控制系统的数学建模
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自动控ห้องสมุดไป่ตู้原理 姚佩阳 清华大学出版社、北京大学出版社
3.1.1概述 控制系统数学模型是描述系统内部各物理量（或变量） 之间关系的数学表达式。静态条件（变量的各阶导数 为0）描述各变量之间的关系的数学方程是静态模型； 动态过程用微分方程描述，建立动态模型。 本章研究动态模型 常见的数学模型建立法：分析法、实践法 分析法:利用控制系统或其组成元件所依据的物理或化 学规律来建立模型并加以实验验证。 实践法：通过对实际控制系统或元件作用一定形式的 输入信号，求取孔子系统或元件的输出相应的方法。
整理：
零初始条件：输入作用是t=0以后才作用于 系统；输入信号作用于系统前系统相对静止， 0-时导数为0
3.2.2传递函数的几点说明 1传递函数是描述系统输入变量与输出变量之间的数学 表达式，利用拉氏变换推导得出。 2传递函数是复变量s的有理真分式函数，分子多项式阶 数m低于或等于分母多项式阶数n，且所有系数均为实 数。n≥m由于系统中总会有惯性元件以及受系统能源 限制。 3传递函数只取决系统结构、元件参数，与外作用形式 无关。 4传递函数实在零初始条件下定义的，故传递函数在原 则上不能反映非零初始条件下系统的全部运动规律。 5传递函数的几种表现形式（如下）。
性质：叠加性、均匀性（齐次性）
输入量r1+r2对应输 出量c1+c2 输入量ar1对应输出 量ac1
3.2.1传递函数概念 线性定长系统传递函数定义：在零初始条件下，输 出量与输入量的拉氏变换之比。 对应微分方程： 零初始条件：
C(s)为c(t)的拉氏变换； R(s)为r(t)的拉氏变换
3.1.2线性控制系统数学建模的建立 一般步骤 （1）根据系统或元件的工作原理确定系统输入/输出变 量 （2）从输入端开始按信号传递顺序，依照各变量遵循的 物理或化学定律，按技术要求忽略次要因素，并考虑相 邻元件的彼此影响，列出微分方程式或方程组。 （3）消去中间变量，求得描述输入量和输出量关系的微 分方程式。 （4）标准化。
3.3.3结构图的等效变换 1函数方框等效 串联等效 G(s)=G1(s)G2(s)…Gn(s) C(s)= G1(s)G2(s)…Gn(s)R(s) 并联等效 G(s)=G1(s)±G2(s) ±…±Gn(s) C(s)= C1(s)±C2(s) ±…±Cn(s) 反馈等效
其传递函数为
3.3.3结构图的等效变换 2信号综合点和分离点的移动和互换 （1）一般情况下综合点和分离点在移动前后应保持 所变换的信号在变换前后的等效性，一般情况下综 合电荷分离点之间的位置不宜交换，比较符号-不能 超过综合点、分离点。 （2）信号综合点的移动：原信号不变，在信号综合 点移动后保证信号相加的代数和不变。
3.4.1信号流图及其组成 节点（。）——输入节点（X1）、输出节点（X1， X6） 、混合节点（ X2到 X5 ） 支路——先前通路、回路、不接触回路
3.4.2信号流图的绘制 1，根据系统微分方程式或微分方程式组绘制信号 流图。 2，利用系统结构图绘制信号流图。
3.4.3梅逊增益公式
3.2.3典型环节及其传递函数 典型环节框图 比例环节 惯性环节 积分环节
振荡环节
微分环节
理想微分环节
一阶微分环节
二阶微分环节
3.3.1结构图的组成 四种基本单元：信号线、引出点、比较点、方框
3.3.2结构图的建立 1列出控制系统中各元件的微分方程式或方程组 2对所列方程进行拉式变换,得到反映输入变量和输 出变量的传递函数,并将其写入方框 3按系统中各变量传递顺序依次将各元件的传递函 数方框用带箭头线段连接起来,将系统输入变量置于 左端,输出变量置于右端
3.4.4闭环控制系统的传递函数 （1）闭环控制系统的开环传递函数。 （2）闭环控制系统的传递函数。 （3）干扰作用下的闭环传递函数。
3.3.3结构图的等效变换 2信号综合点和分离点的移动和互换 （3）信号分离点的移动：保证原各点信号不变，在信 号分离点移动后保证该分支信号不变。
