小学数学方阵问题类例题、题解

十三、方阵问题。

例1 树苗若干株，恰好可栽成每边6株的实心方阵。树苗的总数是多少？正方形最外层有多少株？

解法一：每边6棵栽成正方形，即6株一排，共6排，所以树苗的总数是6×6=36（株）正方形最外层的株数由右图知，应等于每边株数减去1，乘上边数。所以正方形最外层有

（6-1）×4=20（株）

解法二：由解法一图可知，因四角上的株数重复计算，每边株数×4的积应是“一周的总株数+4”，即每边株数×4=一周的总株数+4，由此可推知，一周的总株数=每边的株数×4-4。所以正方形最外层有

6×4-4=20（株），树苗的总数是6×6=36（株）

注意：此题解答中用到的基本数量关系：一周的总株数=（每边株数- 1）×4；一周的总株数=每边株数×4-4。这些是解此类题时常用的，并且据此还可推得：

每边株数=一周的总株数÷4+1

每边株数=（一周的总株数+4）÷4

例2 以若干粒棋子排成正方形，余12粒；依下图纵横添一粒而排成正方形，则不足17粒。求棋子共有多少粒？

解法一：如图所示，为已排成之方阵，新添的棋子则按0排列。由题意知，若增加12+17=29（粒）棋子，则纵、横可添1粒可排成方阵，这时方阵每边粒数应为（29+1）÷2=15（粒）。此方阵棋子总数为15×15=225（粒），所以要求的棋子总数

为225-17=208（粒）。

解法二：设已排成的方阵每边有x粒，则纵横添1粒而排成的方阵每边为（x+1）粒，依题意得（x+1）2-17=x2+12解方程得x=14，所以棋子共有14×14+12=208（粒）。

例3 五年级学生，排成一个中空的方阵，最外层人数共52人，最内层人数共28人，问五年级学生有多少人？

解：由例1“注意”知，此中空方阵最外层每边人数是52÷4+1=14（人）；最内层每边人数是28÷4+1=8（人）。而方阵每扩展一层，每边要增加2人；反之每边要减少2人。故此方阵空心部分的最外层每边有8-2=6（人），此空心方阵可容纳6×6=36（人），所以五年级有学生14×14-36=160（人）。

注意：此题解中得出的结论：“方阵每扩展一层，每边就要增加2人；反之，每边要减少2人”这是解此类题时常用的。

练习十八

1.以棋子排成正方形，其外周为84粒，求棋子总数是多少粒。

2.运动员排成每边15人的实心方阵余35人，若排成每边16人的空心方阵，还余多少人？

3.一队解放军，排成10层空心方阵，最外层每边人数是30人，这队解放军共有多少人？