初中数学05-邻补角、对顶角及垂直-教师版

数学寒假班（教师版）邻补角、对顶角及垂线知识结构模块一：邻补角的意义和性质知识精讲1、平面上两条不重合直线的位置关系相交：两条直线有一个交点；平行：两条直线没有交点．2、邻补角的意义两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．3、邻补角的性质互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．【例1】 如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于一点O ，问一共可以构成多少对邻补角，并把他们写出来．【难度】★【答案】12对【解析】12对，AOE ∠和EOB ∠，AOE ∠和AOF ∠， AOC ∠和AOD ∠，AOC ∠和COB ∠，FOC ∠和FOD ∠，FOC ∠和EOC ∠，FOB ∠和AOF ∠，FOB ∠和EOB ∠，DOB ∠和DOA ∠，DOB ∠和COB ∠，EOD ∠和EOC ∠，EOD ∠和DOF ∠. 【总结】考察邻补角的定义．【例2】 判断：（1）平面内两条直线的位置关系，不是相交就是平行； （ ） （2）平面内两条直线有交点，则这两条直线相交； （ ） （3）有一条边是公共边的两个角互为邻补角．（） （4）有两个角互为补角，并且有一条公共边，那么他们互为邻补角．（ ）【难度】★【答案】（1）（2）（3）（4）都是错误的． 【解析】（1）错误．还有重合．（2）错误．有一个交点，则两直线相交；有无数个交点，则两直线重合．（3）错．两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，这种关系的两个角叫做互为邻补角．（4）错误．另一边不一定是互为反向延长线． 【总结】考察直线与直线的位置关系和邻补角的定义．【例3】 如图，∠AOD 的邻补角是__________． 【难度】★【答案】AOC ∠，DOB ∠． 【解析】考察邻补角的定义．【例4】 如图，OC 平分∠AOB ，∠AOD =2∠BOD ，∠COD =28°，求∠AOC 的大小． 【难度】★★【答案】︒=∠84AOC ．【解析】设x AOC =∠，则︒+=∠28x AOD ，x AOB 2=∠例题解析ABCDEFOABCDE FOABC D OOE D CBA∴()︒-=︒+-=∠-∠=∠28282x x x AOD AOB BOD ∵∠AOD =2∠BOD ，∴()︒-=︒+28228x x ，︒=84x 即︒=∠84AOC【总结】考察角度之间的关系计算．可以用方程思想来解决这一类问题．【例5】 如图，直线a 、b 相交，∠1=40°，求∠2，∠3，∠4的度数． 【难度】★★【答案】︒=∠=∠14042，︒=∠403．【解析】∵1∠与2∠为邻补角，1∠与3∠为对顶角，1∠与4∠为邻补角， ∴︒=∠=∠14042，︒=∠403．【总结】考察邻补角、对顶角的定义及简单的计算．【例6】 如图所示，AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠AOD ，∠AOC=120°，求∠BOD ，∠AOE 的度数．【难度】★★【答案】∠BOD=120°，∠AOE=30°． 【解析】∵AOC ∠和BOD ∠为对顶角，AOC ∠和AOD ∠为邻补角，∴︒=∠120BOD ，︒=∠60AOD ，∵OE 平分∠AOD ，∴︒=∠=∠3021AOD AOE ． 【总结】考察邻补角、对顶角、角平分线的定义及在角度计算中的运用．【例7】 同一平面上的任意三条直线，可以有__________个交点． 【难度】★★★【答案】0或1或2或3 【解析】见下图【总结】考察图形的画法，注意不同情况的分类讨论．0个1个2个3个a b12 341、对顶角的意义两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关 系的两个角叫做互为对顶角． 2、对顶角的性质 对顶角相等．【例8】 下列说法中，正确的是()A ． 有公共的顶点，且方向相反的两个角是对顶角B ． 有公共顶点，且又相等的两个角是对顶角C ． 由两条直线相交所成的角是对顶角D ． 