解三角形正余弦定理(学生)

解三角形：正弦定理，余弦定理
一、基础归纳
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则
2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1
2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .
3．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：
a ＝
b sin A
b sin A <a <b
a ≥b
a >b
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( ) (2)在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B .( )
(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( )
(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，三角形为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2<0时，三角形为钝角三角形．( )
(5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．( ) 二、考点自测
1．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝120°，a ＝2，b ＝23
3，则B 等于( )
A.π3
B.5π6
C.π6或5π6
D.π6
2．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为
3
2
，则BC 的长为( ) A.
3
2
B. 3 C ．2 3 D ．2 3．(2015·北京)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2A
sin C
＝________.
4．(教材改编)△ABC 中，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为________三角形．
5．(2015·杭州二中高中第二次月考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋3b sin C －a －c ＝0，则角B ＝________. 三、典例讲解
题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形
例1 (1)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．0个
D ．无法确定
(2)在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝2∶1，c 2＝b 2＋2bc ，则三内角A ，B ，C 的度数依次是________． (3)(2015·广东)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π
6
，则b ＝________.
(1)(2015·三门峡模拟)已知在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值
范围是( )
A ．x ＞2
B ．x ＜2
C ．2＜x ＜2 2
D ．2＜x ＜23 (2)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________． 题型二 和三角形面积有关的问题
例2 (2015·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π4，b 2－a 2＝1
2c 2.
(1)求tan C 的值；
(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值．
(2015·天津七校4月联考)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝3b sin A
－a cos B . (1)求角B ；
(2)若b ＝2，△ABC 的面积为3，求a ，c .
题型三 正弦、余弦定理的简单应用 命题点1 判断三角形的形状
例3 (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c
b <cos A ，则△ABC 为( )
A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．等边三角形
(2)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c
2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )
A ．等边三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形或直角三角形
D ．等腰直角三角形 命题点2 求解几何计算问题
例4 (2015·课标全国Ⅱ)如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD
面积是△ADC 面积的2倍． (1)求
sin B
sin C
； (2)若AD ＝1，DC ＝2
2
，求BD 和AC 的长．
(1)(2015·马鞍山模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ，若c －a cos B
＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( )
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰或直角三角形
(2)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝22
3，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长
为______．
典例在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a －c ＝6
6
b ，sin B ＝6sin C . (1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π
6的值．
课后作业：A 组 专项基础训练
1．在△ABC 中，若a ＝4，b ＝3，cos A ＝1
3，则B 等于( )
A.π4
B.π3
C.π6
D.2π
3
2．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C 等于( ) A.2π3 B.π3 C.3π4 D.5π6
3．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( )
A ．一定是锐角三角形
B ．一定是直角三角形
C ．一定是钝角三角形
D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3
，则△ABC 的面积是( )
A ．3 B.932 C.33
2
D ．33
5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin A
sin C ＋sin B ，则B 等于( )
A.π6
B.π4
C.π3
D.3π4
6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为________． 7．(2015·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－1
4
，则a 的值为________．
8．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．
9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B .
(1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝4
5，求△ABC 的面积．
10．(2015·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos B ＝33，sin(A ＋B )＝69
，ac ＝23， 求sin A 和c 的值．
B 组 专项能力提升
11．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32 B.33
2 C.3＋62
D.
3＋39
4
12．在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π
4
，tan A ＝2，则a ＝______.
13．(2015·重庆)在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________. 14．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．
15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C
2，BC
边上的中线AM 的长为7. (1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的面积．
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。