假设检验的基本概念一、假设检验问题及基本原理（一）假设检验问题我们先来看个具体的例子。
例6.1某药厂用自动包装机包装葡萄糖，按规定每袋葡萄糖的标准重量为500克，若已知包装机包装的每袋葡萄糖重量服从正态分布，且按以往标准知总体方差σ2=6.52，某日开工后，为检验包装机工作是否正常，随机抽取6袋葡萄糖，测得其平均重量x=504.5（克），问该日自动包装机包装的平均重量是否还是500克？某日随机抽取的6袋葡萄糖的平均重量x=504.5（克），与标准重量500克相比差4.5克，造成该差异的原因有两种可能：①这日自动包装机工作正常，其包装的总体平均重量μ=500克，此6袋葡萄糖的平均重量这一样本均值与总体均值不同，是随机抽样误差造成的；②这日自动包装机工作不正常，其包装的总体平均重量μ≠500克，故从此总体中随机抽取的6袋葡萄糖的平均重量与标准重量存在实质性差异，而不仅仅是抽样误差造成的。
上述两种可能是相互对立的、互不相容的，究竟哪一种可能是对的，可用假设检验的方法来判断。
第6章 假设检验
×
样本均数 分布未知
样本均数服从 t分布
( X－t / 2 ( ) .S X， X＋t / 2 ( ) .S X )
样本均数服从 正态分布
N ( , 2 / n)
N ( , S 2 / n)
( X－u / 2 . X， X＋u / 2 . X )
( X－u / 2 .S X， X＋u / 2 .S X )
时，当P值在检验水准α 附近时，应慎重做结论。
α 是犯Ⅰ型错误的最大概率，P是犯Ⅰ型错误的实际概率。
3.假设检验的统计意义
假设检验的实际意义
不管是接受还是拒绝零假设都未必有实际意义； 拒绝零假设时，即使P值很小，总体之间差异可能很小，不具有
实际意义；
接受零假设时，不代表总体之间没有差异，可能由于样本量过 小，“证据不足”，“补充证据”后，仍可能拒绝零假设；
样本均数 分布未知
×
样本均数服从 正态分布
Ⅳ N
σ 已知？ Y
u
X
X
X X / n S/ n
样本均数服从 t分布
样本均数服从 正态分布
N ( , / n)
2
N ( , S 2 / n)
样本均数与总体 均数比较 (大样本:u检验) (小样本:?检验)
两样本均数比较
若小概率事件发生了，则我们犯了经验主义错误；
因为小概率事件发生可能性为α ，则我们犯经验主义错 误的概率为α ,这种错误称为Ⅰ型ห้องสมุดไป่ตู้误。
若小概率事件没有发生，接受零假设时，还是有可能犯错
误，这时候错误是教条主义，称为Ⅱ型错误。
统计学第六章假设检验
10
即 z 拒绝域，没有落入接受域，所以没有足够理由接受原假设H0, 同
时，说明该类型电子元件的使用寿命确实有了显著的提高。
第六章 假设检验
1. 正态总体均值的假设检验
(2) 总体方差 2 未知的情形
双侧举例：【例 6-6】某厂用生产线上自动包装的产品重量服从正态
分布，每包标准重量为1000克。现随机抽查9包，测得样本平均重量为
100个该类型的元件，测得平均寿命为102(小时), 给定显著水平α=0.05,
问，该类型的电子元件的使用寿命是否有明显的提高？
解：该检验的假设为右单侧检验 H0: u≤100, H1: u>100
已知 z z0.05 1.645
zˆ x u0 n 100 (102 100 ) 2 1.645
986克，样本标准差是24克。问在α=0.05的显著水平下,能否认为生产线
工作正常？ 解：该检验的假设为双侧检验 H0: u=0.5, H1: u≠0.5
已知 t /2 (n 1) t0.025 (9 1) 2.306， 而 tˆ x u 986 1000 1.75 可见 tˆ 1.75 2.306
设H0, 同时，说明该包装机生产正常。
其中 P( Z 1.8) 1 P( Z 1.8) 1 0.9281 0.0719 0.05。
第六章 假设检验
单侧举例：【例 6-4】某电子产品的平均寿命达到5000小时才算合格，
现从一批产品中随机抽出12件进行试验，产品的寿命分别为
5059, 3897, 3631, 5050, 7474, 5077, 4545, 6279, 3532, 2773, 7419, 5116
的显著性水平=0.05，试测算该日生产的螺丝钉的方差是否正常？
第六章 假设检验
8
依据实际问题，建立原假设 H和0 备选假设 H1
确定检验统计量，确定该统计量的抽样分布
给定显著性水平α，查表得临界值，因此确定拒绝 的区H间0 范围（拒绝域）
据样本观察值计算统计量，
做出决策是接受原假设 H，0 还是拒绝原假设 H 0
9
H真0 实 不H 0 真实
接受 H 0
拒绝 H 0
40
一个假设检验问题的结论是简单的，给定显著性 水平，不是拒绝原假设，就是接受原假设，但是 有可能存在如下情况：在显著性水平α=0.05时拒 绝了原假设，但在显著性水平α=0.01下保留原假 设。因为降低显著性水平会导致拒绝域缩小，这 样原来落在α=0.05的拒绝域中的检验统计量的观 察值有可能落在α=0.01到接受域中。由此提出p值检验。
