宜用反证法证明的几类命题
反证法在数学中的应用
反证法在数学中的应用〔关键词〕反证法；命题；结论；含义；特点；逻辑依据在数学题目的求解过程中，直接证明一个命题感到困难，甚至无法证明时，可采用反证法.反证法是一种重要的数学证明方法，它在数学证明中有着不可替代的作用.学生在运用这一方法做题时，由于对该方法的实质理解不深刻，故而常常出错.这不仅严重影响了这一重要方法的有效使用，而且也妨碍了解题效率的提高.下面，本文就反证法的实质、特点、逻辑根据及适宜反证法证明的几种题型予以说明.一、反证法的含义及实质所谓反证法，就是从反面证明命题的正确性.即欲证命题“若p则q”，则从反面推导“若p┑q”不能成立，从而证明“若p则q”成立.它从否定结论出发，经过正确、严格的推理，得到与已知（假设）或已成立的数学命题相矛盾的结果，从而检验产生矛盾的原因，推出原命题的结论是不容否定的正确结论.反证法的实质是通过矛盾的转化达到解决问题的目的.二、反证法的步骤和特点反证法是一种间接的证明方法，具体步骤如下（欲证命题为“若p则q”，逻辑表达式为p→q）：第一步：否定原命题的结论q（即设┑q），得到p∧q；第二步：在此条件下，通过正确的推理导出矛盾；第三步：由此矛盾断定：命题p→q为真.从反证法的证题方法可以看出，它的最大特点是：否定原命题的结论q，肯定原命题的条件p，据此导出矛盾.它属于矛盾证明的范畴.三、反证法的逻辑根据首先，反证法是通过证明原命题p→q的反命题┑（p→q），（p∧┑q）是对同一事物的两个相互对立或矛盾的判断.根据矛盾律，在同一思维过程中，对同一事物的两个相互矛盾或对立的判断中，至少有一个是真的（不能同假），因此，（p→q）与（p∧┑q）一定有一个是真的，一个是假的.而由反证法已经证明了p ∧┑q是假的（导出矛盾），所以原命题p→q一定是真的，即证明了原命题.另一方面，用反证法推出矛盾，实际上是构造并证明了另外一个新命题“（p ∧┑q）→（r∧┑r）”，即“原命题p→q的反命题p∧┑q是假的”.而（p∧┑q）→（r∧┑r）≡ ┑（p∧┑q）∨（r∧┑r）≡（┑p∨q）∨0≡┑p∨q≡p→q.所以，“反命题的矛盾性”与“原命题的正确性”是两个相互等价的命题.因此，反证法的逻辑根据是矛盾律和排中律，通过证明与原命题逻辑等价的命题“反命题的矛盾性”来间接证明原命题的正确性.四、宜用反证法证明的命题哪些命题宜用反证法证明？要具体地回答这个问题是不容易的，这需要不断的探索和总结.总的来说，不易用直接法去证明的命题可尝试运用反证法证明.在此，本人提出如下几类适宜用反证法证明的命题.1. 对于结论是否定形式的命题，宜用反证法例1：求证方程x2-1993x+1995=0无整数根.分析：若运用求根公式来解此题，运算量较大，故易使用反证法证明.证明：假设原方程有两个整数根α和β，由韦达定理得：α+β=1993,①α·β=1995.②由于α、β均为整数，由②知α、β必定都是奇数.而两个奇数之和是偶数，这与①矛盾.所以，α和β不可能为整数，即假设错误.故原命题获证.2．对于证明结论是“唯一”或“必然”的命题，宜用反证法例2：求证方程2x+x=6仅有唯一实根2.证明：假设方程2x+x=6有一个非2实根a，则将2a+a=6和22+2=6两式相减得：2a－22=2－a.因为a≠2，故a＞2或a＜2.当a＞2时，2a－22＞0与2－a＜0相矛盾；当a＜2时，2a－22＜0与2－a＞0也矛盾.所以，假设方程有一个非2实根是错误的.故原命题正确.例4：已知函数f（x）是（－∞，＋∞）上的增函数，a、b∈R.（1）求证：若a+b≥0，则f（a）+f（b）≥f（－a）+f（－b）；（2）求证：若f（a）+f（b）≥f（－a）+f（－b），则a+b≥0.证明：（1）因为a+b≥0，所以a≥－b，b≥－a .因为f（x）是（－∞，＋∞）上的增函数，所以f（a）+f（b）≥f（－a）+f（－b）.（2）假设a+b＜0，则a＜－b，b＜－a.因为f（x）是（－∞，＋∞）上的增函数，所以f（a）＜f（－b），f（b）＜f（－a）.所以f（a）+f（b）＜f（－a）+f（－b）.这与条件相矛盾，所以假设不成立.因此有a+b≥0成立.在本例中，由于前一命题是后一个命题的逆命题，且前一个命题是真命题，因此，在（2）中用反证法就容易推出矛盾.事实上，直接证（2）缺少推理条件，而反设增加了条件（即利用（1）的推理和结论）.以上总结了四种适合运用反证法证明的典型题型.事实上，适宜运用反证法证明的数学命题还有很多，但是，反证法不是万能的，不能证明所有的数学命题.在解题中，要想灵活地运用反证法还需要我们在以后的学习中进行不断的探索、总结.。
反证法应用举例
反证法应用举例李新良反证法是数学学习中常用的一种方法，而且有很多命题只能用它去证明。
反证法在立体几何中用得最多，课本中有很多定理如直线和平面的平行判定定理、平面和平面的平行判定定理等都是采用反证法来证明的。
一. 证明两条直线是异面直线例1. 求证：分别和两条异面直线AB 和CD 同时相交的直线AC 、BD 是异面直线。
证明：如图1所示，假设AC 和BD 不是异面直线，则AC 和BD 在同一平面内。
设这个平面为α，由AC BD ⊂⊂αα，，知A 、B 、C 、D ∈α，故AB CD ⊂⊂αα，。
这与AB 和CD 是异面直线矛盾，于是假设不成立，故直线AC 和BD 是异面直线。
图1二. 证明有关“唯一性”的命题例2. 已知a 与b 是异面直线，求证：过a 且平行于b 的平面只有一个。
证明：如图2所示，假设过直线a 且平行于直线b 的平面有两个，分别为α和β。
在直线a 上取点A ，过b 和A 确定一个平面γ，且γ与α、β分别交于过点A 的直线c 、d 。
