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中考复习课件-二次根式
二次根式的定义:
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式 .
注意：被开方数大于或等于零
➢ 典型例题解析
【例1】 x为何值时，下列各式在实数范围内才有意义：
(1) 2 x (2) x2;(3) x5
x3 3x
解:(1)由2-x≥0 x≤2，
∴x≤2时， 2 x在实数范围的有意义.
一化 二找 三合并
二次根式计算、化简的 结果符合什么要求？
（1）被开方数不含分母；
分母不含根号；
根号内不含小数
（2）被开方数中不含能开得尽 方的因数或因式.
例2 计算： (3 484 27)2 3
解： (3 原 43 式 -433)230；
例3 (1)计算：2 2 （1）0 2
(2)计算 1 22s5i6 n0 2(52)0
(a≥0，b>0)
怎样化去分母中的根号呢？
a b
a b b b
ab b
(a≥0，b>0)
注意：进行根式化简，关键是要搞清楚分式的分子 和分母都乘什么，有时还要对分母进行化简。
二次根式加减法的步骤：
归纳 （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式。
①则AD=__2__ BC=__1__
D PC
拓展2
已知△ABP的一边AB= 10 ，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5 ， 5 ， 10 ，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
D PC
3.一个台阶如图，阶梯每一层高15cm，宽25cm，长
60cm.一只蚂蚁从A点爬到B点最短路程是多少？
解：
B
B
60
25 AB 602802
60
25
15
10000 15
100
25
15
60
25
15
60
A
A
拓展1
设a、b为实数,且|2 -a|+ √ b-2 =0
(1)求a2-2 2a+2+b2的值。 a 2，b2
(2)由
x x
3200xx
2 3
∴x＞3时，
x x
2 3
在实数范围内有意义.
(3)由Fra Baidu bibliotek
x50 x 3x 0x
5 3
∴-5≤x＜3时，
x x
5 3
在实数范围内有意义.
算一算：
2
2
2
1 2
92
3 4
2
2 1 3 2 3
2
3.二次根式的运算：
二次根式乘法法则 abab ( a 0,b0
二次根式除法法则
三角形的三边为 5 ， 5 ， 10 ，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
DP
C
拓展2
已知△ABP的一边AB= 10 ，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5 ， 5 ， 10 ，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
2.应用 ab a b
3.将平方项应用 a 2 a 化简.
根式运算的结果中，被开方数应不含能开 得尽方的因数或因式。 运算的结果应该是最简二次根式或整式。
二次根式的除法公式：
a a a0,b0
b
b
a a a0,b0
b
b
怎样化去被开方数中的分母呢？
a b
a b
b b
ab b2
ab
b2
ab b
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
DP C
拓展2
已知△ABP的一边AB= 10 ，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5 ， 5 ， 10 ，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
拓展3
已知△ABP的一边AB= 10 ，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5 ， 5 ， 10 ，
（2）如图所示，AD⊥DC于D， BC⊥CD于C，
拓展2
已知△ABP的一边AB= 10 ，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5 ， 5 ， 10 ，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
DP
C
拓展2
已知△ABP的一边AB= 10 ，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
aa
b
b
(a0,b0)
二次根式的加减：
类似于合并同类项，把相同二次根式的项合并.
二次根式的混合运算：
原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用，原 来所学的乘法公式（如(a+b)(a-b)=a2-b2;(a±b)2=a2± 2ab+b2 ） 仍然适用.
化简二次根式的步骤：
1.将被开方数尽可能分解成几个平方数。
(2)若满足上式的a,b为等腰三角形的两边,求这
个等解腰: 三(角1)形∵的|面2积-a.|≥0, √ b-2≥0
解:∴若三a角为形腰的,b面为而积底|2 为,2此a -时a|012底+ √，边bb2上-22的=1高00为1（ 2）2 11
若a为底,b 为a腰,此2时， 底b边2上的高为 2 2原 2式 2 (2 a2)24 b21 2( 7 2 2 21 2)2422
2.对有关二次根式的代数式的求值问题一般应对已知 式先进行化简，代入化简后的待求式，同时还应注意 挖掘隐含条件和技巧的运用使求解更简捷.
1.若数轴上表示数x的点在原点的左边，则化简
|3x+ x2| 的结果是（ C ）
A.-4x B.4x
C.-2x
D.2x
2.若方程 2 3x 60，则 x____12__2_
4 ∴三角形的面积为 1 2 14 7
2
22
拓展2
已知△ABP的一边AB= 10 ，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5 ， 5 ， 10 ，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
DP C
解 (1)原 ： 式 22-1 232-1； (2)原式 23-2 3-1 3-1. 2
【例4】 求代数式的值.
若x2-4x+1=0，求
x2
1 x2
5
的值.
解:
由x2-4x+1=0x+
1 x
-4=0x+ 1
x
=4.
∴原式= (x1)22542793
x
1.二次根式的乘除运算可以考虑先进行被开方数的约 分问题，再化简二次根式，而不一定要先将二次根式 化成最简二次根式，再约分.