42
（一）z检验的p-值：
检验统计量为z统计量的p-值计算公式，z 0表示检
验统计量的抽样数据，则p-值的计算方法如下：
如果： H 1 ， 0p-值=
pz z0
如果： H 1 ， 0p-值= 如果： H 1 ，0 p-值=
p z z0 p z z0
例6：利用p-值检验重新检验例1。 解： 第一、第二步与例1完全相同，故省略之。 第三步：计算样本统计的数值。 样本平均数 X 2，48n=50，代入检验统计量得：
26
解：此题为右侧检验。 第一步，建立假设
H0 : ， 100 H1 : 100
第二步，确定检验统计量及其分布
z X 0 ~ N 0,1
n
第三步，确定临界值，右单侧检验临界值 α=0.05，查标准正态分布表得临界值：
显著性水z平
z=1.645，拒绝域是z>1.645。
27
依据实际问题，建立原假设 H和0 备选假设 H1
确定检验统计量，确定该统计量的抽样分布
给定显著性水平α，查表得临界值，因此确定拒绝 的区H间0 范围（拒绝域）
据样本观察值计算统计量，
做出决策是接受原假设 H，0 还是拒绝原假设 H 0
9
H真0 实 不H 0 真实
接受 H 0
拒绝 H 0
40
一个假设检验问题的结论是简单的，给定显著性 水平，不是拒绝原假设，就是接受原假设，但是 有可能存在如下情况：在显著性水平α=0.05时拒 绝了原假设，但在显著性水平α=0.01下保留原假 设。因为降低显著性水平会导致拒绝域缩小，这 样原来落在α=0.05的拒绝域中的检验统计量的观 察值有可能落在α=0.01到接受域中。由此提出p值检验。
42
（一）z检验的p-值：
检验统计量为z统计量的p-值计算公式，z 0表示检
验统计量的抽样数据，则p-值的计算方法如下：
如果： H 1 ， 0p-值=
pz z0
如果： H 1 ， 0p-值= 如果： H 1 ，0 p-值=
p z z0 p z z0
例6：利用p-值检验重新检验例1。 解： 第一、第二步与例1完全相同，故省略之。 第三步：计算样本统计的数值。 样本平均数 X 2，48n=50，代入检验统计量得：
26
解：此题为右侧检验。 第一步，建立假设
H0 : ， 100 H1 : 100
第二步，确定检验统计量及其分布
z X 0 ~ N 0,1
n
第三步，确定临界值，右单侧检验临界值 α=0.05，查标准正态分布表得临界值：
显著性水z平
z=1.645，拒绝域是z>1.645。
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第6章 假设检验
三、假设检验中的相关概念
（一）原假设和备择假设 1、原假设和备择假设的定义
原假设：假设检验中，通常将所要检验的假 设称为原假设，也称为零假设，用H0表示。 备择假设：原假设的对立假设称为备择假设 或备选假设，用H1表示。
例如：设μ 0为总体均值μ 的某一确定值。
0
1.检验总体均值μ 是否等于某一确定值μ
2、原假设和备择假设的形式
（双侧检验和单侧检验）
若原假设是总体参数等于某一数值，
如H0：μ＝μ0 ；H1：μ≠μ0。
这种假设检验称为双侧检验 若原假设是总体参数大于等于或小于等于某一数值， 如H0：μ≥μ0 ；H1：μ＜μ0 或H0 ：μ≤μ0 ；H1：μ＞μ0
这种假设检验称为单侧检验。又分为左侧检验和右侧检验。
一、总体均值的检验
（一）提出假设
1. 双侧检验：H0 ： m =m0；H1 ： m m0
2. 3.
左侧检验：H0 ： m m0；H1 ： m <m0 右侧检验：H0 ： m m0 ；H1 ： m >m0
一、总体均值的检验
(二)选择检验统计量，并确定其分布形式
大
样本容量n
否 是
小(正态总体)
设检验。
一、什么是假设检验
参数假设检验 指对总体分布函数中的未知参数提出某种 假设，然后利用样本信息对所提的假设进 行检验并做出判断的过程。 非参假设检验 指对总体分布函数形式等的假设进行检验 的过程。
参数假设检验实例
例1：某公司进口一批钢筋，根据要求，钢筋的 平均拉力强度不能低于2000克，而供货商强 调其产品的平均拉力强度已达到了这一要求， 这时需要进口商对供货商的说法是否真实作出 判断。进口商可以先假设该批钢筋的平均拉力 强度不低于2000克，然后用样本的平均拉力 强度来检验假设是否正确。
卫生统计学课件_第六章_假设检验
16
公式：t
自由度：对子数 - 1
适用条件：两组配对计量资料。 例题：p. 34, 例8
三、两个小样本均数比较的 t 检验
▲目的：由两个样本均数的差别推断两样本
所代表的总体均数间有无差别。 ▲计算公式及意义： t 统计量： 自由度：n1 + n2 –2
18
▲ 适用条件：
（1）已知/可计算两个样本均数及它们的标准差 ；
38
(2）当不能拒绝
II 类错误的概率 β 值的两个规律：
1. 当样本量一定时, α 愈小, 则 β 愈大，反之…; 2.当 α 一定时, 样本量增加, β 减少.
