(四)第三章2
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加载路径：o A A 屈服 加载
曲面上曲面上
至今没有应用。 原因：(1)数学运算复杂； (2)有争议。
3.4 强化条件
3.Drucker（德鲁克尔）公设 关于材料强化的重要假设
导出是凸的重要假设 导出增量理论 稳定材料： 0 不稳定材料： 0
3.4 强化条件
（3）其它强化条件 一种：将等向强化假设与 随动强化假设结合。 即：有中心位臵的移动与 曲面大小的改变。
f Sij aij cq
位置的移动 大小的改变
优点：更接近实际。 缺点：表达式复杂，运算麻烦 。
3.4 强化条件
另一种：使加载曲面具有尖点的滑移理论。
ij
1 3 ij m ij E E
3.5 弹性本构关系
广义虎克定律 2. 1 x y z x
E 1 x z y E y z 1 z x y E xy 1 xy 2G 1 xz xz 2G 1 yz yz 2G
d
p ij
deij
p
3.6 增量理论（流动理论）
e p deij deij deij
1 dSij d Sij 2G
(3)定d 设定为理想弹塑性材料 f Sij J 2 1 1 Sij S ij s2 2 3
2 S ij Sij s2 , S ij dSij 0 3 1 deij Sij dSij Sij d Sij Sij 2G 2 d s2 3 3 deij Sij 3 dWd d 2 2 s 2 s2 dWd：形状改变比功增量
3.4 强化条件
1.实验资料 加载曲面与屈服曲面相比，不仅有形状的改变， 而且有位臵的移动。 2.几种强化条件 （1）等向强化假设 在屈服曲面基础上做等向膨胀 即：形状相同，中心位臵不动， 大小不同。
Tianjin University
3.4 强化条件
等向强化假设：
: f Sij c(屈服条件） 强化参数 设 : J2
1 e Sij ij 2G m m 3K
3.5 弹性本构关系
3.
1 1 eij Sij deij dSij 2G 2G m d d m m m 3K 3K 球张量的表达式适用于 弹、塑 性状态。
只有当d ijp 沿 的外法线方向时 ,
2 即：只有当d ijp 沿 的外法线方向时，
0 才能使所有的 ij 满足不等式
不等式成立
3.4 强化条件
的外法线方向: f ij
d ijp 沿 的外法线方向 d ijp d 非负比例系数 此等式是塑性增量理论 的基础 f ij
e (1)deij e deij
1 dSij 2G f ij
p (2)deij
根据：d ijp d
若采用Mises屈服条件：f J 2 f J 2 Sij ij ij
p
d ijp d Sij deij d ijp d Sij
工程弹塑性力学
毕继红
第三章 本构关系
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 概述 屈服条件 加载条件和加载准则 强化条件 弹性本构方程 增量理论 全量理论 增量理论与全量理论的关系
Tianjin University
3.4 强化条件
加载曲面（后继屈服曲面） 单向应力状态: 理想弹塑性材料：无强化现象
3.6 增量理论（流动理论）
（4）求d m 1 d m 3K (5) P r andtl Re uss理论 d m 理想弹塑性材料的增量 理论 1 dSij d S ij deij 2G 1 3 dWd dS S ij ij 2 2G 2 s 1 d d m m 3K 3 dWd S ij dSij 2G deij 2 或： 2 s d 3Kd m m
ຫໍສະໝຸດ Baidu
交性 增量理论的基础 塑性应变增量矢量的正 屈服曲面是凸的
3.4 强化条件
(1)塑性应变增量矢量的正 交性 上一点B ij , 加d ij d ijp
ij 0 0 ij d ijp ij ij d ijp cos
3.6 增量理论（流动理论）
解题思路：将加载历史 分成若干段，在每一段 上 给定d ij , 可求出相应的d ij 已知 ij、 ij (k 1时刻） , 设定d ij， 可求 ij、 ij (k时刻）： （ 1）由 ij m ij Sij , d ij d m ij deij 得：Sij、 m、d m、deij （2）由d m 3K d m d m 3 dWd (3)由dSij 2G deij Sij dSij 2 2 s (4)由d ij d m ij dSij d ij （5）（ （ 时刻） d ij ij k时刻） ij k - 1
D s
强化材料：有强化现象
D s
3.4 强化条件