角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角 【难度】★【答案】D 【解析】考察对顶角的定义【例9】 如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于一点O ，问一共可以构成多少对对顶角，并把他们写出来．【难度】★【答案】6对，见解析．【解析】AOE ∠和BOF ∠，DOE ∠和COF ∠，BOD ∠和AOC ∠，AOD ∠和BOC ∠， BOE ∠和AOF ∠，FOD ∠和EOC ∠．【总结】考察对顶角的定义．【例10】 判断：（1）有公共顶点，且度数相等的两个角是对顶角．（ ） （2）相等的两个角是对顶角．（）【难度】★【答案】（1）（2）都错误． 【解析】（1）错误，（2）错误．例题解析知识精讲模块二：对顶角的意义和性质ABCDEFO两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关 系两个角叫做互为对顶角． 【总结】考察对顶角的定义．【例11】 若∠1与∠2是对顶角，∠3与∠2互余，且∠3=60°，那么∠1=__________．若∠1与∠2是对顶角，且∠1与∠2互余，则∠1=__________，∠2=__________． 【难度】★★【答案】（1）30°；（2）45°，45°．【解析】（1）∵21∠=∠，︒=∠+∠9023，∠3=60°，∴︒=∠301；（2）∵21∠=∠，︒=∠+∠9021，∴︒=∠=∠4521． 【总结】考察对顶角的定义和互余的意义．【例12】 如图，直线AB 、CD 交于点O ，则（1）若∠1+∠3=68度，则∠1=__________． （2）若∠2：∠3=4：1，则∠2=__________． （3）若∠2-∠1=100度，则∠3=__________．【难度】★★【答案】（1）34°；（2）144°；（3）40°． 【解析】（1）∵31∠=∠，∠1+∠3=68度，∴︒=∠341；（2）∵︒=∠+∠18032，∠2：∠3=4：1，∴︒=∠1442；（3）∵︒=∠+∠18012，∠2-∠1=100度，∴︒=∠401，∴︒=∠403． 【总结】考察邻补角、对顶角的性质及在角度计算中的运用．【例13】 如图（1）所示，两条直线AB 与CD 相交成几对对顶角？（2）如图（2）所示，三条直线AB 、CD 、EF 相交呢？ （3）试猜想n 条直线相交会成多少对对顶角？【难度】★★★【答案】见解析【解析】（1）两条直线AB 与CD 相交成2对对顶角；（2）三条直线AB 、CD 、EF 相交成6对对顶角；（3）因为3条不同直线相交所成的对顶角有3×2÷2×2=6对，4条不同直线相交所成 的对顶角有4×3÷2×2=12对，则可找出规律得：n 条直线相交会成()()1221-=⨯÷-n n n n 对对顶角．321ODBCA【总结】考察对顶角的定义及根据数据特征找出规律，综合性较强．1、垂线的意义如果两条直线的夹角为直角，那么就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 2、垂直的符号记作：“⊥”，读作：“垂直于”，如：CD AB ，读作“AB 垂直于CD ”．注：垂直是特殊的相交．3、垂直公理：在平面内，过直线上或直线外的一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只能作一条．简记为：过一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直 4、中垂线过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线．5、垂线段的性质联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．6、点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离．如果一个点在直线l 上，那么就说这个点到直线l 的距离为零．【例14】 判断：（1）经过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直．（ ） （2）两条直线的交点叫垂足． （ ） （3）线段和射线没有垂线．（） （4）两条直线不是平行就是互相垂直．（）（5）直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离．（）【难度】★【答案】（1）正确；（2）错误；（3）错误；（4）错误；（5）错误．