39
4. 正确理解P值的意义， P值很小时“拒绝H0 ”，P值的
大小不要误解为总体参数间差异的大小； 拒绝H0 只是说 差异不为零。 统计学中的差异显著或不显著，和日常生活中所说的差 异大小概念不同. （不仅区别于均数差异的大小，还区别 于均数变异的大小)
统计推断
用样本信息推论总体特征的过程。
包括：
参数估计: 运用统计学原理，用从样本计算出来的统计
指标量，对总体统计指标量进行估计。
假设检验：又称显著性检验，是指由样本间存在的差
别对样本所代表的总体间是否存在着差别做出判断。
第一节
▲显著性检验;
假设检验
▲科研数据处理的重要工具;
▲某事发生了：
是由于碰巧？还是由于必然的原 因？统计学家运用显著性检验来 处理这类问题。
45
41
是非判断： （ ）1．标准误是一种特殊的标准差，其 表示抽样误差的大小。 （ ）2．N一定时，测量值的离散程度越 小，用样本均数估计总体均数的抽样误差 就越小。 （ ）3．假设检验的目的是要判断两个样 本均数的差别有多大。
公式：t
自由度：对子数 - 1
适用条件：两组配对计量资料。 例题：p. 34, 例8
三、两个小样本均数比较的 t 检验
▲目的：由两个样本均数的差别推断两样本
所代表的总体均数间有无差别。 ▲计算公式及意义： t 统计量： 自由度：n1 + n2 –2
18
▲ 适用条件：
（1）已知/可计算两个样本均数及它们的标准差 ；
38
(2）当不能拒绝
II 类错误的概率 β 值的两个规律：
1. 当样本量一定时, α 愈小, 则 β 愈大，反之…; 2.当 α 一定时, 样本量增加, β 减少.
39
4. 正确理解P值的意义， P值很小时“拒绝H0 ”，P值的
大小不要误解为总体参数间差异的大小； 拒绝H0 只是说 差异不为零。 统计学中的差异显著或不显著，和日常生活中所说的差 异大小概念不同. （不仅区别于均数差异的大小，还区别 于均数变异的大小)
统计推断
用样本信息推论总体特征的过程。
包括：
参数估计: 运用统计学原理，用从样本计算出来的统计
指标量，对总体统计指标量进行估计。
假设检验：又称显著性检验，是指由样本间存在的差
别对样本所代表的总体间是否存在着差别做出判断。
第一节
▲显著性检验;
假设检验
▲科研数据处理的重要工具;
▲某事发生了：
是由于碰巧？还是由于必然的原 因？统计学家运用显著性检验来 处理这类问题。
45
41
是非判断： （ ）1．标准误是一种特殊的标准差，其 表示抽样误差的大小。 （ ）2．N一定时，测量值的离散程度越 小，用样本均数估计总体均数的抽样误差 就越小。 （ ）3．假设检验的目的是要判断两个样 本均数的差别有多大。
第六章 假设检验
，接受 H 1 。表明在
第二节 总体均值的假设检验
（二）总体为非正态分布或分布未知 当总体分布为非正态分布且大样本时，检验的 X 统计量为 Z
0
/
n
在“原假定成立”的条件下，只要样本容量充分 大（一般习惯上要求 n≥30），它近似服从标准正 态分布。 如果标准差σ未知，只需用样本标准差S作为它 的估计量代替式中的 σ即可，这时检验统计量为
检验统计量服从t分布与其服从标准正态分布的检验结论判断方法一致
例6.3 某厂购买了一台新的生产机器，生产零件的长度规定为10厘米。为了 检验机器的性能是否良好，质检员随机抽取了25件产品，测得其平均长度为9.8厘 米，标准差为0.4厘米。假设生产的零件长度服从正态分布，问在显著性水平 =0.05时，该机器的性能是否良好。 2 解：设 X 表示该机器生产零件的长度，则有 X ~ N (, )，样本容量n=25，样本 均值 x =9.8厘米，样本标准差 s 0.4 厘米。根据问题提出的假设为： H0 ： 0 =10厘米； H 1 ： 0 =10厘米 这是一个双侧检验问题，因为总体服从正态分布但总体方差未知，用检验的小 样本数据检验，故当 H 0 成立时，检验统计量为： x 0
t
s n
规定显著性水平为 =0.05，查表得到临界值 t / 2(24) 2.064 ，所以原假设的否 定域为：t 2.064 。 计算检验统计量的值： t x 0 9.8 10 2.5
s 0.4 n 100
因为 |-2.5|=2.5＞2.064，落在否定域，所以否定 H 0 显著性水平 =0.05时，不能说该机器的性能良好。 互动地带 6-11
第Ⅱ类错误，也称取伪错误 本来是非真的，却根据检验统计量的值把它给接受了。 发生这种错误的概率通常用 表示，即 P(接受H 0 / H 0非真） 在样本容量一定时，犯两种错误的风险是彼此消长的。两者要同时得到控制只 有增加样本容量。在样本容量受限时，通常根据研究问题的性质决定重点控制 第一类错误的风险还是控制第二类错误的风险。
第六章假设检验
