初中数学05-邻补角、对顶角及垂直-教师版

数学寒假班（教师版）

邻补角、对顶角及垂线知识结构

模块一：邻补角的意义和性质

知识精讲

1、平面上两条不重合直线的位置关系

相交：两条直线有一个交点；

平行：两条直线没有交点．

2、邻补角的意义

两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．

3、邻补角的性质

互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．

【例1】 如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于一点O ，问一共可以构成多少对邻补角，并

把他们写出来．

【难度】★【答案】12对

【解析】12对，AOE ∠和EOB ∠，AOE ∠和AOF ∠， AOC ∠和AOD ∠，AOC ∠和COB ∠，FOC ∠和FOD ∠，

FOC ∠和EOC ∠，FOB ∠和AOF ∠，FOB ∠和EOB ∠，

DOB ∠和DOA ∠，DOB ∠和COB ∠，EOD ∠和EOC ∠，EOD ∠和DOF ∠. 【总结】考察邻补角的定义．

【例2】 判断：

（1）平面内两条直线的位置关系，不是相交就是平行； （ ） （2）平面内两条直线有交点，则这两条直线相交； （ ） （3）有一条边是公共边的两个角互为邻补角．

（

） （4）有两个角互为补角，并且有一条公共边，那么他们互为邻补角．（ ）

【难度】★【答案】（1）（2）（3）（4）都是错误的． 【解析】（1）错误．还有重合．

（2）错误．有一个交点，则两直线相交；有无数个交点，则两直线重合．

（3）错．两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，这种关系的两个角叫

做互为邻补角．

（4）错误．另一边不一定是互为反向延长线． 【总结】考察直线与直线的位置关系和邻补角的定义．

【例3】 如图，∠AOD 的邻补角是__________． 【难度】★

【答案】AOC ∠，DOB ∠． 【解析】考察邻补角的定义．

【例4】 如图，OC 平分∠AOB ，∠AOD =2∠BOD ，∠COD =28°，求∠AOC 的大小． 【难度】★★

【答案】︒=∠84AOC ．

【解析】设x AOC =∠，则︒+=∠28x AOD ，x AOB 2=∠

例题解析

A

B

C

D

E

F

O

A

B

C

D

E F

O

A

B

C D O

O

E D C

B

A

∴()︒-=︒+-=∠-∠=∠28282x x x AOD AOB BOD ∵∠AOD =2∠BOD ，∴()︒-=︒+28228x x ，︒=84x 即︒=∠84AOC

【总结】考察角度之间的关系计算．可以用方程思想来解决这一类问题．

【例5】 如图，直线a 、b 相交，∠1=40°，求∠2，∠3，∠4的度数． 【难度】★★

【答案】︒=∠=∠14042，︒=∠403．

【解析】∵1∠与2∠为邻补角，1∠与3∠为对顶角，1∠与4∠为邻补角， ∴︒=∠=∠14042，︒=∠403．

【总结】考察邻补角、对顶角的定义及简单的计算．

【例6】 如图所示，AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠AOD ，∠AOC=120°，求∠BOD ，

∠AOE 的度数．

【难度】★★【答案】∠BOD=120°，∠AOE=30°． 【解析】∵AOC ∠和BOD ∠为对顶角，

AOC ∠和AOD ∠为邻补角，∴︒=∠120BOD ，︒=∠60AOD ，

∵OE 平分∠AOD ，∴︒=∠=∠302

1AOD AOE ． 【总结】考察邻补角、对顶角、角平分线的定义及在角度计算中的运用．

【例7】 同一平面上的任意三条直线，可以有__________个交点． 【难度】★★★【答案】0或1或2或3 【解析】见下图

【总结】考察图形的画法，注意不同情况的分类讨论．

0个1个2个3个

a b

1

2 3

4

1、对顶角的意义

两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关 系的两个角叫做互为对顶角． 2、对顶角的性质 对顶角相等．

【例8】 下列说法中，正确的是(

)

A ． 有公共的顶点，且方向相反的两个角是对顶角

B ． 有公共顶点，且又相等的两个角是对顶角

C ． 由两条直线相交所成的角是对顶角

D ． 角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角 【难度】★【答案】D 【解析】考察对顶角的定义

【例9】 如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于一点O ，问一共可以构成多少对对顶角，并

把他们写出来．

【难度】★【答案】6对，见解析．

【解析】AOE ∠和BOF ∠，DOE ∠和COF ∠，

BOD ∠和AOC ∠，AOD ∠和BOC ∠， BOE ∠和AOF ∠，FOD ∠和EOC ∠．

【总结】考察对顶角的定义．

【例10】 判断：

（1）有公共顶点，且度数相等的两个角是对顶角．（ ） （2）相等的两个角是对顶角．

（

）

【难度】★【答案】（1）（2）都错误． 【解析】（1）错误，（2）错误．

例题解析

知识精讲

模块二：对顶角的意义和性质

A

B

C

D

E

F

O