实际问题与二次函数练习题(含答案)

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中考数学高频考点《实际问题与二次函数》专项练习题-带答案

中考数学高频考点《实际问题与二次函数》专项练习题-带答案一、单选题1．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝10t-5t2，那么球从弹起后又回到地面所经过的总路程是（）A．5米B．10米C．1米D．2米2．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头2米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离OC是（）A．6米B．5米C．4米D．1米3．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A．y=﹣2x2B．y=2x2C．y=﹣ x2D．y= x24．周长8m的铝合金制成如图所示形状的矩形窗柜，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（）m 2A．45B．83C．4 D．565．如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH．已知∠DFE=∠GFH=120°，FG=FE，设OC=x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）A．y= √32x2B．y= √3x2C．y=2 √3x2D．y=3 √3x26．如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC＋BD＝12，则四边形ABCD的面积最大值是（）．A．12 B．18 C．20 D．247．如图，正方形ABCD的顶点A（0，√22），B（√22，0），顶点C，D位于第一象限，直线x=t，（0≤t≤√2），将正方形ABCD分成两部分，设位于直线l左侧部分（阴影部分）的面积为S，则函数S与t的图象大致是（）A．B．C．D．8．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h （单位： m ）与小球运动时间t（单位： s ）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是 40m ；②小球运动的时间为 6s ；③小球抛出3秒时，速度为0；④当t=1.5s时，小球的高度h=30m．其中正确的是（）A．①④B．①②C．②③④D．②④二、填空题9．飞机着陆后滑行的距离s（米）关于滑行的时间t（秒）的函数表达式是s=60t-1.5t2，则飞机着陆后滑行直到停下来滑行了米．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=(x-2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，过点A作AD∥y轴，交BC于点D，点P在BC下方的抛物线上(不与点B，C重合)，连接PC，PD，设△PCD的面积为S，则S的取值范围是。

22.3 实际问题与二次函数同步练习(附答案)

22.3 实际问题与二次函数第1课时二次函数与图形面积1．如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积为() A．60 m2B．63 m2C．64 m2D．66 m22．如图，利用一面墙(墙的长度不超过45 m)，用80 m长的篱笆围一个矩形场地．当AD＝时，矩形场地的面积最大，最大值为.第1题图第2题图第3题图第4题图3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿AB向B 点以2 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以1 cm/s的速度移动，如果P，Q 分别从A，B同时出发，当△PBQ的面积最大时，运动时间t为s.4．如图，在正方形ABCD中，E为BC上的点，F为CD边上的点，且AE＝AF，AB＝4，设EC ＝x，△AEF的面积为y，则y与x之间的函数关系式是．5．用长为20 cm的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为x cm，面积为y cm2.(1)求出y与x的函数关系式；(2)当边长x为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？6．如图，要利用一面墙(长为30 m)建羊圈，用100 m长的围栏围成两个大小相同的矩形羊圈，每个羊圈留有一个1 m宽的门(留门部分不需要围栏)，若宽用x(m)表示，总面积用y(m2)表示．(1)写出总面积y(m2)与宽x(m)的函数关系式；(2)当面积y＝624时，求羊圈的宽x的值．7．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm，菱形的面积S(单位：cm2)随其中一条对角线的长x(单位：cm)的变化而变化．(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；(2)当x是多少时，菱形风筝面积S最大？最大面积是多少？8．用一段长为24 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，若墙长8 m，则这个养鸡场最大面积为 m2.9．如图，在边长为6 cm的正方形ABCD中，点E，F，G，H分别从点A，B，C，D同时出发，均以1 cm/s的速度向点B，C，D，A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为3s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是cm2.10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝12 cm，点P是AB边上的一个动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，当PB＝时，四边形PECF的面积最大，最大值为.11．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28 m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝x m.(1)若花园的面积为192 m2，求x的值；(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值．12．用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x 米，面积为y 平方米．(1)求y 关于x 的函数解析式；(2)当x 为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．13．如图，正方形ABCD 的边长为2 cm ，△PMN 是一块直角三角板(∠N ＝30°)，PM ＞2 cm ，PM 与BC 均在直线l 上，开始时M 点与B 点重合，将三角板向右平行移动，直至M 点与C 点重合为止．设BM ＝x cm ，三角板与正方形重叠部分的面积为y cm 2.下列结论：①当0≤x ≤233时，y 与x 之间的函数关系式为y ＝32x 2；②当233<x ≤2时，y 与x 之间的函数关系式为y ＝2x －233；③当MN 经过AB 的中点时，y ＝32cm 2； ④存在x 的值，使y ＝12S 正方形ABCD (S 正方形ABCD 表示正方形ABCD 的面积)．其中正确的是 (写出所有正确结论的序号)．第2课时二次函数与商品利润1．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售价为x 元，则可卖出(350－10x)件商品，那么卖出商品所赚钱y(元)与售价x(元)之间的函数关系式为( )A ．y ＝－10x 2－560x ＋7 350 B ．y ＝－10x 2＋560x －7 350 C ．y ＝－10x 2＋350x D ．y ＝－10x 2＋350x －7 3502．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元(20≤x ≤30，且x 为整数)出售，可卖出(30－x)件．若使利润最大，则每件商品的售价应为元．3．中考前，某校文具店以每套5元购进若干套考试用具，为让利考生，该店决定售价不超过7元，在几天的销售中发现每天的销售数量y(套)和售价x(元)之间存在一次函数关系，绘制图象如图．(1)y与x的函数关系式为(要求写出x的取值范围)；(2)设销售该套文具每天获利w元，则销售单价应为多少元时，才能使文具店每天的获利最大？最大利润是多少？4．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，该件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为()A．5元B．10元C．0元D．6元5．某商场销售一批品牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．(1)若商场平均每天盈利1 200元，每件衬衫应降价多少元？(2)想要平均每天盈利最多，每件衬衫应降价多少元？6．喜迎圣诞，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件．设每件商品的售价上涨x 元(x 为正整数)，每星期销售该商品的利润为y 元，则y 与x 的函数关系式为( )A ．y ＝－10x 2＋100x ＋2 000 B ．y ＝10x 2＋100x ＋2 000 C ．y ＝－10x 2＋200x D ．y ＝－10x 2－100x ＋2 0007．某商品进货单价为30元，按40元一个销售能卖40个；若销售单价每涨1元，则销量减少1个．为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为元．8．某工厂生产的某种产品按产量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件产品，每件利润6元(第一档)．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．(1)若生产第x 档次的产品一天的总利润为y 元(其中x 为正整数，且1≤x ≤10)，求出y 关于x 的函数解析式；(2)若生产第x 档次的产品一天的总利润为1 120元，求该产品的质量档次．9．为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1 000 m 2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花．设种草部分的面积为x(m 2)，种草所需费用y 1(元)与x(m 2)的函数关系式为y 1＝⎩⎪⎨⎪⎧k 1x （0≤x<600），k 2x ＋b （600≤x ≤1 000），其图象如图所示．栽花所需费用y 2(元)与x(m 2)的函数关系式为y 2＝－0.01x 2－20x ＋30 000(0≤x ≤1 000)．(1)请直接写出k 1，k 2和b 的值；(2)设这块1 000 m 2空地的绿化总费用为W(元)，请利用W 与x 的函数关系式，求出绿化总费用W 的最大值；(3)若种草部分的面积不少于700 m 2，栽花部分的面积不少于100 m 2，请求出绿化总费用W 的最小值．10．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件．为了促销，该店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元．设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少？(3)若该网店每星期想要获得不低于6 480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？第3课时实物抛物线1.河北省赵县的赵州桥是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y＝－125x2.当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时，这时水面宽度AB为()A．－20 m B．10 m C．20 m D．－10 m2．某隧道横截面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示．以隧道横截面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求得该抛物线对应的函数关系式为．3．有一个抛物线形的立交拱桥，这个拱桥的最大高度为16 m，跨度为40 m，现把它的图形放在坐标系中(如图)．若在离跨度中心5 m处的M点垂直竖立一铁柱支撑拱顶，则这根铁柱的长为m.4．(绵阳中考)如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，水面下降2 m，水面宽度增加 m.5．如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB 和矩形的三边AE ，ED ，DB 组成，已知河底ED 是水平的，ED ＝16 m ，AE ＝8 m ，抛物线的顶点C 到ED 的距离是11 m ．试以ED 所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系，求题中抛物线的函数解析式．6．王大力同学在校运动会上投掷标枪，标枪运行的高度h(m)与水平距离x(m)的关系式为h＝－148x 2＋2324x ＋2，则王大力同学投掷标枪的成绩是 m.7．一名男生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系式是y ＝－112x 2＋23x ＋53，铅球运行路线如图． (1)求铅球推出的水平距离；(2)通过计算说明铅球行进高度能否达到4 m.8．某种火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h ＝－5t 2＋150t ＋10表示．经过 s ，火箭达到它的最高点．9．如图，某大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的解析式是y ＝ax 2＋bx.小强骑自行车从拱梁一端O 沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC ，当小强骑自行车行驶8秒时和28秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC 共需秒．10．王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线y ＝－15x 2＋85x ，如图，其中y(m)是球的飞行高度，x(m)是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2 m.(1)请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴； (2)请求出球飞行的最大水平距离；(3)若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线？求出其解析式．11．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m ，宽是4 m ．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y ＝－16x 2＋bx ＋c 表示，且抛物线上的点C 到墙面OB的水平距离为3 m ，到地面OA 的距离为172m.(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离；(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m ，宽为4 m ，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果灯离地面的高度不超过8 m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？22.3 实际问题与二次函数第1课时二次函数与图形面积1．C2．20m ，800__m 2. 3．2.4．y ＝－12x 2＋4x ．5．解：(1)已知一边长为x cm ，则另一边长为(10－x )cm.则y ＝x (10－x )，化简，得y ＝－x 2＋10x (0＜x ＜10)．(2)y ＝10x －x 2＝－(x 2－10x )＝－(x －5)2＋25. ∴当x ＝5时，y 取最大值，为25.答：当边长x 为5 cm 时，矩形的面积最大，最大面积是25 cm 2. 6．解：(1)y ＝x (100－3x ＋2)，即y ＝－3x 2＋102x (24≤x ≤34)．(2)由题意得－3x 2＋102x ＝624，解得x 1＝8(不合题意，舍去)，x 2＝26. 则羊圈的宽x ＝26.7．解：(1)S ＝－12x 2＋30x.(2)∵S ＝－12x 2＋30x ＝－12(x －30)2＋450，且a ＝－12＜0，∴当x ＝30时，S 有最大值，最大面积为450 cm 2. 8．64 . 9．18.10．6cm ，3__cm 2.11．解：，得x (28－x )＝192，解得x 1＝12，x 2＝16. ∴x ＝12或16.(2)S ＝x (28－x )＝－(x －14)2＋196.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥6，28－x ≥15，解得6≤x ≤13.在6≤x ≤13范围内，S 随x 的增大而增大．∴当x ＝13时，S 最大＝－(13－14)2＋196＝195.12．解：(1)y ＝x (16－x )＝－x 2＋16x (0<x<16)．(2)当y ＝60时，－x 2＋16x ＝60，解得x 1＝10，x 2＝6.∴当x ＝10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米．(3)当y ＝70时，－x 2＋16x ＝70，整理得 x 2－16x ＋70＝0.∵Δ＝256－280＝－24<0， ∴此方程无实数根．∴不能围成面积为70平方米的养鸡场． 13．①②④．第2课时二次函数与商品利润1．B3．(1)y＝－20x＋200(5≤x≤7)；(2)解：根据题意得w＝(x－5)(－20x＋200)＝－20x2＋300x－1 000＝－20(x－7.5)2＋125，∵当x＜7.5时，w随x的增大而增大，∴当x＝7时，文具店每天的获利最大，最大利润是－20×(7－7.5)2＋125＝120(元)．答：销售单价为7元时，才能使文具店每天的获利最大，最大利润是120元．4．A5．解：(1)设每件衬衫应降价x元，∵商场平均每天要盈利1 200元，∴(40－x)(20＋2x)＝1 200.整理，得2x2－60x＋400＝0.解得x1＝20，x2＝10.因为要扩大销售，在获利相同的情况下，降价越多，销售越快，故每件衬衫应降价20元．(2)设商场平均每天赢利w元．则 w＝(20＋2x)(40－x)，＝－2x2＋60x＋800，＝－2(x－15)2＋1 250.∴当x＝15时，w取最大值，为1 250.答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1 250元．6．A7．55．8．解：(1)y＝[6＋2(x－1)]×[95－5(x－1)]，整理，得y＝－10x2＋180x＋400(1≤x≤10)．(2)由－10x2＋180x＋400＝1 120，化简，得x2－18x＋72＝0.解得x1＝6，x2＝12(不合题意，舍去)．∴该产品为第6档次的产品．9．解：(1)k1＝30，k2＝20，b＝6 000.(2)当0≤x<600时，W＝30x＋(－0.01x2－20x＋30 000)＝－0.01x2＋10x＋30 000＝－0.01(x－500)2＋32 500，∵－0.01<0，∴当x＝500时，W取最大值为32 500元．当600≤x≤1 000时，W＝20x＋6 000＋(－0.01x2－20x＋30 000)＝－0.01x2＋36 000，∵－0.01<0，∴当600≤x≤1 000时，W随x的增大而减小．∴当x＝600时，W取最大值为32 400元．∵32 400<32 500，∴W的最大值为32 500元．(3)由题意，得1 000－x≥100，解得x≤900.又∵x≥700，∴700≤x≤900.∵当700≤x≤900时，W随x的增大而减小，∴当x＝900时，W取最小值为27 900元．10．解：(1)y＝300＋30(60－x)＝－30x＋2 100.(2)设每星期的销售利润为W元，依题意，得W＝(x－40)(－30x＋2 100)＝－30x2＋3 300x－84 000＝－30(x－55)2＋6 750.∵－30＜0，∴当x＝55时，W最大＝6 750.答：当每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润是6 750元．(3)由题意，得－30(x －55)2＋6 750＝6 480，解得x 1＝52，x 2＝58.∵抛物线W ＝－30(x －55)2＋6 750的开口向下，∴当52≤x ≤58时，每星期销售利润不低于6 480元．∵在y ＝－30x ＋2 100中，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝58时，y 最小＝－30×58＋2 100＝360.答：每星期至少要销售该款童装360件．第3课时实物抛物线1. C2．y ＝－13x 2． 345解：如图所示．由题知抛物线的顶点坐标为(0，11)，过点B (8，8)，设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋11，将点B 的坐标(8，8)代入抛物线的解析式，得64a ＋11＝8.解得a ＝－364， ∴抛物线的解析式为y ＝－364x 2＋11. 6．48.7．解：(1)当y ＝0时，－112x 2＋23x ＋53＝0，解得x 1＝10，x 2＝－2(不合题意，舍去)． ∴铅球推出的水平距离是10 m.(2)y ＝－112x 2＋23x ＋53＝－112(x 2－8x ＋16)＋43＋53＝－112(x －4)2＋3. 当x ＝4时，y 取最大值3.∴铅球行进高度不能达到4 m ，最高能达到3 m.8．15s ．9．36．10．解：(1)y ＝－15x 2＋85x ＝－15(x －4)2＋165. ∴抛物线y ＝－15x 2＋85x 开口向下，顶点坐标为(4，165)，对称轴为直线x ＝4. (2)令y ＝0，得－15x 2＋85x ＝0. 解得x 1＝0，x 2＝8.∴球飞行的最大水平距离是8 m.(3)要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10 m. ∴抛物线的对称轴为直线x ＝5，顶点为(5，165)．设此时对应的抛物线解析式为y ＝a (x －5)2＋165. 又∵点(0，0)在此抛物线上，∴25a ＋165＝0，a ＝－16125. ∴y ＝－16125(x －5)2＋165，即y ＝－16125x 2＋3225x. 11．解：(1)由题意，得点B 的坐标为(0，4)，点C 的坐标为(3，172)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝c ，172＝－16×32＋3b ＋c. 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝4. ∴该抛物线的函数关系式为y ＝－16x 2＋2x ＋4. ∵y ＝－16x 2＋2x ＋4＝－16(x －6)2＋10， ∴拱顶D 到地面OA 的距离为10 m.(2)当x ＝6＋4＝10时，y ＝－16x 2＋2x ＋4＝－16×102＋2×10＋4＝223＞6， ∴这辆货车能安全通过．(3)当y ＝8时，－16x 2＋2x ＋4＝8，即x 2－12x ＋24＝0，∴x 1＝6＋23，x 2＝6－2 3. ∴两排灯的水平距离最小是6＋23－(6－23)＝43(m )．。

26.3_实际问题与二次函数_(含答案)