二次根式的定义:
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式 .
注意：被开方数大于或等于零
➢ 典型例题解析
【例1】 x为何值时，下列各式在实数范围内才有意义：
(1) 2 x (2) x2;(3) x5
x3 3x
解:(1)由2-x≥0 x≤2，
∴x≤2时， 2 x在实数范围的有意义.
一化 二找 三合并
二次根式计算、化简的 结果符合什么要求？
（1）被开方数不含分母；
分母不含根号；
根号内不含小数
（2）被开方数中不含能开得尽 方的因数或因式.
例2 计算： (3 484 27)2 3
解： (3 原 43 式 -433)230；
例3 (1)计算：2 2 （1）0 2
(2)计算 1 22s5i6 n0 2(52)0
(a≥0，b>0)
怎样化去分母中的根号呢？
a b
a b b b
ab b
(a≥0，b>0)
注意：进行根式化简，关键是要搞清楚分式的分子 和分母都乘什么，有时还要对分母进行化简。
二次根式加减法的步骤：
归纳 （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式。
①则AD=__2__ BC=__1__
D PC
拓展2
已知△ABP的一边AB= 10 ，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5 ， 5 ， 10 ，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
D PC
3.一个台阶如图，阶梯每一层高15cm，宽25cm，长
60cm.一只蚂蚁从A点爬到B点最短路程是多少？
解：
B
B
60
25 AB 602802
60
25
15
10000 15
100
25
15
60
25
15
60
A
A
拓展1
设a、b为实数,且|2 -a|+ √ b-2 =0
(1)求a2-2 2a+2+b2的值。 a 2，b2
(2)由
x x
3200xx
2 3
∴x＞3时，
x x
2 3
在实数范围内有意义.
(3)由Fra Baidu bibliotek
x50 x 3x 0x
5 3
∴-5≤x＜3时，
x x
5 3
在实数范围内有意义.
算一算：
2
2
2
1 2
92
3 4
2
2 1 3 2 3
2
3.二次根式的运算：
二次根式乘法法则 abab ( a 0,b0
二次根式除法法则
三角形的三边为 5 ， 5 ， 10 ，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
DP
C
拓展2
已知△ABP的一边AB= 10 ，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5 ， 5 ， 10 ，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
2.应用 ab a b
3.将平方项应用 a 2 a 化简.
根式运算的结果中，被开方数应不含能开 得尽方的因数或因式。 运算的结果应该是最简二次根式或整式。
二次根式的除法公式：
a a a0,b0
b
b
a a a0,b0
b
b
怎样化去被开方数中的分母呢？
a b
a b
b b
ab b2
ab
b2
ab b
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
DP C
拓展2
已知△ABP的一边AB= 10 ，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5 ， 5 ， 10 ，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
拓展3
已知△ABP的一边AB= 10 ，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5 ， 5 ， 10 ，
（2）如图所示，AD⊥DC于D， BC⊥CD于C，
拓展2
已知△ABP的一边AB= 10 ，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5 ， 5 ， 10 ，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
DP
C
拓展2
已知△ABP的一边AB= 10 ，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
aa
b
b
(a0,b0)
二次根式的加减：
类似于合并同类项，把相同二次根式的项合并.
二次根式的混合运算：
原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用，原 来所学的乘法公式（如(a+b)(a-b)=a2-b2;(a±b)2=a2± 2ab+b2 ） 仍然适用.
化简二次根式的步骤：
1.将被开方数尽可能分解成几个平方数。
(2)若满足上式的a,b为等腰三角形的两边,求这
个等解腰: 三(角1)形∵的|面2积-a.|≥0, √ b-2≥0
解:∴若三a角为形腰的,b面为而积底|2 为,2此a -时a|012底+ √，边bb2上-22的=1高00为1（ 2）2 11
若a为底,b 为a腰,此2时， 底b边2上的高为 2 2原 2式 2 (2 a2)24 b21 2( 7 2 2 21 2)2422
2.对有关二次根式的代数式的求值问题一般应对已知 式先进行化简，代入化简后的待求式，同时还应注意 挖掘隐含条件和技巧的运用使求解更简捷.
1.若数轴上表示数x的点在原点的左边，则化简
|3x+ x2| 的结果是（ C ）
A.-4x B.4x
C.-2x
D.2x
2.若方程 2 3x 60，则 x____12__2_
4 ∴三角形的面积为 1 2 14 7
2
22
拓展2
已知△ABP的一边AB= 10 ，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5 ， 5 ， 10 ，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
DP C
解 (1)原 ： 式 22-1 232-1； (2)原式 23-2 3-1 3-1. 2
【例4】 求代数式的值.
若x2-4x+1=0，求
x2
1 x2
5
的值.
解:
由x2-4x+1=0x+
1 x
-4=0x+ 1
x
=4.
∴原式= (x1)22542793
x
1.二次根式的乘除运算可以考虑先进行被开方数的约 分问题，再化简二次根式，而不一定要先将二次根式 化成最简二次根式，再约分.