（4）信号综合点的互换：根据加法交换律，两个或两 个以上信号综合点位置可换。 （5）信号分离点的互换：两个或两个以上相邻的信号 分离点位置互换。
3.1.1概述 控制系统数学模型是描述系统内部各物理量（或变量） 之间关系的数学表达式。静态条件（变量的各阶导数 为0）描述各变量之间的关系的数学方程是静态模型； 动态过程用微分方程描述，建立动态模型。 本章研究动态模型 常见的数学模型建立法：分析法、实践法 分析法:利用控制系统或其组成元件所依据的物理或化 学规律来建立模型并加以实验验证。 实践法：通过对实际控制系统或元件作用一定形式的 输入信号，求取孔子系统或元件的输出相应的方法。
整理：
零初始条件：输入作用是t=0以后才作用于 系统；输入信号作用于系统前系统相对静止， 0-时导数为0
3.2.2传递函数的几点说明 1传递函数是描述系统输入变量与输出变量之间的数学 表达式，利用拉氏变换推导得出。 2传递函数是复变量s的有理真分式函数，分子多项式阶 数m低于或等于分母多项式阶数n，且所有系数均为实 数。n≥m由于系统中总会有惯性元件以及受系统能源 限制。 3传递函数只取决系统结构、元件参数，与外作用形式 无关。 4传递函数实在零初始条件下定义的，故传递函数在原 则上不能反映非零初始条件下系统的全部运动规律。 5传递函数的几种表现形式（如下）。
性质：叠加性、均匀性（齐次性）
输入量r1+r2对应输 出量c1+c2 输入量ar1对应输出 量ac1
3.2.1传递函数概念 线性定长系统传递函数定义：在零初始条件下，输 出量与输入量的拉氏变换之比。 对应微分方程： 零初始条件：
C(s)为c(t)的拉氏变换； R(s)为r(t)的拉氏变换
3.1.2线性控制系统数学建模的建立 一般步骤 （1）根据系统或元件的工作原理确定系统输入/输出变 量 （2）从输入端开始按信号传递顺序，依照各变量遵循的 物理或化学定律，按技术要求忽略次要因素，并考虑相 邻元件的彼此影响，列出微分方程式或方程组。 （3）消去中间变量，求得描述输入量和输出量关系的微 分方程式。 （4）标准化。
3.3.3结构图的等效变换 1函数方框等效 串联等效 G(s)=G1(s)G2(s)…Gn(s) C(s)= G1(s)G2(s)…Gn(s)R(s) 并联等效 G(s)=G1(s)±G2(s) ±…±Gn(s) C(s)= C1(s)±C2(s) ±…±Cn(s) 反馈等效
其传递函数为
3.3.3结构图的等效变换 2信号综合点和分离点的移动和互换 （1）一般情况下综合点和分离点在移动前后应保持 所变换的信号在变换前后的等效性，一般情况下综 合电荷分离点之间的位置不宜交换，比较符号-不能 超过综合点、分离点。 （2）信号综合点的移动：原信号不变，在信号综合 点移动后保证信号相加的代数和不变。
3.4.1信号流图及其组成 节点（。）——输入节点（X1）、输出节点（X1， X6） 、混合节点（ X2到 X5 ） 支路——先前通路、回路、不接触回路
3.4.2信号流图的绘制 1，根据系统微分方程式或微分方程式组绘制信号 流图。 2，利用系统结构图绘制信号流图。
3.4.3梅逊增益公式
3.2.3典型环节及其传递函数 典型环节框图 比例环节 惯性环节 积分环节
振荡环节
微分环节
理想微分环节
一阶微分环节
二阶微分环节
3.3.1结构图的组成 四种基本单元：信号线、引出点、比较点、方框
3.3.2结构图的建立 1列出控制系统中各元件的微分方程式或方程组 2对所列方程进行拉式变换,得到反映输入变量和输 出变量的传递函数,并将其写入方框 3按系统中各变量传递顺序依次将各元件的传递函 数方框用带箭头线段连接起来,将系统输入变量置于 左端,输出变量置于右端
3.4.4闭环控制系统的传递函数 （1）闭环控制系统的开环传递函数。 （2）闭环控制系统的传递函数。 （3）干扰作用下的闭环传递函数。
3.3.3结构图的等效变换 2信号综合点和分离点的移动和互换 （3）信号分离点的移动：保证原各点信号不变，在信 号分离点移动后保证该分支信号不变。
（4）信号综合点的互换：根据加法交换律，两个或两 个以上信号综合点位置可换。 （5）信号分离点的互换：两个或两个以上相邻的信号 分离点位置互换。