武汉大学硕士2014级数值分析期末考题

武 汉 大 学

2014~2015学年第一学期硕士研究生期末考试试题 科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名：

一、（12分）已知方程0410=-+x e x 在]4.0,0[内有唯一根。

（1）迭代格式A ：)104ln(1n n x x -=+；迭代格式B ：)4(10

11n x n e x -=+ 试分析这两个迭代格式的收敛性；

（2）写出求解此方程的牛顿迭代格式。

二、（12分）用Doolittle 分解法求线性方程组Ax b =的解，并求行列式A 。 其中

244378112A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 386018b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

三、（14分）设方程组

11

223300a c x d c b a x d a c x d , 且0

abc

（1） 分别写出Jacobi 迭代格式及Gauss-Seidel 迭代格式；

（2） 导出Gauss-Seidel 迭代格式收敛的充分必要条件。

四、（12分）已知 )(x f y = 的数据如下：

求)(x f 的Hermite 插值多项式)(3x H 及其余项。

五、（12

求常数a , b , 使

3

220[]min i i i i ax bx y

六、（12分）确定常数 a ，b 的值，使积分

1

20()x I a bx e dx

取得最小值。

七、（14分）设)(x f 在],[b a 上二阶导数连续。将],[b a n 等分，分点为

b x x x a n =<<<= 10，步长n

a b h -= （1）证明中矩形公式

11()()2i i x i i x x x f x dx hf ………………（*） 的误差为： 311()[,]24i i i i R

h f x x （2）公式（*）是否为高斯型求积公式？ （3）写出求 ⎰b a

dx x f )( 的复化中矩形公式及其误差。

八、（12分）对于下面求解常微分方程初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧==0

0)(),(y x y y x f dx dy 的改进欧拉法：

1121

21()2(,)(,)n n n n n n h y y k k k f x y k f x h y hk （1）确定此方法的绝对稳定域；

（2）用此方法求解如下初值问题：

22

(0)1

y x y y ]1,0[∈x 。（取步长5.0=h ）