当我们把真实的原假设当成假的加以拒绝， 称为第一类错误，也称弃真错误、α错误，犯 第一类错误的概率就是显著性水平α；当我们 把不真实的原假设当作真的加以接受，称为第 二类错误，也称取伪错误、β错误，犯第二类 错误的概率是不确定的。
α也称为生产者风险：在生产者将产品售给消费者时，通常 要进行产品的质量检验，原假设总是产品是合格的，但是检验 时生产者总是担心把合格品检验为不合格品，也就是第一类错 误α，所以α也称为生产者风险。 β也称为消费者风险：在消费者一方总恐怕把不合格品检验 不出来而当作合格品接受，因而β也称为消费者风险。
（二）未知总体分布及总体方差，大样本 1.检验总体均值的统计量
（三）总体为正态分布、方差未知、小样本 1. 检验统计量
2. 拒绝域的临界值 可以根据双侧检验还是单侧检验来确定拒绝域的 临界值。当为双侧检验，显著性水平a时，临界值 为 ；当为右侧检验时，显著性水平a，监界值 为 ；当为左侧检验时，显著性水平为a，临界值 为- 。
备择假设，常用H1表示。即原假设被否定之 后而采取的逻辑对立假设。
(二)检验统计量
有了两个假设，就要根据数据来对他们进行判 断。数据的代表是作为其函数的统计量，对样 本数据进行加工并用来判断是否接受原假设的统计 量称作检验统计量 统计量最常用的是Z统计量、t统计量。
统计量的选择要根据研究的参数及其估计量 的分布、抽样的方式、总体方差是否已知等多种 因素来确定
第四步：确定决策规则。拒绝或没有拒绝原假设的决 策是建立在由样本数据来进行统计检验并将其与假设 的抽样分布比较。抽样分布被分成两个部分，拒绝域 和非拒绝域。如果原假设是真实的，那么统计检验不 可能落入拒绝域。因此，如果统计检验落入了拒绝域， 我们拒绝原假设；否则，我们不能拒绝它。
α也称为生产者风险：在生产者将产品售给消费者时，通常 要进行产品的质量检验，原假设总是产品是合格的，但是检验 时生产者总是担心把合格品检验为不合格品，也就是第一类错 误α，所以α也称为生产者风险。 β也称为消费者风险：在消费者一方总恐怕把不合格品检验 不出来而当作合格品接受，因而β也称为消费者风险。
（二）未知总体分布及总体方差，大样本 1.检验总体均值的统计量
（三）总体为正态分布、方差未知、小样本 1. 检验统计量
2. 拒绝域的临界值 可以根据双侧检验还是单侧检验来确定拒绝域的 临界值。当为双侧检验，显著性水平a时，临界值 为 ；当为右侧检验时，显著性水平a，监界值 为 ；当为左侧检验时，显著性水平为a，临界值 为- 。
备择假设，常用H1表示。即原假设被否定之 后而采取的逻辑对立假设。
(二)检验统计量
有了两个假设，就要根据数据来对他们进行判 断。数据的代表是作为其函数的统计量，对样 本数据进行加工并用来判断是否接受原假设的统计 量称作检验统计量 统计量最常用的是Z统计量、t统计量。
统计量的选择要根据研究的参数及其估计量 的分布、抽样的方式、总体方差是否已知等多种 因素来确定
第四步：确定决策规则。拒绝或没有拒绝原假设的决 策是建立在由样本数据来进行统计检验并将其与假设 的抽样分布比较。抽样分布被分成两个部分，拒绝域 和非拒绝域。如果原假设是真实的，那么统计检验不 可能落入拒绝域。因此，如果统计检验落入了拒绝域， 我们拒绝原假设；否则，我们不能拒绝它。
《概率论》第六章假设检验
例1 某服务系统的相应时间服从正态分布，需求 其平均相应时间在0.5秒之内。若16次抽样测试得 到样本平均值为x=0.56秒，样本标准差为s=0.12秒， 该服务系统工作是否正常？(=0.05)
解：H0 : 0.5 n=16 ＝0.05 t1 1.753 t x 0 0.56 0.5 =2 >1.753 s n 0.12 16
因此否定H0 即该服务系统工作不正常
(二)未知方差2，关于期望的检验
1.检验假设(单边)H0 : 0 H1 : 0
2.选取检验统计量 T X 0 [ t(n 1)] Sn
3.由备选假设确定拒绝域形式,W=(t c)
4.由显著性水平决定临界值c=t (n 1),
2.选取检验统计量 T X 0 [ t(n 1)] Sn
3.由备选假设确定拒绝域形式,W=(t c)
4.由显著性水平决定临界值c=t1 (n 1),
P T t1 (n 1)
5.求出检验统计量的观测值,判断是否在拒绝域中
即:若t t1 (n 1),则否定H0; 若t t1 (n 1),则接受H0.
因此这实际上需要比较第二个正态总体 的期望值是与第一个正态总体期望值相 等还是比它高？
这种作为检验对象的假设称为原假设， 通常用 H0表示。比如， 例2中的待检假设为：H0：Eξ=3140
如何根据样本的信息来判断关于总体分布的 某个设想是否成立，也就是检验假设H0成立 与否的方法是本章要介绍的主要内容。
P T t (n 1)
5.求出检验统计量的观测值,判断是否在拒绝域中
即:若t<t (n 1),则否定H0; 若t>t (n 1),则接受H0.
