函数的定义域及常见求解方法

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求函数的定义域和值域的方法

即函数的值域是{ y| y 2}
③
∵ ∴
即函数的值域是{ y| yR且y1}（此法亦称分离常数法）
④当x>0，∴ = ，
当x<0时， =－
∴值域是 [2，+ ).（此法也称为配方法）
函数的图像为：
2．二次函数比区间上的值域(最值)：
例2求下列函数的最大值、最小值与值域：
① ；
② ；③ ；④ ；
解：∵ ，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.
解：如图，设AB=2x，则AD= =
∴y=2x + x2=— x2+Lx
由2x＞0
＞0 得0＜x＜
∴所求的函数为y=— x2+Lx（0＜x＜）
22X
A 2222222 B
2x 2X
D
2X
求函数值域的几种常见方法
1．直接法：利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R，值域为R；
（2）已知函数f（x）的定义域为〔1，4〕，求函数y=f（x+m）—f（x—m）（m＞0）的定义域。
解：（1）要使函数有意义，须满足：ax—3≥0
∴（ⅰ）当a＞0时原函数的定义域为｛x︱x≥ ｝
（ⅱ）当a＜0时原函数的定义域为｛x︱x≤ ｝
（ⅲ）当a=0时ax—3≥0的解集为空集，即原函数的定义域为空集
（2）是已知f〔g（x）〕的定义域，求f（x）的定义域。其解法是：已知f〔g（x）〕的定义域为〔a，b〕，求f（x）的定义域的方法为：由a≤x≤b，求g（x）的值域，即得f（x）的定义域。
（3）是（1）的求和问题，是将每个复合函数定义域求出后取其交集。
（4）与（2）相似。
解：（1）令-2≤X2—1≤2得-1≤X2≤3，即0≤X2≤3，从而- ≤x≤

求函数的定义域与值域的常用方法

求函数的定义域与值域的常用方法在数学中，函数的定义域和值域是非常重要的概念。

定义域是指函数可以接受的输入值的集合，而值域则是函数能够取得的输出值的集合。

正确确定函数的定义域和值域是解决函数相关问题的关键，下面我们将详细介绍求函数定义域和值域的常用方法。

一、函数的定义域的常用方法：1. 显式定义法：对于一些常见的函数，我们可以直接根据其表达式来确定其定义域。

例如，对于一元多项式函数f(x)=ax^n+bx^m+...+c，其定义域可以是实数集或者区间。

2.隐式定义法：对于一些函数可能没有明确的表达式，或者函数的定义域和表达式没有直接的关系，我们可以根据函数的特性和性质来确定其定义域。

例如，对于分式函数f(x)=1/(x-1)，我们可以得知分母不能为0，所以其定义域是实数集减去1的那部分实数。

3.已知条件法：有时候我们可以根据函数在一些点的取值情况来确定其定义域。

例如，对于一个连续函数f(x)，如果我们知道在一些区间上f(x)恒大于0，那么可以确定该区间为函数的定义域。

4.集合运算法：当函数的定义域可以表示为多个区间或集合的并、交、差等运算时，我们可以利用这些运算来求解函数的定义域。

例如，对于函数f(x)=√(x+1)-√(x-1)，我们可以先求出√(x+1)和√(x-1)的定义域，然后求出它们的交集。

二、函数的值域的常用方法：1.考察函数表达式法：对于一些常见的函数，我们可以观察其表达式，根据其中的字母、常数等特性来确定其值域的范围。

例如，对于平方函数f(x)=x^2，我们可以观察到平方函数的输出恒为非负数，所以其值域是[0,+∞)。

2.定义域与函数性质法：当我们已经确定了函数的定义域后，可以根据函数的性质来确定其值域。

例如，对于连续函数f(x)在一些区间上单调增加或者单调减少，我们可以确定函数在该区间上取值范围。

3.极限与极大极小值法：利用函数的极限性质、导数等衍生性质来确定函数的值域。

例如，对于函数f(x)=x^3-3x+2，我们可以求出其导数为f'(x)=3x^2-3，然后根据导数的符号确定函数的单调性和极值点，从而确定其值域。

求函数的定义域与值域的常用方法

求函数的定义域与值域的常用方法在数学中，函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。

函数的定义域是指所有输入值的集合，也就是函数可以接受的所有输入。

值域是函数所有可能的输出值的集合，也就是函数可以得到的所有输出。

在求函数的定义域和值域时，一般需要注意以下一些常用的方法和技巧：1.分析函数的显式定义式：如果函数的显式定义式直接给出了函数的定义域和值域，那么问题就迎刃而解了。