【解析】（1）正确；（2）错误，两条直线垂直时，交点叫垂足；（3）错误，任何的射线、线段、直线都有垂线；（4）错误，还有相交（角度不为90°）；（5）错误，直线外一点到例题解析知识精讲模块三：垂线(段)的意义和性质这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离． 【总结】考察各种概念，注意仔细辨析．【例15】 如图，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，那么点B 到线段CD 的距离是线段__________的长度；线段CD 的长度是点C 到线段__________的距离；线段AC 是点___________到线段__________的距离． 【难度】★【答案】BD ；AB ；A ；CB ． 【解析】考察点到直线的距离的作法． 【总结】可以利用直尺来解决距离问题．【例16】 下列选项中，哪个是直线l 的垂线（ ）【难度】★【答案】C【解析】考察垂线的画法，注意垂线是一条直线．【例17】 如图，AC BC ⊥，垂足为C ，AC =4，BC =3，那么点A 与BC 的距离为______． 【难度】★【答案】4【解析】点A 与BC 的距离为AC 的长度． 【总结】考察点到直线的距离．【例18】 如图，直线AB ，CD 交于点O ，OE ⊥AB ，:1:2AOC COE ∠∠=，则COE ∠=_________．【难度】★★【答案】60°．【解析】∵OE ⊥AB ，∴︒=∠90AOE ，∴︒=∠+∠90COE AOC∵:1:2AOC COE ∠∠=，∴︒=∠60COE 【总结】考察垂直的定义和角度的计算．AB C DEOAB CDABCDllllCABCMN【例19】 作图题：1、已知直线AB 和点C ，过点C 做AB 的垂线；2、作线段MN 的中垂线．【难度】★★ 【答案】虚线为所求．【解析】考察垂线和中垂线的画法，注意垂线和中垂线都是直线．．【例20】 A 、B 两厂在公路同侧，拟在公路边建一货场C ，若由B 厂独家兴建，并考虑B 厂的利益，则要求货物离B 厂最近，请在图10中作出此时货场C 的位置，并说出这样做的道理． 【难度】★★【答案】过B 作公路的垂线，垂足为C ；理由是垂线段最短 【解析】考察垂线的画法． 【总结】注意总结距离最短的画法．【例21】 如图，已知OA ⊥OB ，OC ⊥OD ，BOC ∠比AOC ∠大20︒，则BOD ∠的度数为_______．【难度】★★ 【答案】35°．【解析】∵OA ⊥OB ，∴︒=∠90AOB ，即︒=∠+∠90BOC AOC∵︒=∠-∠20AOC BOC ，∴︒=∠55COB∵OC ⊥OD ，即︒=∠+∠90BOD COB ，∴︒=∠35BOD ． 【总结】考察垂直的定义和角度的计算．【例22】 如图，一棵小树生长时与地面成80°角，它的主根深入泥土，如果主根和小树在同一条直线上，那么∠2等于多少度? 【难度】★★【答案】10°．【解析】∵︒=︒+∠90801，21∠=∠，∴︒=∠102．NMCBAAB公路ABCDO【总结】考察垂直的定义和对顶角的性质．【例23】 如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥AB ，OB 平分∠DOF ，∠COF =47∠BOD ．求∠AOC 、∠EOD 、∠COE 的度数．【难度】★★【答案】70°，20°，160°．【解析】∵︒=∠180AOB ，DOB AOC ∠=∠，∠COF =47∠BOD ， ∴︒=∠=∠+∠+∠=∠180718DOB DOB COF AOC AOB ．∴︒=∠70DOB ∴︒=︒-︒=∠207090EOD ， ︒=∠=∠70DOB AOC ，︒=︒+︒=∠1607090COE ．【总结】考察角平分线的定义、角的计算、对顶角和邻补角的定义．【例24】 如图，AOC ∠与BOC ∠是邻补角，OD 、OE 分别是AOC ∠与BOC ∠的平分线，试判断OD 与OE 的位置关系，并说明理由． 【难度】★★★【答案】垂直，理由见解析． 【解析】∵AOC ∠与BOC ∠是邻补角，∴︒=∠+∠180COB AOC∵OD 、OE 分别是AOC ∠与BOC ∠的平分线， ∴DOC AOC ∠=∠2，EOC BOC ∠=∠2∴︒=∠+∠18022EOC DOC ∴︒=∠+∠90EOC DOC ，即OE OD ⊥．【总结】考察邻补角和角平分线的定义、角度的计算，本题可总结为邻补角的角平分线互相垂直．