图形复习五年级数学

直线型面积计算（1）

对于三角形的面积计算，我们除了熟练运用基本的计算公式，在技巧性很强的奥数题中还要根据相应的性质和结论来解题，下面就是我们小学奥数常用的三条性质：

【例 1】 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，

求阴影部分的面积．

E B

A E B

A

【分析】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．

连接BH 、CH ． ∵AE EB =， ∴S S AEH BEH = ．

同理，S S BFH CFH = ，S =S CGH DGH ，

∴11

S S 562822

==⨯=阴影长方形ABCD （平方厘米）．

［铺垫］你有多少种方法将任意一个三角形分成：

⑴2个面积相等的三角形； ⑵3个面积相等的三角形； ⑶4个面积相等的三角形．

［分析］ ⑴如右图，D 、E 、F 分别是对应边上的中点，这样就将三角形分成了2个面积相等的三角形；

C

B

A

E

A B C

F

C

B A

⑵如右图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点；答案不唯一；

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

③夹在一组平行线之间的等积变形，如BCD ACD S S ∆∆=； 反之，如果BCD ACD S S ∆∆=，则可知直线AB 平行于CD ．

D

C B

A

E

D A B

C F

C B

A

D

G

D

A B

C

⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考．

(5)

(4)(3)(2)(1)

【例 2】 如图，三角形ABC 的面积为1，其中3AE AB =，2BD BC =，三角形BDE 的面积是多少？

E

D

C

B A

E

D

C B A

【分析】 连接CE ．

∵3AE AB =，∴2BE AB =，2BCE ACB S S ∆∆=．

又∵2BD BC =，∴244BDE BCE ABC S S S ∆∆∆===．

【例 3】 如图，三角形ABC 中，2DC BD =，3CE AE =，三角形ADE 的面积是20平方厘米，三角形ABC 的面积是多少？

E

C

B

A 【分析】 ∵3CE AE =，∴4AC AE =,4ADC ADE S S ∆∆=;

又∵2DC BD =,∴32BC DC =,3

61202

ABC ADC ADE S S S ∆∆∆===（平方厘米）．

［铺垫］如图，三角形ABC 被分成了甲、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，甲部分面积是乙部分面积的几分之几？

乙甲

E C

B

A

A

B

C

D

E

［分析］ 连接AD ．

∵3BE =,6AE =，

∴13BE AB =,1

3

BDE ABD S S ∆∆=．

又∵4BD DC ==,

∴1

2ABD ABC S S ∆∆=,

∴11

36BDE ABD ABC S S S ∆∆∆==,

∴1

5

S S =乙甲．

［拓展］如图，在三角形ABC 中，8BC =厘米，6AD =厘米，E 、F 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平

方厘米？

F

E C

A

F

E C

A

［分析］ ∵F 是AC 的中点,

∴1

2ABF ABC S S ∆∆=，

同理1

2BEF ABF S S ∆∆=，

∴111

866442

BEF ABC S S ∆∆==⨯⨯⨯=（平方厘米）．

【例 4】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，

求三角形DEF 的面积．

F E

D

C

B A A

B C

D

E

F

【分析】 本题是性质的反复使用（还可以用燕尾定理，但本讲不用这种方法，燕尾定理我们会放到五年级春季再讲）．

连接AE 、CD ． ∵S 1

S 1S 1

ABC ABC DBC == ，， ∴S 1DBC = ．

同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=．

［拓展］如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．

H G

F

E

D C

B A A B C

D

E

F

G

H

［分析］ 连接BD .设1DCB S S = ，2DAB S S =

∵CB BF =，

∴2CDF CDB CDB CB BF

S S S CB

∆∆∆+==,

又∵DC CG =,

∴12CFG CDF S S S ∆∆==， 同理22AEH S S ∆=， ∴2CFG AEH ABCD S S S ∆∆+=

连接AC ，同理2HDG BEF ABCD S S S ∆∆+=

∴5EFGH CFG AEH HDG BEF ABCD ABCD S S S S S S S ∆∆∆∆=++++=，

11

1355

ABCD EFGH S S ==（平方米）．

［拓展］如图，已知长方形ADEF 的面积16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么三角形ABC 的面积是多少？

F C

A F C

A