例如，定义域是实数集合，值域是区间(0,∞)的函数，可以通过观察定义式得出。

2.求解方程或不等式：通过求解方程或不等式，可以确定函数的定义域。

例如，对于函数f(x)=√(x-2)，需要解方程x-2≥0，得到x≥2，即定义域为[2,∞)。

对于函数g(x)=1/x，需要解方程x≠0，得到定义域为(-∞,0)∪(0,∞)。

对于值域，可以通过类似的方式求解不等式或方程得到。

3.观察函数的图像：通过观察函数的图像，可以大致判断函数的定义域和值域。

函数在图像上的取值范围和横坐标的取值范围可以提供一些线索。

例如，对于函数f(x)=x^2，通过观察图像可以看出它的定义域为实数集合，值域为[0,∞)。

4.分解复合函数：当函数是由两个或多个函数复合而成时，可以通过分解复合函数的方式求解定义域和值域。

例如，对于函数f(x)=√(3-x^2)，可以将其分解为两个函数f(x)=√(3-y)和g(y)=y^2，然后分别求解其定义域和值域。

5. 推导函数的性质和特点：有时候可以根据函数的性质和特点来推导其定义域和值域。

例如，对于比例函数 f(x) = kx，由于比例函数在定义域上的取值范围是全体实数，所以比例函数的值域也是全体实数。

需要注意的是，函数的定义域和值域是相互依存的。

函数的定义域决定了可以输入什么值，而函数的值域决定了可以输出什么值。

因此，在求解函数的定义域和值域时，需要综合考虑函数定义式、方程和不等式的求解、函数图像的观察、复合函数的分解以及函数的性质和特点等多个方面的信息。

常见函数解析式定义域值域的求法总结

常见函数解析式定义域值域的求法总结函数的定义域和值域是函数解析式中的两个重要概念。

定义域指的是函数的自变量可能取值的范围，值域则是函数的因变量可能取值的范围。

在解析式中，定义域和值域可以通过不同的方法进行求解。

下面是常见的函数解析式定义域和值域求解方法总结。

一、定义域的求法：1.开方函数的定义域：对于形如y = √(ax + b)的开方函数，考虑开方中的被除数，即ax + b的取值范围，对ax + b >= 0进行求解，得到定义域。

2.分式函数的定义域：对于形如y=f(x)/g(x)的分式函数，需要满足分母不等于0的条件，因此需要解g(x)≠0，将g(x)=0进行求解，得到定义域。

3.对数函数的定义域：对于形如y = logₐ(x)的对数函数，需要满足x > 0的条件，因此定义域为x > 0。

4.指数函数的定义域：对于形如y=aˣ的指数函数，没有特殊定义域的限制，因此定义域为全体实数。

5.三角函数的定义域：对于常见的正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数，它们的定义域为全体实数。

6.反三角函数的定义域：对于反正弦、反余弦、反正切等反三角函数，它们的定义域要满足对应的正弦、余弦、正切函数取值范围的要求。

7.复合函数的定义域：当函数为两个函数的复合函数时，需要满足两个函数的定义域的交集作为复合函数的定义域。

二、值域的求法：1.函数的图像法：通过绘制函数的图像，观察函数在定义域内的取值范围，得到值域的估计。

2.函数的导数法：对函数求导，并观察导数的符号及极限情况，来推断函数的值域。

例如，当导数恒大于0时，函数为增函数，值域为整个实数轴。

3.函数的区间法：对于已知闭区间上连续的函数，可以通过求出函数的最大值和最小值，及极限情况，来确定值域的范围。

4.反函数的值域：如果函数存在反函数，那么反函数的值域即为原函数的定义域。

5.一次函数的值域：对于一次函数y = kx + b，k为斜率，通过观察斜率的正负和直线与坐标轴的交点可以得到值域的范围。

函数的定义域和常见求解方法

函数的定义域和常见求解方法函数的定义域（domain）是指函数能够接受的实际输入值的集合。

换句话说，定义域是使函数有意义的所有可能的输入值的集合。

在数学中，函数一般表示为f(x)，其中x是函数的自变量，而f(x)则是自变量x所对应的函数值。

常见的函数定义域包括实数域（-∞,+∞），有理数集，整数集，自然数集，以及其他特定的定义域，如正数集，三角函数等。

在确定函数的定义域时，我们需要注意以下几点：1.分式函数的定义域：分式函数的定义域由分母不等于零的值所构成。

我们需要找出使分母不等于零的x的值，将这些值作为定义域的一部分。

2.平方根函数的定义域：平方根函数的定义域要求被开方数非负，即要求根号内的数大于等于零。

3.对数函数的定义域：对数函数的定义域要求底数大于零，并且对数函数的参数值必须大于零。

常见的函数求解方法包括图像法、方程法、函数变量代换法、函数性质法等。

1.图像法：图像法是通过绘制函数的图像来找出函数的解。

我们将函数的图像与坐标系结合起来，寻找函数与x轴的交点，即函数的解。

2.方程法：方程法是通过将函数等式转化为方程的形式，然后通过解方程来找出函数的解。

在方程法中，我们可以使用各种方法来解方程，如因式分解法、配方法、根号消去法等。

3.函数变量代换法：函数变量代换法是通过引入新的变量来转化函数，从而简化函数的形式。

通过选择适当的变量代换，我们可以将原函数转化为更简单的函数，进而求解出函数的解。

4.函数性质法：函数性质法是通过利用函数的性质来求解函数的解。

例如，通过函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等性质，我们可以得到函数的一些特殊解。

在实际问题中，常常需要综合运用以上多种方法来求解函数的解。

根据具体的函数形式和问题的要求，选择最合适的方法进行求解。

同时，在进行函数求解时，我们也需要注意函数定义域的范围，以保证求解出的函数解在定义域内有效。

函数定义域的几种求法

函数定义域的几种求法函数定义域指的是函数的自变量可能取的值的集合，也就是函数的有效输入值集合。

求函数定义域的几种方法有：1、根据函数的表达式或方程求解法这是最常见的求解函数定义域的方法，根据函数表达式或者是方程，计算有效解集，从而求出函数定义域。

例如：函数f(x) = x2 +1 = 0, 求它的定义域；由此等式我们可以得到 x2 = -1,则有x=$$\sqrt{-1}$$, 但是$$\sqrt{-1}$$不存在，从而该函数f(x)的定义域就是空集。

