杆系结构的有限元法
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? 材料力学基础知识
弯曲公式：? ? dv
dx
M
?
EI
d 2v dx2
Q
?
EI
d 3v dx3
应变和应力公式：
?
?
?
y
d 2v dx2
?
?
E?
?
? Ey
d 2v dx2
4.3 梁的有限元分析
4.3.1 纯弯梁单元 (单元描述)
? 节点坐标值：xi=0, xj=l ? 节点位移值：挠度vi和转角θi ? 节点力：弯距 Mi 和剪力 Qi
第四章 杆系结构的有限元法
章节目录 4.1 概述 4.2 拉压直杆的有限元分析 4.3 梁的有限元分析 4.4 刚架的有限元分析
4.1 概述
4.1.1 杆系结构
? 定义 由有限根杆件在它们的端点处相互连接而成的结构
? 分类 ? 平面杆系：各杆轴线和外力作用线在一个平面内 ? 空间杆系：各杆轴线和外力作用线不在一个平面内
4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.6 平面桁架的有限元分析
在整体坐标系下的单元刚度矩阵为：
4.3 梁的有限元分析
4.3.1 纯弯梁单元 (单元描述)
? 几何形状：长度l，横截面为A。 ? 材料属性：弹性模量E，横截面的惯性矩为I。 ? 节点：i , j 共2个 ? 局部坐标系：oxy
4.3 梁的有限元分析
因此，
? 单元位移列阵：
? ? ?? ?
?
单元载荷列阵：
e?
vi
?i
vj
?T j
? ? ? ?F e ? Qi M i Qj M j T
4.3 梁的有限元分析
4.3.2 位移模式
代入单元两个节点的坐标和 位移条件，即可求解四个待定 常数a1-a4：
4.3 梁的有限元分析
4.3.3 应变
弯曲公??式ddxv：M?EIdd2v2x
O
ui Ui
Vj uj x
Uj j
?
X
从整体坐标到局部坐标的
[ 坐标变换矩阵 T ]
4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.6 平面桁架的有限元分析 推导：
注意：局部
坐标系下的 应力和应变
4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.6 平面桁架的有限元分析
因此，单元刚度矩阵在局部坐标系和整体坐标系下的变换式：
因此，组装过程中需要两个坐标系之间的转换：
? 整体坐标系:OXY ? 局部坐标系: Oxy
Y y
i ?
O
jx X
4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.6 平面桁架的有限元分析
? 整体坐标系OXY ：节点位移为Ui ,Vi (i , j)
? 局部坐标系 Oxy： 节点位移为ui ,uj 则有：
Y
y
Vi i
uj
x j
4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.2 位移模式
? 单元位移模式的推导
? 位移模式
ui
i l
uj
x j
? 形函数
NN? [ i
N
j
]
?
1[(l
l
??x j
x) ??(xi
x)]
4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.3 应变
? 应变分量 拉压直杆只有轴向应变：
? 几何方程的推导
4.2 拉压直杆的有限元分析
因此： 刚架单元＝杆单元＋梁单元
? 局部坐标系: oxyz
4.4 刚架的有限元分析
4.4.1 平面刚架 两个坐标系： ?局部坐标系 ?整体坐标系
4.4 刚架的有限元分析
4.4.2 平面刚架单元（单元描述：局部坐标系下）
? 节点位移 ? 轴向位移 ? 横向位移 ? 绕z轴的转角
? 节点载荷 ? 轴向力 ? 剪力 ? 弯矩
d3v Q?EdI 3x
应变和应力???公ydd2式2vx ?：?E???Eydd2v2x
4.3 梁的有限元分析
4.3.4 应力 4.3.5 单元刚度矩阵
单元平衡方程：
?F? e ? ?k???? e
4.3 梁的有限元分析
4.3.6 等效节点载荷
? 若存在集中力或者集中力矩，将作用点取为节点 ? 若存在分布载荷，按照虚功等效的原则进行计算
?F? e ? ??N ?T q?x?dx
? 适用情况：截面高度小于长度的1/5的杆系结构。 原因：单元的位移模式，决定了没有考虑剪切挠度。
4.3 梁的有限元分析
4.3.7 应用实例
12kN/m
1 1m
2
3
1m
4.4 刚架的有限元分析
4.4.1 平面刚架
? 相互独立的两种变形形式 ? 轴向拉压 ? 面内弯曲
刚架的有限元分析
? 4.4.2 平面刚架单元（单元描述：局部坐标系下）
因此，局部坐标系下： 单元节点位移列阵： 单元节点载荷列阵：
ຫໍສະໝຸດ Baidu