由b//α，知b//c 。
同理b//d ，故c//d 。
这与c 、d 相交于点A 矛盾，故假设不成立。
原结论成立。
图2三. 证明直线在平面内例3. 已知直线a ⊂平面α，点A ∈平面α，直线AB//a ，求证：A B ⊂α。
证明：如图3所示，假设 AB 不在平面α内。
因为A ∈α，所以AB A α=。
由于a ⊂α，从而由异面直线判定定理知AB 与a 是异面直线，这与AB//a 矛盾。
因此假设不成立，故A B ⊂α。
图3四. 证明直线与平面的位置关系例4. 求证：两条平行线中一条直线与一个平面相交，那么另一条也与这个平面相交。
已知：a b a A //，平面， α=如图4所示。
求证：直线b 和平面α必相交。
图4证明：假设b 和平面α不相交，即b b ⊂αα或//（1）若b ⊂α，因为a b a //，⊄α，所以a//α，这与a A α=相矛盾。
（2）如图5所示，如果b//α，因为a//b ，所以a 和b 确定一个平面β，显然平面α与平面β相交。
反证法——证明命题为真命题的杀手锏
反证法——证明命题为真命题的杀手锏反证法在目前的高中教材中虽较显见，但也是教材中证明真命题的一种重要方法。
教材中第一次使用反证法是在“不等式的基本性质”一小节中证明不等式的基本性质八时用到。
第二次用到是在立体几何中证明两直线是异面直线。
反证法首先假设某命题不成立（即在原命题的题设下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说假设不成立，原命题得证。
反正法的基本原理就是原命题与其逆否命题是同真同假的两个命题。
为什么说反证法是证明真命题的杀手锏呢？如今，高考的证明题一般都是代数问题（函数、数列等），几何证明题几乎不可能考，所以证明题现在转战代数题。
而高中代数不像几何那样有一套完整的公理、判定定理和性质定理（当然这一套现在也减负减掉了，这也是证明题不考几何题主因），在高中代数里我们判定一个事实的依据只能是概念的定义，而很多结论仅根据定义从正面往往无法推理，这个时候反证法祭出往往就能解决。
例一.证明：tan1°是无理数分析：拿到这个问题我们首先要搞明白何为无理数——无限不循环小数，不能写作两整数之比。
已知什么呢，tan30°=1/√3是无理数。
所以这个问题的证明用反证法就容易了。
证明：假设tan1°不是无理数，则tan1°是有理数。
因为tan2°=2tan1°/(1-（tan1°）^2)，所以tan2°也是有理数，同理可推得tan4°、tan8°、tan16°、tan32°也都是有理数，又因为tan30°=tan（32°-2°）=（tan32°-tan2°）/（1+tan32°*tan2°），所以tan30°是有理数与tan30°=1/√3是无理数矛盾因此，tan1°是无理数。
宜用反证法证明的几类问题
数学篇反证法是一种间接证明方法.它着眼于问题的反面，先假设命题结论的反面成立，再根据假设的反面结论和题设条件进行缜密的推理论证，推导出与已知条件、定理、公理等相矛盾的结果，得出假设不成立，最后判定原命题为真命题.那么，什么情况下适合运用反证法解题呢？下面介绍几种宜用反证法解题的命题形式.一、唯一型命题唯一型命题是指所要求证的结论中含有“唯一”“只有一个”等字眼的命题.由于唯一就是“独一无二”，解题时一般不好直接论证，常常需借助反证法来予以证明.此类问题中结论的反面是“不是唯一的”“至少有两个不同的”，由此推出矛盾，来否定不唯一，从而肯定唯一.例1求证：若m ≠0，则关于x 的方程mx +n =0的解是唯一的.分析：该命题的结论涉及唯一性，因此求证时可以考虑用反证法.证明：因为m ≠0，所以x =-n m是mx +n =0的一个解，假设mx +n =0(m ≠0)的解不是唯一的，不妨设x 1，x 2都是mx +n =0的解，这里x 1≠x 2，则有mx 1+n =0①，因为x 1≠x 2，所以m =0，这显然与已知条件中的m ≠0相矛盾，故而假设不成立，所以当m ≠0，关于x 的方程mx +n =0的解是唯一的.评注：在利用反证法解题时，同学们特别要注意反面假设的正确性，否则会使整个反证过程出错.对于唯一性命题而言，“唯一”，即“有且只有一个”，其假设的反面为“不止一个”，也就是“至少有两个”.二、否定型命题否定型命题是指命题的结论以“无”“没有”“不是”“不能”“不等于”“不存在”等否定形式出现.因为我们所掌握的绝大部分概念、公理、定理、法则、公式等都是肯定性的断言，所以直接证明较难，故采用反证法可把否定性的断言转化为某种肯定性的断言，从而找到推理的途径.例2如图1所示，在☉O 中，MN 、PQ 是☉O 中非直径的相交线，交点为R .求证：MN 、PQ 不能互相平分.解题指南扬州市梅岭中学陈溪数学篇行证明，显然存在难度.若能从命题结论的反面着手，利用反证法推出矛盾，则可以使问题轻松获证.证明：假设MN 、PQ 相互平分于点R .因为MN 、PQ 是☉O 中非直径的相交线，所以点R 与点O 并不重合.连接OR 、OM 、ON .因为OM ＝ON ，R 为MN 的中点（由假设条件得出），所以OR ⊥MN ，同理可得OR ⊥PQ ，从而可知过点R 有MN 、PQ 两条直线同时垂直于OR ，这显然与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的定理相矛盾，故假设不成立，所以MN 、PQ 不能互相平分.评注：对于否定型命题而言，它的反面往往为肯定性判断，运用肯定性的断言去推理一个命题要比运用否定性的断言去推证一个命题更直观、容易.