期末检测试卷(二)

期末检测试卷(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32，B ＝{x |1－2x >0}，则( ) A ．A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <12B ．A ∩B ＝∅C ．A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <12D ．A ∪B ＝R答案 A解析 由1－2x >0得x <12，所以A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <32∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <12＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <12，选A. 2．设a >0，则“b >a ”是“b 2>a 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件答案 A解析 由于a >0，当b >a 时，b 2>a 2.当b 2>a 2时，b 可能是负数，因此不能得出b >a .故b >a 是b 2>a 2的充分不必要条件．故选A.3．已知a ＝log 72，b ＝log 0.70.2，c ＝0.70.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a <c <b B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b答案 A解析 a ＝log 72<12，b ＝log 0.70.2>log 0.70.7＝1,0.7<c ＝0.70.2<1，a <c <b ，故选A.4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －1，x ≤0，log 2x ，x >0，则f (f (1))等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 A解析 由题意得，f (1)＝log 21＝0，∴f (f (1))＝f (0)＝40－1＝0.5．下列四个函数：①y ＝x ＋1；②y ＝x ＋1x －1；③y ＝2x －1；④y ＝lg(1－x )，其中定义域与值域相同的函数的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析 对于①，根据一次函数的性质可得定义域和值域都是R ；对于②，y ＝x ＋1x －1＝x －1＋2x －1＝1＋2x －1，根据反比例函数性质可得定义域和值域都为{x |x ≠1}；对于③，根据指数函数性质可得定义域为R ，值域为(－1，＋∞)； 对于④，根据对数函数性质可得定义域为(－∞，1)，值域为R ， 故选B.6．在同一直角坐标系中，函数y ＝1ax ，y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12(a >0且a ≠1)的图象可能是( )答案 D解析 当0<a <1时，函数y ＝a x 过定点(0,1)且单调递减，则函数y ＝1a x 过定点(0,1)且单调递增，函数y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12过定点⎝⎛⎭⎫12，0且单调递减，D 选项符合；当a >1时，函数y ＝a x 过定点(0,1)且单调递增，则函数y ＝1a x 过定点(0,1)且单调递减，函数y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12过定点⎝⎛⎭⎫12，0且单调递增，各选项均不符合．综上，选D.7．将函数f (x )＝sin 2x ＋3cos 2x 的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，则g (x )的单调递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋3π4(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤2k π－π4，2k π＋π4(k ∈Z ) 答案 B解析 因为f (x )＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，将其图象向左平移π3个单位长度， 得到g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π3＝－2sin 2x ，由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π(k ∈Z )，所以g (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )，故选B. 8．设函数f (x )＝3xx 2＋9的最大值是a .若对于任意的x ∈[0,2)，a >x 2－x ＋b 恒成立，则b 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B.⎝⎛⎭⎫－∞，－32 C.⎝⎛⎦⎤－∞，－32 D ．(－∞，－2)答案 C解析 当x ＝0时，f (x )＝0； 当x ≠0时，|f (x )|＝3|x |x 2＋9＝3|x |＋9|x |≤32|x |·9|x |＝329＝12， 当且仅当|x |＝9|x |，即|x |＝3时取等号，综上可得，f (x )max ＝12，即a ＝12.由题意知x 2－x ＋b <12在x ∈[0,2)上恒成立，即x 2－x ＋b －12<0在x ∈[0,2)上恒成立．令φ(x )＝x 2－x ＋b －12，x ∈[0,2)，则φ(x )<φ(2)， 则4－2＋b －12≤0，即b ≤－32.故选C.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．若函数f (x )的图象在R 上连续不断，且满足f (0)<0，f (1)>0，f (2)>0，则下列说法错误的是( )A ．f (x )在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点B ．f (x )在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点C ．f (x )在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点D ．f (x )在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点 答案 ABD解析 由题意知f (0)·f (1)<0，所以根据函数零点存在定理可得f (x )在区间(0,1)上一定有零点， 又f (1)·f (2)>0，因此无法判断f (x )在区间(1,2)上是否有零点． 故选ABD.10．设函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1的图象为C ，则下列结论中正确的是( ) A ．图象C 关于直线x ＝－5π12对称B ．图象C 关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称 C ．函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－5π12，π12内单调递增 D ．