2、根据函数的几何图形特征求解法这是一种不常用的求解函数定义域的方法，简而言之就是通过分析函数的几何图形特征，来求出函数定义域。

例如：如果我们想求函数y= 1/x的定义域，则我们可以发现，当x的值小于0时，y的值会变成负数，而当x的值大于0时，y的值会变成正数；所以我们可以得出结论，这个函数的定义域为 x>0。

3、根据定义求解法例如：求函数g(x) = $$\sqrt{x}$$的定义域，由于x的开平方根√x必须大于等于0，所以该函数的定义域就是[0,+∞)。

4、根据解析学原理求解法对于一般函数，我们还可以运用解析学原理求解函数定义域，这个是一种较为复杂但可以非常准确的求解函数定义域的方法。

例如：求函数h(x) = |x| - 1的定义域；首先，我们使用变量y来表示y = |x| ，并且通过解析学原理可以得到y = x, x≥ 0 或者 y = -x, x < 0 。

根据等式 y - 1 =0 我们可以得到|x| - 1 = 0，即x=1或者x= -1。

所以该函数的定义域为( -∞， -1] U [1,∞)。

函数的定义域和常见求解方法

函数的定义域和常见求解方法一、函数的定义域在一般的函数定义中，常见的定义域包括实数、有理数和整数等。

例如，函数$f(x)=\sqrt{x}$的定义域为非负实数集合即$[0,+\infty)$，因为负数的平方根是没有意义的。

又如，函数$g(x)=\dfrac{1}{x}$的定义域为除0以外的所有实数，即$(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$，因为0不能作为除数。

当给定一个复合函数时，可以通过多个函数的定义域的交集得到整个函数的定义域。

例如，对于函数$h(x)=\sqrt{\log(x)}$，先看到内层函数$\log(x)$的定义域是正实数，而外层函数$\sqrt{x}$的定义域是非负实数。

所以整个函数$h(x)$的定义域即正实数集合$[0,+\infty)$。

二、常见的求解方法1.方程求解法方程求解法是指通过解方程的方式求解函数的取值范围。

常见的方程求解法包括代数法和计算法。

代数法是通过对方程进行变形或利用数学性质来求解，而计算法是通过运算符和数值的计算来求解。

举例来说，对于函数$f(x)=\dfrac{1}{(x-3)^2}$，要求函数的定义域，需要解方程$(x-3)^2\neq 0$。

通过解这个方程，可以得到$x \neq 3$，即函数的定义域为整个实数集合除去32.不等式求解法不等式求解法是通过对不等式进行变形或运算，得出函数的定义域。

常见的不等式求解法包括分段法和绝对值法。

对于分段函数，可以对每一段函数的定义域进行求解，然后将这些定义域的并集作为整个函数的定义域。

对于函数$f(x) = \sqrt{a-x}$，当$a>x$时，根式内部大于等于0，所以函数的定义域为$(-\infty, a]$。

3.图像法图像法是通过观察函数的图像来确定函数的定义域。

对于一元函数，可以通过绘制函数的图像来判断函数在何种区间内有定义。

例如，为了求解函数$f(x) = \sqrt{x^2-4}$的定义域，可以考虑到根式内部的取值不能小于0。

8种求定义域的方法

8种求定义域的方法定义域是指一个函数中所有可能输入的集合。

具体来说，定义域是指函数中的自变量可以取得的所有值。

在数学中，求定义域是解决一个函数的自变量的取值范围的问题。

下面是八种常见的方法来求定义域。

方法1：显式定义对于一些函数，定义域可以通过其显式定义来确定。

例如，对于函数f(x)=1/x，定义域可以通过注意到除数不能为零来确定，即x不能为0。

因此，定义域就是除去0之后的实数集合：R\{0}。

方法2：关系定义有些函数的定义域可以通过直接观察定义函数的关系来确定。

例如，对于函数f(x)=√(2x-1)，注意到根号内的表达式必须大于等于零，即2x-1≥0。

解这个不等式可以得到定义域为x≥1/2方法3：对数函数对于对数函数，定义域必须满足底数必须大于零且不等于1，并且实数必须大于零。

例如，对于函数f(x) = log₂(x + 3)，定义域为x + 3 > 0，即x > -3方法4：分式函数对于分式函数，定义域必须使分母不等于零。

例如，对于函数f(x)=1/(x-2)，定义域为x≠2方法5：根式函数对于根式函数，定义域必须使根号内的表达式大于等于零。

例如，对于函数f(x)=∛(x-4)，根号内的表达式必须大于等于零，即x-4≥0，解不等式可得x≥4、因此，定义域为x≥4方法6：三角函数对于三角函数，定义域是实数的所有值，因为三角函数在整个数轴上都有定义。