(二)未知方差2，关于期望的检验
第六章 假设检验
2 2 , 1 2 已知，或大样本情况 6.3.1 2 2 两个总体均服从正态分布、两个总体的方差 1 , 2 已知；或两 个总体分布及方差未知，但大样本情况下，样本均值之差 X 1 X 2 的抽样分布服从或近似服从正态分布，即可采用检验 统计量：
第六章 假设检验 6.2 总体均值的假设检验
【例6-7】某厂采用自动包装机分装产品，假定每包产 品的重量服从正态分布，每包标准重量为1000克。某 日随机抽查9包，测得样本平均重量为986克，样本标 准差为24克。试问在0.05的显著性水平上，能否认为 这天自动包装机工作正常？
第六章 假设检验 6.2 总体均值的假设检验
6.1
第六章 假设检验 假设检验的原理
6.1.2
假设检验的步骤
（三）选取显著性水平，确定原假设的拒绝域和接受域 显著性水平表示原假设为真时拒绝原假设 H 0 的最大概率， 即拒绝原假设所冒的风险，用 表示。 通常取 0.05 或 0.01
6.1
第六章 假设检验 假设检验的原理
第六章 假设检验 6.2 总体均值的假设检验
6.2.3 2未知时小样本情况下总体均值的假设检验
设总体服从正态分布 X ~ N (, 2 ) ，在小样本抽样情况下，利用 t检验法对总体均值的检验，其检验统计量及分布为：
t X ~ t (n 1) s/ n
第六章 假设检验 6.2 总体均值的假设检验
6.1
第六章 假设检验 假设检验的原理
6.1.4
假设检验中的P值
H1 : 0
（2）左侧检验：H 0 : 0
P值= P(Z zc 0 )
H 0 : 0
（3）右侧检验：
H1 : 0
第六章 假设检验 6.2 总体均值的假设检验
【例6-7】某厂采用自动包装机分装产品，假定每包产 品的重量服从正态分布，每包标准重量为1000克。某 日随机抽查9包，测得样本平均重量为986克，样本标 准差为24克。试问在0.05的显著性水平上，能否认为 这天自动包装机工作正常？
第六章 假设检验 6.2 总体均值的假设检验
6.1
第六章 假设检验 假设检验的原理
6.1.2
假设检验的步骤
（三）选取显著性水平，确定原假设的拒绝域和接受域 显著性水平表示原假设为真时拒绝原假设 H 0 的最大概率， 即拒绝原假设所冒的风险，用 表示。 通常取 0.05 或 0.01
6.1
第六章 假设检验 假设检验的原理
第六章 假设检验 6.2 总体均值的假设检验
6.2.3 2未知时小样本情况下总体均值的假设检验
设总体服从正态分布 X ~ N (, 2 ) ，在小样本抽样情况下，利用 t检验法对总体均值的检验，其检验统计量及分布为：
t X ~ t (n 1) s/ n
第六章 假设检验 6.2 总体均值的假设检验
6.1
第六章 假设检验 假设检验的原理
6.1.4
假设检验中的P值
H1 : 0
（2）左侧检验：H 0 : 0
P值= P(Z zc 0 )
H 0 : 0
（3）右侧检验：
H1 : 0
第六章 假设检验
所以有 C0 = 6 × 1.65 + 250 = 因此犯第二类错误的概率是
259.9
X − 270 C0 − 270 β = P{ X ≤ C0 } = P{ } ≤ 6 6 259.9 − 270 = P{z ≤ = −1.68} = φ (−1.68) 6 = 1 − φ (1.68) = 0.0465
y
0.0044
2.61
x
从（1）的计算结果可以看出，在超市提出的假设成立的 ）的计算结果可以看出， 情况下，随机抽取的200件产品中，有6件是次品的概率 件产品中， 情况下，随机抽取的 件产品中 件是次品的概率 为0.0044，显然这是一个小概率事件，认为在一次抽查中 ，显然这是一个小概率事件， 不应该发生，现在它发生了， 不应该发生，现在它发生了，我们怀疑超市提出的假设不 应该成立。也就是拒绝这批产品进入超市。 应该成立。也就是拒绝这批产品进入超市。 在这个例子中，超市提出了假设， 在这个例子中，超市提出了假设，通过抽样获得样本数
这两类错误之间的关系是：在样本容量一定时，犯第一类 这两类错误之间的关系是：在样本容量一定时， 错误概率较大时，犯第二类错误地概率较小；反之， 错误概率较大时，犯第二类错误地概率较小；反之，犯第 一类错误概率较小时，犯第二类错误概率较大。 一类错误概率较小时，犯第二类错误概率较大。要想两类 错误的概率都减小，只有增加样本容量。 错误的概率都减小，只有增加样本容量。 5、显著性水平 、 显著性水平：是指人们犯第一类错误概率的最大允许值。 显著性水平：是指人们犯第一类错误概率的最大允许值。 注意：显著性水平是人们根据自己所研究的问题来确定， 注意：显著性水平是人们根据自己所研究的问题来确定， 在经济学和其他社会科学中，常用选择的显著性水平是5% 在经济学和其他社会科学中，常用选择的显著性水平是 或者10%，在卫生和医药统计中，常用选择的显著性水平 或者 ，在卫生和医药统计中， 是1%。在我们经济学中，除非特别声明，一般都以 。在我们经济学中，除非特别声明，一般都以5% 作 为显著性水平。 为显著性水平。 6、临界值和拒绝域 、 拒绝域： 所围城的区域。 拒绝域：拒绝域就是由显著性水平 α 所围城的区域。 临界值：由给定的显著性水平确定的拒绝域的边界值， 临界值：由给定的显著性水平确定的拒绝域的边界值，称 为临界值。 分位点所对应的值。 为临界值。实际上临界值就是 α 分位点所对应的值。
第6章 假设检验
二、 假设检验的步骤 提出原假设和备择假设 /备择假设 确定适当的检验统计量 规定显著性水平: 根据显著性水平α及检验
统计量的查找临界值，并确定拒绝域。注 意是单侧检验还是双侧检验
计算检验统计量的值: 从总体中抽取某一样 本，据样本资料计算检验统计量的值 作出统计决策: 若检验统计量的值落在拒绝 域内就拒绝H0，否则接受H0