实际问题与二次函数一、自主学习1.小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数h=3.5t －4.9t 2(t 的单位：s ；h 的单位：m)可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是( ) A.0.7l s B.0.70 s C.0.63 s D.0.36 s2.行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”.某车的刹车距离s(m)与车速x(km/h)间有下述的函数关系式：s=0.01x 2+0.002x ，现该车在限速140km ∠h 的高速公路上出了交通事故，事后测得其刹车距离为46.5 m ，请推测刹车时汽车________(填“是”或“不是”)超速.3.有一座抛物线型拱桥(如图26－10所示)，正常水位时桥下河面宽20 m ，河面距拱顶4 m(1)在如图26－10所示的平面直角坐标系中，求出抛物线解析式；(2)为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m ，求水面在正常水位基础上涨多少米时，就会影响过往船只?图26－104.某商人开始时，将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可售出100件.他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件.(1)写出售价x(元/件)与每天所得的利润y(元)之间的函数关系式；(2)每件售价定为多少元，才能使一天的利润最大?二、基础巩固5.某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品.(1)如果增加x 台机器，每天的生产总量为y 件，请你写出y 与x 之间的关系式；(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少?6.如图26－11所示，隧道的截面由抛物线AED 和矩形ABCD 构成，矩形的长BC 为8 m ，宽AB 为2 m ，以BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，y 轴是抛物线的对称轴，顶点E 到坐标原点O 的距离为6 m.(1)求抛物线的解析式；(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高4.2 m ，宽2.4 m ，这辆货运卡车能否通过该隧道?通过计算说明你的结论.图26－117.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日生产出的产品全部售出，已知生产x 只玩具熊猫的成本为R(元)，售价每只为P(元)且R 、P 与x 的关系式为R=500+30x ，P=170－2x.(1)当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元；(2)当日产量为多少时，可获得最大利润?最大利润是多少?8.某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如表26－2所示.表26－2若日销售量y是销售价x的一次函数；(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式；(2)要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元?9.图26－12是某段河床横断面的示意图.查阅该河段的水文资料，得到表26－3中的数据.图26－12图26－13表26－3(1)请你以表26－3中的各对数据(x，y)作为点的坐标，尝试在图26－13所示的坐标系中画出y关于x的函数图象；(2)①填写表26－4.表26－4②根据所填表中数据呈现的规律，猜想出用x表示y的二次函数关系式：________.(3)当水面宽度为36 m时，一船吃水深度(船底部到水面的距离)为1.8 m的货船能否在这个河段安全通过?为什么?三、能力提高10.学校要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰好在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线距径落下.且在过OA的任意平面上的抛物线如图26－14所示，建立平面直角坐标系(如图26－15所示)，水流喷出的高度y(m)与水面距离x(m)之间的函数关系式是y=－x2+2325x，请回答下列问题：图26－14 图26－15（1）花形柱子OA的高度；(2)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不至于落在池外?11.《西游记》中的孙悟空对花果山的体制进行全面改革后，为了改善旅游环境，决定对水帘洞进行改造翻新，计划在水帘洞前建一个由喷泉组成的水帘门洞，让游客在进入水帘洞前先经过一段由鹅卵石铺就的小道，小道两旁布满喷水管，每个喷管喷出的水最高达4 m ，落在地上时距离喷水管4 m ，现在设如图26－16是喷泉所经过的路线，与喷头A 和喷泉落地点B 的连线为横轴，AB 垂直平分线为纵轴建立直角坐标系.问小道的边缘距离喷水管至少应为多少米，才能使身高不大于1.75 m 的游客进入水帘洞时不会被水淋湿?图26－112.我区某镇地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，我区政府对该花木产品每投资x 万元，所获利润为P=501-(x －30)2+10万元.为了响应我国西部大开发的宏伟决策，我区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元.若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通.公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资x 万元可获利润Q=308)50(5194)50(50492+-+--x x 万元.(1)若不进行开发，求10年所获利润的最大值是多少?(2)若按此规划进行开发，求10年所获利润的最大值是多少?(3)根据(1)、(2)计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法.13.在体育测试时，初三的一名高个子男同学在推铅球.已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图26－17所示，如果这个男同学的出手处A 点的坐标(0，2)，铅球路线的最高处B 点的坐标为(6，5).(1)求这个二次函数的解析式；(2)该男同学把铅球推出去多远?(精确到0.01 m ，15=3.873)图26－17四、模拟链接1 14、设抛物线y=2x 2+kx+1－2k(k 为常数)与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A 点在原点O 的左侧，B 点在原点O 的右侧，满足(OA+OB)2－OC=429(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在D 、E 两点，使AO 恰为△ADE 的中线，若存在，求出△ADE 的面积，若不存在，说明理由.15.已知抛物线y=x 2+(2n －1)x+n 2－1(n 为常数).(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式； (2)如图26－18所示，设A 是(1)所确定的抛物线上位于x 轴下方且在对称轴左侧的一个动点，过A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点D ，再作AB ⊥x 轴于B ，DC ⊥x 轴于C.①当BC=1时，求矩形ABCD 的周长；②试问矩形ABCD 的周长是否存在最大值?如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A 点的坐标；如果不存在，请说明理由.图26－1816.已知OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，OA=10，OC=6.(1)如图26－19甲所示，在OA 上选取一点D ，将△COD 沿CD 翻折，使点O 落在BC 边上，记为E.求折痕CD 所在直线的解析式；(2)如图26－19乙所示，在OC 上选取一点F ，将△AOF 沿AF 翻折，使点O 落在BC 边，记为G.①求折痕AF 所在直线的解析式；②再作GH ∥AB 交AF 于点H ，若抛物线y=121x 2+h 过点H ，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AF 的公共点的个数.(3)如图26－19丙所示：一般地，在以OA 、OC 上选取适当的点I 、J ，使纸片沿IJ 翻折后，点O 落在BC 边上，记为K ，请你猜想：①折痕IJ 所在直线与第(2)题②中的抛物线会有几个公共点；②经过K 作KL ∥AB 与IJ 相交于L ，则点L 是否必定在抛物线上.将以上两项猜想在(1)的情形下分别进行验证.图26－19参考答案一、自主学习1.小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数h=3.5t －4.9t 2(t 的单位：s ；h 的单位：m)可以描述他跳跃时重心高度的变化.如图26－9所示，则他起跳后到重心最高时所用的时间是( )A.0.7l sB.0.70 sC.0.63 sD.0.36 s图26－9答案：D2.行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”.某车的刹车距离s(m)与车速x(km/h)间有下述的函数关系式：s=0.01x 2+0.002x ，现该车在限速140km ∠h 的高速公路上出了交通事故，事后测得其刹车距离为46.5 m ，请推测刹车时汽车________(填“是”或“不是”)超速. 答案：是3.有一座抛物线型拱桥(如图26－10所示)，正常水位时桥下河面宽20 m ，河面距拱顶4 m(1)在如图26－10所示的平面直角坐标系中，求出抛物线解析式；(2)为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m ，求水面在正常水位基础上涨多少米时，就会影响过往船只?图26－10答案：(1)y=251-x+4； (2)0.76 m 4.某商人开始时，将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可售出100件.他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件.(1)写出售价x(元/件)与每天所得的利润y(元)之间的函数关系式；(2)每件售价定为多少元，才能使一天的利润最大? 答案：(1)y=－10x+280x －1600；(2)14y=(x －8)×[l00－(x －10)×10]=(x －8)(100－10x+100) =(x －8)(－l0x+200)=－10x+280x －1600 当x=)10(22802-⨯-=-a b =14，因为y=－10x+280x －1600中的a ＜0，故此时y 有最大值.二、基础巩固5.某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品.(1)如果增加x 台机器，每天的生产总量为y 件，请你写出y 与x 之间的关系式；(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少?答案：(1)y=－4x+64x+30720；(2)增加8台机器，最大生产总量是30976件 y=(80+x)(384－4x)=4x+64x+30720因为y=－4x+64x+30720=－4(x －8)2+30976 所以x=8时，y 最大值=30976.6.如图26－11所示，隧道的截面由抛物线AED 和矩形ABCD 构成，矩形的长BC 为8 m ，宽AB 为2 m ，以BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，y 轴是抛物线的对称轴，顶点E 到坐标原点O 的距离为6 m.图26－11(1)求抛物线的解析式；(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高4.2 m ，宽2.4 m ，这辆货运卡车能否通过该隧道?通过计算说明你的结论. 答案：(1)y=41-x+6;(2)这辆货运卡车能通过隧道. 由图可设抛物线解析式为y=ax+c ，由题可知A(－4，2)，E(0，6)，c=6，代入，得2=(41-)2a+6，a=41-，故解析式为y=41-x+6；当x=2.4时，y=41-×2.42+6=4.56＞4.2，所以这辆货运卡车能通过隧道.7.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日生产出的产品全部售出，已知生产x 只玩具熊猫的成本为R(元)，售价每只为P(元)且R 、P 与x 的关系式为R=500+30x ，P=170－2x.(1)当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元； (2)当日产量为多少时，可获得最大利润?最大利润是多少? 答案：(1)日产量为25只；(2)当日产量为35只时，可获得最大利润，最大利润是1950元.设生产x 只玩具熊猫的利润为y 元，依题意得y=px －－2x)x －(500+30x)=－2x+140x －500，令y=1750，即－－500=1750，解得x 1=25，x=45，但x=45＞40去，所以当日产量为25只时，每日获得的利润为1750元. 对于y=－2x+140x －500，a=－2＜0，x=)2(21402-⨯-=-a b =35时，y 最大值=)2(4140)500()2(44422-⨯--⨯-⨯=-ab ac =1950. 8.某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如表26－2所示.表26－2若日销售量y 是销售价x 的一次函数；(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式；(2)要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元?答案：(1)9=－x+40； (2)应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元.9.图26－12是某段河床横断面的示意图.查阅该河段的水文资料，得到表26－3中的数据.图26－12 表26－3(1)请你以表26－3中的各对数据(x ，y)作为点的坐标，尝试在图26－13所示的坐标系中画出y 关于x 的函数图象；图26－13(2)①填写表26－4.表26－4②根据所填表中数据呈现的规律，猜想出用x 表示y 的二次函数关系式：________.(3)当水面宽度为36 m 时，一船吃水深度(船底部到水面的距离)为1.8 m 的货船能否在这个河段安全通过?为什么? 答案：(1)略； (2)表略， y=2001x ； (3)这货船不能通过这河段.三、能力提高10.学校要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ，O 恰好在水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线距径落下.且在过OA 的任意平面上的抛物线如图26－14所示，建立平面直角坐标系(如图26－15所示)，水流喷出的高度y(m)与水面距离x(m)之间的函数关系式是y=－x 2+2325+x ，请回答下列问题：图26－14 图26－15 （1）花形柱子OA 的高度；(2)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不至于落在池外?答案：(1)1.5m ；(2)半径至少是3m ，一段由鹅卵石铺就的小道，小道两旁布满喷水管，每个喷管喷出的水最高达4 m ，落在地上时距离喷水管4 m ，现在设如图26－16是喷泉所经过的路线，与喷头A 和喷泉落地点B 的连线为横轴，AB 垂直平分线为纵轴建立直角坐标系.问小道的边缘距离喷水管至少应为多少米，才能使身高不大于1.75 m 的游客进入水帘洞时不会被水淋湿?图26－1答案：小道边缘距离喷水管至少应为1 m.由已知，得A(－4，0)，B(4，0)，抛物线的顶点C(0，4). 设抛物线的关系式为y=ax+4，把x=4，y=0代入，得16a+4=0，解得a=41-，故抛物线的关系式为y=41-x+4；为了让身高1.75m 的游客不会被喷泉淋湿，抛物线上的点到小道的边缘的距离应不小于1.75 m 设E 是抛物线上纵坐标为1.75的点，当y=1.75时，41-x+4=1.75，解得x=±3，所以E 点的坐标为(－3，1.75).作ED ⊥x 轴，则D(－3，0)，从而AD=1.12.我区某镇地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，我区政府对该花木产品每投资x 万元，所获利润为P=501-(x －30)2+10万元.为了响应我国西部大开发的宏伟决策，我区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元.若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通.公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资x万元可获利润Q=308)50(5194)50(50492+-+--x x 万元. (1)若不进行开发，求10年所获利润的最大值是多少? (2)若按此规划进行开发，求10年所获利润的最大值是多少? (3)根据(1)、(2)计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法. 答案：(1)10年所获利润的最大值是100万元；(2)3547.5万元； (3)该项目有极大的开发价值.若不开发此产品，按照原来的投资方式，由P=501-(x －30)2+10知，只需从50万元专款中拿出30万元投资，每年即可获得最大利润10万元，则10年的最大利润M 1=10×10=100万元.若对产品开发，在前5年中，当x=25时，每年最大利润是P=501-(25－30)2+10=9.5万元，则前5年的最大利润M 2=9.5×5=47.5万元.设5年中x 万元是用于本地销售的投资，则Q=5049-(50－x)2+5194(50－x)+308知，将余下的(50－x)万元全部用于外地销售的投资，才有可能获得最大利润，则后5年的利润是M 3=[501-(x －30)2+10]×5+(5049-x+5194x+308)×5 =－5(x －20)2+3500，故x=20时，M 3取得最大值为3500万元，所以10年的最大利润为M=M 2+M 3=47.5+3500=3547.5万元，因为3547.5＞100，故该项目有极大的开发价值. 13.在体育测试时，初三的一名高个子男同学在推铅球.已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图26－17所示，如果这个男同学的出手处A 点的坐标(0，2)，铅球路线的最高处B 点的坐标为(6，5). (1)求这个二次函数的解析式；(2)该男同学把铅球推出去多远?(精确到0.01 m ，15=3.873)图26－17答案：(1)y=121-x+x+2；(2)13.75m 设二次函数的解析式为y=a(x －h)2+k ，顶点坐标为(6，5) ∴y=a(x －6)2+5， A(0，2)在抛物线上， ∴2=62·a+5∴a=121- ∴y=121-(x －6)2+5，y=121-x+x+2. 当y=0时，121-x+x+2=0， x=6±52(舍6－52).∴x=6+52≈13.75m四、模拟链接14.设抛物线y=2x 2+kx+1－2k(k 为常数)与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A 点在原点O 的左侧，B 点在原点O 的右侧，满足(OA+OB)2－OC=429(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在D 、E 两点，使AO 恰为△ADE 的中线，若存在，求出△ADE 的面积，若不存在，说明理由.答案：(1)y=2x+3x －5；(2)存在抛物线上的D 、E 两点，使AO恰为△ADE 的中线，S △ADE =41015.设x 1，x 是方程2x －kx+1－2k=0的两根. A(x 1，0)，B(x ，0)，x 1＜0＜x. ∴OA=－x 1，OB=x. ∴x 1+x=2k -①x 1·x=221k -＜0②∴k ＞21在抛物线解析式中，令x=0，则y=1－2k.. ∴C(0，1－2k)，∴OC=|1－2k|=2k －1，由(OA+OB)2－OC=429，则(－x+x)2－(2k －1)429∴(x 1+x)2－4x 1 x －(2k －1)=429①②代入得(2k -)2－4×221k -－2k+1=429.∴k 2－8k －33=0 ∴k 1=3或k 2=－11. 但k ＞21， ∴k=－11不合题意，舍去，∴k=3. 则所求抛物线的解析式为y=2x+3x －5.设存在抛物线上的D 、E 两点，使AO 恰为△ADE 的中线. ∴O 是DE 的中点，即D 、E 关于原点对称. 设直线DE 的解析式为y=kx ，联⎩⎨⎧-+==5322x x y kxy∴2x+(3－k)x －5=0 ③设D(x 1，y 1)，E(x ，y 2)，x 1，x 是方程③的解， ∴x 1+x=23k--=0， ∴k=3代入方程③中. ∴2x －5=0，∴x=±210，∴y=±2103. 易求A(25-，0)，B(1，0). ∴S △ADE =2S △AOE =2×21·AO·|y E |=2×21×25×2103=41015 15.已知抛物线y=x 2+(2n －1)x+n 2－1(n 为常数).(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；(2)如图26－18所示，设A 是(1)所确定的抛物线上位于x 轴下方且在对称轴左侧的一个动点，过A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点D ，再作AB ⊥x 轴于B ，DC ⊥x 轴于C. ①当BC=1时，求矩形ABCD 的周长；②试问矩形ABCD 的周长是否存在最大值?如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A 点的坐标；如果不存在，请说明理由.图26－18答案：(1)y=x －3x ；(2)① 6 ②存在最大值,A(21，45-) 由已知条件，得n 2－1=0，解这个方程，得n 1=1，n 2=－1 当n=1时，得y=x+x ，此抛物线的顶点不在第四象限；当n=－1时，得y=x －3x ，此抛物线的顶点在第四象限， ∴所求的函数关系为y=x －3x.由y=x －3x ，令y=0，得x －3x=0，解得x 1=0，x=3. ∴抛物与x 轴的另一个交点为(3，0)， ∴它的顶点为(49,23-)，对称轴为直线x=23.①∵BC=1，由抛物线和矩形的对称性易知OB=21×(3－1)=1， ∴B(1，0).∴点A 的横坐标x=1，又点A 在抛物线y=x －3x 上，∴点A 的纵坐标y=12－3×1=－2， ∴AB=|y|=|－2|=2，∴矩形ABCD 的周长为2(AB+BC)=2×(2+1)=6.②∵点A 在抛物线y=x －3x 上，故可设A 点的坐标为(x ，x －3x)，∴B 点的坐标为(x ，0)·(0＜x ＜23) ∴BC=3－2x ，A 在x 轴下方，∴x －3x ＜0， ∴AB=|x －3x|=3x －x.∴矩形ABCD 的周长P=2[(3x －x)+(3－2x)]=－2(x －21)2+213. ∵a=－2＜0，∴当x=21时，矩形ABCD 的周长P 最大值为213，此时点A 的坐标为A(21，45-)16.已知OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，OA=10，OC=6. (1)如图26－19甲所示，在OA 上选取一点D ，将△COD 沿CD 翻折，使点O 落在BC 边上，记为E.求折痕CD 所在直线的解析式；(2)如图26－19乙所示，在OC 上选取一点F ，将△AOF 沿AF翻折，使点O 落在BC 边，记为G. ①求折痕AF 所在直线的解析式；②再作GH ∥AB 交AF 于点H ，若抛物线y=121-x 2+h 过点H ，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AF 的公共点的个数.图26－19(3)如图26－19丙所示：一般地，在以OA 、OC 上选取适当的点I 、J ，使纸片沿IJ 翻折后，点O 落在BC 边上，记为K ，请你猜想：①折痕IJ 所在直线与第(2)题②中的抛物线会有几个公共点；②经过K 作KL ∥AB 与IJ 相交于L ，则点L 是否必定在抛物线上.将以上两项猜想在(1)的情形下分别进行验证. 答案：(1)CD 的解析式为y=－x+6 由折法知：四边形ODEC 是正方形， ∴OD=OC=6 ∴D(6，0)，C(0，6).设直线CD 的解析式为y=kx+b ，则⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧+=+=610660b k b b k 解得∴直线CD 的解析式为y=－x+6. (2)①AF ∶y=31-x+310③AF 与抛物线只有一个公共点在Rt △ABG 中.因AG=AO=10，故BG=22610-=8，∴CG=2. 没OF=t ，则FG=t ，CF=6－t ，在Rt △CFG 中，t 2=(6－t)2+22，解得t=310，则F(0，310) 设直线AF ∶y=k′x+310，将A(10，0)代入，得k′=31- ∴AF ∶y=31-x+310∵GH ∥AB ，且G(2，6)，可设H(2，y F )，由于H 在直线AF 上， ∴把H 代入直线AF ∶y F =31-×2+310=38，知H(2，38)，又H 在抛物线上，38=121-×22+h ，得h=3. ∴抛物线的解析式为y=121-x+3，再将直线y=31-x+310，代入抛物线y=121-x+3，得121-x+31x 31-=0∵△=(31)2－4×(121-)×(31-)=0，∴直线AF 与抛物线只有一个公共点. (3)可以猜想以下两个结论： ①折痕所在直线与抛物线y=121-x+3只有一个公共点； ②若作KL ∥AB 与IJ 相交于点L ，则L 一定在抛物线y=121-x+3上. 验证①，在图甲中，将折痕CD ：y=－x+6代入y=121-x+3特殊情形I 即为D,J 即为C ，G 即为E ，K 也是E ，KL 即为ED.L就是D ，得121-x+x －3=0. ∵△=1－4×(－3)×(121-)=0，∴.折痕CD 所在直线的确与抛物线y=121-x+3 只有一个公共点.验证②，在图甲的特殊情况中，I 就是C,J 就是D ，那么L 就是D(6，0)，当x=6时，y=21-×62+3=0. ∴点L 在这条抛物线上. 。

