事件的概率

∞
∞
∞
∞
或P(∑ Ai ) = ∑ P( Ai ) 或P(∪ Ai ) = ∑ P( Ai )
i =1
i =1
i =1
i =1
4.Ω上的一个划分上的加法：
若 n个事件 A1 , A2 , ⋅ ⋅ ⋅ , An 构成Ω上的一个划分，
则它们概率的和为1，即 P( A1 ) + P( A2 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + P( An ) = 1
n
n
n
n
或：写为 P(∑ Ai ) = ∑ P( Ai ) 或P(∪ Ai ) = ∑ P(Ai )
i =1
i =1
i =1
i =1
3.概率的完全可加性（可列可加性）
如果无穷可列个 A1,⋯, An ,⋯事件两两互不相容，
则P( A1 + A2 + ⋅ ⋅ ⋅ + An + ⋯) = P( A1) + P( A2 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + P( An ) + ⋯
7. 多还少补原理：
P( A1 + A2 + A3) = P[( A1 + A2 ) + A3 ] = P( A1 + A2 ) + P( A3 ) − P[( A1 + A2 ) A3 ]
= P( A1) + P( A2 ) − P( A1A2 ) + P( A3) − P( A1A3 + A2 A3 ) = P( A1) + P( A2 ) + P( A3 ) − P( A1A2 ) −[P( A1A3 ) + P( A2 A3 ) − P( A1A3 A2 A3 )]
P(A1 + A2 +⋯) = P(A1) + P(A2 ) +⋯ .
则称P(A)为事件A 的概率。
II. 概率的性质
1. P(Ø)=0，即不可能事件的概率为零；
2.概率的有限可加性:
如果n个事件 A1 , A2 , ⋅ ⋅ ⋅ , An两两互不相容，则
P( A1 + A2 + ⋅⋅⋅ + An ) = P( A1) + P( A2 ) + ⋅⋅⋅ + P( An )
2048
0.5069
0.0069
皮尔逊 12000
6019
0.5016
0.0016
皮尔逊 24000
12012
0.5005
0.0005
维 尼 30000
14994
0.4998
0.0002
统计规律性： 多次重复试验中事件A具有频率稳定性。
当n很大时， fn(A)具有一种稳定性，在一个确定的数值附 近徘徊。当n越来越大时，fn(A)就越接近那个确定的数值.
∵ P( A1 + A2 +⋯ + An ) = P(Ω) = 1
故有: P( A1 ) + P( A2 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + P( An ) = 1
特别地，取n=2，则 A1与A2 构成Ω上的一个划分，
( ) 则 A1 = A2, 有 P(A1 ) + P(A2 ) = P(A2 ) + P A2 = 1
2.概率的公理化定义
1933年，前苏联数学家(概率统计学家)柯尔莫哥洛 夫 (Kolmogorov) 给出了概率如下公理化定义。
设E是随机试验，Ω是样本空间，对Ω中的每个事 件A，赋予一个实数P(A) ，如果事件(集合)函数 P(A) 满 足下述三条:
(1). P(A)≥0；
(2). P(Ω)=1 ; (3). 若事件A1, A2 ,… 两两互斥，则有
摆动幅度越小，则称常数p为事件的概率。记作P(A) 概率的统计定义的意义:
指出了事件发生的概率是客观存在的，但很难用于计算。
概率与频率的区别:
频率是个试验值，具有偶然性，而且与试验次数n有关
它近似地反映了事件发生可能性的大小. 概率是个理论值, 与试验次数n无关,只能取唯一值, 只
有概率，才能精确地反映出事件发生可能性的大小.
且 A ∩ (B − AB) = ∅,
故 P( A + B) = P( A) + P(B − AB)
？
又由性质 5--如果B ⊃ A, 则P(B − A) = P(B) − P( A) 得到：P(B − AB) = P(B) − P( AB), ∵ B ⊃ AB
因此得 P( A + B) = P( A) + P(B) − P( AB).
证明: 因为
A1, A2 ,⋯, An构成Ω上的一个划分⇔
⎧⎪ Ai Aj ⎨ ⎪⎩ A1 +
= Φ (i ≠ A2 +⋯ + An
j) =Ω
因为 A1 , A2 , ⋅ ⋅ ⋅ , An两两互不相容，
∴ P( A1 + A2 +⋯ + An ) = P( A1) + P( A2 ) +⋯ + P( An )
例1:生孩子 某研究所中10个妇女生了4个男孩6个女孩,某工厂中10个妇女
生了7个男孩3个女孩, 但对于整个广东省或整个中国来说,
生男生女的比例是将近1:1的.
