(仅供参考)电磁场理论典型习题

|E| |B|
r
9
9r
将坐标代入得
cosα = 2(−3) − 2 ⋅ 4 − 5 = − 19
9 50
45 2
所以
α = cos−1(− 19 )
45 2
1.11 求标量函数 u = x2 yz 在点(2,3,1)处沿矢量
evl = evx
3 50
+
evy
4 50
+
evz
解 1： | evl |= 1，所以
v A
⋅
v dl
=
2π (−a cosϕ sin ϕ + a3 cos2 ϕ sin 2 ϕ)adϕ
C
0
∫= 2π (− a sin 2ϕ + a3 sin2 2ϕ)adϕ
02
4
∫= 2π [− a sin 2ϕ + a3 (1− cos 4ϕ)]adϕ = πa4
02
8
4
evx evy evz
∇
3
z = −0.5
3
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (3)
v A
⋅
v dS
=
v A
⋅
v dS
=
v A
⋅
v dS
+
v A
⋅
v dS
+
v A
⋅
v dS
+
Av ⋅
v dS
S
S
x = −0.5
x=0.5
y = −0.5
y =0.5
∫ ∫ +
v A
⋅
v dS
+
v A
⋅
v dS
z = −0.5
z =0.5
∫ ∫ ∫ ∫ = x=−0.5 − Axdydz + x=0.5 Axdydz + y=−0.5 − Aydxdz + y=0.5 Aydxdz
4,
-5) 处
v E
与矢量
Bv = evx 2 − evy 2 + evz 构成的夹角。
解：(1)
|
v E
|=
25 r2
=
x2
25 + y2
+
z2
，将
x=-3,
y=4,
z=-5 代入得
在点(-3,
4,
-5)处的 |
Ev
|=
(−3)2
+
25 42 +
(−5)2
= 25 = 1 50 2
evr
=
rv r
⋅
v X
)
v A
−
(
v A
⋅
vv A) X
=
p
v A
−
(
v A
⋅
v A)
v X
所以
v X
=
p
v A
−v A
⋅AvAv×
Pv
1.9
用球坐标表示的矢量场
v E
=
evr
25
r2 。
(1) 求在直角坐标系中点(-3, 4, -5)处的| Ev | 和 Ez 。
(2)
求 在 直 角 坐 标 系 中 点 (-3,
( 2 ,3,1)
( 2 ,3,1)
( 2, 3,1)
= 12 3 + 4 4 +12 5 = 112
50 50
50 50
解 2：
∇u
=
evx
∂u ∂x
+
evy
∂u ∂y
+
evz
∂u ∂z
=
evx 2xyz
+
evy x2 z
+
evz x2 y
∇u (2,3,1) = evx12 + evy 4 + evz12
v A
=
∂Ax
+ ∂Ay
+
∂Az
= 2x + 2x2 y + 72x2 y2 z2
∂x ∂y ∂z
(2)
∫ ∫ ∫ ∫ ∇
⋅
v AdV
=
0.5
0.5
0.5 (2x + 2x2 y + 72x2 y2 z 2 )dxdydz
V
−0.5 −0.5 −0.5
∫ ∫ =
0.5 −0.5
0.5 −0.5
( x2
∫ ∫ + z=−0.5 − Azdxdy + z=0.5 Azdxdy
∫ ∫ ∫ ∫ =
− x2dydz + x2dydz +
− x2 y2dxdz + x2 y2dxdz
x = −0.5
x=0.5
y = −0.5
y = 0.5
∫ ∫ +
− 24x2 y2 z3dxdy + 24x2 y2 z3dxdy
1.22 求矢量场
v A
=
evx x
+
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evy xy2
沿圆周
x2
+
y2
=
a2
的线积分，
再计算
∇
×
v A
对此圆面积的积分。
∫ ∫ 解：
v A
⋅
v dl
=
C
2π 0
v A
⋅
evϕ
adϕ
x = a cosϕ ， y = a sinϕ ， evϕ = −evx sin ϕ + evy cosϕ
∫ ∫ 所以，
+
2 3
x3
y
+
24 x 3
y2
z2
) x=0.5 x = −0.5
dydz
∫ ∫ = 0.5 0.5 ( 0.5 y + 6 y2 z2 )dydz 3 −0.5 −0.5
∫ ∫ =
0.5 0.5 (
6 −0.5
y2
+
2
y
3
z
2
)
y y
=0.5 =−0.5
dz
=
0.5 0.5z 2dz
−0.5
= 0.5 z3 z=0.5 = 0.125
z = −0.5
z =0.5
= −0.25 + 0.25 − 0.25 ⋅ 0.25 + 0.25 ⋅ 0.25
3
3
− 24 ⋅ 0.25 ⋅ 0.25 (−0.125) + 24 ⋅ 0.25 ⋅ 0.25 ⋅ 0.125 = 0.125
33
33
3
可见，
∫V∇ ⋅
v AdV
=
∫S
v A
⋅
v dS
，即散度定理成立。
×
v A
=
∂
∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
= evz y2
= evzr 2 sin 2 ϕ
x xy2 0
∫ ∫ ∫ ∫ ∇
×
v A
⋅
v dS
=
y2dS = 2π a r 2 sin 2 ϕ rdrdϕ
S
S
00
∫ ∫ = 2π a4 sin 2 ϕ dϕ = 2π a4 1− cos 2ϕ dϕ = πa4
∂u ∂l
= ∇u ⋅ evl
= 12
3 +4 50
4 +12 50
5 = 112 50 50
1.18
(1)
求矢量场
v A
=
evx
x2
+
evy
x2
y2
+
evz
24 x 2
y2
z3
的散度；
(2)
∇
⋅
v A
对中心在原点的单位立方体的积分；(3)
求
v A
对此立方体表面的积分，验证散度定理。
解：(1)
∇
⋅
5
50 的方向导数。
cosα =
3 50
，
cos
β
=
4 50
， cosγ
=
5 50
∂u = ∂u cosα + ∂u cos β + ∂u cosγ
∂l (2,3,1) ∂x (2,3,1)
∂y ( 2 ,3,1)
∂z (2,3,1)
= 2xyz cosα + x2 z cos β + x2 y cos γ
电磁场理论习题课
第一章、矢量分析与场论
1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量
积，那么便可以确定该未知矢量。设
v A
为已知矢量，
p
=
v A
⋅
Xv
， Pv
=
v A
×
Xv
，
p
和 Pv
已知，试求未知矢量
v X
。
解：因为
v P
=
v A
×
v X
,有
v A
×
v P
=
v A
×
(
v A
×
v X)
=
(
v A
=
evx x + evy y r
+ evz z
Ez
=
v E
⋅
evz
=
25 r2
evr
⋅ evz
=
25z r3
=
(x2
+
25z y2 +
z2 )3
2
将坐标代入得
Ez
=
25(−5) 503 2
=
−
1 22
(2)
v Ev
⋅
v Bv
= evx x + evy y + evz z ⋅ evx 2 − evy 2 + evz = 2x − 2 y + z = cosα