22.3.2 实际问题与二次函数(销售最大利润问题)(练习)(解析版)

第二十二章二次函数22.3.2 实际问题与二次函数（销售最大利润问题）精选练习答案基础篇一、单选题（共12小题)1．某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式为y=–4x+440，要获得最大利润，该商品的售价应定为（）A．60元B．70元C．80元D．90元【答案】C【解析】设销售该商品每月所获总利润为w，则w=（x–50）（–4x+440）=–4x2+640x–22000=–4（x–80）2+3600，∴当x=80时，w取得最大值，最大值为3600，即售价为80元/件时，销售该商品所获利润最大，故选C．2．某品牌钢笔进价8元，按10元1支出售时每天能卖出20支，市场调查发现如果每支每涨价1元，每天就少卖出2支，为了每天获得最大利润，其售价应定为（）A．11元B．12元C．13元D．14元【答案】D【解析】设利润为w，由题意得，每天利润为：w=（2+x）（20–2x）=–2x2+16x+40=–2（x–4）2+72．所以当涨价4元（即售价为14元）时，每天利润最大，最大利润为72元．故选D．3．某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天销售量是50件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为x元，每天利润为y元，则y与x之间的函数关系为（）A．y=10x2﹣100x﹣160B．y=﹣10x2+200x﹣360C．y=x2﹣20x+36D．y=﹣10x2+310x﹣2340【答案】B【分析】根据等量关系“利润=（售价﹣进价）×（50+10×降价）”列出函数关系式即可．【详解】根据题意得：y=（x ﹣2）[50+10（13﹣x ）]整理得：y=﹣10x 2+200x ﹣360．故选：B ．【点睛】此题考查了从实际问题中抽象出二次函数关系式，掌握销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键．4．某产品进货单价为9元，按10一件售出时，能售100件，如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10件，设每件产品涨x 元，所获利润为y 元，可得函数关系式为（）A ．y =−10x 2+110x +10B ．y =−10x 2+100xC ．y =−10x 2+100x +110D ．y =−10x 2+90x +100【答案】D【分析】根据总利润=单件利润×数量建立等式就可以得出结论．【详解】解：由题意，得y=（10+x -9）（100-10x ），y=-10x 2+90x+100．故选：D ．【点睛】本题考查了销售问题的数量关系的运用，总利润=单件利润×数量的运用，解答时找准销售问题的数量关系是关键．5．出售某种文具盒，若每个可获利x 元，一天可售出(6－x)个．当一天出售该种文具盒的总利润y 最大时，x 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】y=x (6-x )=-x 2+6x,x =-2b a =32=3.故选C. 6．在1～7月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息如图所示，则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份可能是（）A ．1月份B ．2月份C ．5月份D ．7月份【答案】C【分析】先根据图中的信息用待定系数法表示出每千克售价的一次函数以及每千克成本的二次函数，然后每千克收益=每千克售价﹣每千克成本，得出关于收益和月份的函数关系式，根据函数的性质得出收益的最值以及相应的月份．【详解】设x 月份出售时，每千克售价为y 1元，每千克成本为y 2元，根据图甲设y 1=kx+b ，∴ {3k +b =56k +b =3， ∴ {k =−23b =7， ∴y 1=﹣23x+7，根据图乙设y 2=a （x ﹣6）2+1，∴4=a （3﹣6）2+1，∴a=13，∴y 2=（13x ﹣6）2+1，∵y=y 1﹣y 2，∴y=﹣23x+7﹣[13（x ﹣6）2+1]， ∴y=﹣13x 2+103x ﹣6．∵y=﹣13x 2+103x ﹣6，∴y=﹣13（x ﹣5）2+73．∴当x=5时，y 有最大值，即当5月份出售时，每千克收益最大．故选C ．【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，要注意需先根据图中得出两个函数解析式，然后再表示出收益与月份的函数式，再求解．7．某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，则y 与x 的函数关系式为（）A ．y ＝（x ﹣40）（500﹣10x ）B ．y ＝（x ﹣40）（10x ﹣500）C ．y ＝（x ﹣40）[500﹣10（x ﹣50）]D ．y ＝（x ﹣40）[500﹣10（50﹣x ）]【答案】C【解析】分析：设销售单价定为每千克x 元,获得利润为y 元,则可以根据成本,求出每千克的利润.以及按照销售价每涨1元,月销售量就减少10千克,可求出销量.从而得到总利润关系式.详解：设销售单价为每千克x 元，此时的销售数量为500−10(x −50)，每千克赚的钱为x −40, 则y =(x −40)[500−10(x −50)].故选C.点睛：此题主要考查了二次函数在实际问题中的运用,根据利润=(售价-进价)×销量,列出函数解析式,求最值是解题关键.8．某商品的进价为每件40元，当售价为每件80元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件售价降低x 元，则可列方程为（）A ．()()8020088450x x -+=B ．()()4020088450x x -+=C ．()()40200408450x x -+=D ．()()402008450x x -+=【答案】B【解析】利润=售价﹣进价，由每降价1元，每星期可多卖出8件，可知每件售价降低x 元，每星期可多卖出8x 件，从而列出方程即可．解：原来售价为每件80元，进价为每件40元，利润为每件40元，所以每件售价降价x 元后，利润为每件（40﹣x ）元．每降价1元，每星期可多卖出8件，因为每件售价降低x 元，每星期可多卖出8x 件，现在的销量为(200+8x )．根据题意得：（40﹣x ）×(200+8x ) =8450.故选B ．点睛：本题主要考查列一元二次方程解决实际问题.解题的关键在于要理解题意，并根据题中的数量关系建立方程.9．某商店经营皮鞋，所获利润y(元)与销售单价x(元)之间的关系为2242956y x x =-++，则获利最多为( )．A ．3144B ．3100C ．144D ．2956【答案】B【解析】试题解析：利润y (元)与销售的单价x (元)之间的关系为2242956y x x =-++， 2(12)3100.y x ∴=--+∵−1<0∴当x =12元时，y 最大为3100元，故选B.10．黄山市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y （万元）和月份n 之间满足函数关系式y=﹣n 2+14n ﹣24，则企业停产的月份为（）A ．2月和12月B ．2月至12月C ．1月D ．1月、2月和12月【答案】D【分析】知道利润y 和月份n 之间函数关系式，求利润y 大于0时x 的取值．【详解】由题意知，利润y 和月份n 之间函数关系式为y=-n 2+14n -24，∴y=-（n -2）（n -12），当n=1时，y ＜0，当n=2时，y=0，当n=12时，y=0，故停产的月份是1月、2月、12月．故选：D ．【点睛】考查二次函数的实际应用，判断二次函数y ＞0、y=0、y ＜0，要把二次函数写成交点式，看看图象与x 轴的交点，结合开口分析，进行判断．11．某产品进货单价为90元，按100元一件出售时能售出500件．若每件涨价1元，则销售量就减少10件．则该产品能获得的最大利润为( )A ．5000元B ．8000元C ．9000元D ．10000元【答案】C【解析】设单价定为x ，总利润为W ，则可得销量为：500-10（x -100），单件利润为：（x -90），由题意得，W=（x -90）[500-10（x -100）]=-10x2+2400x -135000=-10（x -120）2+9000，故可得当x=120时，W 取得最大，为9000元，故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是表示出销量及单件利润，得出W 关于x 的函数解析式，注意掌握配方法求二次函数最值的应用．12．（2019·黑龙江中考真题）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（）.A ．20%；B ．40%；C ．18%；D ．36%. 【答案】A【分析】可设降价的百分率为x ，第一次降价后的价格为()251x -，第一次降价后的价格为()2251x -，根据题意列方程求解即可.【详解】解：设降价的百分率为x根据题意可列方程为()225116x -= 解方程得115x =，295x =（舍） ∴每次降价得百分率为20%故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的在销售问题中的应用，正确理解题意，找出题中等量关系是解题的关键.二、填空题（共5小题)13．（2018·北京101中学初三月考）数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：售价（元/件）100 110 120 130 … 月销量（件） 200 180 160 140 …已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x （x≥100）元，则月销量是___________件，销售该运动服的月利润为___________元（用含x 的式子表示）.【答案】 2x +400 −2x 2+520x −24000【解析】分析：运用待定系数法求出月销量；根据月利润=每件的利润×月销量列出函数关系式．详解：设月销量y 与x 的关系式为y=kx+b ，由题意得，{100k +b ＝200110k +b ＝180，解得{k ＝−2b ＝400 . 则y=-2x+400；由题意得，y=（x -60）（-2x+400）=-2x 2+520x -24000点睛：本题考查的是二次函数的应用，一次函数的运用，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 14．某商场以30元/件的进价购进一批商品，按50元/件出售，平均每天可以售出100件．经市场调查，单价每降低5元，则平均每天的销售量可增加20件．若该商品想要平均每天获利1400元，则每件应降价多少元？设每件应降价x 元，可列方程为_________．【答案】(5030)1002014005x x ⎛⎫--+⨯= ⎪⎝⎭【解析】利润=单件利润⨯数量，本题中，单件利润=售价-成本单价 (50)30x =--提升篇5030x =--．数量100205x =+⨯． ∴利润为1400时，单价利润⨯数量1400=，得到(5030)1002014005x x ⎛⎫--+⋅= ⎪⎝⎭． 15．（2008·吉林中考真题）某商店经营一种水产品，成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为元时，获得的利润最多.【答案】70【解析】解：设销售单价定为每千克x 元，获得利润为y 元，则：y=（x -40）[500-（x -50）×10]，=（x -40）（1000-10x ），=-10x 2+1400x -40000，=-10（x -70）2+9000，∴当x=70时，利润最大为9000元．16．某种商品的进价为40元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出（100﹣x ）件，当x=____时才能使利润最大．【答案】70【分析】根据题意可以得到利润与售价之间的函数关系式，然后化为顶点式即可解答本题．【详解】解：设获得的利润为w 元，由题意可得，w=（x ﹣40）（100﹣x ）=﹣（x ﹣70）2+900，∴当x=70时，w 取得最大值，故答案是：70．【点睛】考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．17．某旅行社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张，若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张，以每提高2元的这种变化方法变化下去，每床每日提高____元可获最大利润。

2023-2024学年九年级数学上册《第二十二章实际问题与二次函数》同步练习题附答案(人教版)

2023-2024学年九年级数学上册《第二十二章实际问题与二次函数》同步练习题附答案（人教版)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是y=﹣112x 2+23x+53．则他将铅球推出的距离是（）m ． A ．8B ．9C ．10D ．112．某海滨浴场有100个遮阳伞，每个每天收费10元时，可全部租出，若每个每天提高2元，则减少10个伞租出，若每个每天收费再提高2元，则再减少10个伞租出，…，为了投资少而获利大，每个每天应提高（） A ．4元或6元B ．4元C ．6元D ．8元3．为了响应“足球进校园”的目标，兴义市某学校开展了多场足球比赛．在某场比赛中，一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h(m)可以用公式 ℎ=−5t 2+v 0t 表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，v 0(m ／s)是足球被踢出时的速度，如果要求足球的最大度达到20m ，那么足球被踢出时的速度应该达到（） A ．5m ／sB ．10m ／sC ．20m ／sD ．40m ／s4．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，一年中获得利润y 与月份n 之间的函数关系式是y ＝－n 2＋15n －36，那么该企业一年中应停产的月份是（） A ．1月，2月 B ．1月，2月，3月 C ．3月，12月D ．1月，2月，3月，12月5．小杰把班级勤工俭学挣得的班费500元按一年期存入银行，已知年利率为x ，一年到期后银行将本金和利息自动按一年定期转存，设两年到期后，本利和为y 元，则y 与x 之间的函数关系式为（） A ．y=500(x+1)2B ．y=x 2+500C ．y=x 2+500xD ．y=x 2+5x6．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为8米/秒，经过t 秒时球的高度为h 米，h 和t 满足公式：表示球弹起时的速度，g 表示重力系数，取 g =10 米/秒2) ，则球不低于3米的持续时间是（） A ．0.4 秒B ．0.6 秒C ．0.8 秒D ．1秒7．如图所示，赵州桥的桥拱用抛物线的部分表示，其函数的关系式为 y =−125x 2 ，当水面宽度 AB 为20m 时，此时水面与桥拱顶的高度 DO 是（）A．2m B．4m C．10m D．16m8．如图，已知二次函数y=mx2-4mx+3m(m>0)的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC，若CA平分∠OCB，则m的值为（）A．√3B．√2C．√22D．√33二、填空题9．从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关系式y=−2x2+4x+1喷出水珠的最大高度是m .10．廊桥是我国古老的文化遗产.如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y=−140x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是米.(精确到1米)11．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O、A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于．12．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为3m处达到最高，高度为5m，水柱落地处离池中心距离为9m，则水管的长度OA是m.三、解答题13．建立适当的坐标系，运用函数知识解决下面的问题：如图，是某条河上的一座抛物线形拱桥，拱桥顶部点E到桥下水面的距离EF为3米时，水面宽AB为6米，一场大雨过后，河水上涨，水面宽度变为CD，且CD=2√6米，此时水位上升了多少米？14．学校准备添置一批课桌椅，原计划订购60套，每套100元，店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方实际订购了72套，每套减价3元，但商店获得了同样多的利润．（1）求每套课桌椅的成本；（2）求商店获得的利润．15．某造纸厂生产甲、乙两种生活用纸的相关信息如下表，其中x（吨）表示甲、乙两种生活用纸的月产量，请根据表中的信息解答后面的问题：种品价目出厂价（元/吨）成本价（元/吨）排污处理费甲种生活用纸48002200200（元/吨）每月还需支付设备管理、维护费20000元乙种生活用纸7000﹣10x1600400（元/吨）（1）设该造纸厂每月生产甲、乙两种生活用纸的利润分别为y 1元和y 2元，分别求出y 1和y 2与x 的函数关系式（注：利润=总收入﹣总支出）；（2）若某月要生产甲、乙两种生活用纸共300吨，求该月生产甲、乙两种生活用纸各多少吨，获得的总利润最大？最大利润是多少？16．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB 为x 米，面积为S ．（1）求S 与x 的函数关系式；（2）并求出当AB 的长为多少时，花圃的面积最大，最大值是多少？17．某水晶厂生产的水晶工艺品非常畅销，某网店专门销售这种工艺品.成本为30元/件，每天销售y （件）与销售单价x （元）之间存在一次函数关系，当x=40时，y=300；当x=55时，y=150．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）如果规定每天工艺品的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该工艺品销售单价的范围．18．如图，抛物线L ：y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A 、B （3，0）两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C （0，3），已知对称轴x=1．（1）求抛物线L的解析式；（2）将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内（包括△OBC的边界），求h的取值范围；（3）设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：x=﹣3上，△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．参考答案1．C2．C3．C4．D5．A6．A7．B8．D9．310．8√511．√512．15413．解：以点E为原点、EF所在直线为y轴，垂直EF的直线为x轴建立平面直角坐标系根据题意知E（0，0）、A（﹣3，﹣3）、B（3，﹣3）设y=kx2（k＜0）将点（3，﹣3）代入，得：k=﹣13x2∴y=﹣13将x=√6代入，得：y=﹣2∴上升了1米．14．（1）解：设每套课桌椅的成本为x元，根据题意得：60×100﹣60x=72×（100﹣3）﹣72x，解得：x=82 答：每套课桌椅的成本为82元（2）解：60×（100﹣82）=1080（元）答：商店获得的利润为1080元15．解：（1）依题意得：y 1=（4800﹣2200﹣200）x ﹣20000=2400x ﹣20000 y 2=（7000﹣10x ﹣1600﹣400）x=﹣10x 2+5000x ；（2）设该月生产乙种生活用纸m 吨，则生产甲种生活用纸（300﹣m ）吨，总利润为W 元依题意得：W=2400（300﹣m ）﹣20000﹣10m 2+5000m =720000﹣2400 m ﹣20000﹣10 m 2+5000m =﹣10 m 2+2600 m+700000 ∵W=﹣10（m ﹣130）2+869000． ∵﹣10＜0∴当m=130时，W 最大=869000即生产甲、乙生活用纸分别为170吨和130吨时总利润最大，最大利润为869000元． 16．（1）解：∵围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃 AB=EF=CD=x 米，BC=（24-3x ）米 S=（24-3x ）x =-3x 2+24x （平方米） ∵x > 0,且 15≥24-3x > 0 ∴3≤x <8S=-3x 2+24x （ 3≤x <8 ）（2）解：S=（24-3x ）x =-3x 2+24x =-3（x-4）2+48 ∵a=-3<0，二次函数图形开口向下，函数有最大值当x=4时，S 最大=48平方米∴当AB 长为4m ，宽BC 为12m 时，有最大面积，最大面积为48平方米． 17．（1）解：设y 与x 之间的函数关系式： y =kx +b 由题意得： {40k +b =30055k +b =150 ，解得： {k =−10b =700∴y 与x 之间的函数关系式为： y =−10x +700 （2）解：设利润为 w 元由题意，得 −10x +700≥240 ，解得 x ≤46 则 w =(x −30)(−10x +700) =−10x 2+1000x −21000=−10(x −50)2+4000 ∵−10<0∴x <50 时， w 随 x 的增大而增大 ∴x =46 时答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元（3）解： w −150=−10x 2+1000x −21000−150=3600 −10(x −50)2=−250 解得： x 1=55 结合二次函数图象可得：当 45≤x ≤55 时，捐款后每天剩余利润不低于3600元 18．（1）解：∵抛物线的对称轴x=1，B （3，0） ∴A （﹣1，0）∵抛物线y=ax 2+bx+c 过点C （0，3） ∴当x=0时，c=3．又∵抛物线y=ax 2+bx+c 过点A （﹣1，0），B （3，0） ∴{a −b +3=09a +3b +3=0 ∴{a =−1b =2∴抛物线的解析式为：y=﹣x 2+2x+3 （2）解：∵C （0，3），B （3，0） ∴直线BC 解析式为y=﹣x+3 ∵y=﹣x 2+2x+3=﹣（x ﹣1）2+4 ∴顶点坐标为（1，4）∵对于直线BC ：y=﹣x+1，当x=1时，y=2；将抛物线L 向下平移h 个单位长度 ∴当h=2时，抛物线顶点落在BC 上；当h=4时，抛物线顶点落在OB 上∴将抛物线L 向下平移h 个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC 内（包括△OBC 的边界）则2≤h≤4（3）解：设P（m，﹣m2+2m+3），Q（﹣3，n）①当P点在x轴上方时，过P点作PM垂直于y轴，交y轴与M点，过B点作BN垂直于MP的延长线于N 点，如图所示：∵B（3，0）∵△PBQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形∴∠BPQ=90°，BP=PQ则∠PMQ=∠BNP=90°，∠MPQ=∠NBP在△PQM和△BPN中∴△PQM≌△BPN（AAS）∴PM=BN∵PM=BN=﹣m2+2m+3，根据B点坐标可得PN=3﹣m，且PM+PN=6∴﹣m2+2m+3+3﹣m=6解得：m=1或m=0∴P（1，4）或P（0，3）．②当P点在x轴下方时，过P点作PM垂直于l于M点，过B点作BN垂直于MP的延长线于N点同理可得△PQM≌△BPN∴PM=BN∴PM=6﹣（3﹣m）=3+m，BN=m2﹣2m﹣3则3+m=m2﹣2m﹣3解得m= 3+√332或3−√332．∴P（3+√332，−√33−92）或（3−√332，√33−92）．综上可得，符合条件的点P的坐标是（1，4），（0，3），（3+√332，−√33−92）和（3−√332，√33−92）．。