三、至少（多）型命题至少（多）型命题的结论中经常出现“至少”“至多”“最少”“最多”等这样的词语，由于结论涉及的对象往往不止一个，我们能找到直接论证的理论依据很少，故常用反证法.通过添加否定结论这个新的假设，就可以推出更多的结论，从而使命题容易获证.例3若a 1a 2=2(b 1+b 2)，试证明:方程x 2+a 1x +a 2=0与x 2+b 1x +b 2=0至少有一个方程有实数根.分析：题目中出现“至少”的字眼，因此可以借助“反证法”进行求证.证明：假设两个方程都没有实数根，则有△1<0，△2<0，所以△1+△2<0.①又因为△1+△2=a 21-4b 1+a 22-4b 2=a 21+a 22-4(b 1+b 2)=a 21+a 22-2a 1a 2=(a 1-a 2)2≥0，②显然①与②矛盾，故假设不成立，所以方程x 2+a 1x +a 2=0与x 2+b 1x +b 2=0至少有一个方程有实数根.例4试证明：任给m ，n ，p 三个实数，则下列三个不等式中至多有两个不等式同时成立：|m |<|n -p |，|n |<|p -m |，|p |<|m -n |.分析：题目中出现“至多”一词，因此可以利用反证法予以证明.证明：根据实数的性质，不妨设实数m ，n ，p 在数轴上对应的三点如图2中M 、N 、P所示：图2那么就有：|m |=OM ，|n |=ON ，|p |=OP ，|n -p |=NP ，|p -m |=MP ，|m -n |=MN .假设这三个不等式同时成立，由|m |<|n -p |，|n |<|p -m |，|p |<|m -n |可知，OM <NP ，ON <PM ，OP <MN ，而OP =ON +NP >ON +OM =MN ，即OP >MN ，这与“OP <MN ”相矛盾，故而假设不成立，所以三个不等式中至多有两个不等式同时成立.评注：若题目中的结论词是“至少有一个”，则反设结论词为“一个也没有”；结论词是“至少有n 个”，则反设结论词为“至多有（n -1）个”；结论词是“至多有一个”，则反设结论词为“至少有两个”；结论词是“至多有n 个”，则反设结论词为“至少有（n +1）个”.总之，对于某些数学命题，若直接证明行不通，同学们要注意以退为进，逆向思考，巧用反证法，从而出奇制胜.解题指南22。
4.4反证法[精选文档]
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延伸拓展 你能用反证法证明以下命题吗？
如图，在△ABC中,若∠C是直角， 那么∠B一定是锐角.
证明：假设结论不成立,则∠B是_直__角__或_钝__角___. 当∠B是__直__角_时，则_∠__B_+_∠__C_=__1_8_0_° 这与__三__角__形__的__三__个__内__角__和__等__于__1_8_0_°_矛盾；
命题； （4）关于“唯一性”结论的命题； （5）解决整除性问题； （6）一些不等量命题的证明； （7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段； （8）涉及各种“无限”结论的命题等等。
一、提出假设 二、推理论证 三、得出矛盾 四、结论成立
什么时 候运用 反证法 呢？
例 求证：在同一平面内,如果一条直线 和两条平行直线中的一条相交,那么 和另一条也相交。
已知：如图，a∥b，c与a相交于点P
求证： c与b相交
c Pa
b
试一试
已知：如图，直线a,b被直线c所截， ∠1 ≠ ∠2
1
如果一条直线和两条平行直线中的一条相
交，那么和另一条直线也相交）
∴∠2 =∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）
∴ l1∥l3 （同位角相等，两直线平行）
定理:在同一平面内,如果两条直线都 和第三条直线平行,那么这两条 直线也互相平行.
几何语言表示:
a
∵a∥b,b∥c,
b
c
∴a∥c
已知:如图,直线l与l1,l2,l3都相交, l
这与事实矛盾吗？ 说明李子是甜的这个假 设是错的还是对的？
所以，李子是苦的
王戎的推理方法是:
假设李子不苦, 则因树在“道”边,李子早就被
别 人采摘,
这与“多子”产生矛盾.
反证法
反证法的思维方法：
正难则反
例1用反证法证明：
如果a>b>0，那么
a> b
证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b
若 a = b，则a = b, 与已知a > b矛盾,
若 a < b，则a < b, 与已知a > b矛盾,
故假设不成立，结论 a > b成立。
练一练： 已知a≠0，证明x的方程ax=b有 且只有一个根。
• 则 a⊂α ， b⊂α ， a⊂β ， b⊂β ，这与 a∥b ， 过a、b有且只有一个平面相矛盾． • 因此，过a、b、m有且只有一个平面．
类型三 命题
用反证法证明“至多”、“至少”型
π [例 3] 若 a，b，c 均为实数，且 a＝x －2y＋ ， 2
2
π π 2 b＝y －2z＋ ，c＝z －2x＋ .求证：a，b，c 中至少有 3 6
直接证明与间接证明
之反证法
思考？
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C 撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是 在撒谎，为什么？
分析:假设C没有撒谎, 则C真. 那么A假且B假; 由A假, 知B真. 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立; 则C必定是在撒谎.