4.4 刚架的有限元分析
F
节点1
单元①
节点2
节点2
单元②
节点3
4.1 概述
4.1.2 杆系单元
? 分类
? 桁架单元：桁架中的杆件 ? 刚架单元：刚架中的杆件
? 区别：
桁架节点：铰节点
传递力！
刚架节点：刚节点
传递力和力矩！
4.1 概述
4.1.3 杆系单元的有限元分析
与平面问题和空间问题比较， ? 基本流程完全相同； ? 具体计算细节需要按照杆系单元的特性来进行。
4.2.4 应力
? 应力分量 拉压直杆只有轴向应力：
? 物理方程的推导
4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.5 单元刚度矩阵
4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.5 单元节点等效载荷 （轴向载荷）
? 集中力 根据离散的要求，集中力直接施加在所处节点上
? 体力 轴向分布载荷q(x)
推导依据：
? 面力 按照集中载荷施加在面所在的节点上
4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.6 平面桁架的有限元分析
? 网格离散
Y
? 单元分析
? 整体分析
④
4
③ 300mm
① 1
400mm
25kN 3
②
2
X
20kN
4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.6 平面桁架的有限元分析
? 网格离散 ? 单元分析：在局部坐标系下建立单元平衡方程 ? 整体分析：在整体坐标系下组装整体平衡方程
4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.1 拉压直杆 （单元描述）
? 几何形状：等截面A,长度为l
? 载荷q：沿轴线分布
? 节点：2个
? 局部坐标系：沿轴线定义的一维坐标系 ox
因此， ? 节点坐标
在x轴的坐标： xi , xj ? 节点位移（自由度）
ui
i l
沿x轴的位移： ui , uj ? 单元节点位移列阵
? 工程中常见类型 ? 拉压直杆，桁架（平面和空间），梁（简支悬臂梁等），刚架 （平面和空间）
4.1 概述
4.1.2 杆系单元
? 定义 杆系结构中的杆件、梁、柱等称为杆系单元。连接的点称为节点。 杆系单元为一维单元。
? 结构离散
一般原则： 杆系的交叉点、边界点、集中力作用点、杆件截面尺 寸突变处等都应该设置节点，节点之间的杆件即构成单元。
弯曲公式：? ? dv
dx
M
?
EI
d 2v dx2
Q
?
EI
d 3v dx3
应变和应力公式：
?
?
?
y
d 2v dx2
?
?
E?
?
? Ey
d 2v dx2
4.3 梁的有限元分析
4.3.1 纯弯梁单元 (单元描述)
? 节点坐标值：xi=0, xj=l ? 节点位移值：挠度vi和转角θi ? 节点力：弯距 Mi 和剪力 Qi
第四章 杆系结构的有限元法
章节目录 4.1 概述 4.2 拉压直杆的有限元分析 4.3 梁的有限元分析 4.4 刚架的有限元分析
4.1 概述
4.1.1 杆系结构
? 定义 由有限根杆件在它们的端点处相互连接而成的结构
? 分类 ? 平面杆系：各杆轴线和外力作用线在一个平面内 ? 空间杆系：各杆轴线和外力作用线不在一个平面内
4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.6 平面桁架的有限元分析
在整体坐标系下的单元刚度矩阵为：
4.3 梁的有限元分析
4.3.1 纯弯梁单元 (单元描述)
? 几何形状：长度l，横截面为A。 ? 材料属性：弹性模量E，横截面的惯性矩为I。 ? 节点：i , j 共2个 ? 局部坐标系：oxy
4.3 梁的有限元分析
因此，
? 单元位移列阵：
? ? ?? ?
?
单元载荷列阵：
e?
vi
?i
vj
?T j
? ? ? ?F e ? Qi M i Qj M j T
4.3 梁的有限元分析
4.3.2 位移模式
代入单元两个节点的坐标和 位移条件，即可求解四个待定 常数a1-a4：
4.3 梁的有限元分析
4.3.3 应变
弯曲公??式ddxv：M?EIdd2v2x
O
ui Ui
Vj uj x
Uj j
?
X
从整体坐标到局部坐标的
[ 坐标变换矩阵 T ]
4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.6 平面桁架的有限元分析 推导：
注意：局部
坐标系下的 应力和应变
4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.6 平面桁架的有限元分析
因此，单元刚度矩阵在局部坐标系和整体坐标系下的变换式：
因此，组装过程中需要两个坐标系之间的转换：
? 整体坐标系:OXY ? 局部坐标系: Oxy
Y y
i ?