【例25】 下列结论不正确的是()A ．互为邻补角的两个角的平分线所成的角为90°B ．相等的两个角是对顶角C ．两直线相交，若有一个交角为90°，则这四个角中任取两个角都互为补角D ．同角的余角相等 【难度】★【答案】B【解析】相等的两个角不一定是对顶角．【总结】考察邻补角、对顶角的定义．例题解析模块四：综合运用ABCD E FOACD E【例26】 如图，AB 与CD 为直线，图中共有对顶角()．A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对【难度】★【答案】B【解析】AOC ∠和BOD ∠，BOC ∠和AOD ∠是对顶角． 【总结】考察对顶角的定义．【例27】 如图，运动会上，甲、乙两名同学测得小明的跳远成绩分别为DA =4.5米，DB =4.15米，则小明的跳远成绩应该为______米． 【难度】★★ 【答案】4.15米．【解析】跳远成绩应用算垂直距离，所以D 到AB 的距离为DB 的长度． 【总结】考察点到直线的距离在实际问题中的运用．【例28】 如图所示，已知AB 、CD 相交于O 点，OE ⊥AB ，∠EOC =28°，则∠AOD =_______． 【难度】★★【答案】62°． 【解析】∵OE ⊥AB ，∴︒=∠90EOB ，即︒=∠+∠90BOC EOC ∵∠EOC =28°，∴︒=∠62BOC ，∴︒=∠62AOD 【总结】考察垂直的定义、角度的计算．【例29】 如图，直线AD 和BE 相交于O 点，OC ⊥AD ，∠COE =70°，求∠AOB 的度数． 【难度】★★【答案】20°【解析】∵OC ⊥AD ，∴︒=∠90COD ，即︒=∠+∠90EOD COE ∵∠COE =70°，∴︒=∠20BOC ，∴︒=∠20AOB 【总结】考察垂直的定义、角度的计算．【例30】 如图，已知AB 、CD 、EF 相交于点O ，AB ⊥CD ，OG 平分∠AOE ，∠FOD ＝28°，求∠COE 、∠AOE 、∠AOG 的度数．【难度】★★【答案】28°，118°，59°． 【解析】∵∠FOD ＝28°，∴︒=∠=∠28FOD COE∵AB ⊥CD ，∴︒=∠90AOD ，即︒=∠+∠90DOF AOF ∴︒=∠62AOF∵︒=∠+∠180AOF AOE ，∴︒=∠118AOEA BCD EFABDABCD E O28 ABCDEFGOA BCDE O∵OG 平分∠AOE ，∴︒=︒⨯=∠=∠591182121AOE AOG ． 【总结】考察垂直和角平分线的定义、角度的计算，计算时注意角度之间的关系．【例31】 已知直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠1：∠3=3：1，∠2=20°，求∠DOE 的度数． 【难度】★★【答案】140°．【解析】∵︒=∠+∠+∠180321，∠1：∠3=3：1，∠2=20°，∴︒=∠︒=∠4031201，∴︒=∠+∠=∠=∠14021COF DOE【总结】考察邻补角、对顶角的定义和性质及在角度计算中的运用．【例32】 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，且∠AOC =∠AOD －80°，求∠AOE 的度数．【难度】★★★【答案】155°．【解析】∵∠AOC =∠AOD －80°，︒=∠+∠180AOD AOC∴︒=∠︒=∠50130AOC AOD ，∵︒=∠50AOC ，∴︒=∠50DOB∵OE 平分∠BOD ，∴︒=∠=∠2521DOB DOE ∴︒=︒+︒=∠+∠=∠15525130DOE AOD AOE【总结】考察角平分线、邻补角、对顶角的定义和角度的计算，本题综合性较强，计算时注意观察角度之间的关系．【习题1】 下列语句中正确的是（）A ．过直线AB 的中点且和AB 垂直的直线叫做中垂线 B ．过线段CD 的中点且和CD 垂直的直线叫做CD 的中垂线C ．和直线AB 相交且过A 点的直线是AB 的中垂线D ．和线段AB 相交且成90度的直线是AB 的中垂线 【难度】★【答案】B【解析】直线没有端点，更没有中点 【总结】考察中垂线的定义．【习题2】 下列图中，∠1与∠2是对顶角的是（）随堂检测A B CD E F12 O3ABC DE OF E ODCBAFEOD C B AABCD【难度】★【答案】B 【解析】考察对顶角的定义【习题3】 如图5，直线a ，b 相交，∠1=40°，则∠2=_______，∠3=_______，∠4=_______． 