反证法：
假设原命题不成立（即在原命题的 条件下，结论不成立），经过正确的推 理，最后得出矛盾，因此说明假设错误， 从而证明了原命题成立.这样的的证明方 法叫反证法。
∴m 2 是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N）
从而有4k = 2n ，即n = 2k ∴n2也是偶数， 这与m，n互质矛盾！
2
2
2
2
假设不成立，故
2 是无理数。
反证法
2.2.2反证法
白银一中
制作：胡贵平
路 边 苦 李
王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上 结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在 原地不动.伙伴问他为什么不去摘？
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘 取一个尝了一下,果然是苦李. 王戎是怎么知道李子是苦的呢?他运用了怎样的 推理方法?
探究点1 反证法的定义
引例： 证明：在一个三角形中至少有一个角不小 于60°.
已知：∠A， ∠ B， ∠ C是△ABC的内角. 求证： ∠ A， ∠ B， ∠ C中至少有一个 不小于60°.
证明： 假设 A BC 的三个内角∠A， ∠ B， ∠ C都小于60°， 则有∠ A <60°，∠B < 60°， ∠C <60° 所以 ∠A+∠B+∠C<180° 这与 三角形内角和等于180° 相矛盾. 所以假设不成立，所求证的结论成立. 先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理， 推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾， 说明假设不成立，从而得到原结论正确. 这种证明方法就是——反证法
证明：假设 2 不是无理数，那么它就是有理数.
于是，存在互质的正整数m,n使得 2 m ，从而有
n
m 2n,
因此
m 2 = 2n 2 ,
4k 2 2n 2 ,
所 以 m 为 偶 数 .于 是 可 设 m = 2k(k是 正 整 数 )， 从 而 有
即
n = 2k ,
2
2
所 以 n 也 为 偶 数 .这 与 m ,n 互 质 矛 盾 ！
分析:假设C没有撒谎, 则C真.那么A假且B假; 由A假, 知B真. 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立; 则C必定是在撒谎.
反证法1
假设EF与AB不平行，作EG∥AB 交BC于G(如图所示)，则
∵E为AD的中点，∴CG＝BG即 G是BC的中点 ∵一条线段只有一个中点，∴F 不是BC的中点，这与已的，∴EF∥AB
(
说明：本例中“是锐角(小于90°)”的反面有“是直角(等于 90°)”和“是钝角（大于90°)”两种情况，这时，必须分别证 明命题结论反面的每一种情况都不可能成立，最后才能肯定 命题的结论一定正确.此题是对反证法的进一步理解.
归纳: 宜用反证法证明的题型
（1）以否定性判断作为结论的命题； （2）某些定理的逆命题； （3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式 陈述的命题； （4）关于“唯一性”结论的命题； （5）解决整除性问题； （6）一些不等量命题的证明； （7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段； （8）涉及各种“无限”结论的命题等等。
三、应用反证法的原则 :
如果一个命题的结论难以直接证明时， 可考虑用反证法，简记：正难则反
例1：求证：在一个三角形中，至少 有一个内角小于或等于600。 已知：△ABC 求证：△ABC中至少有一个内角小 于或等于600
例
3、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E、F分别是AD、 BC的中点，连结EF．求证：EF∥AB
注意:用反证法证题时,应注意的事项 :
（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止 否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整，否则不能说明命题 的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条件， 否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是 错误的。
一、什么是反证法
所谓反证法，就是从要证明的结论的否定面 出发，以有关的定义、公理、定理为依据，结合 原命题的条件进行推理，直到得出矛盾，从而断 定原命题结论否定面不能成立，也就断定了原命 题成立，这种证题方法就叫反证法。
高考数学复习点拨 反证法的应用情境
反证法的应用情境反证法不是直接证明命题结论正确，而是通过证明结论反面不正确，来说明结论的正确性．因而如果“结论的反面”比结论本身更具体、更明确、更简单，则适宜用反证法．主要有以下几种类型：一、正面繁琐或困难时宜用反证法例1 设函数()f x 的定义域是[01]，，(0)(1)f f =，且对任意的12[01]x x ∈，，，12x x ≠，均有2121()()2f x f x x x -<-，求证：对任意的12[01]x x ∈，，，12x x ≠，均有21()()1f x f x -<． 分析：若用直接法，需分类讨论，于是可考虑使用反证法．证明：（反证法）假设12[01]x x ∈，，，12x x ≠，使得21()()1f x f x -≥．不妨设12x x >，则21211()()[()(0)][(0)()]f x f x f x f f f x -=-+-≤21()(0)(0)()f x f f f x -+-≤212112202122222()x x x x x x <-+-=+-=--． 