2018高中数学选修4-4课件：第二讲一第2课时圆的参数方程 精品

审题指导：(1)先将圆的参数方程化为普通方程，然 后和直线方程联立方程组，解得交点的直角坐标，再化为 直角坐标．
(2)利用点到直线的距离公式求出距离，然后利用三 角函数知识求最值或结合圆的性质求最值．
[规范解答] (1)直线 l：y＝x＋4，圆 C：x2＋(y－2)2
＝4，(1 分)
y＝x＋4，
形；
(2)已知圆的普通方程为 x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，将它
化为参数方程．
x＝1＋2cos t， 解：(1)由曲线的参数方程
y＝－2＋2sin t， x－1＝2cos t， 得 y＋2＝2sin t. 因为 cos2t＋sin2t＝1， 所以(x－1)2＋(y＋2)2＝4. 由于 0≤t≤π，
y＝5sin θ
确的．
(2)由圆方程知圆心为(－6，0)，半径为 2，故参数方
x＝－6＋2cos θ，
程为
故不正确．
y＝2sin θ，
x＝4cos θ，
(3)
θ∈[0，2π)表示以原点为圆心，半径为
y＝4sin θ
4
x＝4cos 的圆，而
y＝4sin
θθ，θ∈0，π2表示以原点为圆心，半径
为 4 的圆的一部分，故不正确．
[变式训练] (2015·福建卷)在平面直角坐标系 xOy
中，圆 C 的参数方程为xy＝＝－1＋2＋3co3ssitn，t (t 为参数)．在极 坐标系(与平面直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以 原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴)中，直线 l 的方 程为 2ρsin(θ－π4)＝m(m∈R)．
则 3－a＝0，所以 a＝3.
类型 3 利用圆的参数方程求最值(规范解答)
[典例 3] (本小题满分 10 分)已知直线 l 的方程为 y ＝x＋4，圆 C 的参数方程为xy＝＝22＋cossiθn，θ (θ 为参数)，以 原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
(1)求直线 l 与圆 C 的交点的极坐标； (2)若 P 为圆 C 上的动点，求 P 到直线 l 的距离 d 的 最大值．
所以 0≤sin t≤1，从而 0≤y＋2≤2，即－2≤y≤0. 所以所求的曲线的参数方程为 (x－1)2＋(y＋2)2＝4(－2≤y≤0)． 这是一个半圆，其圆心为(1，－2)，半径为 2. (2)由 x2＋y2＋2x－6y＋9＝0 得 (x＋1)2＋(y－3)2＝1， 令 x＋1＝cos θ，y－3＝sin θ，
数，
则点 P 的坐标为(2cos θ，2sin θ)．
由中点坐标公式可得
2cos θ＋6
2sin θ＋0
x＝ 2 ＝cos θ＋3，y＝ 2 ＝sin θ.
x＝cos θ＋3，
因此点 M 的轨迹的参数方程为
(θ 为
y＝sin θ
参数)．
归纳升华 当点 P 在圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2 上时，可设其坐标 为(x0＋rcos θ，y0＋ysin θ)然后找所求动点与点 P 的关系， 从而求得其参数方程．
x＝－1＋cos θ，
所以参数方程为
(θ 为参数)．
y＝3＋sin θ
x＝－1＋cos 答案：y＝3＋sin θ
θ， (θ
为参数)(答案不唯一)
5．已知点
P12，
23，Q
是圆xy＝＝scions
θ， θ (θ
为参数)
上的动点，则|PQ|的最大值是________．
解析：由题意，设点 Q(cos θ，sin θ)，
)
(4)圆的参数方程为xy＝＝2－si2n＋θ2cos
θ， (θ
为参数)，则
圆心坐标为(－2，0)．( )
x＝5sin 解析：(1)参数方程
θ， 消参后得到
x2＋y2＝
y＝5cos θ
25 ， 可 以 表 示 圆 ， 不 过 此 时 参 数 θ 的 几 何 意 义 与
x＝5cos θ，
中 θ 的几何意义是不同的，但参数方程是正
(1)圆
x2＋y2＝25
的参数方程是xy＝＝55csions
θ， θ (θ
为参
数)．( )
(2)圆(x＋6)2＋y2＝4
的参数方程是xy＝＝26s＋in2θcos
θ， (θ为参数)．(源自)(3)参数方程xy＝＝44scions
θθ，(θ∈[0，2π)与xy＝＝44scions
θ， θ
θ∈0，π2都表示同一圆．(
联立方程组
(2 分)
x2＋（y－2）2＝4，
x＝－2， x＝0，
解得
或 (3 分)
y＝2
y＝4，
对应的极坐标分别为2
2，34π，4，π2.(5 分)
(2)设 P(2cos θ，2＋2sin θ)，(6 分)
|2cos θ－2sin θ＋2|
则 d＝
2
＝(7 分)
2
2cosθ＋π4＋1.(8 分)
当 cosθ＋π4＝1 时，
失分警示：若没有此说明，则扣 1 分． d 取得最大值 2＋ 2.(10 分)
