小学数学方阵问题类例题、题解
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十三、方阵问题。
例1 树苗若干株,恰好可栽成每边6株的实心方阵。树苗的总数是多少?正方形最外层有多少株?
解法一:每边6棵栽成正方形,即6株一排,共6排,所以树苗的总数是6×6=36(株)正方形最外层的株数由右图知,应等于每边株数减去1,乘上边数。所以正方形最外层有
(6-1)×4=20(株)
解法二:由解法一图可知,因四角上的株数重复计算,每边株数×4的积应是“一周的总株数+4”,即每边株数×4=一周的总株数+4,由此可推知,一周的总株数=每边的株数×4-4。所以正方形最外层有
6×4-4=20(株),树苗的总数是6×6=36(株)
注意:此题解答中用到的基本数量关系:一周的总株数=(每边株数- 1)×4;一周的总株数=每边株数×4-4。这些是解此类题时常用的,并且据此还可推得:
每边株数=一周的总株数÷4+1
每边株数=(一周的总株数+4)÷4
例2 以若干粒棋子排成正方形,余12粒;依下图纵横添一粒而排成正方形,则不足17粒。求棋子共有多少粒?
解法一:如图所示,为已排成之方阵,新添的棋子则按0排列。由题意知,若增加12+17=29(粒)棋子,则纵、横可添1粒可排成方阵,这时方阵每边粒数应为(29+1)÷2=15(粒)。此方阵棋子总数为15×15=225(粒),所以要求的棋子总数
为225-17=208(粒)。
解法二:设已排成的方阵每边有x粒,则纵横添1粒而排成的方阵每边为(x+1)粒,依题意得(x+1)2-17=x2+12解方程得x=14,所以棋子共有14×14+12=208(粒)。
例3 五年级学生,排成一个中空的方阵,最外层人数共52人,最内层人数共28人,问五年级学生有多少人?
解:由例1“注意”知,此中空方阵最外层每边人数是52÷4+1=14(人);最内层每边人数是28÷4+1=8(人)。而方阵每扩展一层,每边要增加2人;反之每边要减少2人。故此方阵空心部分的最外层每边有8-2=6(人),此空心方阵可容纳6×6=36(人),所以五年级有学生14×14-36=160(人)。
注意:此题解中得出的结论:“方阵每扩展一层,每边就要增加2人;反之,每边要减少2人”这是解此类题时常用的。
练习十八
1.以棋子排成正方形,其外周为84粒,求棋子总数是多少粒。
2.运动员排成每边15人的实心方阵余35人,若排成每边16人的空心方阵,还余多少人?
3.一队解放军,排成10层空心方阵,最外层每边人数是30人,这队解放军共有多少人?