置信水平
拒绝域
a/2
1 - 接受域
H0值
a/2
临界值
临界值
样本统计量
双侧检验 （显著性水平与拒绝域 ）
抽样分布
拒绝域 a/2 1 - 接受域 H 0值 样本统计量 置信水平 拒绝域 a/2
临界值
临界值
例如 ，一个灯光厂需要生产平均使用寿命 µ = 1000小时的灯泡。为了观察生产工艺过程是否正常， 从一批产品中抽取150个进行检验，得到平均使用 寿命980小时，能否断定这个厂生产的灯泡平均使 用寿命为1000小时？为什么？ 不希望在1000小时任何一边超越太多，假设： H0: µ = 1000 （平均使用寿命为1000） H1: µ ≠ 1000 （平均使用寿命不是1000） 我们在这里提出的原假设是µ =1000，所以只要 µ >1000或µ <1000二者中有一个成立就可以否定原假 设（平均使用寿命为1000）。
标准误计算公式
σ已知： σ未知： S
X
n
X
S n
实例：如某年某市120名12岁健康男孩，已求 得 均数为143.07cm，标准差为5.70cm，按公 式计算，则标准误为：
SX
5 . 70 120
0 . 52
标准误的应用
第6章 假设检验
⑤案例1判断决策 案例1
在这个检验中，“不能拒绝”原假设是因 为样本均值与假设总体均值(15)非常接近,它的 离差可以通过概率(P值)大于显著性水平来解释。 当样本均值为14.982时，它很接近供应商 提供的总体金属板的均值，所以经过检验得出 的结论是:没有证据证明供应商提供的总体均值 是不正确的。
⑤案例3判断决策 案例3 不能拒绝原假设，因 此经理有足够证据证明新 支行的平均储蓄存款与总 部没有什么不同，可以开 展业务。
二、一个正态总体方差的假设检验
H0 :σ = σ , H1 :σ ≠ σ
2 2 0 2ຫໍສະໝຸດ 2 0所用统计量χ =
2
(n −1)S
2
σ
2 0
~ χ (n −1)
2
对于显著性水平α ，拒 绝域为， 绝域为，
χ ≤χ
2
2 1−α
2
或 χ ≥χ
2
2 α
2
单边检验， 单边检验，
H0 :σ ≤ σ ， H1 :σ > σ
2 2 0 2
2 0
拒绝域为， 拒绝域为，
2
χ ≥ χα
2
χ
2 1−α
χα
2
2 2
案例研究4 案例研究4
某公司生产的清洁剂包装净重为64克 某公司生产的清洁剂包装净重为64克， 尽管每盒净重量存在差异不可避免， 尽管每盒净重量存在差异不可避免 ， 但公 司还是期望这种差异尽可能的小些。 司还是期望这种差异尽可能的小些 。 如果 净重过大， 会增加成本；如果净重过少， 净重过大 ， 会增加成本；如果净重过少 ， 会使顾客不满。 正常情况下， 会使顾客不满 。 正常情况下 ， 每盒净重的 标准差为1 标准差为1.6克。为了控制生产质量，公司 为了控制生产质量， 随机抽取了50 盒作为样本， 随机抽取了 50盒作为样本 ， 测得样本标准 差为1 差为1.9克，以0.05为显著性水平，公司是 05为显著性水平， 否有证据说明清洁剂净重的标准差不超过 1.6克。
第六章 假设检验
第一步：建立假设 第一步：
H0 : µ = 8000; H1 : µ > 8000
原假设的选取原则： 原假设的选取原则：没有充分理由 不能轻易否定的命题。 不能轻易否定的命题。
对立假设的选取原则：没有把握不 对立假设的选取原则： 能轻易肯定的命题。 能轻易肯定的命题。
第二步：寻找检验统计量 第二步：
2
第三步：给定显著性水平和临界值 第三步：
• 在原假设 H0 为真时，X 应该接近8000。 为真时， 如果 X 远离8000 ，就有理由怀疑原 假设为真。 假设为真。 • 例中，8300与8000之间算近还是算远？ 例中， 之间算近还是算远？ • 需要定一个界限，记此界限为c。 需要定一个界限，记此界限为c
假设检验是要根据样本的观测值对原假作 出判断，接受原假设或者拒绝。 出判断，接受原假设或者拒绝。 由于样本的随机性，客观情况未知， 由于样本的随机性，客观情况未知，有可 能犯错误。 能犯错误。 例：产品验收，有时面对的整批产品是合 产品验收， 格的，有时面对的整批产品是不合格的。 格的，有时面对的整批产品是不合格的。 拒收了合格率高的产品或者接受了合格率 低的产品都是犯了错误。 低的产品都是犯了错误。
例：餐厅的营业额问题： 餐厅的营业额问题：
H0 : µ = 8000; H1 : µ பைடு நூலகம் 8000
N(µ0 ,σ )
2 0
N(µ,σ )
2
在原假设成立的条件下，新菜单挂出后， 在原假设成立的条件下，新菜单挂出后， 每天营业额仍然服从正态分布
N(8000,640 )
如今获得了一个容量为9的样本， 如今获得了一个容量为9的样本，此时样 服从： 本均值 X 服从： 1 2 N(8000, ×640 ) 9
第6章 假设检验基础
统计推断: 事先规定一个“小”的概率a （检验水准） 若 P 值小于a ，拒绝零假设； 若 P 值不小于a ，则不拒绝零假设。
5
配对设计资料的 t 检验
n 配对设计（paired design）是一种特殊的设计方式，能够 很好地控制非实验因素对结果的影响，有自身配对和异 体配对之分。
n 配对设计资料的分析着眼于每一对观察值之差，这些差 值构成一组资料，用 t 检验推断“差值的总体均数是否为 0”。
3.48
3.50
0.02
…
…
…
…
12
2.69
2.66
0.03
13
3.09
3.20
0.11
14
2.98
2.92
0.06
15
2.65
2.60
0.05
8
1. 建立检验假设，确定检验水准
H 0 ： md = 0 ，即差值的总体均数为 0 H 1 ：md ¹ 0 ，即差值的总体均数不为 0