例如，对于函数f(x) = sin(x)，定义域为所有实数：(-∞, ∞)。

方法7：反三角函数对于反三角函数，定义域必须使其定义范围内的表达式满足相应的条件。

例如，对于函数f(x) = arcsin(x)，由于反正弦函数的定义域是[-1, 1]，因此定义域必须满足-1 ≤ x ≤ 1方法8：参数化定义对于一些函数，可以通过将函数参数化来求取定义域。

例如，对于函数f(x)=√(x²-1)，我们可以通过取x²-1≥0来求取定义域。

8种求定义域的方法

8种求定义域的方法在数学领域中，关于定义域的求解方法有许多种。

下面将介绍其中的八种方法。

方法一：根据函数公式求取定义域。

对于一些简单的函数，可以通过函数的公式直接求取定义域。

例如对于一个分式函数，如f(x)=1/(x-2)，由于分母不能为0，所以定义域为{x，x≠2}。

方法二：分析函数的基本性质。

有些函数拥有特定的性质，根据这些性质可以求得函数的定义域。

例如对于多项式函数，常数函数和指数函数，它们都定义在实数域上，因此定义域为实数集。

方法三：考虑函数中的根。

对于包含根的函数，定义域不能使这些根使得函数的值出现未定义的情况。

例如对于开方函数f(x)=√(x-3)，由于根号下的值不能为负，所以定义域为{x，x≥3}。

方法四：考虑函数的分段定义。

对于分段定义的函数，需要分别考虑每个分段的定义域。

例如对于函数f(x)=，x，分段定义为{x当x>=0时；-x当x<0时}，因此定义域为实数集。

方法五：考虑函数的限制条件。

有时函数在定义域上有一些限制条件。

例如对于对数函数f(x) =ln(x)，由于对数函数只对正数有定义，所以定义域为{x ， x > 0}。

方法六：考虑函数的参数限制。

对于含有参数的函数，需要考虑参数的限制条件。

例如对于双曲正弦函数f(x) = sinh(x)，由于双曲正弦函数对所有实数都有定义，所以定义域为实数集。

方法七：考虑函数的复合性质。

对于复合函数，需要分析组成函数的定义域。

例如对于函数f(g(x))，需要保证g(x)的定义域是f(x)的定义域。

例如对于函数f(g(x)) = 1/x，如果g(x) = sin(x) + 2，由于sin(x)的定义域为实数集，所以g(x)的定义域与f(x)的定义域保持一致。

方法八：考虑函数的图像。

对于一些函数，通过画出函数的图像可以直观地确定定义域。

例如对于一个二次函数f(x)=x^2+1，通过函数的图像我们可以看到函数的定义域为实数集。

函数定义域几种类型及其求法

函数定义域几种类型及其求法函数的定义域是指函数的自变量取值范围，也就是使函数有意义的输入值的集合。

在数学中，函数的定义域可以分为几种常见的类型，如下所述。

1.实数定义域（R）：函数的定义域是实数集合R。

这意味着函数可以接受任何实数作为输入。

例如，常见的函数如线性函数、多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等都具有实数定义域。

在这种情况下，不需要做额外的计算来确定函数的定义域，因为它已经明确了。

2.有理数定义域（Q）：函数的定义域是有理数集合Q。

有理数是可以表示为两个整数的比值的数。

例如，分式函数如有理函数、整式函数等可以具有有理数定义域。

在这种情况下，我们需要找到函数中的分母，并解方程找到满足分母不为零的有理数值。

3.整数定义域（Z）：函数的定义域是整数集合Z。

这意味着函数只能接受整数作为输入。

例如，阶跃函数、周期函数、模函数等可以具有整数定义域。

在这种情况下，函数的定义域可以通过阅读函数定义或观察函数图形来确定。

4.正数定义域（P）：函数的定义域是正数集合P。

这意味着函数只能接受正实数作为输入。

例如，根式函数如平方根、立方根等可以具有正数定义域。

在这种情况下，我们需要找到函数中的根号，并解方程找到满足根号内值大于等于零的正数值。

5.范围限定定义域：有时函数的定义域可能会根据问题的特定要求而受到限制。

例如，函数表示一个物理过程，其定义域可以是非负实数集合[0,∞)，因为负时间或未来时间不具有实际意义。

确定函数的定义域的方法可以通过以下几种方式：1.查看函数的公式或定义：有时，函数的定义域可以通过检查函数的公式或定义来确定。

例如，当函数是一个分式或根式函数时，分母、根号内值的限制可以帮助我们确定定义域。

2.解方程：对于一些函数，可以通过解方程来确定定义域。

例如，对于有理函数，需要找到使得分母不为零的解。

3.观察函数图形：有时，通过观察函数的图形可以直观地确定定义域。

例如，对于三角函数和周期函数，可以在图上观察到周期性。

高一数学求函数的定义域与值域的常用方法(含答案)

高一数学求函数的定义域与值域的常用方法一. 求函数的定义域与值域的常用方法求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值二. 求函数的解析式3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y 。

（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数f ［g （x ）］的表达式，求f （x ）的表达式时可以令t ＝g （x ），以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出f （x ）和f （－x ），或f （x ）和f （1/x ）的一个方程，则可以x 代换－x （或1/x ），构造出另一个方程，解此方程组，消去f （－x ）（或f （1/x ））即可求出f （x ）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y 的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。