复杂应力状态： 理想塑性材料：只有屈服曲 面，没有加载曲面。 强化材料：有加载曲面
屈服条件 屈服曲面 f 1 , 2 , 3 c, 强化条件 加载曲面
,
1
2 , 3
0
：加载函数
1 e Sx x m x 2G e 1 S y m y y 2G ez z m 1 S z 2G e 1 s xy 2G xy 1 exz s xz 2G 1 s yz e yz 2G E K 31 2
3.6 增量理论（流动理论）
与Tresca屈服准则相关 联的流动理论
0 由不等式 ij ij d ijp 0
d ijp 方向应在阴影内。
1 : 0 : 1 0 : -1 : 11 - -： - 1 : 1
广义塑性势理论： f i d i ij i 1
此公设适用于稳定材料
3.4 强化条件
Drucker（德鲁克尔）公 设 一个应力循环过程： A BC A
0 0 ij ij ij d ij ij
Drucker公设：若产生塑 性变形，在加、卸载过 程中，附加应力做正功 。对于强化材料，只有 在纯弹性过程中，附加 应力做功为零。
p ij n
一般情况，n个曲面的交点，
3.7全量理论（形变理论）
ij ~ ij
适用条件：简单加载或偏离不多时，较正确。 优点：直接求出最终应力、应变关系，计算简 便。 缺点： （1）不能反映加载历史； （2）当加载过程复杂时，不能符合实际情况。
3.7全量理论（形变理论）
ij （k时刻） （ 时刻） d ij ij k - 1
3.6 增量理论（流动理论）
优点：可充分反映加载历程。 缺点：计算过程过于繁琐。 注意： （1）增量理论只适用于塑性状态 的加载过程； （2）结构中各点的dλ不同，同 一点不同时刻的dλ也不同，但 同一点同一时刻对不同的应力 分量， dλ取值相同。 （3）沿不同的加载路径，即使最 终应力状态相同，应变状态也 不同。 （4）此为与Mises相关联的流动 理论。
: f Sij
：f Sij c cq (强化条件）
s2
3
( Mises)
1 f Sij J 2 Sij Sij 2 ：Sij Sij cq 或 i cq (强化条件）
Tianjin University
3.4 强化条件
等向强化假设：
取q i 强化条件：S ij S ij c i 或 i i 单一曲线假设 单一曲线假设: 应力强度 i与应变 强度 i间是一、一 对应关系
Tianjin University
3.4 强化条件
等向强化假设：
强化条件：f Sij cq 优点 : (1)形式简单，便于计算； (2)在加载路径没有明显反 复时适用 缺点：不能反映 Bauschinge r, 即：反向的屈服应力提 高
3.6 增量理论（流动理论）
与Tresca屈服准则相关 联的流动理论
ED边 : f 3 1 f f f 外法线方向： : : 1 : 0 : 1 1 2 3 EF边 : f 3 2 f f f 外法线方向： : : 0 : -1 : 1 1 2 3
ij A B C A ij A B C A
A B, C A：无塑性变形
0 d ijp 0 ij ij C
B
B ij
0 d ijp 0 ij
3.4 强化条件
重要不等式：
ij
0 ij d ijp 0
3.6 增量理论（流动理论）
塑性状态下，应力与应 变间无一、一对应关系 。 d ij d ij d ij d d
e ij p ij
d ij d m ij deij
e p deij deij deij e d m d m
3.6 增量理论（流动理论）
3.4 强化条件
(2)屈服曲面（加载曲面） 是凸的 若 （）不是凸的， 则不论d ijp 沿任何方向 ,
0 均能找到 ij ，使得：
2
不等式不成立
3.5 弹性本构关系
广义虎克定律 1 1. x y z x
E 1 x z y E y z 1 z x y E xy 1 xy 2G 1 xz xz 2G 1 yz yz 2G E G 21
Tianjin University
3.4 强化条件
（2）随动强化假设
与 相比，形状、大小均不 变， 只是随加载路径而平移 。 oo aij (表征应力历史的参数） 强化条件：f Sij aij c
3.4 强化条件
（2）随动强化假设
强化条件：f Sij aij c 优点：能正确反应 Bauschinge r效应， 运算简便； 缺点：加载曲面大小、 形状均不变， 与实际不符。 适用范围：加载路径与 原来强化方向 较接近。
A B C A
ij ij d ij 0 0
3.4 强化条件
Drucker（德鲁克尔）公设
e p d ij d ij d ij d ij
据Dru c k er公设：
ij A B C A
