钢结构第六章：拉弯和压弯构件(本科生)

假定弯矩作用平面外有足够的刚度，只能发生弯矩作用平面内 失稳。 在弯矩作用平面内失稳属第二类稳定。 压弯构件弯矩作用平面内的极限承载力通常由稳定决定，求解 方法很多，我们采用修正的边缘纤维屈服准则进行分析。
压弯构件弹性工作状态截面受压边缘纤维屈服时的轴 力与弯矩的相关公式为
N M ma x fy A W1x
x 弯矩作用平面内轴压构件的稳定系数；
M x 计算区段的最大弯矩；
W1x 在弯矩作用平面内对较大受压纤维的毛截面模量；
x 塑性发展系数； 等效弯矩系数，取值如下：
规范对βmx作出具体规定： 1、框架柱和两端支承构件
（1）没有横向荷载作用时： mx 则取异号，｜M1｜≥｜M2｜
βtx—等效弯矩系数，取平面外两相邻支承点间构件为 计算单元，取值同βmx ；
b 均匀弯曲受弯构件的整 体稳定系数，计算如下 ：
（1）工字形（含H型钢）截面
双轴对称时：
b 1.07
单轴对称时：
2 y
44000 235
2 y

fy
fy W1 x b 1.07 2 b 0.1Ah 14000 235 I1 b ，I 1、I 2分别为受压翼缘和受拉 翼缘对y轴 I1 I 2 的惯性矩；
＝26 - 199.2＝-173.2N／mm2(负号表示压应力) 173.2N／mm2＜ f＝215N／mm2(满足要求)
(2) 刚度
l0 x 450 0 x 147.5 350 ix 3.05 l0 y 450 0 y 99.6 350 (满足要求) i y 4.52
Mx N 10010 1210 2 3 An x1 W1x 38.5210 1.05126.4 10
3 6
＝26十90.4＝116.4N／mm2<215N／mm2(满足要求) 对2边缘
Mx N 100103 12106 2 3 An x 2 W2 x 38.5210 1.2 50.2 10
压弯构件：
承载 能力 极限 状态
强度 实腹式 整体稳定 局部稳定 平面内稳定 平面外稳定
稳定
格构式
弯矩作用在实轴上 弯矩作用在虚轴上 (分肢稳定)
正常 使用 极限 状态
刚度
max max x , y [ ]
[ ] 取值同轴压构件。
§6-2
拉弯和压弯构件的强度
一、截面应力的发展 以矩形截面压弯构件为例：
My Mx N f An xW nx yW ny
( 6 4)
M x , M y ——两个主轴方向的弯矩 x , y ——两个主轴方向的塑性发展因数
如工字形， x 1.05
y 1.20
当直接承受动力荷载时， x y 1.0
其他截面的塑性发展系数见教材。
截面几何特性，
由附表查得2L100×10 An＝2×19.26＝38.52cm2
W1x＝2×63.2＝126.4cm3
W2x＝2×25.1＝50.2cm3
ix =3.05cm，iy ＝4.52 cm
3．验算 (1)强度
查附表得 f ＝215N／mm2 x1＝1.05， x2 ＝1. 2
对1边缘
fy
b
h
(A)
(A)弹性工作阶段
N M fy A W
(6 1)
(B)最大压应力一侧截面部分屈服 (C)截面两侧均有部分屈服 (D)塑性工作阶段—塑性铰(强度极限)
H
N H
b fy (A) (B) (C)
ηh ηh h-2η h
fy
fy
fy
fy
h
ຫໍສະໝຸດ Baidufy
(D)
对于矩形截面压弯构件，由图（D）内力平衡条 件可得，N、M无量纲相关曲线：
1 其中 称为弯矩放大系数 1 N N Ex
N M max N Mx fy A W1x A W1x 1 N N Ex
同时考虑到构件必然存在缺陷，用一等效偏心距v0代 表，故在式中再附加一个弯矩，则有
N M max N M x N 0 fy A W1x A W1x 1 N N Ex
λx>λy λx<λy
绕x轴失稳 绕y轴失稳
压弯构件 弯矩绕y轴作用 弯矩作用平面为 xz平面
y F My F z
x
N Mx 绕x轴弯曲 变形 弯扭失稳 My 弯扭失稳 绕y轴弯曲 变形 N-Mx 绕x轴失稳 弯扭失稳
My
N-MY 弯扭失稳 绕y轴失稳
λx>λy λx<λy
绕x轴失稳 绕y轴失稳
一、弯矩作用平面内的稳定
2
2 x
解方程可得压弯构件弹性挠曲线方程
M x 1 cos kl y sin kz cos kz 1 N sin kl
当z l 2时，构件中点的最大挠度为 Mx sec ym N 2 N 1 N Ex
将 sec