【难度】★【答案】140°；40°；140° 【解析】考察邻补角、对顶角的定义． 【总结】考察角度的计算．【习题4】 如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠BOE 的对顶角是______，∠COF 的邻补角是____，若∠AOE =30°，那么∠BOE =_______，∠BOF =_______ 【难度】★★【答案】AOF ∠，DOF ∠或COE ∠，150°，30°． 【解析】考察邻补角、对顶角的定义 【总结】考察角度的计算．【习题5】 如图7，直线AB 、CD 相交于点O ，∠COE =90°，∠AOC =30°，∠FOB =90°，则∠EOF =________． 【难度】★★ 【答案】150°．【解析】∵∠AOC =30°，∴︒=∠=∠30AOC BOD∵∠COE =90°，∴∠DOE =90°， ∴︒=∠-∠=∠60BOD DOE BOE∵∠FOB =90°，∴︒=∠+∠=∠150FOB EOB EOF 【总结】考察邻补角、对顶角的定义，考察角度的计算．【习题6】 如图所示，AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠AOD ，∠AOC =120°，12121212a b123 4OE DCBA 求∠BOD ，∠AOE 的度数． 【难度】★★ 【答案】120°，30°【解析】∵∠AOC =120°，︒=∠+∠180AOD AOC∴︒=∠60AOD ，∠BOD =∠AOC =120°，∵OE 平分∠AOD ，∴︒=∠=∠3021AOD AOE【总结】考察邻补角、对顶角、角平分线的定义，考察角度的计算．【习题7】 如图所示，直线a ，b ，c 两两相交，∠1=2∠3，∠2=65°，求∠4的度数． 【难度】★★ 【答案】32.5°．【解析】∵21∠=∠，∠2=65°，∴∠1=65°， ∵∠1=2∠3，∴∠3=32.5°，∴︒=∠=∠5.3234． 【总结】考察对顶角性质、角度计算．【习题8】 如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠AOE =40°，∠BOC =2∠AOC ，求∠DOF ． 【难度】★★ 【答案】20°．【解析】∵∠BOC =2∠AOC ，︒=∠+∠180AOC BOC∴︒=∠60AOC ∵∠AOE =40°，∴∠COE =20°， ∴︒=∠=∠20COE DOF【总结】考察对顶角性质、角度计算．【习题9】 如图，已知∠2与∠BOD 是邻补角，OE 平分∠BOD ，OF 平分∠COE ，∠2∶∠1=4∶1，求∠AOF 的度数． 【难度】★★★ 【答案】135°．【解析】设x =∠1，则x 42=∠∵OE 平分∠BOD ，∴x BOD 212=∠=∠∵︒=∠+∠1802BOD ，∴︒=+18024x x ，∴︒=30x ∵︒=∠+∠180COE DOE ，∴︒=∠150COE∵OF 平分∠COE ，∴︒=∠=∠7521COE COFABCDEF OABCDEF 21Ob ac 231 4∵︒=∠=∠60BOD AOC ，∴︒=︒+︒=∠+∠=∠1357560COF AOC AOF【总结】考察对顶角性质、角平分线定义、角度计算，本题综合性较强，可以利用方程的思想找到角度之间的等量关系．【习题10】 已知点O 是直线AB 上一点，OC ，OD 是两条射线，且∠AOC =∠BOD ，则∠AOC 与∠BOD 是对顶角吗?为什么? 【难度】★★★ 【答案】见解析 【解析】不一定．（1）如图1，当OC 、OD 在直线AB 的同侧时，∠AOC 与∠BOD 不是对顶角； （2）如图2，当OC 、OD 在直线AB 的两侧时，∠AOC 与∠BOD 是对顶角． 【总结】考察对顶角的性质、邻补角的定义，注意分类讨论．【作业1】 判断：（1）两个角开口相反且有公共点，则他们是对顶角（ ）（2）∠A 与∠B 互为邻补角，所以他们相等（）（3）∠1和∠2相等，并且他们有一条边在同一直线上，那么∠1=∠2=90°（ ）（4）同一平面内，两条不相交的直线，一定不会垂直（ ）（5）经过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直（）（6）同一平面内，点到直线的各条线段中，垂线段最短（ ） （7）邻补角一定是补角，补角不一定是邻补角（ ）【难度】★【答案】（1）错误；（2）错误；（3）错误；（4）正确；（5）正确；（6）正确；（7）正确． 