实际问题与二次函数之六大题型(学生版+解析版)

实际问题与二次函数之六大题型【考点导航】目录【典型例题】1【题型一拱桥问题】【题型二销售问题】【题型三投球问题】【题型四喷水问题】【题型五图形问题】【题型六图形运动问题】【典型例题】【题型一拱桥问题】1(2023·全国·九年级专题练习)郑州市彩虹桥新桥将于2023年9月底建成通车．新桥采用三跨连续单拱肋钢箱系杆拱桥，既保留了历史记忆，又展示出郑州的开放与创新．新桥的中跨大拱的拱肋ACB 可视为抛物线的一部分，桥面(视为水平的)与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，测得拱肋的跨度AB 为120米，与AB 中点O 相距30米处有一高度为27米的系杆EF ．以AB 所在直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立如图②所示的平面直角坐标系．(1)求抛物线的解析式；(2)正中间系杆OC 的长度是多少米？若相邻系杆之间的间距均为3米(不考虑系杆的粗细)，是否存在一根系杆的长度恰好是OC 长度的13？请说明理由．【变式训练】1(2023秋·山西晋城·九年级校考期末)如图，有一个横截面为抛物线形状的隧道，隧道底部宽AB 为8m ，拱顶内高8m ．把截面图形放在如图所示的平面直角坐标系中(原点O 是AB 的中点)．(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；(2)如果该隧道设计为车辆双向通行，规定车辆必须在中心黄线两侧行驶，那么一辆宽2.5m，高4m的大型货运卡车是否可以通过？为什么？2(2023·河南郑州·校考三模)一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度AB为20米时，拱顶点O 距离水面的高度为4米．如图，以点O为坐标原点，以桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系．(1)求抛物线的解析式；(2)汛期水位上涨，一艘宽为5米的小船装满物资，露出水面部分的高度为3米(横截面可看作是长为5米，宽为3米的矩形)，若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度(结果保留根号)．3(2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测)某公司生产A型活动板房的成本是每个3500元．图1表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD=4m，宽AB=3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．(1)按图1中所示的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式；(2)现将A型活动板房改造成为B型活动板房．如图2，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G、M在AD上，点F、N在抛物线上，窗户的成本为150元/m2．已知GM=2m，求每个B型活动板房的成本．(每个B型活动板房的成本=每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本)【题型二销售问题】1(2023秋·河北唐山·九年级统考期末)某超市以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系、经过市场调查获得部分数据如下表：销售价格x(元/千克)3035404550日销售量p(千克)604530150(1)请直接写出p与x之间的函数关系式；(2)超市应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？(3)超市每销售1千克这种农产品需支出a元(a>0)的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为243元，求a的值．【变式训练】1(2023秋·河南驻马店·九年级统考期末)“阳光玫瑰葡萄”品种是近几年来广受各地消费者青睐的优质新品种，在云南省广泛种植．长沙市某品牌水果经销商计划在2023年五一期间进行商业促销活动，经过调查往年的统计数据发现，云南省批发“阳光玫瑰葡萄”的最低价格为每斤15元．若按每斤30元的价格到市区销售，平均每天可售出60斤，若每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．(1)若降价2元，则每天的销售利润是多少元？(2)若该经销商计划销售“阳光玫瑰葡萄”每天盈利1100元，那么每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降低多少元？(其他成本忽略不计)(3)将商品的销售单价定为多少元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大？最大利润是多少元？2(2023秋·湖南湘西·九年级统考期末)某农户生产经销一种地方特产．已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系：y=-2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元(1)求w与x之间的函数关系式；(2)该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于每千克30元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？3(2023春·山东东营·八年级东营市实验中学校考期中)2022年北京冬奥会期间，吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到人们的广泛欢迎．某网店以每套96元的价格购进了一批冰墩墩和雪容融，由于销售火爆，销售单价经过两次调整，从每套150元上涨到每套216元，此时每天可售出16套冰墩墩和雪容融．(1)若销售单价每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率；(2)预计冬奥会闭幕后需求会有所下降，该网店需尽快将这批冰墩墩和雪容融售出，因此决定降价出售．经过市场调查发现：销售单价每降低10元，每天可多卖出两套当销售单价降低m元时，每天的利润为W．求当m为何值时利润最大最大利润是多少？【题型三投球问题】1(2023春·山东东营·八年级东营市实验中学校考期中)掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生掷实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y m 与水平距离x m 之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为95m ．当水平距离为4m 时，实心球行进至最高点5m 处．(1)求y 关于x 的函数表达式；(2)根据中考体育考试评分标准(男生版)，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于11.8m 时，即可得满分10分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．【变式训练】1(2023·河南安阳·统考一模)小红为了研究抛出的弹跳球落在斜面上反弹后的距离．如图，用计算机编程模拟显示，当弹跳球以某种特定的角度和初速度从坐标为0,1 的点P 处抛出后，弹跳球的运动轨迹是抛物线I ，其最高点的坐标为4,5 ．弹跳球落到倾斜角为45°的斜面上反弹后，弹跳球的运动轨迹是抛物线Ⅱ，且开口大小和方向均不变，但最大高度只是抛物线Ⅰ的25．(1)求抛物线I 的解析式；(2)若斜面被坐标平面截得的截图与x 轴的交点M 的坐标为7,0 ，求抛物线Ⅱ的对称轴．2(2023·河北·统考中考真题)嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m 长．嘉嘉在点A (6,1)处将沙包(看成点)抛出，并运动路线为抛物线C 1:y =a (x -3)2+2的一部分，淇淇恰在点B (0，c )处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线C 2:y =-18x 2+n8x +c +1的一部分．(1)写出C1的最高点坐标，并求a，c的值；(2)若嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．3(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA为28.75cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．乒乓球到球台的竖直高度记为y(单位：cm)，乒乓球运行的水平距离记为x(单位：cm)．测得如下数据：水平距离x/cm0105090130170230竖直高度y/cm28.7533454945330(1)在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点x,y，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；(2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是cm；②求满足条件的抛物线解析式；(3)技术分析：如果只上下调整击球高度OA，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出OA的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长OB为274cm，球网高CD为15.25cm．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度OA的值约为1.27cm．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值(乒乓球大小忽略不计)．4(2023·河南信阳·校考三模)实心球是中考体育项目之一．在掷实心球时，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，已知小军在一次掷实心球训练中，第一次投掷时出手点距地面1.8m，实心球运动至最高点时距地面3.4m，距出手点的水平距离为4m．设实心球掷出后距地面的竖直高度为y(m)，实心球距出手点的水平距离为x(m)．如图，以水平方向为x轴，出手点所在竖直方向为y轴建立平面直角坐标系．(1)求第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式．(2)若实心球投掷成绩(即出手点与着陆点的水平距离)达到12.4m为满分，请判断小军第一次投掷实心球能否得满分．(3)第二次投掷时，实心球运动的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=-0.08x-52+3.8．记小军第一次投掷时出手点与着陆点的水平距离为d1，第二次投掷时出手点与着陆点的水平距离为d2，则d1 d2(填“>”“<”“=”)．【题型四喷水问题】1(2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测)某公司为城市广场上一雕塑AB安装喷水装置．喷水口位于雕塑的顶端点B处，距离地面3m，喷出的水柱轨迹呈抛物线型．据此建立如图的平面直角坐标系．若喷出的水柱轨迹BC上，任意一点与支柱AB的水平距离x(单位：m)与广场地面的垂直高度为y(单位：m)满足关系式y=-328x2+b1x+c1，且点D2,367在抛物线BC上(1)求该抛物线的表达式；(2)求水柱落地点与雕塑AB的水平距离；(3)为实现动态喷水效果，广场管理处决定对喷水设施做如下设计改进：新喷水轨迹形成的抛物线形为y2=-328x2+b2x+c2，把水柱喷水的半径(动态喷水时，点C到AB的距离)控制在7m到14m之间，请探究改建后喷水池水柱的最大高度【变式训练】1(2023·甘肃兰州·统考中考真题)一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体(看成一点)在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y m与离起跳点A的水平距离x m之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m．(1)求y关于x的函数表达式；(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．2(2023·山东临沂·统考一模)如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为h=1.5米．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=3米，竖直高度EF=0.5米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.5米，灌溉车到绿化带的距离OD为d米．(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；(2)求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标；(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围．3(2023·江西抚州·校联考三模)如图①，有一移动灌溉装置喷出水柱的路径可近似地看作一条抛物线，该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离为1米，喷出的抛物线形水柱对称轴为直线x=10．用该灌溉装置灌溉一坡地草坪，其水柱的高度y(单位：米)与水柱落地处距离喷水头的距离x(单位：米)之间的函数关系式为y=ax2+bx+c，其图像如图②所示．已知坡地OB所在直线经过点(10,1)．(1)c的值为；(2)若a=-120，求水柱与坡面之间的最大铅直高度；(3)若点B横坐标为18，水柱能超过点B，则a的取值范围为；(4)若a=-120时，到喷水头水平距离为16米的A处有一棵新种的银杏树需要被灌溉，园艺工人将灌溉装置水平向后移动4米，试判断灌溉装置能否灌溉到这棵树，并说明理由．【题型五图形问题】1(2023·全国·九年级专题练习)2023年南宁市公共资源交易中心明确提出将五象站铁路枢纽接入地铁4号线．目前4号线剩余的东段(五象火车站-龙岗站)已经在建设中，施工方决定对终点站龙岗站施工区域中的一条特殊路段进行围挡施工，先沿着路边砌了一堵长27m的砖墙，然后打算用长60m的铁皮围栏靠着墙围成中间隔有一道铁皮围栏(平行于AB)的长方形施工区域．(1)设施工区域的一边AB为xm，施工区域的面积为Sm2．请求出S与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；(2)当围成的施工区域面积为288m2时，AB的长是多少？(3)该特殊路段围挡区域的施工成本为400元/m2，项目方打算拨款120000元用于施工，请你通过计算判断项目方的拨款能否够用．【变式训练】1(2023春·浙江宁波·八年级校联考期中)某景区要建一个游乐场(如图所示)，其中AD、CD分别靠现有墙DM、DN(墙DM长为27米，墙DN足够长)，其余用篱笆围成．篱笆DE将游乐场隔成等腰直角△CED和长方形ADEB两部分，并在三处各留2米宽的大门．已知篱笆总长为54米．设AB的长为x米．(1)则BE的长为米(用含x的代数式表达)；(2)当AB多长时，游乐场的面积为320平方米？(3)直接写出当AB为多少米时，游乐场的面积达到最大，最大值为多少平方米？2(2023·广东深圳·统考中考真题)蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB=3m，BC=4m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．请回答下列问题：(1)如图，抛物线AED的顶点E0,4，求抛物线的解析式；(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，若FL=NR=0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长；(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为BK，求BK的长．【题型六图形运动问题】1(2023·江苏·模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动：同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设动点运动的时间为t(s)．(1)当t为何值时，△PBQ的面积为2cm2；(2)求四边形PQCA面积的最小值．【变式训练】1(2023秋·四川宜宾·九年级统考期中)如图，等腰三角形ABC的直角边AB=BC=10cm，点P，Q分别从A，C两点同时出发，均以每秒1个单位的速度做匀速运动，已知点P沿射线AB运动，点Q沿射线BC运动，PQ的连线与直线AC相交于点D．设点P运动的时间为ts，△PCQ的面积为S．(1)求S关于的函数关系式．(2)当t为多少时，△PCQ的面积与△ABC的面积相等？(3)当点P在边AB上运动时，过点P作PE⊥AC于点E．在点P，Q运动过程中，线段DE的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．2(2023·吉林松原·校联考三模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=4cm，点P从点A 出发以2cm/s的速度向点C运动，到点C停止，过点P作PQ⊥BC交AB点Q，以线段PQ的中点为对称中心将△APQ旋转180°得到△DQP，点A的对应点为点D，设点P的运动时间为t(s)(t>0)，△DQP与Rt△ABC重合部分的面积为S(cm2)．(1)求当点D落在BC边上时t的值；(2)求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；(3)直接写出当△ADC是等腰三角形时t的值．实际问题与二次函数之六大题型【考点导航】目录【典型例题】1【题型一拱桥问题】【题型二销售问题】【题型三投球问题】【题型四喷水问题】【题型五图形问题】【题型六图形运动问题】【典型例题】【题型一拱桥问题】1(2023·全国·九年级专题练习)郑州市彩虹桥新桥将于2023年9月底建成通车．新桥采用三跨连续单拱肋钢箱系杆拱桥，既保留了历史记忆，又展示出郑州的开放与创新．新桥的中跨大拱的拱肋ACB 可视为抛物线的一部分，桥面(视为水平的)与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，测得拱肋的跨度AB 为120米，与AB 中点O 相距30米处有一高度为27米的系杆EF ．以AB 所在直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立如图②所示的平面直角坐标系．(1)求抛物线的解析式；(2)正中间系杆OC 的长度是多少米？若相邻系杆之间的间距均为3米(不考虑系杆的粗细)，是否存在一根系杆的长度恰好是OC 长度的13？请说明理由．【答案】(1)y =-1100x 2+36(2)正中间系杆OC 的长度是36米，不存在一根系杆的长度恰好是OC 长度的13，理由见解析【分析】(1)利用待定系数法求解即可；(2)先求出正中间系杆OC 的长度是36米，再建立方程求解即可．【详解】(1)结合图象由题意可知：B 60,0 ，E 30,27 ，设该抛物线解析式为：y =ax 2+c ，则：3600a +c =0900a +c =27 ，解得：a=-1100 c=36，∴y=-1100x2+36．(2)当x=0时，y=36，∴正中间系杆OC的长度是36米．设存在一根系杆的长度是OC的13，即这根系杆的长度是12米，则12=-1100x2+36，解得x=±206．∵相邻系杆之间的间距均为3米，最中间系标OC在y轴上，∴每根系杆上的点的横坐标均为整数．∴x=±206与实际不符．∴不存在一根系杆的长度恰好是OC长度的13．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，涉及到了待定系数法求函数解析式，解一元二次方程等知识，解题关键是读懂题意，找出数量关系，列出方程，并根据实际意义求解．【变式训练】1(2023秋·山西晋城·九年级校考期末)如图，有一个横截面为抛物线形状的隧道，隧道底部宽AB为8m，拱顶内高8m．把截面图形放在如图所示的平面直角坐标系中(原点O是AB的中点)．(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；(2)如果该隧道设计为车辆双向通行，规定车辆必须在中心黄线两侧行驶，那么一辆宽2.5m，高4m的大型货运卡车是否可以通过？为什么？【答案】(1)y=-12x2+8(2)一辆宽2.5m，高4m的大型货运卡车可以通过，理由见解析【分析】(1)利用待定系数法求解即可；(2)求出当y=4时，x的值，再根据车辆宽2.5m且只能在中心的两侧行驶进行求解即可．【详解】(1)解：由题意得，点C的坐标为0，8，点A和点B的坐标分别为-4，0，4，0，设抛物线解析式为y=a x+4x-4，把C0，8代入得a0+40-4=8，解得a=-1 2，∴抛物线解析式为y=-12x+4x-4=-12x2+8；(2)解：一辆宽2.5m，高4m的大型货运卡车可以通过，理由如下：在y =-12x 2+8中，当y =-12x 2+8=4时，解得x =±22，∵22 2=8>2.52=6.25，∴22>2.5，∴一辆宽2.5m ，高4m 的大型货运卡车可以通过．【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．2(2023·河南郑州·校考三模)一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度AB 为20米时，拱顶点O 距离水面的高度为4米．如图，以点O 为坐标原点，以桥面所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．(1)求抛物线的解析式；(2)汛期水位上涨，一艘宽为5米的小船装满物资，露出水面部分的高度为3米(横截面可看作是长为5米，宽为3米的矩形)，若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度(结果保留根号)．【答案】(1)该抛物线的解析式y =-125x 2；(2)水面宽度为513米．【分析】(1)由题意可以写出A 点坐标，设抛物线解析式为y =ax 2，把点A 的坐标代入求出a ，c 的值即可；(2)把x =2.5代入抛物线解析式，求出对应函数值y ，再把y =-3.25代入计算即可求解．【详解】(1)解：设抛物线解析式为y =ax 2，∴桥下水面宽度AB 为20米，拱顶距离水面高度OC 为4米，∴点A (-10，-4)，∴-4=100a ，解得：a =-125，∴该抛物线的解析式y =-125x 2；(2)解：∵船宽5米，∴当x =2.5时，y =-125×2.52=0.25，若该渔船能安全通过，此时水面高为3+0.25 米，∴当y =-3.25时，-3.25=-125x 2，解得x =5213，∴水面宽度为513米．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，运用二次函数解实际问题的运用，解答时求出函数的解析式是关键．3(2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测)某公司生产A 型活动板房的成本是每个3500元．图1表示A 型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD =4m ，宽AB =3m ，抛物线的最高点E 到BC 的距离为4m ．(1)按图1中所示的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式；(2)现将A 型活动板房改造成为B 型活动板房．如图2，在抛物线与AD 之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN ，点G 、M 在AD 上，点F 、N 在抛物线上，窗户的成本为150元/m 2．已知GM =2m ，求每个B 型活动板房的成本．(每个B 型活动板房的成本=每个A 型活动板房的成本+一扇窗户FGMN 的成本)【答案】(1)y =-14x 2+1(2)每个B 型活动板房的成本为3725元【分析】(1)根据题意得出E 0,1 ,D 2,0 ，设该抛物线的函数表达式为y =kx 2+1，利用待定系数法求解即可；(2)根据题意得出N 1,34，继而求出矩形FGMN 的面积，列式求解即可．【详解】(1)∵长方形的长AD =4m ，宽AB =3m ，抛物线的最高点E 到BC 的距离为4m ，∴OH =AB =3m ，∴OE =EH -OH =4-3=1m ，∴E 0,1 ,D 2,0 ，设该抛物线的函数表达式为y =kx 2+1，把D 2,0 代入，得0=4k +1，解得k =-14，∴该抛物线的函数表达式为y =-14x 2+1；(2)∵GM =2m ，∴OM =OG =1m ，当x =1时，y =-14×1+1=34，∴N 1,34 ，MN =34m ，∴S 矩形FGMN =MN ⋅GM =34×2=32m 2，∴3500+32×150=3725(元)，所以，每个B 型活动板房的成本为3725元．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，准确理解题意，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【题型二销售问题】1(2023秋·河北唐山·九年级统考期末)某超市以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p (千克)与销售价格x (元/千克)之间的关系、经过市场调查获得部分数据如下表：销售价格x (元/千克)3035404550日销售量p (千克)604530150(1)请直接写出p 与x 之间的函数关系式；(2)超市应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？(3)超市每销售1千克这种农产品需支出a 元(a >0)的相关费用，当40≤x ≤45时，农经公司的日获利的最大值为243元，求a 的值．【答案】(1)p =-3x +150(2)40元/千克(3)2【分析】(1)由题意知，销售价格每增加5元，销售量减少15千克，设p 与x 之间的函数关系式为p =kx +b ，待定系数法求得p =-3x +150，然后作答即可；(2)设日销售利润为w 元，由题意得：w =-3x +150 x -30 ，根据二次函数的图象与性质进行判断求解即可；(3)设日获利为w 元，由题意得：w =p x -30-a =-3x 2+240+3a x -150a +4500 ，则对称轴为直线x =-240+3a 2×-3 =40+12a ，①若a ≥10，则当x =45时，w 有最大值，最大值为：w =-3×452+240+3a ×45-150a +4500 =225-15a <243，即x =45不符合题意，舍去；②若0<a <10，则当x =40+12a 时，w 有最大值，将x =40+12a 代入，得：w =314a 2-10a +100 ，当w =243时，243=314a 2-10a +100 ，解得a 1=2，a 2=38(舍去)．【详解】(1)解：由题意知，销售价格每增加5元，销售量减少15千克，所以p 与x 之间的函数关系为一次函数关系；设p 与x 之间的函数关系式为p =kx +b ，将30,60 ，50,0 代入得，30k +b =6050k +b =0 ，解得k =-3b =150 ，∴p =-3x +150，故答案为：p =-3x +150；(2)解：设日销售利润为w 元，由题意得：w =p x -30 =-3x +150 x -30 =-3x -40 2+300，∵a =-3<0，抛物线开口向下，∴当x =40时，w 有最大值300．∴这批农产品的销售价格定为40元/千克，才能使日销售利润最大；(3)解：设日获利为w 元，由题意得：w =p x -30-a =-3x +150 x -30-a =-3x 2+240+3a x -150a +4500 ，∴对称轴为直线x=-240+3a2×-3=40+12a，①若a≥10，则当x=45时，w 有最大值，最大值为：w =-3×452+240+3a×45-150a+4500=225-15a<243，∴x=45不符合题意，舍去；②若0<a<10，则当x=40+12a时，w 有最大值，将x=40+12a代入，得：w =314a2-10a+100，当w =243时，243=314a2-10a+100 ，解得a1=2，a2=38(舍去)，综上所述，a的值为2．【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【变式训练】1(2023秋·河南驻马店·九年级统考期末)“阳光玫瑰葡萄”品种是近几年来广受各地消费者青睐的优质新品种，在云南省广泛种植．长沙市某品牌水果经销商计划在2023年五一期间进行商业促销活动，经过调查往年的统计数据发现，云南省批发“阳光玫瑰葡萄”的最低价格为每斤15元．若按每斤30元的价格到市区销售，平均每天可售出60斤，若每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．(1)若降价2元，则每天的销售利润是多少元？(2)若该经销商计划销售“阳光玫瑰葡萄”每天盈利1100元，那么每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降低多少元？(其他成本忽略不计)(3)将商品的销售单价定为多少元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大？最大利润是多少元？【答案】(1)若降价2元，则每天的销售利润是1040元；(2)应降低5元；(3)将商品的销售单价定为25.5元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大，最大利润是1102.5元．【分析】(1)根据题意，每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，若每斤的价格降低2元，则可增加20斤，再根据每斤利润×销量可得解；(2)根据每天盈利1100元列方程，解出x的值即可求解；(3)设每天盈利y元，根据题意建立二次函数，根据二次函数的图象及性质即可求得．【详解】(1)解：根据题意，降价2元则销售量为60+2×10=80(斤)，销售利润为：30-15-2×80=1040(元)，答：若降价2元，则每天的销售利润是1040元；(2)解：设每斤“阳光玫瑰葡萄”应降价x元，根据题意得：30-15-x60+10x=1100，整理得：x2-9x+20=0，解得x1=4，x2=5，∵为了尽快减少库存，∴x=5，此时30-x=25，答：每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降至每斤25元；。