所以12102x x <-<，故由条件可得21211()()2212f x f x x x -<-<⨯=． 这与假设矛盾，故原命题成立．点评：当命题“结论反面”比“结论”更明确具体时，可采用反证法．本题的结论的反面只有一种情况，故推翻此种情况就达到证明目的，本题运用了212121()()[()(0)][(0)()]()(0)(0)()f x f x f x f f f x f x f f f x -=-+--+-≤．二、当命题的结论涉及“至少”“至多”“无限”时，可考虑用反证法例2 设有八个密封的乒乓球盒子，每个盒子里最多可以放六个球,试证明至少有两个盒子里放的乒乓球的个数相等.证明：假设八个乒乓球盒子里的乒乓球的个数都不相等,那么每个盒子里放的乒乓球的个数只能是零个、一个、二个、三个、四个、五个、六个、七个.这说明至少有一个盒子里放的乒乓球的个数有七个,这就与题设条件"每个盒子里最多可以放六个乒乓球"相矛盾.故至少有两个盒子里放的乒乓球的个数相等.三、唯一性命题可考虑用反证法例3 求证：方程512x =的解是唯一的．证明：由对数的定义易得，15log 12x =是这个方程的一个解．假设这个方程的解不是唯一的，它还有解212()x x x x =≠，则2512x =．1512x =∵，则21515x x =，即2151x x -=．①由假设，得210x x -≠，从而：当210x x ->时，有2151x x ->；②当210x x -<时，有2151x x -<．③显然，②，③与①都矛盾，这说明假设不成立．所以原方程的解是唯一的.点评：有关存在性与唯一性命题的证明问题，可考虑用反证法．“存在”就是“至少有一个”，其反面是“一个没有”，“惟一”就是“有且只有一个”，其反面是“至少有两个”．有时问题的结论是以否定形式出现的否定性命题，也可考虑应用反证法.。
反证法
反证法（一）什么叫反证法反证法是一种间接证明方法．它先假设“结论”不成立，然后把“结论”的反面当作已知条件，进而运用数学知识进行正确的逻辑推理，得出与题设或已知的公理、定义、定理相矛盾的结论，从而说明假设不成立，即原“结论”成立．这种先驳倒“结论”反面，尔后肯定“结论”本身的证明方法叫做反证法．当“结论”的反面只有一个时，这种反证法又叫做归谬法；当“结论”的反面不只一个时，这种反证法又叫做穷举法．是证明与原命题等价的逆否命题．（二）哪些题型宜用反证法反证法是证明数学命题的一种重要方法，是数学家的一个精良武器．一般地说，当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确时，宜考虑用反证法去证．在立体几何中，常用反证法证明的题型有：1．证明两条直线是异面直线证：b、c是异面直线．【证明】如图1-7．假设b、c不是异面直线，则b、c共面．这就说明假设不成立，故b、c是异面直线．【解说】证明两条直线异面，一般用反证法去证．2．证明否定型命题例2 在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，底面ABC是锐角三角形，求证：点A在平面PBC内的射影H不可能在边BP或PC的高线上．【证明】如图1-8．假设H在PB边的高线CF上．这与已知条件∠BAC是锐角矛盾．这说明假设H在边PB的高线CF上不成立，∴ H不可能在边PB的高线上．同理，H也不可能在边PC的高线上．例3 已知：a、b是异面直线．求证：不存在一个平面与a、b都垂直．【证明】假设存在一个平面β与a、b都垂直，则这就说明假设不成立，故原命题成立．【解说】以上两个例题都属于否定型命题．否定型命题是指“结论”以否定论断形式出现的命题，例如，命题的结论是“不可能……”，“不是……”，“不存在……”等．这类命题用直接法去证很难奏效．因否定论断的反面是肯定论断，故用反证法去证思路自然，容易进行逻辑推理，3．证明平行例4 已知：b、c是异面直线，bα，cβ，c∥α，b∥β．求证：α∥β．【分析】假设aβ，则α与β重合或相交．若α与β重合，则b、c共面，这与b、c异面矛盾．若α与β相交（如图1-9），则由直线与平面平行的性质和三线平行公理，可得b∥c或b与c重合，这与已知矛盾．【证明】假设αβ，则α与β重合或相交．当α与β重合时，当α与β相交时，设α∩β=m（如图1-9），这与b、c异面矛盾．于是假设不成立，故α∥β．4．证明相交例5 已知： PA⊥α，PB⊥β，A∈α， B∈α，且A、B不重合（如图1-10）．求证：α与β相交．【分析】假设α与β不相交，则α与β重合或平行．若α与β重合，则由PA⊥α、PB⊥α和A、B不重合，可得过一点有两条直线都垂直于同一平面，这是不可能的．若α∥β，则由PB⊥β可得PB⊥α，从而PA、PB都垂直于α，这是不可能的．【证明】假设α与β不相交，则α与β重合或平行．当α与β重合时，当α∥β时，于是假设不成立．故α与β相交．5．证明直线在平面内例6 已知：直线b∥平面α，点A∈α，点A∈直线c，又b∥=c′．6．证明唯一性命题例7 已知：直线b不垂直于平面α．求证：过b有且只有一个平面与α垂直．【分析】这是一个唯一性命题，其证明可分两步进行：先证存在性，即过b 有一个平面与α垂直；再证唯一性，用直接法证明“只有一个”不好下手，我们用反证法，假设还有一个平面垂直于α，去寻找矛盾．【证明】如图1-12．（2）假设过b不只一个平面垂直于α，可设β以外还有平面γ⊥α．从而假设不成立，所以只有一个平面垂直于α．于是由（1）、（2）可知，原命题成立．【解说】以上给出了常用反证法证明的六种题型，除此之外，还有“至少”、“至多”类命题、某些命题的逆命题等都可用反证法去证．。
四种命题。反证法
0 2 2 a b 2a 4b 3 0 ，
命题及其关系
1.1.2 四种命题
• 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。 • 判断为真的语句叫做真命题。 • 判断为假的语句叫做假命题。 • 理解： 1）命题定义的核心是判断，切记：判断的标准必须确定，判断 的结果可真可假，但真假必居其一。 2）含有变量且在未给定变量的值之前无法确定语句的真假。