�
lim
n→ ∞
fn (A) =
P ( A)
稳定性
某一定数
概率的统计定义 在n次重复试验中，事件A发生的频率
总是稳定地在某一常数p附近摆动，且一般来说， n越大，
(
A)
=
m n
显然fn ( A)
=
m与
n
n
有关。且有
:
0
≤
m
≤
n
频率的性质
� 0 ≤ fn ( A) ≤ 1 � fn (Ω ) = 1
非负性 归一性
� 事件 A, B互斥，则 fn(A+ B) = fn(A) + fn(B) 可加性
若事件 A1,A2,…,Ak 两两互斥，则: fn ( A1 + A2 +⋯ + Ak ) = fn ( A1) + fn ( A2 ) +⋯ + fn ( Ak )
( ) 或写为 P ( A) + P A = 1 或 P ( A) = 1− P ( A).
5. 如果B ⊃ A, 则P(B − A) = P(B) − P( A)
证明: 事实上，由 B = (B − A) + A 及 B − A与A 互不相容,由加法法则
P ( B) = P{(B − A) + A} = P ( B − A) + P ( A), 从而 P ( B − A) = P ( B) − P( A).
必为A发生的次数p与B发生的次数q之和。
即:
Biblioteka Baidu
m= p+q
m pq ∴=+
n nn
∴ fn ( A + B) = fn ( A) + fn (B)
1.2.2 事件概率 I. 概率定义
1.概率的统计定义 抛掷硬币的试验：
试验者 投掷次数n “正面向上”次数 “正面向上”频率 与0.5的距离
蒲 丰 4040
想一想
“天有不测风云”和“天气可 以预报”有无矛盾?
☆ 天有不测风云指的是：对随机现象进行一次观测，其观 测结果具有偶然性； ☆ 天气可以预报指的是：观测者通过大量的气象资料对天 气进行预测，得到天气的变化规律。
随机现象的统计规律性-----
少量现象不可预知，但进行大量观察时，随机现象呈现 出的某种规律性。
第一章 随机事件
§1.1 概述 §1.2 事件的概率 §1.3 古典概率模型 §1.4 条件概率 §1.5 事件的独立性
§1.2 事件的概率 1.2.1 事件的频率
频率---- 若事件A在n次试验中发生了m次，则事件A
在n次试验中的频率为
A发生的次数 m =
所做试验的次数 n
记为：fn(A)，fn
�
lim
n→ ∞
fn(A) =
P(A)
某一定数 稳定性
这里给出第三条的证明:
3. 若AB = Φ, 则有 : fn ( A + B) = fn ( A) + fn (B)
证明： 事件A+B发生表示事件A，B中至少有一个发生 因A，B互不相容，
故A+B发生表示 A单独发生或B单独发生，即: 故在n次试验中A+B发生的次数m
推论：如 B ⊃ A ,则： P(B) ≥ P( A)
证：由上可知 P(B) − P( A) = P(B − A) ≥ 0 故有P(B) ≥ P(A) 。
6．广义的加法法则 对任意两个事件A,B ，有
P( A + B) = P( A) + P(B) − P( A B)
证明 由图可得
A + B = A + (B − AB),
= P(A1) + P(A2) + P(A3) − P(A1A2) − P(A1A3) − P(A2 A3) + P(A1A2 A3)
推广到n个事件之和的广义加法法则(多还少补原理)：
P( A1 + A2 +⋯ + An ) = P( A1) + P( A2 ) +⋯ + P( An ) − P( A1A2 ) − P( A1A3 ) −⋯ − P( An−1An ) +P( A1A2 A3 ) + P( A1A2 A4 ) +⋯ + P( An−2 An−1An ) +⋯ + (−1)n−1 P( A1⋯ An−1An )
n
n
n
∑ ∑ ∑ ∑ ∏ P( Ai ) = P(Ai ) −
P( Ai Aj ) +
P( Ai Aj Ak ) +⋯ + (−1)n−1 P( Ai )
i =1
i =1
1≤i< j≤n
1≤i< j<k ≤n
i =1
作业：p23，1.8；1.9;1.10；