中考数学高频考点《销售问题(实际问题与二次函数)》专项练习题-带答案

中考数学高频考点《销售问题（实际问题与二次函数）》专项练习题-带答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件，受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1（元）与月份x（1≤x≤9，且x取整数）之间的函数关系如下表：月份x123456789价格y1（元/件）560580600620640660680700720随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y2（元）与月份x（10≤x≤12，且x取整数）之间存在如图所示的变化趋势：（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式；（2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p1（万件）与月份x满足函数关系式p1=0.1x+1.1（1≤x≤9，且x取整数）10至12月的销售量p2（万件）与月份x满足函数关系式p2=﹣0.1x+2.9（10≤x≤12，且x取整数）．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；（3）今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1a%．这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成了1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a的整数值．（参考数据：992=9901，982=9604，972=9409，962=9216，952=9025）2．东方专卖店专销某种品牌的计算器，进价12元／只，售价20元／只．为了促销，专卖店决定凡是买10只以上的，⨯-=元，就可以按19元／每多买一只，售价就降低0.10元（例如，某人买20只计算器，于是每只降价0.10(2010)1只的价格购买），但是最低价为16元／只．（1）求顾客一次至少买多少只，才能以最低价购买？x>），利润y（元）与购买量x（只）之间的函数关系式；（2）写出当一次购买x只时（10（3）有一天，一位顾客买了46只，另一位顾客买了50只，专卖店发现卖了50只反而比卖了46只赚的钱少，为了随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y2（元）与月份x（10≤x≤12，且x取整数）之间存在如图所示的变化趋势：（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一次①该商场购进A ，B 型纪念品共200件，其中A 型纪念品的件数小于B 型纪念品的件数，但不小于50件．若B 型纪念品的售价为每件()30m m >元时，商场将A ，B 型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，直接写出m 的值．6．某商场购进一批衣服，每件的进价为80元，出于营销考虑，要求每件衣服的售价不低于80元且不高于150元，在销售过程中发现该衣服每周的销售量y （件）与每件衣服的售价x （元）之间满足的函数关系如图所示．(1)求y 关于x 的函数关系式及x 的取值范围；(2)若商场每周销售该衣服获得的利润为1100元，则每件衣服的售价是多少元？(3)设该商场每周销售这种衣服所获得的利润为w 元，则将该衣服的销售单价定为多少元时，才能使所获利润最大？最大利润是多少？7．某公司销售一种新型产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售.若只在国内销售，销售价格y （元/件）与月销量x （件）的函数关系式为y =－1100x +150，成本为50元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费90000元，设月利润为w 内（元），若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a 元/件（a 为常数，10≤a ≤40），当月销量为x （件）时，每月还需缴纳1100x 2元的附加费，设月利润为w 外（元）. （1）当x =1000时，y = 元/件，w 内= 元；（2）分别求出w 内，w 外与x 间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（3）当x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a 的值.8．“中国元素”几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x 天（128x ≤≤，且x 为整数）与该天销售量y （件）之间满足函数关系如下表所示：第x 天 1 2 3 4 5 6 7 … 销售量y （件） 220 240 260 280 300 320 340 …为回馈项客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z （元）与第x 天（128x ≤≤，且x 为整数）成一次函数关系，当1x =时98z =，当2x =时96z =．已知该纪念品成本价为20元/件．(1)求y 关于x 的函数表达式，及z 与x 之间的函数关系式；(2)求这28天中第几天销售利润最大，并求出最大利润；(3)商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前，决定在第10天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价a 元销售，销售第x 天与该天销售量y （件）仍然满足原来函数关系，问第几天的销售利润取得最大值，若最大利润是20250元，求a 的值．9．戴口罩、勤洗手、少聚会”是新冠肺炎疫情防控的有效措施．为保证防疫口罩供应，为满足市民防护需求，某药店想要购进A 、B 两种口罩，B 型口罩的每盒进价是A 型口罩的两倍少10元．用6000元购进A 型口罩的盒数与用10000元购进B 型口罩盒数相同．(1)A ，B 型口罩每盒进价分别为多少元？(2)经市场调查表明，B 型口罩更受欢迎，当每盒B 型口罩售价为60元时，日均销量为100盒，B 型口罩每盒售价每增加5元，日均销量减少25盒．当B 型口罩每盒售价多少元时，销售B 型口罩所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？10．某超市以20元/千克的进货价购进了一批绿色食品，如果以30元/千克销售这些绿色食品，那么每天可售出400千克．由销售经验可知，每天的销售量y （千克）与销售单价x （元）（x≥30）存在如图所示的一次函数关系．（1）试求出y 与x 的函数关系式；（2）设该超市销售该绿色食品每天获得利润w 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ 11．某商户以每件30元的进价购买了200件冬奥会文化衫分别在实体店和网店两个渠道销售．已知网店每周销售量y 与单价x 之间的函数关系是2240y x =-+（3080x <≤）；实体店售价为50元/件，且无论如何定价当周200件文化衫均能售完．(1)用含x 的代数式表示下列各量．①实体店文化衫销量为______件；①实体店销售所获得利润1W 为______元；①网店销售所获得利润2W 为______元；(2)如果网店销售利润2W 比实体店销售利润1W 多1250元，问实体店和网店各销售了多少件文化衫？(3)请直接写出网店销售单价x 定价为______元时，销售这200件文化衫所获总利润W （元）的最大值为______元． 12．我市雷雷服饰有限公司生产了一款夏季服装，通过实验商店和网上商店两种途径进行销售，销售一段时间后，该公司对这种商品的销售情况，进行了为期30天的跟踪调查，其中实体商店的日销售量（百件）与时间（为整数，单位：天）的部分对应值如下表所示；网上商店的日销售量（百件）与时间（为整数，单位：天）的关系如下图所示.时间（天）0510********日销售量（百件）025*********（1）请你在一次函数、二次函数和反比例函数中，选择合适的函数能反映与的变化规律，并求出与的函数关系式及自变量的取值范围；（2）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）在跟踪调查的30天中，设实体商店和网上商店的日销售总量为（百件），求与的函数关系式；当为何值时，日销售总量达到最大，并求出此时的最大值.13．某汽车清洗店，清洗一辆汽车定价20元时每天能清洗45辆，定价25元时每天能清洗30辆，假设清洗汽车辆数y（辆）与定价x（元）（x取整数）是一次函数关系（清洗每辆汽车成本忽略不计）.（1）求y与x之间的函数表达式；（2）若清洗一辆汽车定价不低于15元且不超过50元，且该汽车清洗店每天需支付电费、水费和员工工资共计200元，问：定价为多少时，该汽车清洗店每天获利最大？最大获利多少？14．利民商场经营某种品牌的T恤，购进时的单价是300元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是400元时，销售量是60件，销售单价每涨10元，销售量就减少1件．设这种T恤的销售单价为x元（x＞400）时，销售量为y件、销售利润为W元．（1）请分别用含x的代数式表示y和W（把结果填入下表）：销售单价（元）x销售量y（件）销售利润W（元）（2）该商场计划实现销售利润10000元，并尽可能增加销售量，那么x的值应当是多少？15．某品牌的洗衣机在市场上享有美誉，市场标价为3000元，进价为1800元，市场调研发现，若在市场价格的基础上降价会引起销售量的增加，当销售价格为2900元时，月销售量为340台；当销售价格为2800元时，月销售量为380台．若月销售量y（台）与销售价格x（元）满足一次函数关系．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）公司决定采取降价促销，迅速占领市场的方案，请根据以上信息，判断当销售价格x定为多少元时，公司的月利润W最大，并求出W的最大值．参考答案：1．（1）y 2=10x+630（10≤x≤12，且x 取整数）；（2）x=4时，W 最大=450元；x=10时，W 最大=361元；（3）a 的整数解为10．2．（1）50；（2）当1050x <≤时2[200.1(10)12]0.19y x x x x =---=-+当50x >时(2016)4y x x =-=．（3）16．53．（1）y 1=20x+540，y 2=10x+630；（2）去年4月销售该配件的利润最大，最大利润为450万元．4．（1）24063012w x x x =-+<<，0；（2）当该餐厅的店员人数x 为8人时，每天的总营业额w 最大，最大营业额是2480元；（3）57x ≤≤5．(1)A ，B 两种纪念品每件的进价分别是50元和20元(2)①当65x =时，售出A 纪念品所获利润最大，最大利润为1125元；①326．(1)200y x =-+ 80150x ≤≤(2)每件衣服的售价为90元(3)当售价为140元每件时，才能获得最大利润，最大利润为3600元7．（1）140，0（2）w 内=－1100x 2+100x －90000，w 外=－1100x 2+（150－a ）x ；（3）当x =5000时，在国内销售的月利润最大；a =348．(1)()20201028x y x ≤≤=+ ()2101028x z x =-≤≤+；(2)这28天中第15天销售利润最大，最大利润为25000元；(3)第20天时，利润最大值为20250元时 6.25a =．9．(1)A 型口罩的每盒进价是30元，B 型口罩每盒进价是50元(2)当B 型口罩每盒售价65元时，销售B 型口罩所得日均总利润最大，最大日均总利润为1125元10．（1）y ＝﹣20x+1000（30≤x ≤50）；（2）当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．11．(1)①()240x -；①()40800x -；①()223007200x x -+-。