0 d ij 0 ij 0 e d ij ij 0 0 d ijp 0 ij
曲面上曲面上
至今没有应用。 原因：(1)数学运算复杂； (2)有争议。
3.4 强化条件
3.Drucker（德鲁克尔）公设 关于材料强化的重要假设
导出是凸的重要假设 导出增量理论 稳定材料： 0 不稳定材料： 0
3.4 强化条件
（3）其它强化条件 一种：将等向强化假设与 随动强化假设结合。 即：有中心位臵的移动与 曲面大小的改变。
f Sij aij cq
位置的移动 大小的改变
优点：更接近实际。 缺点：表达式复杂，运算麻烦 。
3.4 强化条件
另一种：使加载曲面具有尖点的滑移理论。
ij
1 3 ij m ij E E
3.5 弹性本构关系
广义虎克定律 2. 1 x y z x
E 1 x z y E y z 1 z x y E xy 1 xy 2G 1 xz xz 2G 1 yz yz 2G
d
p ij
deij
p
3.6 增量理论（流动理论）
e p deij deij deij
1 dSij d Sij 2G
(3)定d 设定为理想弹塑性材料 f Sij J 2 1 1 Sij S ij s2 2 3
2 S ij Sij s2 , S ij dSij 0 3 1 deij Sij dSij Sij d Sij Sij 2G 2 d s2 3 3 deij Sij 3 dWd d 2 2 s 2 s2 dWd：形状改变比功增量
3.4 强化条件
1.实验资料 加载曲面与屈服曲面相比，不仅有形状的改变， 而且有位臵的移动。 2.几种强化条件 （1）等向强化假设 在屈服曲面基础上做等向膨胀 即：形状相同，中心位臵不动， 大小不同。
Tianjin University
3.4 强化条件
等向强化假设：
: f Sij c(屈服条件） 强化参数 设 : J2
1 e Sij ij 2G m m 3K
3.5 弹性本构关系
3.
1 1 eij Sij deij dSij 2G 2G m d d m m m 3K 3K 球张量的表达式适用于 弹、塑 性状态。
只有当d ijp 沿 的外法线方向时 ,
2 即：只有当d ijp 沿 的外法线方向时，
0 才能使所有的 ij 满足不等式
不等式成立
3.4 强化条件
的外法线方向: f ij
d ijp 沿 的外法线方向 d ijp d 非负比例系数 此等式是塑性增量理论 的基础 f ij
e (1)deij e deij
1 dSij 2G f ij
p (2)deij
根据：d ijp d
若采用Mises屈服条件：f J 2 f J 2 Sij ij ij
p
d ijp d Sij deij d ijp d Sij
工程弹塑性力学
毕继红
第三章 本构关系
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 概述 屈服条件 加载条件和加载准则 强化条件 弹性本构方程 增量理论 全量理论 增量理论与全量理论的关系
Tianjin University
3.4 强化条件
加载曲面（后继屈服曲面） 单向应力状态: 理想弹塑性材料：无强化现象
3.6 增量理论（流动理论）
（4）求d m 1 d m 3K (5) P r andtl Re uss理论 d m 理想弹塑性材料的增量 理论 1 dSij d S ij deij 2G 1 3 dWd dS S ij ij 2 2G 2 s 1 d d m m 3K 3 dWd S ij dSij 2G deij 2 或： 2 s d 3Kd m m
ຫໍສະໝຸດ Baidu
交性 增量理论的基础 塑性应变增量矢量的正 屈服曲面是凸的
3.4 强化条件
(1)塑性应变增量矢量的正 交性 上一点B ij , 加d ij d ijp
ij 0 0 ij d ijp ij ij d ijp cos
3.6 增量理论（流动理论）
解题思路：将加载历史 分成若干段，在每一段 上 给定d ij , 可求出相应的d ij 已知 ij、 ij (k 1时刻） , 设定d ij， 可求 ij、 ij (k时刻）： （ 1）由 ij m ij Sij , d ij d m ij deij 得：Sij、 m、d m、deij （2）由d m 3K d m d m 3 dWd (3)由dSij 2G deij Sij dSij 2 2 s (4)由d ij d m ij dSij d ij （5）（ （ 时刻） d ij ij k时刻） ij k - 1
D s
强化材料：有强化现象
D s
3.4 强化条件
复杂应力状态： 理想塑性材料：只有屈服曲 面，没有加载曲面。 强化材料：有加载曲面