把函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1的图象上各点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)可以得到图象C 答案 AC解析 对于A ，函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1的对称轴方程为2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝π12＋k π2(k ∈Z )，当k ＝－1时可得x ＝－5π12，所以图象C 关于直线x ＝－5π12对称，正确． 对于B ，函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1的对称中心为2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，解得x ＝－π6＋k π2(k ∈Z )，当k ＝0时可得x ＝－π6，所以图象C 关于点⎝⎛⎭⎫－π6，1对称，而不是关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称，故B 选项不正确．对于C ，由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得 k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )，当k ＝0时，－5π12≤x ≤π12，所以函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－5π12，π12内单调递增，正确． 对于D ，把函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1的图象上点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)可以得到函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1的图象，不是图象C ，故D 选项不正确． 综上AC 正确.11．已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为⎝⎛⎭⎫－12，2，则下列结论正确的是( ) A ．a >0 B ．b >0 C ．c >0 D ．a ＋b ＋c >0答案 BCD解析 因为不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为⎝⎛⎭⎫－12，2，故相应的二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，所以a <0，故A 错误；易知2和－12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则有c a ＝－1<0，－b a ＝32>0，又a <0，故b >0，c >0，故BC 正确；由二次函数的图象(图略)可知f (1)＝a ＋b ＋c >0，故D 正确． 故选BCD.12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ，x ≤0，|log 2x |，x >0，若x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则下列结论正确的是( ) A ．x 1＋x 2＝－1 B ．x 3x 4＝1 C ．1<x 4<2 D ．0<x 1x 2x 3x 4<1答案 BCD解析 画出函数f (x )的大致图象如图，得出x 1＋x 2＝－2，－log 2x 3＝log 2x 4，则x 3x 4＝1，故A 错误，B 正确； 由图可知1<x 4<2，故C 正确；因为－2<x 1<－1，x 1x 2＝x 1(－2－x 1)＝－x 21－2x 1＝－(x 1＋1)2＋1∈(0,1)，所以x 1x 2x 3x 4＝x 1x 2∈(0,1)，故D 正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，12，1，2，使y ＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α值为________．答案－1解析因为y＝xα在(0，＋∞)上单调递减，所以α<0 ，当α＝－2时，y＝x－2，f(－x)＝(－x)－2＝x－2＝f(x) 是偶函数，当α＝－12时，y＝12x ，定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，当α＝－1时，y＝x－1，f(－x)＝(－x)－1＝－x－1＝－f(x)是奇函数．14．已知函数f(x＋1)＝x－4，则f(x)的解析式为________．答案f(x)＝x2－2x－3(x≥1)解析令t＝x＋1≥1，则x＝(t－1)2，故f(t)＝(t－1)2－4＝t2－2t－3(t≥1)．15．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝________.答案 1解析∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，∴f(－1)－g(－1)＝－1＋1＋1＝1，又∵f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，∴f(1)＝f(－1)，g(1)＝－g(－1)，∴f(－1)－g(－1)＝f(1)＋g(1)，∴f(1)＋g(1)＝1.16．已知不等式x2－(a＋1)x＋a<0.若不等式在(1,3)上有解，则实数a的取值范围是________；若不等式在(1,3)上恒成立，则实数a的取值范围是________．(本题第一空2分，第二空3分) 答案(1，＋∞)[3，＋∞)解析(1)原不等式变为(x－1)(x－a)<0，当a＝1时，解集为∅，当a>1时，解集为(1，a)，当a<1时，解集为(a,1)，若不等式在(1,3)上有解，则a>1.(2)若不等式在(1,3)上恒成立，则由(1)可知(1,3)⊆(1，a)，所以a≥3.四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)求下列各式的值：(1)141681-⎛⎫ ⎪⎝⎭＋32＋2(3－2)2；(2)lg 45－2lg 6－3lg 12＋log 43·log 916.解 (1)原式＝14423-⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦＋()3122332⎡⎤⨯⎢⎥⎣⎦＋2|3－2| ＝⎝⎛⎭⎫23－1＋123×2＋4－2 3 ＝32＋23＋4－23＝112. (2)原式＝lg(5×32)－2lg(2×3)－3lg 2－1＋22423log 3log 2· ＝lg 5＋2lg 3－2lg 2－2lg 3＋3lg 2＋1 ＝lg 5＋lg 2＋1＝lg 10＋1＝2.18．(12分)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表如下：(1)请根据上表数据写出函数f (x )的解析式，并求出f (0)，f (π)；(2)若函数f (x )的值域为A ，集合C ＝{x |m －6≤x ≤m ＋3}且A ∪C ＝C ，求实数m 的取值范围． 