【解析】要熟悉邻补角、对顶角、垂直等概念【总结】考察邻补角的定义，对顶角的性质、垂直的定义． 【作业2】 如图所示AB ，CD 相交于点O ，EO ⊥AB 于O ，FO ⊥CD课后作业于O，∠EOD与∠FOB的大小关系是（）A．∠EOD比∠FOB大B．∠EOD比∠FOB小C．∠EOD与∠FOB相等D．∠EOD与∠FOB大小关系不确定【难度】★【答案】C【解析】∵EO⊥AB于O，∴︒∠90BOD+EODEOB，即︒∠90==∠∵FO⊥CD于O，∴︒+∠90BOD∠FOB=∠90=DOF，即︒∴∠EOD=∠FOB【总结】考察垂直的定义和角度计算．【作业3】如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，C，D是分别位于公路AB 两侧的加油站．设汽车行驶到公路AB上点M的位置时，距离加油站C最近；行驶到点N的位置时，距离加油站D最近，请在图中的公路上分别画出点M，N的位置并说明理由．【难度】★★【答案】【解析】理由是垂线段最短【总结】考察垂线段的性质．【作业4】如图，AOB为直线，∠AOD：∠DOB=3：1，OD平分∠COB．（1）求∠AOC的度数；（2）判断AB与OC的位置关系．【难度】★★【答案】（1）90°；（2）垂直．【解析】∵∠AOD：∠DOB=3：1，︒DOB∠180AOD=∠+∴︒135DOB∠45AOD，∠=︒=∵OD 平分∠COB ，∴︒=∠=∠45DOB COD ∴︒=∠-∠=∠90COD AOD AOC ，即OC AB ⊥ 【总结】考察邻补角的定义、角度计算．【作业5】 若两个角互为邻补角，则它们的角平分线所夹的角为_________度． 【难度】★★【答案】90°【解析】如图，∵AOC ∠与BOC ∠是邻补角，∴︒=∠+∠180COB AOC∵OD 、OE 分别是AOC ∠与BOC ∠的平分线， ∴DOC AOC ∠=∠2，EOC BOC ∠=∠2 ∴︒=∠+∠18022EOC DOC∴︒=∠+∠90EOC DOC ，即OE OD ⊥．【总结】考察邻补角和角平分线的定义、角度的计算．【作业6】 作图：已知线段AB 及线段外一点P ．（1） 过点P 作线段AB 的垂线； （2） 画线段AB 的垂直平分线． 【难度】★★【答案】（1）直线CD 为所求；（2）直线EF 为所求． 【解析】考察垂线和中垂线的画法．【作业7】 如图所示，这是某位同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是多少?（比例尺为1:100） 【难度】★★ 【答案】4米【解析】测量得到脚印到起跑线之间的距离是4厘米， 则可知实际距离为400厘米=4米． 【总结】考察点到直线的距离和比例尺计算．【作业8】 如图所示，直线a 、b 、c 相交，∠1=60°，∠2=23∠4，求∠3、∠5的度数． 1 A BP起跳线AC D E【难度】★★【答案】︒=∠1203，︒=∠905．【解析】∵∠1=60°，∴︒=∠=∠6012∵∠2=23∠4，∴︒=∠904∵︒=∠+∠18054，∴︒=∠905 ∵︒=∠+∠18032，∴︒=∠1203【总结】考察对顶角、邻补角的定义，角度计算．【作业9】 如图，OD ⊥OC ，且2:13:2∠∠=，那么1∠=________，3∠=_______． 【难度】★★【答案】1∠=60°，3∠=30°． 【解析】∵OD ⊥OC ，∴︒=∠902∵2:13:2∠∠=，∴︒=∠601 ∵︒=∠+∠+∠180321，∴︒=∠303 【总结】考察垂直的定义、邻补角的定义．【作业10】 如图，直线AB 、CD 、EF 交于点O ，DOB ∠是它的余角的2倍，2AOE DOF ∠=∠，且有OG OA ⊥，求EOG ∠的度数． 【难度】★★★【答案】50°． 【解析】∵DOB ∠是它的余角的2倍，DOB ∠加上它的余角等于90°∴︒=∠60DOB∵2AOE DOF ∠=∠，AOE BOF ∠=∠ ∴︒=∠=∠603DOB DOF ∴︒=∠20DOF ，︒=∠40BOF ∵OG OA ⊥，∴︒=∠-︒=∠5090BOF EOG ．【总结】考察余角、垂直的定义和角度的计算，本题综合性较强，涉及到的角度比较多，计算时分析清楚有效条件．A B CDO1 23 ABCDE FO。