p2 q2 2 ． 所以
2 1 1 2 2 ( p q) 2 2 2 2
p 2 q 2 2 ，则 p q 2 ． 从而，若
由于原命题和它的逆否命题有相同的真 假性，所以我们在直接证明某一个命题为真 命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题 为真命题，来间接地证明原命题为真命题． 这种方法是间接证明命题的方法，是反 证法的一种．
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真 真 假 假
真 假 真 假
真 假 真 假
真 真 假 假
由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此这 四种命题的真假性之间的关系如下：
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； (2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性 没有关系．
p 2 q 2 2 ，则 证明：若
证明：若 a 2 b2 2a 4b 3 0 ， 则 a b 1．（提示：用反证法）
证明:若 a b 1 ，则 a 2 b 2 2a 4b 3
(a b)(a b) 2(a b) 2b 3 a b 1
所以，若 则 a b 1 ．
原结论
是 都是 大于 小于
反设词
不是 不都是
原结论
宜用反证法证明的几类命题
宜用反证法证明的几类命题反证法是证明数学命题的一种重要方法，当直接证明思路受阻，难以成功时，反证法常使人茅塞顿开，柳暗花明．它通常用来证明下列几类命题．一、否定性命题问题的结论是以否定形式出现（例如“没有…”，“不是…”，“不存在…”等）的命题，宜用反证法．例1 求证：3lg 2是无理数．分析：在实数集内，证它是无理数，即证它不是有理数．证明：假设3lg 2不是无理数，即为有理数，则设3lg 2＝m n (,m n ∈+N ，n m ,互质）从而32=m n得， m n 32=上式表明：偶数等于奇数，这与偶数不等于奇数矛盾，于是假设不成立． 故3lg 2是无理数．例2 证明：一个三角形中不可能有两个直角．分析：用三角形内角和为0180证一个三角形中不存在两个直角．证明：假设一个三角形中有两个直角．不妨设∠Ａ＝090，∠Ｂ＝090． ∵∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝090＋090＋∠Ｃ＝0180＋∠Ｃ＞0180这与三角形内角和定理矛盾． ∴ 假设不成立，即原命题成立．二、“至少”或“至多”类命题若一个命题的结论是“至少…”或“至多…”，“不都…”则可考虑用反证法． 例3 已知1p 、2p 、1q 、2q ∈Ｒ，且1p 2p ＝2（1q ＋2q ）求证：方程2x ＋1p x ＋1q ＝0和2x ＋2p x ＋2q ＝0中，至少有一个方程有实根． 分析：“至少有一个”是“有一个”、 “有两个”，它的反面是“一个都没有”． 证明：假设这两个一元二次方程都没有实根，那么他们的判别式都小于0，即：⎪⎩⎪⎨⎧<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-=∆<-=∆22212122221211440404q p q p q p q p ∴)(4212221q q p p +<+ ∵1p 2p ＝2（1q ＋2q ）代入上式得02212221<-+p p p p ，即.0)(221<-p p ．这与“任何实数的平方为非负数”相A B P 矛盾，所以假设不成立．故这两方程中，至少有一个方程有实根．三、唯一性命题若一个命题的结论是“…唯一”的形式出现，则可考虑用反证法． 例4 求证：在一个平面内，过直线l 外一点P 只能作出一条直线垂直于l ． 证明：假设过点P 可以作两条直线垂直于直线l 如图，那么∠P AB ＝∠PBA ＝090． 于是∠APB ＋∠P AB ＋∠PBA ＞0180．即∆P AB 的内角和大于0180，这与定理“三角形内角和等于0180”相矛盾，故假设不成立．l。
反证法
反证法维基百科，自由的百科全书反证法（又称归谬法、背理法）是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。
反证法常称作Reductio ad absurdum，是拉丁语中的“转化到不可能”，源自希腊语中的“ἡειςτοαδυνατονπαγωγη”，阿基米德经常使用它。
∙∙∙∙∙[编辑]理据给出命题和命题（非），根据排中律，两者之中起码有一个是真（更强的说法为，除了真和假之外并无其他的情况），所以若果其中一个是假的，另一个就必然是真。
给出命题和命题（非），根据无矛盾律，两者同时为真的情况为假。
给出命题和，根据否定后件律，如果若成立时出现，则为假时即为假。
反证法在要证明时，透过显示出若成立时出现矛盾（和），即为假，从而证明为真。
[编辑]例子是无理数的证明（古希腊人）证明：假设是有理数，那么就写成p/q的形式，且p,q互质。
那么有p=×qp²=2×q²可得p²是偶数。
而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数。
因此可设p=2s,代入上式，得：q²=2s². 所以q也是偶数。
这样，p,q都是偶数，不互质，这与假设p,q互质矛盾。
则假设不成立！因此为无理数。
[编辑]其他可用反证法证明的例子：1. 证明有无限多个质数。
2. 任意6人当中，求证或者有三人两两相识，或者有三人互不相识。
3. 现有90张咭，每张咭都写有一个非负整数，已知这90个数之和少于1980，证明至少有三张数目相同的咭。
4. 集合S={x:0<x<1}没有最少值。
5. 设n是大于1的整数，若所有少于或等于√n的质数都不能整除n，则n是质数。
6. 已知三角形ABC是锐角三角形，且∠A>∠B>∠C。
求证：∠B>45。
7. 已知a、b为正实数，求证：(a+b)/2≧√(ab)。
反证法
………………………….