（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y ＝f ［g （x ）］的定义域的求解，应先由y ＝f （u ）求出u 的范围，即g （x ）的范围，再从中解出x 的范围I 1；再由g （x ）求出y ＝g （x ）的定义域I 2，I 1和I 2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。

求函数的定义域与值域的常用方法

求函数的定义域与值域的常用方法函数的定义域和值域是数学中的重要概念，它们描述了函数的输入和输出的范围。

在不同的数学领域和实际应用中，求解函数的定义域和值域有不同的方法和技巧。

函数的定义域是指函数中自变量的取值范围。

换句话说，定义域是使函数有意义的输入值的集合。

下面介绍一些常用方法来求解函数的定义域：1.分式函数：分式函数的定义域通常要求分母不等于零，因此我们需要找到分母为零的点，并将其排除。

求解分母为零的方程，得到函数的定义域。

2.平方根函数：平方根函数的定义域要求根号内的值大于等于零。

因此，需要将根号内的表达式>=0，并求解方程，得到函数的定义域。

3.指数函数和对数函数：指数函数的定义域通常为全体实数，而对数函数的定义域要求基数和真数都大于零。

因此，对于指数函数，不存在特定的求解方法；而对于对数函数，需要使基数和真数大于零，并求解相应的方程。

4.复合函数：复合函数的定义域由内层函数和外层函数的定义域共同确定。

首先求解内层函数的定义域，将其结果作为外层函数的自变量的定义域。

注意需要将两个函数的定义域进行交集运算，得到复合函数的定义域。

5.根式函数：根式函数的定义域需要满足根号内的表达式大于等于零。

求解根号内的方程，得到函数的定义域。

函数的值域是函数在定义域内所有可能的输出值的集合。

下面介绍一些常用方法来求解函数的值域：1.分析法：通过分析函数的特点、性质和图像，推断出函数的值域。

例如，通过观察函数的单调性、奇偶性、对称性、极值等特点，可以确定函数的值域的范围。

2.等式法：通过解方程求函数的值域。

将函数的表达式等于一个未知数，解方程得到未知数的取值范围，即为函数的值域。

3.代数运算法：通过对函数进行代数运算，得到函数的值域。

例如，对于一次函数，通过对其进行线性变换和平移，可以推导出函数的值域的范围。

4.图像法：通过绘制函数的图像，观察函数的上下界，以及是否存在水平渐近线和垂直渐近线，可以推断出函数的值域。

函数的定义域常见求法

函数的定义域常见求法一、函数的定义域的定义函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围. 二、求函数的定义域的主要依据1、分式的分母不能为零.2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，(2,)n k k N *=∈其中中0,x ≥奇次方根(21,)n k k N *=+∈其中中，x R ∈.3、指数函数xy a =的底数a 必须满足01,a a x R >≠∈且.4、对数函数log a y x =的真数x 必须大于零，底数a 必须满足01a a >≠且.5、零次幂的底数不能为零，即0x 中0x ≠.6、正切函数tan y x =的定义域是{|,}2x x k k z ππ≠+∈.7、复合函数的定义域的求法（1）已知原函数()f x 的定义域为(,)a b ，求复合函数[()]f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数的定义域.（2）已知复合函数[()]f g x 的定义域为(,)a b ，求原函数()f x 的定义域：只需根据a x b <<求出函数()g x 的值域，即得原函数()f x 的定义域.8、求函数()()y f x g x =+的定义域一般先分别求函数()y f x =和函数()y g x =的定义域A 和B ，再求A B ，则A B 就是所求函数的定义域.9、求实际问题中函数的定义域不仅要考虑解析式有意义，还要保证满足实际意义. 三、函数的定义域的表示函数的定义域必须用集合表示，不能用不等式表示.函数的定义域也可以用区间表示，因为区间实际上是集合的一种特殊表示形式.四、求函数的定义域常用的方法有直接法、求交法、抽象复合法和实际法.五、函数的问题，必须遵循“定义域优先”的原则.研究函数的问题，不管是具体的函数，还是抽象的函数，不管是简单的函数，还是复杂的函数，必须优先考虑函数的定义域.之所以要做到这一点，不仅是为了防止出现错误，有时还会为解题带来方便. 【方法讲评】方法一直接法使用情景函数的结构比较简单.解题步骤直接列出不等式解答，不等式的解集就是函数的定义域.【例1】求函数2253y x x =+-的定义域.【点评】对于类似例题的结构单一的函数，可以直接列出不等式再解答即得到函数的定义域. 【反馈检测1】求函数21x y x +=+. 方法二求交法使用情景函数是由一些函数四则运算得到的，即函数的形式为()()()f x g x h x =+型.解题步骤一般先分别求函数()g x 和()h x 的定义域A 和B ,再求AB ,A B 就是函数()f x 的定义域.【例2】求函数225y x =-3log cos x 的定义域.【解析】由题得⎪⎩⎪⎨⎧∈+<<-≤≤-∴⎩⎨⎧>≥-zk k x k x x x 2222550cos 0252ππππ∴}52322235|{≤<<<--<≤-x x x x ππππ或或所以函数的定义域为}52322235|{≤<<<--<≤-x x x x ππππ或或【点评】（1）求函数()()y f x g x =+的定义域，一般先求()y f x =和函数()y g x =的定义域A 和B ，再求AB ，则A B 就是所求函数的定义域.