一阶偏微分方程基本知识

一阶偏微分方程基本知识

这一章我们来讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法，因为它们都可以化为常微分方程的首次积分问题，所以我们先来介绍常微分方程的首次积分。

1一阶常微分方程组的首次积分

1.1首次积分的定义

从第三章我们知道，n 阶常微分方程

()()()

1,,'',',-=n n y y y x f y ， （ 1.1）

在变换

(

)

1'12,,,,n n y y y y y y -=== （ 1.2）

之下，等价于下面的一阶微分方程组

()()()1

112221212,,,,,,,,,,,,,,.

n n

n n n dy f x y y y dx dy f x y y y dx

dy f x y y y dx

⎧=⎪⎪

⎪=⎪⎨⎪⎪

⎪=⎪

⎩ （ 1.3） 在第三章中，已经介绍过方程组（ 1.3）通解的概念和求法。但是除了常

系数线性方程组外，求一般的（ 1.3）的解是极其困难的。然而在某些情况下，可以使用所谓“可积组合”法求通积分，下面先通过例子说明“可积组合”法，然后介绍一阶常微分方程组“首次积分”的概念和性质，以及用首次积分方法来求解方程组（ 1.3）的问题。先看几个例子。

例1 求解微分方程组

()()2222

1,1.d x d y y x x y x y x y d t d t

=-+-=--+- （ 1.4） 解：将第一式的两端同乘x ，第二式的两端同乘y ，然后相加，得到 ()()

12222-++-=+y x y x dt

dy

y dt dx x ，

()()()222222

112

d x y x y x y d t

+=-++-。 这个微分方程关于变量t 和()22x y +是可以分离，因此不难求得其解为

122

2221C e y x y x t

=+-+， （ 1.5）

1C 为积分常数。（ 1.5）叫做（ 1.4）的首次积分。

注意首次积分（ 1.5）的左端(),,V x y t 作为x ，y ，和t 的函数并不等于常数；从上面的推导可见，当(),()x x t y y t ==时微分方程组（ 1.4）的解时，(),,V x y t 才等于常数1C ，这里的常数1C 应随解而异。因为式（ 1.4）是一个二阶方程组，一个首次积分（ 1.5）不足以确定它的解。为了确定（ 1.4）的解，还需要找到另外一个首次积分。

将第一式两端同乘y ，第二式两端同乘x ，然后用第一式减去第二式，得到

22y x dt dy x dt dx y

+=-， 即

()

22y x dt

dx y dt dy x

+-=-， 亦即

1arctan -=⎪⎭

⎫ ⎝⎛

dt

x y d 。

积分得

2a r c t a n C t x

y

=+， （ 1.6）

其中2C 为积分常数。

利用首次积分（ 1.5）和（ 1.6）可以确定（ 1.4）的通解。为此，采用极坐标cos ,sin x r y r θθ==，这样由（ 1.5）和（ 1.6）推得

212211,.t e C t C r θ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭

或 t C e

C r t

-=-=

-221,11θ.

因此我们得到方程组（ 1.4）的通解为 ()t

e

C t C x 2121cos ---=

，()t

e

C t C y 2121sin ---=

. （ 1.7）

例2 求解微分方程组 ()()(),,.du

vw dt dv

wu dt dw

uv dt αβγβγαγαβ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩

（ 1.8）

其中0αβγ>>>是给定的常数。

解 利用方程组的对称性，可得

0d u d v d w

u v w d t d t d t

αβγ++=,

从而得到首次积分

2221u v w C αβγ++=, （ 1.9） 其中积分常数10C ≥。同样我们有 2220d u d v d w u v w d t d t d t

αβγ++=, 由此又得另一个首次积分

222222

2

u v w C αβγ++=, （ 1.10） 其中积分常数20C ≥。有了首次积分（ 1.9）和（ 1.10），我们就可以将u 和v 用w 表示，代入原方程组（ 1.8）的第三式，得到

dw dt =, （ 1.11）

其中常数a ，b 依赖于常数12C C 和，而常数 ()()()

()

0,0.A B γβγγαγααββαβ--=

>=>--

注意（ 1.11）是变量可分离方程，分离变量并积分得到第三个首次积分

3t C αβ

γ--=, （ 1.12） 其中3C 是积分常数。因为方程组（ 1.8）是三阶的，所以三个首次积分（ 1.9）、（ 1.10）和（ 1.12）在理论上足以确定它的通解 ()()()123123123,,,,

,,,,,,,.u t C C C v t C C C w t C

C C ϕψχ=== 但是由于在式（ 1.12）中出现了椭圆积分，因此不能写出上述通解的具体表达

式。

现在我们考虑一般的n 阶常微分方程

()n i i

y y y x f dx

dy ,,,,21 =，()n i ,2,1=, （ 1.13） 其中右端函数()n i y y y x f ,,,,21 在1+⊂n R D 内对()12,,,

,n x y y y 连续，而且对

n y y y ,,,21 是连续可微的。