部编数学九年级上册实际问题与二次函数专题训练(4大题型35题)2023考点题型精讲(解析版)含答案

22.3实际问题与二次函数专题训练（4大题型35题）题型1：几何问题-面积问题1．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园（如图所示），其中一边靠墙（墙长为18m），另外三边用32m的篱笆围成．（1）令苗圃园长（平行于墙的边长）为xm，宽为ym，写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）若苗圃园的面积为96m2，求垂直于墙的一边长为多少米？（3）苗圃园的面积能否达到150m2？请说明理由；并写出苗圃园的面积最大值．【分析】（1）根据篱笆的长为32米．列出y关于x的函数关系式，并根据墙长为18m，矩形的边长大于0求出x的取值范围；（2）设苗圃园的面积为Sm2，根据矩形的面积公式写出S关于x的函数解析式，令S＝96，解关于x的一元二次方程，取在x范围的解即可；（3）先令S＝150得到关于x的一元二次方程，再根据Δ＜0，可知苗圃园面积不能达到150m2；根据二次函数的性质求最值即可．【解答】解：（1）由题意得：y＝＝﹣x+16，∵，∴0＜x≤18，∴y关于x的函数关系式为y＝﹣x+16，x的取值范围为0＜x≤18；（2）设苗圃园的面积为Sm2，由（1）知，S＝xy＝x（﹣x+16）＝﹣x2+16x，令S＝96，则﹣x2+16x＝96，解得：x1＝8，x2＝24（舍去），∴平行于墙的边长8m，∴垂直于墙的边长为﹣×8+16＝12（m）；（3）由（2）知S＝﹣x2+16x，令S＝150，则﹣x2+16x＝150，整理得：x2﹣32x+300＝0，∵Δ＝（﹣32）2﹣4×1×300＝﹣176＜0，∴方程x2﹣32x+300＝0无实数解，∴苗圃园的面积不能达到150m2；∵S＝﹣x2+16x＝﹣（x﹣16）2+128，∵﹣＜0，∴当x＝16时，S有最大值，最大值为128，∴当平行于墙的边长为16m时，苗圃园的面积最大值128m2．【点评】此题考查了二次函数、一元二次方程的实际应用问题．解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可．2．目前世界上有10亿多人以马铃薯为主粮，为国家粮食安全，丰富农民收入来源，某区试点马铃薯种植，给予每亩地每年发放150元补贴．年初，种植户金大伯根据以往经验，考虑各种因素，预计本年每亩的马铃薯销售收入为2000元，以及每亩种植成本y（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系如图所示．（1）根据图象，求出y与x之间的函数关系式．（2）根据预计情况，求金大伯今年种植总收入w（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系式．（总收入＝销售收入﹣种植成本+种植补贴）．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）分别求出销售收入、种植成本、种植补贴，再根据总收入销售收入种植成本种植补贴计算即可．【解答】（1）设函数关系式为y＝kx+b，根据图象可知，函数图象过点（200，1000），（240，880），将这两点代数函数关系式可得：，解得：，故函数关系式为：y＝﹣3x+1600；（2）销售收入：2000x；成本：y•x＝（﹣3x+1600）•x＝﹣3x2+1600x，补贴：150x；因为，总收入＝销售收入•种植成本+种植补贴，所以w＝2000x﹣（﹣3x2+1600x）+150x，整理得：w＝3x2+550x．【点评】本题主要考查一次函数的实际应用及待定系数法求解析式，解题的关键是正确解读题意，找出各个函数表达式和代数式．3．如图，学校要用一段长为36米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长为16米．（1）若矩形ABCD的面积为144平方米，求矩形的边AB的长．（2）要想使花圃的面积最大、AB边的长应为多少米？最大面积为多少平方米？【分析】（1）根据题意：矩形的面积＝AB×BC，设未知数列方程可解答；（2）设AB为x米，矩形的面积为y平方米，则BC＝（36﹣2x）米，可以得到y与x的函数关系式，在x的取值范围内求出函数的最大值即可．【解答】解：（1）设AB为x米，则BC＝（36﹣2x）米，由题意得：x（36﹣2x）＝144，解得：x1＝6，x2＝12，∵墙长为16米，36米的篱笆，∴36﹣2x≤16，2x＜36，∴10≤x＜18，∴x＝12，∴AB＝12，答：矩形的边AB的长为12米；（2）设AB为x米，矩形的面积为y平方米，则BC＝（36﹣2x）米，∴y＝x（36﹣2x）＝﹣2x2+36x＝﹣2（x﹣9）2+162，∵10≤x＜18，且﹣2＜0，故抛物线开口向下，∴当x＝10时，y有最大值是160，答：AB边的长应为10米时，有最大面积，且最大面积为160平方米．【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．4．数学课外活动小组进行如下操作实验，把一根长20m的铁丝剪成两段．（1）把每段首尾相连各围成一个正方形．要使这两个正方形的面积之和等于13m2，应该怎么剪这根铁丝？（2）若把剪成两段的铁丝围成两个圆，两圆面积之和的最小值是多少？【分析】（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（20﹣x）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于13cm2建立方程求出其解即可；（2）设两圆面积之和为Scm2，剪成较短的一短为ym，则较长的部分为（20﹣y）m，根据圆的面积公式求出两圆面积之和，再根据函数性质求最小值．【解答】解：（1）设剪成较短的一短为xm，则较长的部分为（20﹣x）m，由题意得：（）2+（）2＝13，化简得：x2﹣20x+96＝0，解得：x1＝8，x2＝12，当x＝8时，较长部分为12，答：应该把铁丝剪成8m和12m的两个部分；（2）设两圆面积之和为Scm2，剪成较短的一短为ym，则较长的部分为（20﹣y）m，由题意得：S＝π•（）2+π•（）2＝（y﹣10）2+（0≤y≤20），∵＞0，∴当y＝10时，S有最小值，最小值为．【点评】本题考查和二次函数和一元二次方程的应用，关键是根据题意列出函数关系式和一元二次方程．5．如图，用一根60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．（1）若所围成的矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？（2）矩形框架ABCD面积的最大值为平方厘米．【分析】（1）设框架的长AD为xcm，则宽AB为cm，根据面积公式列出一元二次方程，解之即可；（2）在（1）的基础上，列出二次函数，再利用二次函数的性质可得出结论．【解答】解：（1）设框架的长AD为xcm，则宽AB为cm，∴x•＝144，解得x＝12或x＝18，∴AB＝12cm或AB＝8cm，∴AB的长为12厘米或8厘米；（2）由（1）知，框架的长AD为xcm，则宽AB为cm，∴S＝x•，即S＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣15）2+150，∵﹣＜0，∴要使框架的面积最大，则x＝15，此时AB＝10，最大为150平方厘米．故答案为：150．【点评】此题考查的是二次函数在实际生活中的运用及求函数最值的方法，属较简单题目．解题的关键是用一个未知数表示出长和宽，利用面积公式来列出函数表达式后再求其最值．6．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃ABCD的一边CD长为x米．（1）BC长为米（包含门宽，用含x的代数式表示）；（2）若苗圃ABCD的面积为96m2，求x的值；（3）当x为何值时，苗圃ABCD的面积最大，最大面积为多少？【分析】（1）根据木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃ABCD的一边CD长为x米，即得BC 长为（36﹣3x）米；（2）根据题意得：x•（36﹣3x）＝96，即可解得x的值；（3）w＝x•（36﹣3x）＝﹣3（x﹣6）2+108，由二次函数性质可得答案．【解答】解：（1）∵木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃ABCD的一边CD长为x米，∴BC长为32﹣3x+4＝36﹣3x，故答案为：（36﹣3x）；（2）根据题意得：x•（36﹣3x）＝96，解得x＝4或x＝8，∵x＝4时，36﹣3x＝24＞14，∴x＝4舍去，∴x的值为8；（3）设苗圃ABCD的面积为w，则w＝x•（36﹣3x）＝﹣3x2+36x＝﹣3（x﹣6）2+108，∵﹣3＜0，∴当x＞6时，w随x的增大而减小，∵36﹣3x≤14，得x≥，∴x＝时，w最大为，答：当x为米时，苗圃ABCD的最大面积为平方米．【点评】本题考查二次函数的应用，解题得关键是读懂题意，根据已知列方程和函数关系式．7．为了提高巴中市民的生活质量，巴中市对老旧小区进行了美化改造．如图，在老旧小区改造中，某小区决定用总长27m的栅栏，再借助外墙围成一个矩形绿化带ABCD，中间用栅栏隔成两个小矩形，已知房屋外墙长9m．（1）当AB长为多少时，绿化带ABCD的面积为42m2？（2）当AB长为多少时，绿化带ABCD的面积最大，最大面积是多少？【分析】（1）根据题意和图形可知：AB•CD＝42，然后列出方程求解即可，注意CD的长不大于9m；（2）根据题意，可以写出面积与AB的长的函数关系，然后利用二次函数的性质求最值．【解答】解：（1）设AB长为xm时，绿化带ABCD的面积为42m2，x（27﹣3x）＝42，解得x1＝2，x2＝7，当x＝2时，27﹣3x＝21＞9，不合题意，舍去；当x＝7时，27﹣3x＝6，符合题意；答：当AB长为7m时，绿化带ABCD的面积为42m2；（2）设绿化带ABCD的面积为Sm2，AB长为am，S＝a（27﹣3a）＝﹣3a2+27a＝﹣3（a﹣）2+，∴该函数图象开口向下，对称轴为直线x＝，∵，解得6≤a＜9，∴当a＝6时，S取得最大值，此时S＝54，答：当AB长为6m时，绿化带ABCD的面积最大，最大面积是54 m2．【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的方程和二次函数关系式，利用二次函数的性质求最值．8．如图，若要建一个矩形场地，场地的一面靠墙，墙长10m，另三边用篱笆围成，篱笆总长20m，设垂直于墙的一边为xm，矩形场地的面积为Sm2．（Ⅰ）S与x的函数关系式为S＝，其中x的取值范围是；（Ⅱ）若矩形场地的面积为42m2，求矩形场地的长与宽；（Ⅲ）当矩形场地的面积最大时，求矩形场地的长与宽，并求出矩形场地面积的最大值．【分析】（1）由AD＝x，可得出AB＝20﹣2x，由墙长10米，可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再利用矩形的面积公式即可得出s关于x的函数关系式；（2）根据矩形场地的面积，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；（3）把二次函数的解析式配方成顶点式，求出长与宽．【解答】解：（1）∵AD＝BC＝x，∴AB＝20﹣2x．又∵墙长10米，∴，∴5≤x＜10．∴S＝x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x（5≤x＜10）．故答案为：﹣2x2+20x，5≤x＜10；（2）当矩形场地的面积为42m2时，﹣2x2+20x＝42，解得：x1＝3（不合题意，舍去），x2＝7，∴20﹣2x＝6．答：矩形的长为7米，宽为6米；（3）∵S＝﹣2x2+20x＝﹣2（x﹣5）2+50，∴当x＝5时，S最大是50，此时20﹣2x＝10，答：当矩形场地的面积最大时，矩形场地的长是10m，宽是5m，矩形场地面积的最大值是50m2．【点评】本题考查了一元二次方程的应用、函数关系式以及函数自变量的取值范围，解题的关键是：（1）利用矩形的面积公式，找出s关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．9．在校园嘉年华中，九年级同学将对一块长20m，宽10m的场地进行布置，设计方案如图所示．阴影区域为绿化区（四块全等的矩形），空白区域为活动区，且4个出口宽度相同，其宽度不小于4m，不大于8m．设出口长均为x（m），活动区面积为y（m2）．（1）求y关于x的函数表达式；（2）当x取多少时，活动区面积最大？最大面积是多少？（3）若活动区布置成本为10元/m2，绿化区布置成本为8元/m2，布置场地的预算不超过1850元，当x 为整数时，请求出符合预算且使活动区面积最大的x值及此时的布置成本．【分析】（1）根据活动区域的面积等于矩形的面积减去绿化区的面积，可得y与x的关系式；（2）根据二次函数的增减性可得结论；（3）根据列方程即可得到结论．【解答】解：（1）根据题意得：y＝20×10﹣4××＝200﹣（20﹣x）（10﹣x）＝200﹣200+30x﹣x2＝﹣x2+30x，∴y与x的函数关系式为y＝﹣x2+30x（4≤x≤8）；（2）由（1）知：y＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣15）2+225，∵﹣1＜0，∵当x＜15时，y随x的增大而增大，∵4≤x≤8，∴当x＝8时，y有最大值，最大值为176，∴当x取8m时，活动区面积最大，最大面积是176m2；（3）设布置场地所用费用为w元，则w＝10（﹣x2+30x）+8[200﹣（﹣x2+30x）]＝﹣10x2+300x+1600+8x2﹣240x＝﹣2x2+60x+1600，令w＝1850，﹣2x2+60x+1600＝1850，解得：x＝25或x＝5，∵4≤x≤8，∴4≤x≤5，∵活动区域面积为y＝﹣x2+30x，﹣1＜0，对称轴为直线x＝15，∴当x＝5时，活动区面积最大，此时的布置成本为1850元．【点评】本题考查了二次函数的应用，此题关键是求得短边的长度，再利用矩形的面积求得各部分面积，进一步列不等式（组）解决问题．题型2：几何问题-动点问题10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为t（s），四边形APQC的面积为S（cm）．（1）试写出四边形APQC的面积为S（cm）与动点运动时间t之间的函数表达式；（2）运动时间t为何值时，四边形APQC的面积最小？最小值为多少？【分析】（1）首先根据题意，表示PB＝（3﹣t）cm，BQ＝2tcm，再根据四边形APQC的面积为S＝Rt△ABC的面积﹣Rt△PBQ的面积，用t表示四边形的面积；（2）首先求出自变量的取值范围，根据二次函数的性质确定四边形APQC面积的最小值．【解答】解：（1）根据题意，得PB＝（3﹣t）cm，BQ＝2tcm，S＝﹣＝6﹣t（3﹣t）＝t2﹣3t+6；（2）S＝t2﹣3t+6（0＜t＜2），∵a＝1，∴S＝﹣＝时，S有最小值，S＝，∴当t为cm时，四边形APQC的面积最小，最小值为cm2．【点评】本题考查了二次函数的最值，掌握二次函数的性质的应用，根据题意用t表示四边形的面积是解题关键．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q以点B开始沿边BC向点C以3cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当一点到达终点时，另一个点随即停止移动．（1）经过几秒，△PBQ的面积等于18cm2？（2）在运动过程中，经过几秒时，△PBQ的面积最大？最大面积是多少？【分析】（1）根据题意表示出PB，QB的长，利用△PBQ的面积等于18列式求值即可；（2）根据三角形的面积公式列出S关于t的函数解析式，再根据函数的性质求最值即可．【解答】解：（1）设经过t（0≤t≤5）秒时间，此时PB＝10﹣2t，BQ＝3t，当△PBQ面积等于18cm2时，根据题意得：（10﹣2t）×3t＝18，解得t1＝2，t2＝3，经检验，均符合题意．∴经过2s或3s后，APBQ的面积等于18cm；（2）设运动时间为t秒，则S＝PB•BQ＝（10﹣2t）×3t＝﹣3t2+15t＝﹣3（t﹣2.5）2+，△PBQ∴当t＝2.5时，S最大，最大值为，△PBQ∴经过2.5秒时，△PBQ的面积最大，最大面积为cm2．【点评】此题考查了二次函数求最值、一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和一元二次方程．12．在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A开始按A→B→C→D的方向运动到点D．如图，设动点P所经过的路程为x，△APD的面积为y．（当点P与点A或D重合时，y＝0）（1）写出y与x之间的函数解析式；（2）直接写出△APD的面积的最大值．【分析】（1）分三种情况：点P在AB上运动，点P在BC上运动，点P在CD上运动，分别求出y与x 之间的函数解析式即可；（2）画出函数图象，观察图象可得答案．【解答】解：（1）当点P在AB上运动时，即0≤x＜3时，y＝×AD×AP＝×4×x＝2x；当点P在BC上运动时，即3≤x＜7时，y＝×AD×AB＝×4×3＝6；当点P在CD上运动时，即7≤x≤10时，y＝×AD×PD＝×4×（10﹣x）＝﹣2x+20，综上所述，y＝；（2）函数图象如下：由图象可得，y最大为6，∴△APD的面积的最大值是6．【点评】本题考查动点问题的函数图象、三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想方法．13．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s 的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t，（1）AP＝　2tcm　，BP＝　（12﹣2t）cm　，BQ＝　4tcm　；（2）t为何值△时△PBQ的面积为32cm2？（3）t为何值时△PBQ的面积最大？最大面积是多少？【分析】（1）根据题意得出即可；（2）根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可；（3）先列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可．【解答】解：（1）根据题意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm，所以BP＝（12﹣2t）cm，故答案为：2tcm，（12﹣2t）cm，4tcm；（2）△PBQ的面积S＝＝（12﹣2t）×4t＝﹣4t2+24t＝32，解得：t＝2或4，即当t＝2秒或4秒时，△PBQ的面积是32cm2；（3）S＝﹣4t2+24t＝﹣4（t﹣3）2+36，所以当t为3时△PBQ的面积最大，最大面积是36cm2．【点评】本题考查了三角形的面积，二次函数的最值等知识点，能求出S与x的函数关系式是解此题的关键．14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝6cm，点P从点C开始沿CB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从A开始沿AC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P，Q同时从点C，A出发，试问：（1）出发多少时间时，点P，Q之间的距离等于？（2）出发多少时间时，△PQC的面积为6cm2？（3）△PQC面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？【分析】（1）可设出发xs时间时，点P，Q之间的距离等于2cm，根据勾股定理列出方程求解即可；（2）可设出发ys时间时，△PQC的面积为6cm2，根据三角形的面积公式列出方程求解即可；（3）根据题意得到△PQC面积和时间t的关系式，根据关系式即可得到结论．【解答】解：（1）设出发xs时间时，点P，Q之间的距离等于2cm，依题意有x2+（12﹣2x）2＝（2）2，解得x1＝2，x2＝7.6（不合题意舍去）．答：出发2s时间时，点P，Q之间的距离等于2cm；（2）设出发ys时间时，△PQC的面积为6cm2，依题意有y（12﹣2y）＝6，解得y1＝3﹣，y2＝3+．答：出发（3﹣）s或（3+）s时间时，△PQC的面积为6cm2；＝t（12﹣2t）＝﹣（t﹣3）2+9，（3）依题意有S△PQC∵﹣1＜0，∴△PQC面积的有最大值9，此时时间是3．【点评】此题主要考查了二次函数的最值，一元二次方程的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．15．如图，在矩形ABCD中，BC＝6cm，AB＝4cm，S是AD中点，点E以每秒2cm的速度从点B出发沿折线BS﹣SD﹣DC匀速运动，同时点F以每秒1cm的速度从点C出发沿CB运动．设点E、F出发t秒（0＜t＜6）时，△EBF的面积为ycm2．（1）求y与t的函数关系式；（2）当t为何值时，y取得最大值，并求出此最大值．【分析】（1）分点E在BS上、点E在SD上和点E在DC上讨论解答即可；（2）根据（1）的结论解答即可．【解答】解：（1）点E在BS上（当0＜t≤2.5时），，点E在SD上（当2.5≤t≤4时），y＝12﹣2t；点E在DC上（当4≤t≤6时），y＝t2﹣12t+36；（2）当0＜t≤2.5时，，对称轴t＝3，y随x的增大而增大，∴t＝2.5，y的最大值为7；当2.5≤t≤4时，y＝12﹣2t，是减函数，∴t＝2.5时，y有最大值为7；当4≤t≤6时，y＝t2﹣12t+36，对称轴为t＝6，y随x的增大而减小，∴t＝4，y有最大值为4．综上所述，t＝2.5时，y有最大值为7．【点评】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、勾股定理、三角形面积、函数图象问题等知识，读懂图象信息是解决问题的关键，学会设未知数列方程组解决问题，把问题转化为方程去思考，是数形结合的好题目，属于中考选择题中的压轴题．16．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，且AO＝8，BO＝6，P是线段AB上一个动点，PE⊥AO于E，PF⊥BO于F．设PE＝x，矩形PFOE的面积为S（1）求出S与x的函数关系式；（2）当x为何值时，矩形PFOE的面积S最大？最大面积是多少？【分析】（1）根据矩形的对边相等可得OF＝PE＝x，然后利用∠B的正切值求出PF，再根据矩形的面积公式列式整理即可得解；（2）把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后根据二次函数的最值问题解答．【解答】解：（1）在矩形PFOE中，OF＝PE＝x，∵AO＝8，BO＝6，∴tan B＝＝，即＝，解得PF＝（6﹣x），∴矩形PFOE的面积为S＝PE•PF＝x•（6﹣x）＝﹣x2+8x，即S＝﹣x2+8x；（2）∵S＝﹣x2+8x＝﹣（x2﹣6x+9）+12＝﹣（x﹣3）2+12，∴当x＝3时，矩形PFOE的面积S最大，最大面积是12．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，矩形的性质与锐角的正切的利用，（2）把二次函数的解析式转互为顶点式形式是解题的关键．17．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B 运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP＝CQ．设AP＝x．（1）当PQ∥AD时，求x的值；（2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求x的取值范围；（3）当线段PQ的垂直平分线与BC相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设△EPQ的面积为S，求S 关于x的函数关系式，并写出S的取值范围．【分析】（1）根据已知条件，证明四边形APQD是矩形，再根据矩形的性质和AP＝CQ求x即可；（2）连接EP、EQ，则EP＝EQ，设BE＝y，列出等式（8﹣x）2+y2＝（6﹣y）2+x2然后根据函数的性质来求x的取值范围；（3）由图形的等量关系列出方程，再根据函数的性质来求最值．【解答】解：（1）当PQ∥AD时，则∠A＝∠APQ＝90°，∠D＝∠DQP＝90°，又∵AB∥CD，∴四边形APQD是矩形，∴AP＝QD，∵AP＝CQ，AP＝CD＝，∴x＝4．（2）如图，连接EP、EQ，则EP＝EQ，设BE＝y．∴（8﹣x ）2+y 2＝（6﹣y ）2+x 2，∴y ＝．∵0≤y ≤6，∴0≤≤6，∴≤x ≤．（3）S △BPE ＝•BE •BP ＝••（8﹣x ）＝，S △ECQ ＝＝•（6﹣）•x ＝，∵AP ＝CQ ，∴S BPQC ＝，∴S ＝S BPQC ﹣S △BPE ﹣S △ECQ ＝24﹣﹣，整理得：S ＝＝（x ﹣4）2+12（），∴当x ＝4时，S 有最小值12，当x ＝或x ＝时，S 有最大值．∴12≤S ≤．【点评】解答本题时，涉及到了矩形的判定、矩形的性质、勾股定理以及二次函数的最值等知识点，这是一道综合性比较强的题目，所以在解答题目时，一定要把各个知识点融会贯通，这样解题时才会少走弯路．题型3：利润问题18．某种产品按质量不同分等级，生产最低档次产品每件获利润8元，每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时每天可生产最低档次产品800件，每提高一个档次将减产40件，求生产何种档次产品的利润最高？【分析】档次提高时，带来每件利润的提高，销售量下降，设生产第x档次时获得产品的利润为y元，每件利润为[8+2（x﹣1）]元，销售量为[800﹣40（x﹣1）]件，根据：利润＝每件利润×销售量列函数式，化成顶点式即可．【解答】解：设生产第x档次时获得产品的利润为y元，则∵生产最低档次产品每件获利润8元，每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时每天可生产最低档次产品800件，每提高一个档次将减产40件，∴y＝[8+2（x﹣1）][800﹣40（x﹣1）]＝﹣80（x﹣9）2+11520，∵当x＝9时，y有最大值，所以，生产第九档次产品获利润最大．【点评】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，解题的关键是能够从实际问题中抽象出二次函数模型，难度不大．19．小明在“生活中的数学”探究活动中，经过市场调查，研究了某种商品的售价、销量、利润之间的变化关系．小明整理出该商品的相关数据如下表所示．时间x（天）1≤x＜3030≤x≤50售价（元/件）x+4070每天销量（件）100﹣2x已知该商品的进价为每件10元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？【分析】（1）根据题意可以分别求得1≤x＜50和50≤x≤90时的y与x的函数关系式；（2）根据题意可以分别求得两段的函数的最大值，从而可以解答本题．【解答】解：（1）当1≤x＜30时，y＝（100﹣2x）（x+40﹣10）＝﹣2x2+40x+3000，当30≤x≤50时，y＝（100﹣2x）（70﹣10）＝﹣120x+6000，综上所述：y与x的函数关系式为y＝；（2）当1≤x＜30时，二次函数y＝﹣2x2+40x+3000＝﹣2（x﹣10）2+3200，∵﹣2＜0，∴当x＝10时，y＝3200，最大当30≤x≤50时，y＝﹣120x+6000中y随x的增大而减小，＝2400，∴当x＝30时，y最大综上所述，该商品第10天时，当天销售利润最大，最大利润是3200元．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．20．“全民防控新冠病毒”期间某公司推出一款消毒产品，成本价8元/千克，经过市场调查，该产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足一次函数关系，该产品的日销售量与销售单价几组对应值如表：销售单价x（元/千克）121620日销售量y（千克）220180140（1）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）设日销售利润为W，求出W与x的函数关系式；（注：日销售利润＝日销售量×（销售单价−成本单价）（3）该公司决定从每天的销售利润中捐赠100元给“精准扶贫”对象，为了保证捐赠后每天的剩余利润不低于1500元，试确定该产品销售单价的范围．【分析】（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，由待定系数法求解即可；（2）根据日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价）写出函数关系式；（3）根据题意得﹣10x2+420x﹣2720﹣100≥1500，变形得出关于x的二次不等式，然后解一元二次方程，再根据二次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，将（12，220），（16，180）代入得：，解得：．∴y＝﹣10x+340；（2）由题意得：W＝（﹣10x+340）（x﹣8）＝﹣10x2+420x﹣2720，∴W与x的函数关系式是W＝﹣10x2+420x﹣2720；（3）由题意得：﹣10x2+420x﹣2720﹣100≥1500，∴x2﹣42x+432≤0，当x2﹣42x+432＝0时，解得：x1＝18，x2＝24，∵函数y＝x2﹣42x+432的二次项系数为正，图象开口向上，∴当18≤x≤24时，x2﹣42x+432≤0，即﹣10x2+420x﹣2720﹣100≥1500，∴该产品销售单价的范围为18≤x≤24．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键．21．某科技公司生产一款精密零件，每个零件的成本为80元，当每个零件售价为200元时，每月可以售出1000个该款零件，若每个零件售价每降低5元，每月可以多售出100个零件，设每个零件售价降低x元，每月的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式；（2）为了更好地回馈社会，公司决定每销售1个零件就捐款n（0＜n≤6）元作为抗疫基金，当40≤x≤60时，捐款后每月最大的销售利润为135000元，求n的值．【分析】（1）根据销售利润＝单件利润×销售量列出函数解析式即可；（2）根据销售利润﹣捐款额列出函数解析式，再根据函数的性质结合x的取值范围求值即可．【解答】解：（1）设每个零件售价降低x元，则每个零件的实际售价为（200﹣x）元，每月的实际销售量为（1000+×100），则w＝（200﹣x﹣80）（1000+×100）＝20x2十1400x+120000，∵，∴0≤x≤120，∴w与x之间的函数关系式为w＝﹣20x2+1400x+120000（0≤x≤120）；（2）设捐款后的实际利润为p元，则p＝﹣20x2+1400x+120000﹣（1000+×100）n，整理得：p＝﹣20x2+（1400﹣20n）x+120000﹣1000n，则p是x的二次函数，其对称轴为直线x＝﹣＝，∵0＜n≤6，∴32≤＜35，∵﹣20＜0，∴函数图象开口向下，当40≤x≤60时，p随x的增大而减小，∴当x＝40时，p有最大值135000，即﹣20×402+40（1400﹣20n）+120000﹣1000n＝135000，解得：n＝5．【点评】本题考查二次函数的应用，关键是根据题意列出函数解析式．22．我市某卖场的一专营柜台，专营一种电器，每台进价60元，调查发现，当销售价80元时，平均每月能售出1000台；当销售价每涨1元时，平均每月能少售出10台；该柜台每月还需要支出20000元的其它费用．为了防止不正当竞争，稳定市场，市物价局规定：“出售时不得低于80元/台，又不得高于180元/台”，设售价为x元/台时，月平均销售量为y台，月平均利润为w元．（1）求y与x的函数关系式，w与x的函数关系式（写出x的取值范围）；（2）每台售价多少元时，月销售利润最高，最高为多少元．【分析】（2）根据题意直接得出结论；（2）根据抛物线的性质可得答案．【解答】解：（1）由题意得：y＝1000﹣10（x﹣80）＝1800﹣10x（80≤x≤180），w＝（x﹣60）（1800﹣10x）﹣20000＝﹣10x2+2400x﹣128000（80≤x≤180）；（2）w＝﹣10x2+2400x﹣128000＝﹣10（x﹣120）2+16000，∵﹣10＜0，∴抛物线开口向下，∴当每台售价120元时，月销售利润最高，最高为16000元．【点评】本题主要考查二次函数的实际应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键．23．某文具店购进一批单价为12元的学习用品，按照相关部门规定其销售单价不低于进价，且不高于进价的1.5倍，通过分析销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，且当x ＝15时，y＝50；当x＝17时，y＝30．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）这种学习用品的销售单价定为多少时，每天可获得最大利润，最大利润是多少元？【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，然后代值求解即可；（2）设每天获得的利润为w元，由（1）可得w＝﹣10（x﹣16）2+160进而根据二次函数的性质可求解．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由题意得：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+200；（2）设每天获得的利润为w元，由（1）可得：w＝（x﹣12）（﹣10x+200）＝﹣10x2+320x﹣2400＝﹣10（x﹣16）2+160，∵12≤x≤18，且﹣10＜0，∴当x＝16时，w有最大值，最大值为160．答：这种学习用品的销售单价定为16元时，每天可获得最大利润，最大利润是160元．【点评】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质是解题的关键．24．为扩大销售，某乡镇农贸公司在某平台新开了一家网店进行线上销售．在对一种特产（成本为10元/千克）在网店试销售期间发现每天销售量y（千克）与销售单价x（元）大致满足如图所示的函数关系（其中14≤x≤25）．（1）写出y关于x的函数解析式，并求x＝20时，农贸公司每天销售该特产的利润；（2）设农贸公司每天销售该特产的利润为W元，当销售单价x为多少元时，W最大？最大是多少元？【分析】（1）设出y关于x的函数解析式，用待定系数法求函数解析式即可；（2）根据每千克的利润×销售量＝总利润列出函数解析式，用函数的性质求最值即可．【解答】解：（1）设y关于x的函数解析式y＝kx+b（k≠0），将（14，320），（25，210）代入得，解得，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+460；当x＝20时，y＝﹣10×20+460＝260，农贸公司每天销售该特产的利润为（20﹣10）×260＝2600（元），。