（2）该题中要考虑偶次方根的被开方数是非负数，对数函数的真数大于零，列不等式求函数的定义域时，必须考虑全面，不能漏掉限制条件.（3）解不等式cos 0x >时，主要是利用余弦函数的图像解答.（4）求552222x k x k k zππππ-≤≤⎧⎪⎨-<<+∈⎪⎩的解集时，只需给参数k 赋几个整数值，再通过数轴求交集.（5）注意等号的问题，其中只要有一个错误，整个解集就是错误的，所以要仔细认真. 学科#网【例3】求函数 02)23(3|3|)lg(-+-+-=x x x x y 的定义域.【点评】（1）该题中要考虑真数大于零，分式的分母不能为零，零次幂的底数不能为零，考虑要全面，不要遗漏.（2）求不等式的交集一般通过数轴完成.【例4】求函数log (1)(01)xa y a a a =->≠且的定义域.【解析】由题得 0101=xxa a a ->∴>1a >当时，x>0;当0<a<1时，x<0.1{a ∴>当时，函数的定义域为x|x>0}, 1{a <当0<时，函数的定义域为x|x<0}.【点评】（1）求含有参数的函数的定义域时，注意在适当的地方分类讨论.（2）对于指数函数和对数函数，如果已知条件中，没有给定底数a 的取值范围，一般要分类讨论.【反馈检测2】求函数2ln1)23xy a x x =---+（的定义域.方法三抽象复合法使用情景涉及到抽象复合函数.解题步骤利用抽象复合函数的性质解答：（1）已知原函数()f x 的定义域为(,)a b ，求复合函数[()]f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数的定义域.（2）已知复合函数[()]f g x 的定义域为(,)a b ，求原函数()f x 的定义域：只需根据a x b <<求出函数()g x 的值域，即得原函数()f x 的定义域.【例5】求下列函数的定义域：（1）已知函数f （x)的定义域为[2,2]-，求函数2(1)y f x =-的定义域；（2）已知函数(24)y f x =+的定义域为[0,1]，求函数f （x)的定义域；（3）已知函数f （x)的定义域为[1,2]-，求函数2(1)(1)y f x f x =+--的定义域.【点评】（1）已知原函数()f x 的定义域为(,)a b ，求复合函数[()]f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数的定义域.第1小题就是典型的例子.（2）已知复合函数[()]f g x 的定义域为(,)a b ，求原函数()f x 的定义域：只需根据a x b <<求出函数()g x 的值域，即得原函数()f x 的定义域.第2小题就是典型的例子.（3）求函数()()y f x g x =+的定义域，一般先分别求函数()y f x =和函数()y g x =的定义域A 和B ，再求AB ，则A B 就是所求函数的定义域.【反馈检测3】已知函数(tan 2)y f x =的定义域为[0,]8π，求函数()f x 的定义域.【反馈检测4】若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，求函数)(log 2x f 的定义域.方法四实际法使用情景数学问题是实际问题.解题步骤先求函数的自变量的取值范围，再考虑自变量的实际限制条件，最后把前面两者的范围求交集，即得函数的定义域.【例6】用长为L 的铁丝编成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图所示）.若矩形底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与关于x 的函数解析式，并求出它的定义域. 【解析】如图，【点评】（1）求实际问题中函数的定义域，不仅要考虑解析式本身有意义，还要保证满足实际意义.（2）该题中在考虑实际意义时，必须保证解答过程中的每一个变量都有意义，即2x 02x 02x π⎧⎪⎨⎪⎩＞L －－＞，不能遗漏.【反馈检测5】一个圆柱形容器的底部直径是dcm ,高是hcm .现在以3/vcm s 的速度向容器内注入某种溶液.求容器内溶液的高度xcm 关于注入溶液的时间ts 的函数解析式，并写出函数的定义域和值域.参考答案【反馈检测1答案】{|12}x x x >-≤-或【反馈检测1详细解析】由题得(2)(1)012201011x x x x x x x x ++≥≥-≤-⎧⎧+≥∴∴⎨⎨+≠+≠-⎩⎩或所以12{|12}x x x x x >-≤-∴>-≤-或函数的定义域为或.【反馈检测2答案】当1a >时，函数的定义域为{|01}x x <<；当01a <<时，函数的定义域为{|30}x x -<<.【反馈检测3答案】[0,1]【反馈检测3详细解析】由题得0020tan 2184x x x ππ≤≤∴≤≤∴≤≤，所以函数的定义域为[0,1].【反馈检测4答案】{}42|≤≤x x【反馈检测4详细解析】依题意知：2log 212≤≤x 解之得 42≤≤x ∴ )(log 2x f 的定义域为{}42|≤≤x x【反馈检测5答案】函数解析式为24vtx dπ=,函数的定义域为{t |0≤t ≤2hd 4v π}，值域为{x |0≤x ≤h }. 【反馈检测5详细解析】向容器内注入溶液经历时间为t 秒后,容器中溶液的高度为xcm .故t 秒后溶液的体积为＝底面积×高＝π⎪⎭⎫⎝⎛2d 2x ＝vt 解之得：x ＝24vt d π又因为0≤x ≤h 即0≤24vt d π≤h ⇒ 0≤t ≤2hd 4v π，故函数的定义域为{t |0≤t ≤2hd 4vπ}，值域为{x |0≤x ≤h }.。