2. 计算统计量 n=15， d =0.06， sd = 0.10
X1 ~ N( m1 ,s 2 ), X2 ~ N( m2 ,s 2 )
1. 建立检验假设，确定检验水准
H0： m1 = m2 , 或 m1 - m2 = 0 H1： m1 ¹ m2, 或 m1 - m2 ¹ 0
a =0.05
4
2. 计算统计量
X1
~
N(
m1
s2
, n1
)
，
X2
~
N(
m2
s2
, n2
小结（Summary）
1. t 检验是以 t 分布为基础的一类比较均数的假设检验方法。 2. t 检验的应用条件为随机样本、来自正态总体、方差齐性。 3. 单样本 t 检验是推断该样本所属总体的均数与已知的某一 数值有无差别。配对设计资料的 t 检验着眼于差值的总体均 数是否为0。
5
配对设计资料的 t 检验
n 配对设计（paired design）是一种特殊的设计方式，能够 很好地控制非实验因素对结果的影响，有自身配对和异 体配对之分。
n 配对设计资料的分析着眼于每一对观察值之差，这些差 值构成一组资料，用 t 检验推断“差值的总体均数是否为 0”。
3.48
3.50
0.02
…
…
…
…
12
2.69
2.66
0.03
13
3.09
3.20
0.11
14
2.98
2.92
0.06
15
2.65
2.60
0.05
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1. 建立检验假设，确定检验水准
H 0 ： md = 0 ，即差值的总体均数为 0 H 1 ：md ¹ 0 ，即差值的总体均数不为 0
2. 计算统计量 n=15， d =0.06， sd = 0.10
X1 ~ N( m1 ,s 2 ), X2 ~ N( m2 ,s 2 )
1. 建立检验假设，确定检验水准
H0： m1 = m2 , 或 m1 - m2 = 0 H1： m1 ¹ m2, 或 m1 - m2 ¹ 0
a =0.05
4
2. 计算统计量
X1
~
N(
m1
s2
, n1
)
，
X2
~
N(
m2
s2
, n2
小结（Summary）
1. t 检验是以 t 分布为基础的一类比较均数的假设检验方法。 2. t 检验的应用条件为随机样本、来自正态总体、方差齐性。 3. 单样本 t 检验是推断该样本所属总体的均数与已知的某一 数值有无差别。配对设计资料的 t 检验着眼于差值的总体均 数是否为0。
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2
2
n2 7.5 2 / 120 6.3 2 / 153 0.8533
u
X1 X 2 s X1X 2
139.9 143.7 0.8533
4.4353 u 0.05 2.58
P＜0.01，差别有统计学意义，可认为该市1993年12岁男童平均身高比1973年高。
假设检验应注意的问题
t 检 验
样本均数与总体均数的比较
目的:推断该样本是否来自某已知总体； 样本均数代表的总体均数与0是否相等。
总体均数0一般为理论值、标准值或经大量观察所得并为人们接
受的公认值、习惯值。
解决思路：
区间估计
判断样本信息估计的总体均数之可信区间是否覆盖已知的 总体均数0 ？若不覆盖，则可推断该样本并非来自已知均 数的总体。
样本信息不支持H0，便拒绝之并接受H1,否则不拒绝H0 。
假设检验的基本步骤
建立假设 确定检验水准 计算检验统计量 计算概率P 结论
当P≤ 时，拒绝H0，接受H1，差别有统计学意义。
当P＞ 时，不拒绝H0，差别尚无统计学意义。
不论，拒绝拒绝H0，还是不拒绝H0都可能范错误。
同？
μ0 =132(g/L）
n=25
？ =
μ
X 150 ( g / L) S 16.5( g / L)
已知总体
未知总体
目的：推断病人的平均血红蛋白(未知总体均
数)与正常女性的平均血红蛋白(已知总体均
数0)间有无差别
μ =μ0 ？
X 0 150 132 18
手头样本对应的未知总体均数 μ等于已知总体均数μ0，
在两个样本均数比较时，若两组样本含量都很大，可用u检验，其计 算公式为：
X1 X 2 u s X 1 X 2
X1 X 2 s12 n1 s 2 2 n2
u为标准正态离差，按正态分布界定P值并作出结论 。
例6.5 某市于1973年和1993抽查部分12岁男童对其发育情况进行评估， 其中身高的有关资料如下，试比较这两个年度12岁男童身高均数有无 差别。
配对设计的形式
自身配对
同一对象接受两种处理，如同一标本用两种方法进行检验， 同一患者接受两种处理方法；
异体配对
将条件相近的实验对象配对，并分别给予两种处理。
若两处理因素的效应无差别，差值d的总体均
数d应该为0，故可将该检验理解为样本均数 与总体均数d =0的比较
差值均数的大小及其抽样误差反应因素的效应
允许误差。医学研究中一般取=0.05 。
检验水准实际上确定了小概率事件的判断标准。
选定检验方法计算检验统计量
(计算样本与总体的偏离)
t
X 0 s n
统计量t表示，在标准误的尺度下，样本均数与总体 均数0的偏离。这种偏离称为标准t离差。
根据抽样误差理论，在H0假设前提下，统计量t服 从自由度为n-1的t分布，即t值在0的附近的可能性 大，远离0的可能性小，离0越远可能性越小。
H0：d＝0，两仪器检验结果相同； H1：d≠0，两仪器检验结果不同。
双侧 =0.05。
t
d sd n
ห้องสมุดไป่ตู้
17.17 40.33/ 12
1.48
按 = n-1=12-1=11查t值表，得t0.20,11=1.363，t0.10,11=1.796，
t0.10,11＞t＞t0.20,11，则0.20＞P＞0.10，差别无统计学意义，尚