解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝4，ω＝2，即f (x )＝4sin(2x ＋φ)， 又由当x ＝π3时，f ⎝⎛⎭⎫π3＝4sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝4， 解得φ＝－π6，函数表达式为f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 所以f (0)＝4sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－2，f (π)＝4sin ⎝⎛⎭⎫2π－π6＝4sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－2. (2)由(1)可得f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈[－4,4]，所以A ＝[－4,4]，又A ∪C ＝C ，所以A ⊆C ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －6≤－4，m ＋3≥4，解得1≤m ≤2.所以实数m 的取值范围是[1,2]．19．(12分)某厂每年生产某种产品x 万件，其成本包含固定成本和浮动成本两部分．已知每年固定成本为20万元，浮动成本k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋20x ，0<x ≤25，41x ＋1 600x －200，x >25，若每万件该产品销售价格为40万元，且每年该产品产销平衡．(1)设年利润为f (x )(万元)，试求f (x )与x 的关系式；(2)年产量x 为多少万件时，该厂所获利润f (x )最大？并求出最大利润． 解 (1)由题意f (x )＝40x －k (x )－20＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋20x －20，0<x ≤25，－x －1 600x ＋180，x >25， 即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋20x －20，0<x ≤25，－x －1 600x ＋180，x >25.(2)当0<x ≤25时，f (x )＝－x 2＋20x －20＝－(x －10)2＋80，x ＝10时，f (x )max ＝80， 当x >25时，f (x )＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1 600x ＋180在(25,40]上单调递增，在[40，＋∞)上单调递减， x ＝40时，f (x )max ＝100，综上，产量x ＝40(万件)时，该厂所获利润f (x )最大为100万元． 20．(12分)已知点(2，2)在幂函数y ＝f (x )的图象上． (1)求f (x )的表达式；(2)设g (x )＝f (x )－x －2，求函数y ＝g (x )的零点，推出函数y ＝g (x )的另外一个性质(只要求写出结果，不要求证明)，并画出函数y ＝g (x )的简图． 解 (1)因为f (x )为幂函数，所以设f (x )＝x a ， 又(2，2)在f (x )的图象上，所以(2)a ＝2⇒a ＝2， 所以f (x )＝x 2.(2)由(1)知f (x )＝x 2，故g (x )＝x 2－1x2，令g (x )＝0，解得x ＝1或x ＝－1， 故函数y ＝g (x )的零点为±1；g (x )＝x 2－1x 2，故其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R ，又g (－x )＝(－x )2－1(－x )2＝x2－1x 2＝g (x )， 故g (x )为偶函数，根据单调性的性质可知g (x )在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减； (以上性质任选其一即可)． 函数y ＝g (x )的图象如图：21．(12分)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值； (2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，求cos 2x 0的值． 解 (1)f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 所以T ＝π，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， 由函数图象知f (x )∈[－1,2]，即最大值为2，最小值为－1. (2)由题意sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝35， 而x 0∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，所以2x 0＋π6∈⎣⎡⎦⎤2π3，7π6， 所以cos ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝－45， 所以cos 2x 0＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6－π6＝－45×32＋35×12＝3－4310.22．(12分)定义在[－4,4]上的奇函数f (x )，已知当x ∈[－4,0]时，f (x )＝14x ＋a3x (a ∈R )．(1)求f (x )在[0,4]上的解析式；(2)当x ∈[－2，－1]时，不等式f (x )≤m 2x －13x －1恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)因为f (x )是定义在[－4,4]上的奇函数， x ∈[－4,0]时，f (x )＝14x ＋a3x ，所以f (0)＝140＋a30＝0，解得a ＝－1，所以x ∈[－4,0]时，f (x )＝14x －13x ，当x ∈[0,4]时，－x ∈[－4,0]， 所以f (－x )＝14－x －13－x ＝4x －3x ，又f (－x )＝－f (x )，所以－f (x )＝4x －3x ，f (x )＝3x －4x ， 即f (x )在[0,4]上的解析式为f (x )＝3x －4x . (2)由(1)知，x ∈[－2，－1]时，f (x )＝14x －13x ，所以f (x )≤m 2x －13x －1可化为14x －13x ≤m 2x －13x －1，整理得m ≥12x ＋2x ＋13x ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋2·⎝⎛⎭⎫23x ， 令g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x＋2·⎝⎛⎭⎫23x ，根据指数函数单调性可得，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝⎝⎛⎭⎫23x 都是减函数， 所以g (x )也是减函数，因为当x ∈[－2，－1]时，不等式f (x )≤m 2x －13x －1恒成立，等价于m ≥g (x )在x ∈[－2，－1]上恒成立， 所以，只需m ≥g (x )max ＝g (－2)＝4＋2×94＝172.即实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫172，＋∞.。