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第二讲函数与导数

导数

(19)、(06全国1)(本小题满分14分)

设Q为实数，函数/(x) = x3-ax2+(^2-l)x在(-8,0)和(l,+oo)都是增函数, 求d的取值范围。

(19)本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力. 满分12分。

解：(I) ・・・f(x)+2x>0的解集为(1, 3),

••・f(x)+2x=a(x・l)(x・3),且a<0.因而f(x)=a(x-1 )(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a. ①

由方程f(x)+6a=0得

ax2-(2+4a)x+9a=0. ②

因为方程②有两个相等的根，所以△=[-(2+4a)J2-4a・9a=0,

即5a2-4a-l=0.

解得a=l或a=- —.

5

由于a<0,舍去a=l .将a二丄代入①得f(x)的解析式

3 - 5 - X 6 - 5 2・X 1 - 5 ■

(II)由

f(x)=ax2-2(l+2a)x+3a

1 + 2Q 9 cT+4G +1

=a(x- ----- 厂 ----------

a a

及go,可得f(x)的最大值为・"1

a

ci~ + 4ci +1

. -------------- >0,

由] a

a < 0,

解得a<-2- V3 或・2+ V3

故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是

(心，-2- V3 ) U (-2+ 73 ,0).

19.(06江苏预测)(本小题满分14分)已知某公司生产品牌服装的年固定成本为10万元, 每生产千件，须另投入2. 7万元.设该公司年内共生产该品牌服装兀千件并全部销售完，每千件的销售收入为心兀)万元，且

（1） 写出年利润

W （万元）关于年产量兀（千件）的函数解析式； （2） 年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大? （注：年

利润=年销售收入一年总成本）

解：(1)当 0WxvlO 时，VV = x/?(x)-(10 + 2.7x) = 8」x — --10；

当兀>10 时，”=兀/?(兀)一(10 + 2.7兀)=98 — 型一2.7兀. 3x

&1兀 ---- 10 (0

30

............ 6 分

98 — 1^2 — 2.7 兀(兀 >10)

3兀

丫2

(2)①当 0 WxvlO 时，由 W' = 8」一二=0,得兀=9, 且 ^XG (0,9)时，ir<0； ^XG (9,10)时，VT>0,

・•・当兀=9时，W 取最人值，HW =8.1-9- —-95-IO = 38.6. ............. 9分

nwc

30

②当兀〉10 时，IV = 98-（-^ + 2.7x ） < 98-2A

-• 2.7A : = 38 ,

3x

V 3x

当且仅当型£ = 2.7X ,即x = ^-时，W = 38,

......... 12分

3兀 9 故当x =— 时，W 取最大值38.

9

综合①②知当x = 9时，W 取最大值.

所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产屮所获年利润最大.…14分

20. （06江苏预测）（本题满分15分）

已知函数/（x ） = —x 4

处'+*"" + 2兀,（。H 0）,在兀=一2时取极值，在x = -2以

外还存在c,使得/'（c ） = 0,但函数/（兀）在x = c 处无极值。

（1）求d 、h 的值;

解：(1) f\x) = x 3 + ax 2 +

+ 2 , v /(x )在 x = -2 时取极值，在 x =-2 以外还存在 c,

使得/"（c ） = 0,但函数在x = c 处无极值。

.••广（_2） = 0,广（c ） = 0 , •且在兀=—2的左右f\x ）改变符号，但在^ = c 的左右

/©）不 改变符号。

恥）二

■

10.8 --- x 2

'108 30

1000

3兀2

(x>10) (0

•••可将厂(工)表示为 f\x) = (x + 2)(x + c)2 = x 3 + (2 - 2c)x 2 +(c 2 -2c)x + 2c 2

(2)

f\x) = (x + 2)(x +1)2

= x 3

+4x 2

+5兀 + 2

令/"(x) = 3x 2 +8x4-5 = (3x + 5)(兀 +1) = 0,则% =或兀=一1

•・•当 x<--时，f\x) > 0 ；当一-一1 时,f\x) > 0 o

5 3

・・・/©)在(―汽―2),(—1,0)上是增函数，在(---1)上减函数。

5

4

且广(0) = 2,广⑵=0/(—1) = 0,/(--)=—

・・・导函数 r(x)在［—2,0］上，有 /z

(x)max =.厂(0)二 2, ,/ z

(x)min =广(—2)=.厂(―1) = 0

"i

兀］，兀2 (—2,0) 时

| f\x }) - f\x 2) |<| r(x } )max - /Z (X 2 )min KI 2 - 0 h 2 (16)(共 13 分)已知函数

/{x) = CIX 3

+ bx 2

+ ex 在点兀0处取得极大值5,其导函数)，=/(I)的图象经过点(1,0), (2,

0)。如图所示，求：(1)心的值；(2)a,b,c 的值。

解法一：

(I)由图象可知,在(・8,1)上广(x)>0,在(1,2)上/z (x)<0.

在(2,+8)上/' (x)>0.

故夬兀)在(・*,1),(2,+乞)上递增，在(1,2) 上递减.

因此夬兀)在尸1处収得极大值，所以也=1.

(II)

(x)=3ar 2+2/?x+c,

由(D=0, f (2)二0求1)二5,

3d + 2方 + c = 0,

得 < 12。+ 4" + c = 0,

a +

b +

c = 5.

解得 a 二20二9,c 二 12.

又GH O,故\

a = 4

\b = 5

a = 0 或丿

方=_3,