H1 ：1≠2 ，正常人与病毒性肝炎患者的转铁蛋白含量不等。 双侧 =0.05。
t
271.89 235.21 163.3679 1 12 1 15
7.402
=n1＋n2－2=12＋15－2=25
按自由度 25 查附表 2 ， t 界值表得 t0.001,25=3.725 ， t ＞ t0.001,25 ， P ＜ 0.001 ，差别 有统计学意义，可以认为病毒性肝炎患者的转铁蛋白含量较低。
差别仅仅是由于抽样误差所致；
除抽样误差外，病人与正常人存在本质上的差异
建立假设 (在假设的前提下有规律可循)
零假设(null hypothesis)，记为H0
H0：＝132，病人与正常人的平均血红蛋白含量相等；
备择假设(alternative hypothesis)，记为H1
H1：≠132，病人与正常人的平均血红蛋白含量不等。
结论(根据小概率原理作出推断)
在H0成立的前提下出现现有差别或更大差别的可能性P(| t | ≥5.4545)小于0.05，是小概率事件，即现有样本信息不支持H0。 抉择的标准为：
当P≤ 时，拒绝H0，接受H1
当P＞ 时，不拒绝H0
本例P＜0.05，按 =0.05的水准，拒绝H0，接受H1，差别有统计 学意义。认为该病女性患者的Hb含量高于正常女性的Hb含量。
两组乳猪脑组织钙泵含量( g/g) 实验组 0.2755 0.2545 0.1800 0.3230 0.3113 0.2955 0.2870 差值 d 0.0795 -0.0545 0.1330 0.0400 0.0431 0.0495 0.0180 0.3086 d2 0.006320 0.002970 0.017689 0.001600 0.001858 0.002450 0.000324 0.033211
t值越小，越利于H0假设 t值越大，越不利于H0假设
t
X 0 s n
150 132 16.5 25
5.4545
计算概率P(与统计量t值对应的概率)
在H0成立的前提下，获得现有这么大的标准t
离差以及更大离差 的可能性。
P=P(|t|≥5.4545) ？
按 =25-1=24查附表2t界值表
1973 年：n1=120 =139.9cm s1=7.5cm； 1993 年：n2=153 =143.7cm s2=6.3cm。
H0 ：1＝2，即该市两个年度12岁男童平均身高相等； H1 ：1≠2，即该市两个年度12岁男童平均身高不等。
双侧 =0.05。
s X 1 X 2 s1 n1 s 2
假设检验中需注意的几个问题
建立假设
“假设”是对总体特征的表述 H0与H1并非并列，而是以H0为主
H0与H1的表述随资料性质、分析目的和检验方法而定。
假设检验中需注意的几个问题
验证假设
各种检验方法都以统计量的分布为依据 检验统计量与H0密切相关：H0条件下产生了检验统计量t的概率分
布
反证法推理 ：在H0条件下，抽得现有样本统计量的概率(P)很小， 就认为样本数据与H0假设有矛盾，且这种矛盾不能用抽样误差来
解释，所以可认为该样本来自H1假设，则接收H1；反之……。
判断水准 必须事先确定，一般取0.05。 P值
P值是决策的依据 P≤0.05 及其意义：首先P不指H0成立之可能，而是指从H0假设总体中 随机抽到差别至少等于现有差别的机会。
例6.2 现用两种测量肺活量的仪器对12名妇女测得最大呼气率 (PEER)(L/min)，资料如表6.1，问两种方法的检测结果有无差别?
表 6.1 被测者号 (1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 合计 用两种方法对 12 名妇女的最大呼气率检测结果(L/min) Wright 法 (2) 490 397 512 401 470 415 431 429 420 275 165 421 Mini 法 (3) 525 415 508 444 500 460 390 432 420 227 268 443 差值 d (4)=(3)-(2) 35 18 -4 43 30 45 -41 3 0 -48 103 22 206 d2 (5) 1225 324 16 1849 900 2025 1681 9 0 2304 10609 484 21426
两样本均数比较的t检验
有些研究的设计既不能自身配对，也不便异体配对， 而只能把独立的两组相互比较。例如手术组与非手术 组、新药组与对照组。两个样本均数比较的目的在于 推断两个样本所代表的两总体均数1和2是否相等。
X1 X 2 t s X1X 2
s X 1 X 2 sc
2
1 1 n n 2 1
假设检验的意义
得到关于总体的结论 如本例假设检验的意义在于分辨手头样本所代表的未
知总体和已知总体是否为同一总体，换句话说，即分
辨手头样本是否为已知总体的一个随机样本。
假设检验的基本思想
“反证法”的思想 先根据研究目的建立假设，从H0假设出发，先假设它是正确的， 再分析样本提供的信息是否与H0有较大矛盾，即是否支持H0，若
其中H0假设比较单纯、明确，在H0 下若能 弄清抽样误差的分布规律，便有规律可循。 而H1假设包含的情况比较复杂。因此，我 们着重考察样本信息是否支持H0假设（因 为单凭一份样本资料不可能去证明哪个假设 是正确的，哪一个不正确）。
确定检验水准 (确定最大允许误差)
设定检验水准的目的就是确定拒绝假设H0时的最大
H0：d＝0，即两组乳猪脑组织钙泵含量相等； H1：d＞0，即对照组乳猪脑组织钙泵含量高于实验组。 单侧 =0.05。
t d sd n 0.0441 0.05716 7 2.0412
按= n-1=7-1=6查t界值表，得单侧t0.05,6=1.943，t＞t0.05,6， 则P＜0.05，差别有统计学意义，可以认为脑缺氧可造成钙泵 含量的降低。