例2、用反证法证明：圆的两条不是 用反证法证明： 直径的相交弦不能互相平分
已知：如图， ⊙O中 AB、CD相交于 AB、CD不是直径 不是直径． 已知：如图，在⊙O中，弦 AB、CD相交于 P点，且 AB、CD不是直径． 求证： AB、CD不被 点平分． 不被P 求证：弦AB、CD不被P点平分． 证明：假设弦AB、CD被 证明：假设弦AB、CD被P点平分 由于P点不是圆心 点不是圆心O，连结OP， 由于 点不是圆心 ，连结 ， 由垂径定理的推论得
反证法
• 什么叫反证法？ 什么叫反证法？
从命题的反面出发， 从命题的反面出发，假 设结论不成立， 设结论不成立，从而推出矛 最后证明结论的方法。 盾，最后证明结论的方法。
举例： 举例： 要证x>0,只要证 ≤ 只要证x 0 要证 只要证
不成立即可。 不成立即可。因此先假 0， 设x ≤ ，然后推出与已 知条件矛盾， 知条件矛盾，得出假设 不成立， 成立。 不成立，则x>0成立。 成立
例1：用反证法证明：如果 ：用反证法证明：如果a>b>0,那么 那么
用反证法的时候，要注意结论反面共有几种情况， 注：用反证法的时候，要注意结论反面共有几种情况，应 把反面的各种情况都要考虑到，不要漏掉任何一种可能。 把反面的各种情况都要考虑到，不要漏掉任何一种可能。
反证法de步骤 反证法 步骤
原结论
至少有一个 至多有一个
反设词
一个也没有 至少有两个
至少有n个 至多有(n-1)个 n 至多有n个 至少有(n+1 n+1)个 n+1 P或q
非p且非q p q
P且q
非p或非q p q
小结：
• 反证法 • 反证法在什么时候适用 • 反证法的步骤——
反证法(1)
小结、归纳：
2、适宜使用反证法证明的命题的特征：
①直接证明较困难，可考虑使用反证法； ②命题的结论部分含有“不可能、唯一、至少、至多”等 特殊词语，可考虑使用反证法。
三、拓展、创新：
5、若三个方程x2+4mx-4m+3=0；x2+(m-1)x+m2=0；x2+2mx-2m=0 至少有一个方程有实数根，求实数m的取值范围。 解： 当三个方程都没有实根时， 有： △1=(4m)2-4(3-4m)<0 即： 4m2+4m-3<0 3m2+2m-1>0 △2=(m-1)2-4m2<0 m2+2m<0 △3=4m2+8m<0 得： -3/2<m<1/2 ∴ -3/2<m<-1 m<-1或m>1/3 -2<m<0 -3 -1
证明： 假设c与b不相交， 则c∥b
a c b
∵ a∥ b
∴ a∥ c 这与已知c与a相交矛盾 ∴ c与b相交。
二、合作、探究：
4、已知x、y、z是整数，且x2+y2=z2 求证：x、y、z不可能都是奇数。
证明： 设x、y、z都是奇数， 则x2、y2、z2都是奇数 ∴x2+y2为偶数 ∴ x2+y2≠z2 这与已知矛盾 ∴ x、y、z不可能都是奇数。
小结、归纳：
1、用反证法证明命题“若p则q”的方法和步骤：
①否定（反设）： 结论，特殊词语的否定应准确。
词语
词语的否定
是 不是
都是 不都是
大于
至少一个 至多一个
小于等于 没有一个 至少两个
②推理： ¬ q作为已知条件使用。
③矛盾： 与已知；与公理、定义、定理；与事实；自相矛盾。 ④肯定： 下结论。
反证法
求证:a,b,c中至少有一个大于0. 证明：假设a,b,c都不大于0,即a≤0, b≤0, c≤0,则有a+b+c ≤0
π π π 2 2 2y + )+(y - 2z+ )+ (z - 2x+ ) 2 3 6
∴a+b+c=
(x2 -
=(x – 1)2+(y –1)2+(z – 1)2+ π – 3. ∵ π – 3>0且a+b+c ≤0矛盾, ∴ a,b,c中至少有一个大于0. 推出矛盾可能出现以下三种情况: 1. 与原命题中的条件矛盾(如例1) 2. 与假设矛盾(如例3)
反证法的一般步骤如下:
(1)假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立. (2)从这个假设出发,经过推结论正确.
例1:若a,b,c均为实数,且a=x2 -
π π π 2 2 2y + 2 ,b=y - 2z+ ,c=z - 2x+ 6. 3
练习 1. 用反证法证明:若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数 根,则b2 –4ac>0. 2. 用反证法证明:在△ABC中,若∠C是直角,则∠B一定不是直 角. 3. 若p1p2=2(q1+q2), 证明:关于x的方程x2+p1x+q1=0,
x2+p2x+q2=0中,至少有一个方程有实根.
3. 与已知公理或定理矛盾(如例2)
例2:用反证法证明:如果a>b>0,那么
证明:假设 a 不大于 b ,则 a < b 或 a = b ∵a>0,b>0,
a
>
b
四种命题的形式概念
四种命题的形式•概念命题：可以判断真假的语句叫做命题，命题通常用陈述句表示真命题：正确的命题叫做真命题假命题：错误的命题叫做假命题在数学中，常见的命题由条件和结论两部分组成（如：如果三角形的三条边相等，那么这两个三角形全等）命题的证明：1、要确定一个命题是假命题，只要举出一个满足命题条件，而不满足命题结论的例子就可以了，这在数学中称为举反例2、确定一个命题是真命题，就必须做出证明，证明若满足命题条件就一定能推出命题的结论一般来说，如果命题α成立可以推出命题β也成立，那么久说由α可以推出β，并用记号“α=>β”表示，读作“α推出β”，换言之，α=>β表示以α为条件，β为结论的命题是真命题；同理，α≠＞β表示以α为条件，β为结论的命题是一个假命题等价命题：如果A 、B 是两个命题，A=>B ，B=>A ，那么A 、B 叫做等价命题，记作A<=>B 。
称A 与B 等价四种命题：（参见下图）若把一个已知命题定义为原命题（由条件和结论组成）把原命题的条件和结论交换，所得到的命题叫做原命题的逆命题把原命题的条件和结论都换成它们的否定形式，所得到的命题是原命题的否命题 （且α的否命题记为 ）把原命题的结论的否定作条件，把条件的否定作结论，所得到的命题是原命题的逆否命题 （值得注意的是，否命题和逆命题也互为逆否命题）四种命题之间的相互关系：（参见上图）一般来说，原命题与逆否命题是同真或同假的，即，原命题与逆否问题是等价命题 （当我们证明某个命题有困难时，就可尝试用证明它的逆否命题来代替证明原命题） Eg.结合初中证明：已知BD 、CE 分别是△ABC 的∠B 、∠C 的角平分线，BD ≠CE 。