2
N 展成级数, 得 N Ex
上式是在弹性范围内，考虑缺陷，两端作用有相同端 弯矩情况下推得的，为使上式适用于各种情况的压弯 构件，采用等效弯矩系数βmx于对上式进行修正，得
N M max N mx M x N 0 fy A W1x A W1x 1 N N Ex
当M x 0时, 设在初始偏心下临界压力为 N N cr x fA, 代入有 W1x 0 A 1 x f y A 1 1 N Ex x 将 0回代有
N 2 N Ex N 1 N Ex 2! 1 1 N N Ex 2
2
sec

2
N N Ex 4!

4
因此
Mx 1 ym 1 N 1 N N Ex
这样
M m a x M x Nym Mx 1 Mx N ( 1) N 1 N N Ex Mx 1 N N Ex
区可能先受拉出现塑性，为此应满足：
N － A
mx M x
N xW 2x (1 1.25 ) N Ex
f
(6 10)
式中： W 2 x 对无翼缘端（受拉边缘 ）的毛截面模量； 其余符号同前。
二、弯矩作用平面外的稳定 弯矩作用平面外稳定的机理与梁失稳的机理相同， 因此其失稳形式也相同——平面外弯扭屈曲。 基本假定：
第 六 章
北京南站
大纲要求:
1、了解拉弯和压弯构件的应用和截面形式；
2、了解压弯构件整体稳定的基本原理；掌握其计算方法； 3、了解实腹式压弯构件局部稳定的基本原理； 掌握其计 算方法； 4、掌握拉弯和压弯的强度和刚度计算; 5、掌握实腹式压弯构件设计方法及其主要的构造要求 ； 6、掌握格构式压弯构件设计方法及其主要的构造要求 ；
例题1:
验算如图所示拉弯构件的强度和刚
度。轴心拉力设计值N＝100kN，横向集中荷 载设计值F＝8kN，均为静力荷载。构件的截 面为2L100×10，构件长为2a=3m，两角钢 的间距为10mm，钢材为Q235，[]＝350。
解：1．构件的最大弯矩
Mx＝F· a＝8×1.5＝12kN· m
2.
（2）T形截面（M绕对称轴x作用）
①弯矩使翼缘受压时：
双角钢T形截面：
b 1.0 0.0017 y
剖分T型钢和两板组合T形截面：
fy 235 fy
235 ②弯矩使翼缘受拉，且腹板宽厚比不大于 18 235 f y 时：
b 1.0 0.0022 y
b 1.0 0.0005 y
fy 235
注意：
用以上公式求得的应
当
φ b≤1.0；