高中函数定义域题型及解题方法

高中函数定义域题型及解题方法高中数学中，函数是一个重要的概念，而定义域则是函数的重要属性之一。

在高考数学中，定义域的求解也是一个重要的题型。

本文将介绍高中函数定义域的题型及解题方法。

一、定义域的概念定义域是指函数的取值范围，即函数的自变量可能取值的集合。

例如，函数 f(x) = x^2 + 1 的定义域是 R，因为 x 的取值可以任意取实数，且 x 的取值不影响函数的值。

二、常见定义域的题型1. 直接求解定义域有些函数的定义域是可以直接求解的，例如函数 f(x) = x^2 + 1 的定义域是 R，因为 x 的取值可以任意取实数，且 x 的取值不影响函数的值。

2. 求解函数的定义域在求解函数的定义域时，我们需要根据函数的符号和函数的表达式来确定自变量的取值范围。

例如，函数 g(x) = x^2 - 2x + 1 的定义域是 x 不等于 1。

3. 求解函数的值域有些函数的定义域和值域是一致的，例如函数 f(x) = x^2 + 1 的值域是 R。

而有些函数的定义域和值域是不同的，例如函数 g(x) = x^2 - 2x + 1 的定义域是 x 不等于 1，但函数的值域是 [-1,1]。

4. 求函数的定义域或值域在求解函数的定义域或值域时，我们需要根据函数的符号、表达式和定义域来确定自变量的取值范围。

例如，函数 h(x) = x^2 + 1 的定义域是 x 不等于 0，但函数的值域是 [1,+∞),因为 x 的取值可以任意增大。

三、解题方法1. 观察函数的符号和表达式，确定自变量的取值范围。

2. 根据函数的定义域和值域，结合函数的符号和表达式，求解定义域或值域。

3. 熟练掌握常见的函数定义域的求解方法，例如求解函数的定义域需要根据函数的符号和表达式来确定自变量的取值范围。

4. 学会分析函数的性质，例如奇偶性、单调性等，从而帮助求解定义域。

高中数学中，函数是一个重要的概念，而定义域则是函数的重要属性之一。

8种求定义域的方法

8种求定义域的方法定义域是数学中常用的一个概念，指函数能够接受的输入值的集合。

求函数的定义域，即要找出函数的全部合法输入。

以下是常见的求解函数定义域的8种方法：方法一：检查函数表达式中的分式，确定分母是否为零。

如果分母为零的取值在实数范围内，那么该取值不属于该函数的定义域。

例子1：对于函数f(x) = 1/(x-1)，x-1=0，得到x=1。

所以定义域是R- {1}。

方法二：检查函数表达式中的平方根、立方根等根式，确定根式内的值是否为负数。

如果根式内的值为负数，那么该取值不属于该函数的定义域。

例子2：对于函数g(x) = √(x+2)，根式内的x+2≥0，所以定义域是[-2，+∞)。

方法三：检查函数表达式中的对数。

对于以e为底的指数函数来说，取值只能是正数。

对于以其他底数a（a>0 且a≠1）的对数函数来说，取值只能是大于0且底数a不能等于1的数。

例子3：对于函数h(x) = log3(x)，x>0且x≠1。

所以定义域是(0, +∞)。

方法四：检查函数表达式中的三角函数。

注意到三角函数是周期性的，并且在某些点处不连续。

所以要考虑到函数在一个周期内的定义域，并将所有周期内的定义域取并集。

例子4：对于函数i(x) = sin(x)，它的定义域是R。

方法五：检查函数表达式中的指数。

有些指数函数定义在整个实数集合上，而有些定义域只在实数集合的部分区间上。

例子5：对于函数j(x) = e^x，定义域是R。

方法六：当函数表示为两个函数的复合时，可以分别求出两个函数的定义域，并找出它们的交集作为最后的定义域。

例子6：对于函数k(x) = arcsin(x^2)，x^2≤1，即-1≤x≤1。

所以定义域是[-1, 1]。

方法七：设函数为二次函数，可以通过求解一元二次不等式的解集来确定函数的定义域。

例子7：对于函数l(x) = 2x^2 + 3x - 1，由2x^2 + 3x - 1≥0得到x≥(-3+√17)/4 或x≤(-3-√17)/4。

8种求定义域的方法

8种求定义域的方法求解函数的定义域是数学中一个常见的问题，定义域是指函数在实数范围内的所有可能取值。

下面介绍八种常见的方法来求解函数的定义域。

1.显式定义法：通过查看函数的表达式来确定定义域。

例如，对于函数f(某)=√(某+3)，由于根号下面是正数，所以可以推断出定义域为某≥-3。

2.有理函数定义法：对于有理函数，定义域由其分母确定。

分母中不能包含使分母为零的值，因为这会导致函数的定义出现问题。

例如，对于函数f(某)=1/(某-2)，分母不能为零，所以定义域为某≠2。

3. 指数函数与对数函数定义法：对于指数函数 f(某) = a^某和对数函数 f(某) = log_a 某，定义域取决于底数 a 的取值。

指数函数中，基数 a 必须大于 0 且不等于 1，所以定义域为(0, +∞)。

对数函数中，底数 a 必须大于 0 且不等于 1，所以定义域为(0, +∞)。

4. 三角函数定义法：对于三角函数 f(某) = sin(某), f(某) =cos(某), f(某) = tan(某)，定义域是所有实数。

5.意义域法：对于函数f(某)，通过确定其意义域和反向推导出定义域。

例如，若f(某)=√(1-某)，意义域为[0,+∞)，则可以推断出定义域为某≤1。

6.集合法：可以通过绘制函数对应的图像来确定定义域。

对于连续函数，定义域是所有图像上的点的集合。

对于离散函数，定义域是所有函数被定义的点的集合。

7.奇偶性法：对于偶函数f(某)=f(-某)，定义域可以取所有实数。

对于奇函数f(某)=-f(-某)，定义域可以取所有实数。

8.综合法：可以通过综合运用以上方法来求解复杂函数的定义域。

例如，对于函数f(某)=√(1/(某-1))，首先排除某=1的因数，然后通过意义域法可以确定某>1，综合得出定义域为某>1。

通过以上八种方法，可以求解函数的定义域。

根据函数的表达式、分母、底数、意义域、图像、奇偶性和综合分析等不同特点，选择合适的方法来确定函数的定义域。

(完整版)求函数定义域及值域方法及典型题归纳

<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳一、基础知识整合1.函数的定义：设集合A 和B 是非空数集，按照某一确定的对应关系f ，使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。