中考数学总复习《实际问题与二次函数》专项提升练习题(附带答案)

中考数学总复习《实际问题与二次函数》专项提升练习题（附带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．有一块形状如图的四边形余料ABCD ，4AB BC CD ===测得∠B=90°，60C ∠=︒要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一边在AB 上，并使截得的面积尽可能大．(1)若所截矩形材料的一个顶点恰好为D ，求该矩形材料的面积．(2)能否截出比（1）中面积更大的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，请说明理由．2．如图，利用一面墙（墙EF 最长可利用24米），围成一个矩形苗圃园ABCD ，与围墙平行的一边BC 上要预留3米宽的入口（如图MN 所示，不用砌墙），用45米长的墙的材料做围墙，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x 米．(1)求y关于x的函数表达式；(2)根据攀枝花市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于7.80m，此项考试得分为满分15分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．5．如图是某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点Q为顶点，其高为6米，宽OP为12米．以点O为原点，OP所在直线为x轴建立平面直角坐标系．(1)求该抛物线的函数解析式；（不需写自变量的取值范围）(2)如图2，小区物业计划在拱形大门处安装一个矩形“光带”ABCD，使点A，D在抛物线上，点B，C在OP，，的长度之和的最大值．上，求所需的三根“光带”AB AD DC、分别在x轴、y轴的正6．如图1，以边长为16的正方形OABC的顶点O为原点建立直角坐标系，OA OC方向上．(1)求以y 轴为对称轴，且经过点A C 、的抛物线的函数解析式；(2)平移正方形OABC ，但保持抛物线与对应边O A ''交于点D 、与对应边B C ''交于点E ，且点D 不与点O A ''、重合，点E 不与点B C ''、重合，如图2，设点C '的坐标为(),C a b '且0a >．①当OE AE =时，求出点D E 、的坐标；①在①的条件下，直接写出a 的取值范围；①当7b =时，是否存在实数a 使得点E 为边B C ''的中点？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．7．如图，在Rt ABC △中1ABC S =△，点P 是BC 边上任意一点(点P 与点B ，C 不重合)，矩形AFPE 的顶点F ，E 分别在AB ，AC 上．(1)若BP ：PC=2：3求BPF S ；(2)已知2BC =，设BP x =，矩形AFPE 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式，y 在x 为多少时取得最大值，并求出最大值是多少．8．为了进一步保护好人们的眼睛，某公司投资生产了一种护眼台灯．这种台灯的成本为每盏20元，公司派一名销售员进行市场销售，第一个月以每盏22元的售价出售了280盏．第二个月进行了市场调查，每盏台灯提高0.5元就少销售5盏台灯，设第二个月月销售量为y （盏）与销售单价x （元），在销售过程中，销售单价不低于第一个月售价，且每盏台灯的利润不高于成本价的60%．(1)请求出销售量y （盏）与销售单价x （元）之间的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围．(2)设第二个月的利润为w （元），求出第二个月的利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式．当销售单价定为多少元时，第二个月的销售利润最大，最大利润为多少元．(3)如果公司想要第二个月获得的利润不低于2000元，那么公司第二个月的成本最少需要多少元？9．跳绳是校园中常见的一项体育运动，集体跳绳时，需要两人同频甩动绳子，当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作抛物线．下图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m ，并且相距4m ．现在以两人的站立点所在的直线为x 轴，过小明拿绳子的手作x 轴的垂线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线的解析式为216y x bx c =-++．(1)求出绳子所对应的抛物线的解析式．(2)身高为1.72m的乐乐站在绳子的正下方，绳子能否过他的头顶？并说明理由．(3)身高为1.64m的小颖，站在绳子的下方，设她距离小明拿绳子的手为dm，为保证绳子甩到最高处时过她的头顶，请直接写出的取值范围．10．某水果店出售一种水果，该水果的进价为8元/千克，经过往年销售经验可知：以12元/千克出售，每天可售出60千克；若每千克涨价0.5元，每天要少卖2千克；若每千克降价0.5元，每天要多卖2千克，但x≥），每天售出水果的总重量为y千克．售价不低于进价．设该水果的销售单价为x元/千克（8(1)求y与x的函数关系式；x x≥的函数关系式，并求出当x为何值时，利润W最(2)设水果店每天的销售利润为w元，试求出w与(8)大，最大利润是多少？11．小李在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，球飞行路线满足抛物线21855y x x =-+（如图所示），其中()m y 是球的飞行高度，()m x 是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m ．(1)请写出抛物线的开口方向、对称轴方程、顶点坐标；(2)请求出球洞距离击球点的水平距离；(3)若小李再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行的路线应满足怎样的抛物线？求其表达式．12．要在一个圆形广场中央修建一个音乐喷泉，在广场中央竖直安装一根水管．在水管的顶点安一个喷水头，使喷出的抛物线水柱在与广场中央的水平距离为1m 处达到最高，且最高为3m ，水柱落地处离广场中央3m ，建立如图所示的直角坐标系．(1)求抛物线的解析式；(2)求水管的长度；(3)当音乐喷泉开始喷水时，在广场中央有一身高为1.5m 的男孩未及时跑到喷泉外，问该男孩离广场中央的距离m的范围为多少时，才不会淋湿衣裳？13．根据心理学研究表明，学生上课对概念的接受能力y与讲授概念的时间x之间的关系是二次函数，如图OC ．是y与x的函数图象，点A是该抛物线的顶点，且43(1)求y与x的函数关系式；(2)研究表明，当学生的接受能力在55及以上时，视为学生接受能力的黄金期．①在学生接受能力的黄金期讲授重点内容，学习效果会更好．请问，张老师在哪个时间段内讲授重点内容合适？①若讲授某个概念的重点内容需要用时12分钟，请你判断其能否在学生接受能力的黄金期内讲完？说明理由．14．如图，某长为800m 的隧道的横截面顶部为拋物线形，隧道的左侧是高为4m 的墙OA ，右侧是高为5m 的墙BC ，拱壁上某处离地面的高度()m y 与其离墙OA 的水平距离()m x 之间的关系满足216y x bx c =-++．现测得,OA BC 两墙体之间的水平距离为12m ．(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OC 的距离．(2)从隧道头到隧道尾，在拋物线形拱壁上安装若干排吊灯，每排吊灯与地面的距离都不低于203m 32，每相邻两排吊灯之间的水平距离为2m ，每排内相邻两盏吊灯之间的距离为10m ．求共需要多少盏吊灯？(3)如果隧道内设双向行车道，每条车道的宽为5m ，两条车道之间是宽为1m 的绿化带，一辆货车载一个长方体集装箱后高为5m 、宽为4m ，那么这辆货车无论从哪条车道都能安全通过吗？请说明理由．15．在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个．(1)设该吉祥物毛绒玩具每个售价定为()>40x x 元，求该商品销售量y 与x 之间的函数关系式；(2)如果每天的利润要达到1200元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？(3)若获利不得高于进价的80%，每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？参考答案答案第11页，共11页最大利润为2160元(3)公司想要第二个月获得的利润不低于2000元，公司第二个月的成本最少为3600元9．【答案】(1)212163y x x (2)绳子不能过他的头顶(3)1.6 2.4d << 10．【答案】(1)4108y x =-+(8x ≥)(2)当352x =时,利润最大,最大利润为361元 11．【答案】(1)开口向下，顶点为16(4,)5，对称轴为4x =(2)球洞离击球点的距离为10m (3)21616(5)1255y x =--+ 12．【答案】(1)()23134y x =--+(2)2.25米(3)012m ≤<+ 13．【答案】(1)20.1(13)59.9y x =--+(2)①张老师在上课6~20内讲授重点内容合适；①能在学生接受能力的黄金期内讲完14．【答案】(1)212510096496y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 1009m 96(2)486盏 (3)货车无论从哪条车道都能安全通过15．【答案】(1)2160y x =-+(2)50(3)定为54元时，每天销售毛绒玩具所获利润W 最大，最大利润是1248元。