φ b > 0.6时，不需要换算，因已经考虑塑性发展； 闭口截面φ b=1.0。
由于全截面达到塑性状态后，变形过大，因此规范 对不同截面限制其塑性发展区域为（1/8-1/4）h
因此，令： N p An f y 抗力分项系数，得：
M px xWnx f y 并引入
Mx N f An xW nx
( 6 3)
上式即为规范给定的在N、Mx作用下的强度计算公式。 对于在N、Mx 、My作用下的强度计算公式，规范采用 了与上式相衔接的线形公式：
H N
H
b fy
M hbh h f y 从上式中消去，注意到N p hbfy , M p bh2 f y 4，
得N、M无量纲相关曲线 N M 1 N M p p
2
N h1 2 bf y
(A)
(B)
(C)
(D)
ηh
fy
h-2η h
h
ηh
fy
fy
fy
fy
对于工字形截面也可得 N、M类似的无量纲相关曲线 ， 这些曲线都是外凸的。 为了便于计算，同时考 虑到分 析中没有考虑附加挠度 的不利影响，规范采用 了直线 式相关公式，即用斜直 线代替曲线。
Mx N 1 N p M px
式中：
N p Af y
M px W px f y
mx M x N f x A xW1x 1 0.8 N N Ex
式中：
N mx M x f x A W (1 0.8 N ) x 1x x NE
N 计算段轴心压力设计值； N Ex 1.1，N Ex 2 EA x N Ex 1.1 抗力分项系数 R的均值； 0.8 修正系数;
mx M x N fy x A W1x 1 x N N Ex
这就是压弯构件弹性稳定的相关公式，可用于计算冷 弯薄璧压弯构件、格构式压弯构件的整体稳定问题
规范公式以最大强度理论为依据，以200条数值分 析承载力曲线成果对上式进行修正，得到计算实腹式 压弯构件弯矩作用平面内稳定的实用公式
§6-3
实腹式压弯构件的稳定
轴心受压构件
y
F x
F
z
轴力
λx>λy λx<λy
绕x轴失稳 绕y轴失稳
受弯构件 弯矩绕x轴作用 弯矩作用平面为 yz平面
y Mx Mx z x
N Mx 绕x轴弯曲 变形 弯扭失稳
λx>λy λx<λy
绕x轴失稳 绕y轴失稳
受弯构件 弯矩绕y轴作用 弯矩作用平面为 xz平面
y z My
x
My
N
Mx 绕x轴弯曲 变形 弯扭失稳
My 弯扭失稳 绕y轴弯曲 变形
λx>λy λx<λy
绕x轴失稳 绕y轴失稳
压弯构件 弯矩绕x轴作用 弯矩作用平面为 yz平面
y Mx F x
N Mx 绕x轴弯曲 变形 弯扭失稳 My 弯扭失稳 绕y轴弯曲 变形 N-Mx 绕x轴失稳 弯扭失稳
Mx F z
M1、 M2为端弯矩，无反弯点时取同号，否
M1 0.65 0.35 M2
（2）有端弯矩和横向荷载同时作用时: 使构件产生同向曲率时: βmx =1.0 使构件产生反向曲率时: βmx =0.85
（3）仅有横向荷载时：βmx =1.0 2、悬臂构件: βmx =1.0
对于单轴对称截面，当弯矩使较大翼缘受压时，受拉
§6-1
一、应用
概述
一般工业厂房 和多层房屋的框
e N
M
N
架柱均为拉弯和
压弯构件。
a)
N e
b)
N
e N N
二、截面形式
a)
b)
三、计算内容 拉弯构件： 承载能力极限状态：强度 正常使用极限状态：刚度
max max x , y [ ]
[ ] 取值同轴压构件。
其中
M m a x M x Nym M m a x为构件截面上的边缘纤维开始屈服时的最大弯矩
M x为构件上作用的端弯矩 Nym为轴力在最大挠度上产生的附加弯矩
在先不计初始偏心影响的前提下
基本微分方程
2
d y EI x 2 Ny M x dz
2
2
令k N EI，kl
N N Ex ，N Ex EA
1、由于平面外截面刚度较小，故忽略该平面的挠曲变
形。 2．杆件两端铰接，但不能绕纵轴转动。 3．材料为弹性。
tx M x N f y A bW1x
(6 11)
式中: y 弯矩作用平面外轴压构件的稳定系数；
截面影响系数，闭口截面 0.7，其余截面 1.0；