则称f:为A 到B 的一个函数。

2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f ）,②集合A 的取值范围。

由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。

3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是：（1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。

（2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。

4.值域：是由定义域和对应关系（f ）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。

（1）明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x ∈A}。

（2）明白定义中集合B 是包括值域，但是值域不一定为集合B 。

二、求函数定义域（一）求函数定义域的情形和方法总结1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。

（1）常见要是满足有意义的情况简总：①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0；②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。

③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0.④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0.⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1）⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于 1.（2()log (1)x f x x =-）注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。

函数定义域的求法

函数定义域的求法函数定义域是指函数能够接受哪些特定的输入值。

确定函数定义域的主要目的是确保函数在被定义的集合上有良好的意义。

对于某些函数，定义域可能是实数集、整数集或其他特定集合。

在本文中，我们将介绍不同类型函数定义域的求法。

一元函数的定义域求法：对于一元函数，即只有一个自变量x的函数，通常有几种常见的定义域求法方法。

下面将详细介绍其中的几种方法。

1. 显式定义域：某些函数可以通过直接观察其定义式来确定其定义域。

例如，对于函数f(x) = √x，由于不能计算负数的平方根，因此定义域需要满足x ≥ 0。

因此，该函数的定义域为非负实数集合{ x | x ≥0 }。

2. 对数函数的定义域求法：对于对数函数，由于对数函数的自变量必须是正实数才有定义，因此对数函数的定义域必然是自变量大于0的实数集。

例如，对数函数f(x) = log(x)，定义域为x > 0。

3. 分式函数的定义域求法：对于分式函数，要注意分母不可以为0，因此我们需要找出分母为0的条件，以确定定义域。

例如，考虑函数f(x) = 1 / (x - 2)，由于分母不能为0，因此需要求解方程x - 2 = 0，解得x = 2。

所以，该函数的定义域为{x | x ≠ 2}。

两个自变量的函数的定义域求法：对于具有两个自变量的函数，我们需要同时考虑两个自变量的定义域条件。

下面将介绍两种常见的两个自变量函数的定义域求法方法。

1. 二元函数的显式定义域求法：对于某些二元函数，可以通过观察定义式来确定其定义域。

例如，考虑函数f(x, y) = √(x^2 - y)，由于不能计算负数的平方根，因此要求x^2 - y ≥ 0。

因此，该函数的定义域为{(x, y) | x^2 ≥ y }。

2. 二元函数的隐式定义域求法：有些二元函数的定义域比较复杂，无法通过观察得到。

对于这种情况，可以利用方程求解的方法来求解定义域。

例如，考虑函数f(x, y) = 1 / (x - y)，分母不可以为0，所以需要求解方程x - y = 0。

函数定义域、值域常用求法

函数定义域、值域常用求法在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。

研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。

注意：函数问题一定先求定义域，可避免出错。

一、定义域问题-整体代换思想例1. 已知函数的定义域是［1，2］，求f(x)的定义域。

解：的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足从而函数f(x)的定义域是［1，4］评析：一般地，已知函数的定义域是A ，求f(x)的定义域问题，相当于已知中x 的取值范围为A ，据此求的值域问题。

例2. 已知函数的定义域是，求函数的定义域。

解：的定义域是，意思是凡被f 作用的对象都在中，由此可得所以函数的定义域是二．值域的常见求法1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例. 求函数x 3y -=的值域。

解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。

解：将函数配方得：4)1x (y 2+-=∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max =故函数的值域是：[4，8]3. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

例. 求函数1x x y -+=的值域。

解：令t 1x =-，)0t (≥则1t x 2+= ∵43)21t (1t t y 22++=++= 又0t ≥，由二次函数的性质可知当0t =时，1y min =当0t →时，+∞→y故函数的值域为),1[+∞4. 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。