归纳升华 1．根据圆的参数方程可知圆 x2＋y2＝r2 上动点 M(x， y)可直接写成 M(rcos θ，rsin θ)，圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 上动点 M(x，y)可直接写成 M(a＋rcos θ，b＋rsin θ)，这 样就把与圆有关的解析几何问题转化为三角函数问题．
(4)由圆的参数方程知圆心为(－2，0)，故正确． 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．圆(x－1)2＋y2＝4 上的点可以表示为( ) A．(－1＋cos θ，sin θ) B．(1＋sin θ，cos θ) C．(－1＋2cos θ，2sin θ) D．(1＋2cos θ，2sin θ) 解析：由圆的方程知圆心为(1，0)，半径为 2，故由
2．利用圆的参数方程容易解决一些与圆有关的最值 和取值范围问题．
求最值问题时，利用圆的参数方程来将问题合理地转 化，常用的方法是建立代数与三角函数的联系，利用三角 函数的值域求解，解决此类问题还要注意数形结合思想的 应用．
[变式训练] 已知某圆的极坐标方程为 ρ2－4 2
ρcosθ－π4＋6＝0. (1)将极坐标方程化为直角坐标方程，并选择恰当的
参数写出它的参数方程； (2)若点 P(x，y)在该圆上，求 x＋y 的最大值和最小
值．
解：(1)直角坐标方程为 x2＋y2－4x－4y＋6＝0，
将方程配方为(x－2)2＋(y－2)2＝2，
所以圆心为(2，2)，半径 r＝ 2，
x＝2＋ 2cos α，
故圆的参数方程为
(α 为参数)．
y＝2＋ 2sin α
则|PQ|＝
cos
θ－122＋sin
θ－
232＝
2－ 3sin θ－cos θ＝ 2－2sinθ＋π6
故|PQ|max＝ 2＋2＝2. 答案：2
类型 1 圆的参数方程与普通方程互化(自主研析)
[典例 1]
(1)
已
知曲线
的参数
方
程
x＝1＋2cos t， y＝－2＋2sin t
(0≤t≤π)，把它化为普通方程，并判断该曲线表示什么图
x＝－1＋cos θ，
所以参数方程为
(θ 为参数)．
y＝3＋sin θ
归纳升华 1．把圆的参数方程化为普通方程，就是将参数方程 中的参变量消去，常利用 sin2θ＋cos2θ＝1 进行消参，但 要注意消去参数时变量范围的一致性．
2．将一般方程标准化，引入参数，化为参数方程．将 参数方程化为普通方程时，要注意防止变量 x 和 y 取值范 围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围确定参数 f(t) 和 g(t)的值域，即 x 和 y 的取值范围．
|1－（－2）＋m|
则
2
＝2，解得 m＝－3±2 2.
类型 2 利用圆的参数方程求轨迹
[典例 2] 如图，圆 O 的半径为 2，P 是圆上的动点， Q(6，0)是 x 轴上的定点，M 是 PQ 的中点．当点 P 绕点 O 作匀速圆周运动时，求点 M 的轨迹的参数方程．
解：设点 M 的坐标为(x，y)，∠POQ＝θ，取 θ 为参
第二讲 参数方程
一、曲线的参数方程 第 2 课时 圆的参数方程
[学习目标] 1.掌握圆的参数方程，明确圆参数方程 中参数的几何意义(重点)． 2.会用圆的参数方程解一些 数学问题(难点、重点)．
[知识提炼·梳理] x＝rcos θ， (1)如图所示，圆 O 的参数方程为_y_＝__r_s_in__θ_，___， 其中 θ 为参数．θ 的几何意义是 OM0 绕点 O 逆时针旋转 到 OM 的位置时，OM0 转过的角度．
1 所以 y＝(1－x2)2，y2＝1－x2，
所以 x2＋y2＝1.
答案：D
4．已知圆的普通方程 x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，则它 的参数方程为__________________．
解析：由 x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，
得(x＋1)2＋(y－3)2＝1.
令 x＋1＝cos θ，y－3＝sin θ，
(2)x＋y＝2＋ 2cos α＋2＋ 2sin α＝4＋2sinα＋π4， 故 x＋y 的最大值是 6，最小值是 2.
1．圆的参数方程主要用于解决与圆有关的轨迹问题 与最值问题．
2．利用圆的参数方程求 x，y 代数式的取值范围问题， 常把普通方程化为参数方程，利用三角函数的值域来求 解.
(1)求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程； (2)设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2，求 m 的值．
解：(1)消去参数 t，得到圆的标准方程为(x－1)2＋(y
＋2)2＝9. 由 2ρsin(θ－π4)＝m，得 ρsin θ－ρcos θ－m＝0. 所以直线 l 的直角坐标方程为 x－y＋m＝0. (2)依题意，圆心 C 到直线 l 的距离等于 2，