屈服条件 屈服曲面 f 1 , 2 , 3 c, 强化条件 加载曲面
,
1
2 , 3
0
：加载函数
1 e Sx x m x 2G e 1 S y m y y 2G ez z m 1 S z 2G e 1 s xy 2G xy 1 exz s xz 2G 1 s yz e yz 2G E K 31 2
3.6 增量理论（流动理论）
与Tresca屈服准则相关 联的流动理论
0 由不等式 ij ij d ijp 0
d ijp 方向应在阴影内。
1 : 0 : 1 0 : -1 : 11 - -： - 1 : 1
广义塑性势理论： f i d i ij i 1
此公设适用于稳定材料
3.4 强化条件
Drucker（德鲁克尔）公 设 一个应力循环过程： A BC A
0 0 ij ij ij d ij ij
Drucker公设：若产生塑 性变形，在加、卸载过 程中，附加应力做正功 。对于强化材料，只有 在纯弹性过程中，附加 应力做功为零。
p ij n
一般情况，n个曲面的交点，
3.7全量理论（形变理论）
ij ~ ij
适用条件：简单加载或偏离不多时，较正确。 优点：直接求出最终应力、应变关系，计算简 便。 缺点： （1）不能反映加载历史； （2）当加载过程复杂时，不能符合实际情况。
3.7全量理论（形变理论）
ij （k时刻） （ 时刻） d ij ij k - 1
3.6 增量理论（流动理论）
优点：可充分反映加载历程。 缺点：计算过程过于繁琐。 注意： （1）增量理论只适用于塑性状态 的加载过程； （2）结构中各点的dλ不同，同 一点不同时刻的dλ也不同，但 同一点同一时刻对不同的应力 分量， dλ取值相同。 （3）沿不同的加载路径，即使最 终应力状态相同，应变状态也 不同。 （4）此为与Mises相关联的流动 理论。
: f Sij
：f Sij c cq (强化条件）
s2
3
( Mises)
1 f Sij J 2 Sij Sij 2 ：Sij Sij cq 或 i cq (强化条件）
Tianjin University
3.4 强化条件
等向强化假设：
取q i 强化条件：S ij S ij c i 或 i i 单一曲线假设 单一曲线假设: 应力强度 i与应变 强度 i间是一、一 对应关系
Tianjin University
3.4 强化条件
等向强化假设：
强化条件：f Sij cq 优点 : (1)形式简单，便于计算； (2)在加载路径没有明显反 复时适用 缺点：不能反映 Bauschinge r, 即：反向的屈服应力提 高
3.6 增量理论（流动理论）
与Tresca屈服准则相关 联的流动理论
ED边 : f 3 1 f f f 外法线方向： : : 1 : 0 : 1 1 2 3 EF边 : f 3 2 f f f 外法线方向： : : 0 : -1 : 1 1 2 3
ij A B C A ij A B C A
A B, C A：无塑性变形
0 d ijp 0 ij ij C
B
B ij
0 d ijp 0 ij
3.4 强化条件
重要不等式：
ij
0 ij d ijp 0
3.6 增量理论（流动理论）
塑性状态下，应力与应 变间无一、一对应关系 。 d ij d ij d ij d d
e ij p ij
d ij d m ij deij
e p deij deij deij e d m d m
3.6 增量理论（流动理论）
3.4 强化条件
(2)屈服曲面（加载曲面） 是凸的 若 （）不是凸的， 则不论d ijp 沿任何方向 ,
0 均能找到 ij ，使得：
2
不等式不成立
3.5 弹性本构关系
广义虎克定律 1 1. x y z x
E 1 x z y E y z 1 z x y E xy 1 xy 2G 1 xz xz 2G 1 yz yz 2G E G 21
Tianjin University
3.4 强化条件
（2）随动强化假设
与 相比，形状、大小均不 变， 只是随加载路径而平移 。 oo aij (表征应力历史的参数） 强化条件：f Sij aij c
3.4 强化条件
（2）随动强化假设
强化条件：f Sij aij c 优点：能正确反应 Bauschinge r效应， 运算简便； 缺点：加载曲面大小、 形状均不变， 与实际不符。 适用范围：加载路径与 原来强化方向 较接近。
A B C A
ij ij d ij 0 0
3.4 强化条件
Drucker（德鲁克尔）公设
e p d ij d ij d ij d ij
据Dru c k er公设：
ij A B C A
0 d ij 0 ij 0 e d ij ij 0 0 d ijp 0 ij