O
jx X
4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.6 平面桁架的有限元分析
? 整体坐标系OXY ：节点位移为Ui ,Vi (i , j)
? 局部坐标系 Oxy： 节点位移为ui ,uj 则有：
Y
y
Vi i
uj
x j
4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.2 位移模式
? 单元位移模式的推导
? 位移模式
ui
i l
uj
x j
? 形函数
NN? [ i
N
j
]
?
1[(l
l
??x j
x) ??(xi
x)]
4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.3 应变
? 应变分量 拉压直杆只有轴向应变：
? 几何方程的推导
4.2 拉压直杆的有限元分析
因此： 刚架单元＝杆单元＋梁单元
? 局部坐标系: oxyz
4.4 刚架的有限元分析
4.4.1 平面刚架 两个坐标系： ?局部坐标系 ?整体坐标系
4.4 刚架的有限元分析
4.4.2 平面刚架单元（单元描述：局部坐标系下）
? 节点位移 ? 轴向位移 ? 横向位移 ? 绕z轴的转角
? 节点载荷 ? 轴向力 ? 剪力 ? 弯矩
d3v Q?EdI 3x
应变和应力???公ydd2式2vx ?：?E???Eydd2v2x
4.3 梁的有限元分析
4.3.4 应力 4.3.5 单元刚度矩阵
单元平衡方程：
?F? e ? ?k???? e
4.3 梁的有限元分析
4.3.6 等效节点载荷
? 若存在集中力或者集中力矩，将作用点取为节点 ? 若存在分布载荷，按照虚功等效的原则进行计算
?F? e ? ??N ?T q?x?dx
? 适用情况：截面高度小于长度的1/5的杆系结构。 原因：单元的位移模式，决定了没有考虑剪切挠度。
4.3 梁的有限元分析
4.3.7 应用实例
12kN/m
1 1m
2
3
1m
4.4 刚架的有限元分析
4.4.1 平面刚架
? 相互独立的两种变形形式 ? 轴向拉压 ? 面内弯曲
刚架的有限元分析
? 4.4.2 平面刚架单元（单元描述：局部坐标系下）
因此，局部坐标系下： 单元节点位移列阵： 单元节点载荷列阵：
ຫໍສະໝຸດ Baidu
4.4 刚架的有限元分析
F
节点1
单元①
节点2
节点2
单元②
节点3
4.1 概述
4.1.2 杆系单元
? 分类
? 桁架单元：桁架中的杆件 ? 刚架单元：刚架中的杆件
? 区别：
桁架节点：铰节点
传递力！
刚架节点：刚节点
传递力和力矩！
4.1 概述
4.1.3 杆系单元的有限元分析
与平面问题和空间问题比较， ? 基本流程完全相同； ? 具体计算细节需要按照杆系单元的特性来进行。
4.2.4 应力
? 应力分量 拉压直杆只有轴向应力：
? 物理方程的推导
4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.5 单元刚度矩阵
4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.5 单元节点等效载荷 （轴向载荷）
? 集中力 根据离散的要求，集中力直接施加在所处节点上
? 体力 轴向分布载荷q(x)
推导依据：
? 面力 按照集中载荷施加在面所在的节点上
4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.6 平面桁架的有限元分析
? 网格离散
Y
? 单元分析
? 整体分析
④
4
③ 300mm
① 1
400mm
25kN 3
②
2
X
20kN
4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.6 平面桁架的有限元分析
? 网格离散 ? 单元分析：在局部坐标系下建立单元平衡方程 ? 整体分析：在整体坐标系下组装整体平衡方程
4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.1 拉压直杆 （单元描述）
? 几何形状：等截面A,长度为l
? 载荷q：沿轴线分布
? 节点：2个
? 局部坐标系：沿轴线定义的一维坐标系 ox
因此， ? 节点坐标
在x轴的坐标： xi , xj ? 节点位移（自由度）
ui
i l
沿x轴的位移： ui , uj ? 单元节点位移列阵
? 工程中常见类型 ? 拉压直杆，桁架（平面和空间），梁（简支悬臂梁等），刚架 （平面和空间）
4.1 概述
4.1.2 杆系单元
? 定义 杆系结构中的杆件、梁、柱等称为杆系单元。连接的点称为节点。 杆系单元为一维单元。
? 结构离散
一般原则： 杆系的交叉点、边界点、集中力作用点、杆件截面尺 寸突变处等都应该设置节点，节点之间的杆件即构成单元。