求证：AB ≠AC四种命题的真假常用结论：1．原命题为真，它的逆命题不一定为真。
例如：原命题为真：逆命题为假2．原命题为真，它的否命题不一定为真。
例如：原命题为真：否命题为假：3．原命题为真，它的逆否命题一定为真。
反证法的分类
反证法的分类
二、反证法的分类
反证法包含穷举法与归谬法又称“归于不可能”。
采取该方法证题的过程中，如果把所需要证明的命题归类到仅有一种的状况，我们仅需把该名堂论证不成立，就是反证。
而如果所需证明的方面，是包含多种情形，那就要把所有情况驳倒，再依次进行处理、解析，才能论证原结论是否正确。
1.归谬法例题
著名的俄国文学家亚历山大·伊凡诺维奇·赫尔岑，曾经参加了一个聚会，由于不喜欢派对上的音乐，他把耳朵捂住了。
侍者向他说演奏的音乐是流行的。
赫尔岑逆向问其，流行的音乐就是高尚的吗？侍者诧异道“不高尚的东西，怎能流行呢？”“流行感冒也是高尚的了？”赫尔岑笑着讲。
这个故事中，命题的意思：“不高尚的东西怎能流行呢？”换言之“所有流行的东西，都是高尚的”。
假设命题是正确的，那就可以推出“流行感冒也是高尚的”，由此看出，原命题是错误的。
这就是运用归谬法而得出的结论。
2.穷举法例题
结语
数学可以说是一门考验人们的思维、特别是逻辑思维的学科。
我们认为反证法是一种数学思想、是一种重要的解题方法。
学会运用反证法，这不仅帮助我们完成题目的论证，更促进我们逆向思维以及创新思维能力的发展形成，提升我们的综合素质，这会使我们数学方面的学习受益匪浅。
反证法(201912)
证明：假设a,b,c都不大于0,即a≤0, b≤0, c≤0,则有a+b+c ≤0
∴a+b+c= (x2 - 2y +
π 2
)+(y2
-
2z+
π 3
)+
(z2
-
2x+
π 6
)
=(x – 1)2+(y –1)2+(z – 1)2+ π – 3.
∵ π – 3>0且a+b+c ≤0矛盾,
∴ a,b,c中至少有一个大于0.
反证法的一般步骤如下:
(1)假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立. (2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾. (3)由矛盾判定假设不成立,从而肯定命题结论正确.
例1:若a,b,c均为实数,且a=x2 - 2y +
π 2
,b=y2
- 2z+
π 3
,c=z2
-
2x+
π
6.
求证:a,b,c中至少有一个大于0.
例2:用反证法证明:如果a>b>0,那么 a > b
证明:假设 a 不大于 b ,则 a < b 或 a = b ∵a>0,b>0, ∴ a < b a a < a b 且 a b < b b a<b, a = b a=b. 这些与条件a>b矛盾,∴原假设不成立,即 a> b 成立.
例3：如果一条直线和两条平行线中的一条是异 面直线，且不与另一条直线相交，那么这条直线 与另一条直线也是异面直线。
反证法
以下几种形式的命题常用反证法证明：
1、某些命题的结论是否定形式，如不是、不能、 不存在等；
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宜用反证法证明的几类命题
反证法是证明数学命题的一种重要方法，当直接证明思路受阻，难以成功时，反证法常使人茅塞顿开，柳暗花明．它通常用来证明下列几类命题．
一、否定性命题
问题的结论是以否定形式出现（例如“没有…”，“不是…”，“不存在…”等）的命题，宜用反证法．
例1 求证：3lg 2是无理数．
分析：在实数集内，证它是无理数，即证它不是有理数．
证明：假设3lg 2不是无理数，即为有理数，则设3lg 2＝
m n (,m n ∈+N ，n m ,互质）从而32=m n
得， m n 32=
上式表明：偶数等于奇数，这与偶数不等于奇数矛盾，于是假设不成立． 故3lg 2是无理数．
例2 证明：一个三角形中不可能有两个直角．
分析：用三角形内角和为0180证一个三角形中不存在两个直角．
证明：假设一个三角形中有两个直角．不妨设∠Ａ＝090，∠Ｂ＝090． ∵∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝090＋090＋∠Ｃ＝0180＋∠Ｃ＞0180
这与三角形内角和定理矛盾． ∴ 假设不成立，即原命题成立．
二、“至少”或“至多”类命题
若一个命题的结论是“至少…”或“至多…”，“不都…”则可考虑用反证法． 例3 已知1p 、2p 、1q 、2q ∈Ｒ，且1p 2p ＝2（1q ＋2q ）
求证：方程2x ＋1p x ＋1q ＝0和2x ＋2p x ＋2q ＝0中，至少有一个方程有实根． 分析：“至少有一个”是“有一个”、 “有两个”，它的反面是“一个都没有”． 证明：假设这两个一元二次方程都没有实根，那么他们的判别式都小于0，即：
⎪⎩⎪⎨⎧<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-=∆<-=∆2
2212122221211440404q p q p q p q p ∴)(4212
221q q p p +<+ ∵1p 2p ＝2（1q ＋2q ）代入上式得
02212221<-+p p p p ，即.0)(221<-p p ．这与“任何实数的平方为非负数”相
A B P 矛盾，所以假设不成立．
故这两方程中，至少有一个方程有实根．
三、唯一性命题
若一个命题的结论是“…唯一”的形式出现，则可考虑用反证法． 例4 求证：在一个平面内，过直线l 外一点P 只能作出一条直线垂直于l ． 证明：假设过点P 可以作两条直线垂直于直线l 如图，那么∠P AB ＝∠PBA ＝090． 于是∠APB ＋∠P AB ＋∠PBA ＞0180．
即∆P AB 的内角和大于0180，
这与定理“三角形内角和等于0180”相矛盾，
故假设不成立．
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