九年级数学上册《第二十二章实际问题与二次函数》同步练习题及答案(人教版)

九年级数学上册《第二十二章实际问题与二次函数》同步练习题及答案(人教版）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1. 一个球被竖直向上抛起，球升到最高点，垂直下落，直到地面.下列可以近似刻画此运动过程中球的高度与时间的关系的图象是( )A. B.C. D.2. 长方形的周长为24cm，其中一边为xcm(其中x>0)，面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为( )A. y=x2B. y=(12−x)2C. y=(12−x)xD. y=2(12−x)3. 抛物线y=−3(x−4)2−5的最大值为( )A. 4B. −4C. 5D. −54. 四位同学在研究函数y=x2+bx+c(b,c是常数)时，甲发现当x=1时，函数有最小值；乙发现−1是方程x2+bx+c=0的一个根；丙发现函数的最小值为2；丁发现当x=2时y=3，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁5. 对于二次函数y=−(x−1)2+2的图象与性质，下列说法正确的是( )A. 对称轴是直线x=1，最小值是2B. 对称轴是直线x=1，最大值是2C. 对称轴是直线x=−1，最小值是2D. 对称轴是直线x=−1，最大值是26. 已知二次函数y=−x2+2cx+c的图象经过点A(a,c)，B(b,c)，且满足0<a+b<2当−1≤x≤1时，该函数的最大值m和最小值n之间满足的关系式是( )A. n=−3m−4B. m=−3n−4C. n=m2+mD. m=n2+n7. 已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示，在所给的自变量取值范围内，下列关于该函数的说法，正确的是( )A. 有最小值0，有最大值3B. 有最小值−1，有最大值0C. 有最小值−1，有最大值3D. 有最小值−1，无最大值8. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大值为a+b+c，若a−b+c=1，则下列结论错误的是( )A. a<0，b>0B. b2−4ac>0C. b2−4ac>−4aD. b2−4ac<16a29. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.当水面上升1.5m时，水面宽度为( )A. 1mB. 2mC. √ 3mD. 2√ 3m10. (2023⋅广东深圳模拟预测)如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x−6)2+2.6⋅已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m.下列判断正确的是( )A. 球运行的最大高度是2.43mB. a=−150C. 球会过球网但不会出界D. 球会过球网并会出界二、填空题11. 在边长为5m的正方形铅皮中间挖去一个面积至少是4m2的小正方形，则剩下的四方框形铅皮的面积y(m2)与小正方形边长x(m)之间的函数关系式是12. 飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是y=60t−3t2.在飞机2着陆滑行中，最后4s滑行的距离是______m.13. 2022年9月29日，C919大型客机取得中国民用航空局型号合格证，这标志着我国具备按照国际通行适航标准研制大型客机的能力，是我国大飞机事业征程上的重要里程碑.如果某型号飞机降落后滑行t2，则该飞机着陆后滑行最的距离s(单位：米)关于滑行的时间t(单位：秒)的函数解析式是s=54t−32长时间为______ 秒.14. 如图，王叔叔想用长为60m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，已知房屋外墙足够长，当矩形ABCD的边AB=______ m时，羊圈的面积最大．15. 某超市购进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足如图所示的一次函数关系，则该超市每天销售这款拼装玩具的最大利润为______ 元(利润=总销售额−总成本)．16. 当m≤x≤m+1，函数y=x2−2x+1的最小值为1，则m的值为______ ．17. 二次函数y=−x2−3x+4的最大值是______ ．18. 如图，在矩形ABCD中AB=10，BC=5点P从点A出发，沿线段AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；点Q从点B出发，沿线段BA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动.P，Q两点同时出发，设点P运动的时间为t(单位：秒)，△APQ的面积为y.则y关于t的函数表达式为______ ．19. 如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，该计划用木材围成总长24m的栅栏，设面积为s(m2)，垂直于墙的一边长为x(m)米．则s关于x的函数关系式：(并写出自变量的取值范围)20. 一名男生推铅球，铅球行进高度y(单位：米)关于水平距离x(单位：米)的函数解析式是y=−1 12x2+23x+53，则该男生铅球推出的距离是米．三、解答题21. 电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件100元，在销售过程中发现，每周的销售量y(件)与每件玩具售价x(元)之间满足一次函数关系(其中100≤x≤160，且x为整数)，当每件玩具售价为120元时，每周的销量为80件；当每件玩具售价为140元时，每周的销量为40件．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当每件玩具售价为多少元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大？最大周利润是多少元？22. 某商店了解到某种网红产品每件成本是10元，于是购进一批该产品进行销售，试销阶段每件产品的销售单价x(元)与日销售量y(件)之间的关系如下列图象：(1)求y与x的函数表达式；(不要求写出自变量x的取值范围)(2)若每日销售利润为P，当销售价为多少时，每日的销售利润最大？最大利润是多少？23. 某商品的进价是每件30元，原售价每件40元，进行不同程度的涨价后，统计了商品调价当天的售价和利润情况，以下是部分数据：售价(元/件)40414243…利润(元)2000214522802405…已知：利润=(售价−进价)×销售量(1)当售价为每件40元时，求当天售出多少件商品；(2)通过分析表格数据发现，该商品售价每件涨价1元时，销售量减少5件，设该商品上涨x元，销售量为y件，用所学过的函数知识求出y与x之间满足的函数表达式；(3)因当地物价局规定，该商品的售价不能超过进价的160%，请求出该商品利润w与x之间的函数关系式，并计算售价为多少元时，该商品获得最大利润．24.如图，在一块等腰直角三角形ABC的铁皮上截取一块矩形铁皮，要求截得的矩形的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上.已知BC=30厘米，设DG的长为x厘米，矩形DEFG的面积为y平方厘米，求y关于为的函数解析式.(不要求写出定义域)25. 如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为6m，宽为4m，以所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面距离为5米．求出抛物线的解析式．参考答案1、C 2、C 3、D 4、B 5、B 6、D 7、C 8、D 9、B 10、D11、y =25−x 2(2<x <5)． 12、24 13、18 14、15 15、800 16、−1或217、254 18、y =t(5−t)(0≤t ≤5) 19、s =−4x 2+24x(0<x <6)． 20、10 21、解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b∵当每件玩具售价为120元时，每周的销量为80件当每件玩具售价为140元时，每周的销量为40件∴{120k +b =80140k +b =40解得{k =−2b =320即y 与x 之间的函数关系式为y =−2x +320(2)设利润为w 元由题意可得：w =(x −100)(−2x +320)=−2(x −130)2+1800∴当x =130时，w 取得最大值，此时w =1800答：当每件玩具售价为130元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大，最大周利润是1800元． 22、解：(1)设y =kx +b ，把(20,20)，(30,10)代入得：{20k +b =2030k +b =10解得：{k =−1b =40∴y 与x 的函数表达式为y =−x +40(2)根据题意得：P =(x −10)y =(x −10)(−x +40)=−(x −25)2+225∵−1<0∴当x =25时，P 取最大值225∴当销售价为25时，每日的销售利润最大，最大利润是225元．23、解：(1)由表格可知，售价为每件40元，销售量为200040−30=200(件)∴当售价为每件40元时，当天售出200件商品(2)根据题意得：y =200−5x(3)设该商品上涨x 元∵商品的售价不能超过进价的160%∴40+x≤30×160%，即x≤8根据题意得w=(40+x−30)(200−5x)=−5x2+150x+2000=−5(x−15)2+3125∵−5<0，且x≤8∴当x=8时，w取最大值−5×(8−15)2+3125=2880(元)∴40+x=48∴w=−5x2+150x+2000(x≤8)，售价为48元时，该商品获得最大利润．24、解：∵△ABC是等腰直角三角形∴∠B=∠C=45∘∵四边形DEFG是矩形∴BE⊥DE，DG=EF=x∴BE=DE同理GF=FC∵BC=BE+EF+FC=2DE+DG=2DE+x=30∴DE=12(30−x)∴y=DG·DE=12(30−x)x．25、解：根据题意得：D(−3,0)C(3,0)E(0,1)设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x−3)把E(0,1)，代入y=a(x+3)(x−3)得：1=a(0+3)(0−3)解得a=−19∴抛物线的解析式为y=−19(x+3)(x−3)，即y=−19x2+1．∴抛物线的解析式为y=−19x2+1．。

中考数学专题复习《实际问题与二次函数》测试卷(附带答案)

中考数学专题复习《实际问题与二次函数》测试卷(附带答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________1．电商平台经销某种品牌的儿童玩具进价为50元/个．经市场调查发现：每周销售量y （个）与销售单价x （元/个）满足一次函数关系（其中x 为整数且50100x ≤≤）．部分数据如下表所示：销售单价x （元/个）55 60 70 销售量y （个） 220 200 160根据以上信息解答下列问题：(1)求y 与x 的函数关系式(2)求每周销售这种品牌的儿童玩具获得的利润W 元的最大值(3)电商平台希望每周获得不低于1100元的利润请计算销售单价的范围．2．掷实心球是攀枝花市高中阶段学校招生体育考试的必考项目．如图1是一名女生投实心球实心球行进路线是一条抛物线行进高度()m y 与水平距离()m x 之间的函数关系如图2所示掷出时起点处高度为5m 3当水平距离为3m 时实心球行进至最高点3m 处．(1)求y 关于x 的函数表达式(2)根据攀枝花市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生）投掷过程中实心球从起点到落地点的水平距离大于等于7.80m此项考试得分为满分15分．该女生在此项考试中是否得满分请说明理由．3．跳绳是很多同学都喜爱的一项体育运动当绳子甩到最高处时其形状可近似的看作一条抛物线．如图是甲乙两人将绳子用到最高处时的示意图已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m并且相距6m绳子最高点距离地面2米．现以两人的站立点所在的直线为x 轴过甲拿绳子的手作x轴的垂线为y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．(1)求绳子用到最高处时所对应的抛物线表达式(2)身高1.70m的小明能否站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶？(3)现有9位身高均为1.60m的同学采取一路纵队并排的方式同时起跳（如图2）但为了保证安全人与人之间距离至少0.5米此时绳子能否顺利的甩过所有队员的头顶？4．某公园的人工湖里安装一个喷泉在湖中心竖直安装了一根高为3米的喷水管它喷出的抛物线形水柱在与喷水管的水平距离为1 米处达到最高水柱落地处离喷水管3米．以喷水管与湖面的交点为原点建立如图的平面直角坐标系．(1)求抛物线的函数表达式(2)现公园准备通过只调节喷头露出湖面的高度使得游船能从抛物线水柱下方正中间通过．为避免游客被喷泉淋湿要求游船从抛物线水柱下方正中间通过时游船顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于 1.5米已知游船顶棚宽度为1米顶棚到湖面的高度为2.5米那么公园应将喷头至少向上移动多少米才能符合要求？、分别在5．如图1 以边长为16的正方形OABC的顶点O为原点建立直角坐标系OA OCx轴y轴的正方向上．(1)求以y 轴为对称轴且经过点A C 、的抛物线的函数解析式(2)平移正方形OABC 但保持抛物线与对应边O A ''交于点D 与对应边B C ''交于点E 且点D 不与点O A ''、重合点E 不与点B C ''、重合如图2 设点C '的坐标为(),C a b ' 0a >．①当OE AE =时求出点D E 、的坐标①在①的条件下直接写出a 的取值范围①当7b =时是否存在实数a 使得点E 为边B C ''的中点？若存在求出a 的值若不存在说明理由．6．如图在ABC 中 90B 12cm AB = 24cm BC = 动点P 以2cm/s 的速度从点A 开始沿边AB 向点B 移动动点Q 以3cm/s 的速度从点B 开始沿边BC 向点C 移动若P Q 、两点分别从A B ，两点同时出发设运动时间为t ．(1)AP = ______ BP = ______ BQ = ______ （用含t 的式子表示）(2)t 为何值时 PBQ 的面积为224cm ？(3)t为何值时PBQ的面积最大？最大面积是多少？7．如图在某中学的一场篮球比赛中小明在距离篮筐中心8m（水平距离）处跳起投篮已知球出手时距离地面2m当篮球运行的水平距离为4m时达到离地面的最大高度此时高度为6m．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线的一部分篮筐中心距离地面3m．(1)建立如图所示的平面直角坐标系求篮球运行路线所在抛物线的函数表达式．(2)场边看球的小丽认为：小明投出的此球不能命中篮筐中心请通过计算说明小丽的判断是否正确．(3)若小明将球出手的角度和力度都不变请直接写出小明应该向前走或向后退多少米才能命中篮筐中心．8．某一抛物线形隧道一侧建有垂直于地面的隔离墙其横截面如图所示并建立平面直角坐标系．已知抛物线经过()03， 141,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ 27,3⎛⎫ ⎪⎝⎭三点．(1)求抛物线的解析式（不考虑自变量的取值范围）(2)有一辆高5m 顶部宽4m 的工程车要通过该隧道该车能否正常通过？并说明理由(3)现准备在隧道上A 处安装一个直角形钢架BAC 对隧道进行维修．B C 两点分别在隔离墙和地面上且AB 与隔离墙垂直 AC 与地面垂直求钢架BAC 的最大长度．9．面对全球疫情蔓延芯片短缺等不利影响新能源汽车销量仍大幅增长因此 2022年的新能源汽车补贴标准在2021年基础上退坡30%．某新能源汽车销售公司去年二月份的销售额为300万元今年受补贴标准的影响二月份A 型汽车的售价比去年同期每辆涨价1万元在卖出相同数量的A 型汽车的前提下二月份的销售额为320万元．(1)求今年二月份每辆A 型汽车的售价．(2)经过一段时间后该销售公司发现 A 型汽车的售价在二月份的基础上每涨1万元销售量会减少2辆已知A 型汽车的进价不变每辆12万元那么如何确定售价才可以获得最大利润？10．某商城在2024年元旦节期间举行促销活动一种热销商品进货价为每个14元标价为每个20元．(1)商城举行了“感恩老客户”活动对于老客户商城连续两次降价每次降价的百分率相同最后以每个16.2元的价格售出求商城每次降价的百分率(2)市场调研表明：当每个售价20元时平均每天能够售出40个当每个售价每降1元时平均每天就能多售出10个在保证每个商品的售价不低于进价的前提下商城要想获得最大利润每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？11．掷实心球是2024年郑州巿高中阶段学校招生体育考试的抽考项目如图1是一名男生投实心球实心球的行进路线是—条抛物线行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示掷出时起点处高度为9649m 当水平距离为5m时实心球行进至最高点4m处．(1)求y关于x的函数表达式（不写x的取值范围）(2)根据郑州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（男生）在投掷过程中实心球从起点到落地点的水平距离大于等于11.4m时此项考试得分为满分10分请判断该男生在此项考试中是否能得满分并说明理由．12．如图①是某企业投入了一种高效环保型新能源电动车示意图．企业经历了从投入到盈利过程如图②的二次函数的图象描述了该企业年初以来累积利润S（亿元）与销售时间t （年）之间的关系（即前t（年）的利润总和S与t之间的关系）．请根据图象提供的信息解答下列问题：(1)求累积利润S（亿元）与时间t（年）之间的函数关系式(2)求截止到几年末企业累积利润可达到30亿元(3)求第8年企业所获利润．13．羽毛球运动是一项很好的健身项目羽毛球发球时羽毛球飞行路线为抛物线的一部分如图一运动员站在O 点发球．且羽毛球飞行高度()m y 与水平距离()m x 之间满足函数关系式2114y x x =-++．(1)求羽毛球飞行路线中离地最大高度．(2)已知羽毛球球网高度为1.55m 发球点A 与球网的水平距离为3m 通过计算说明这次发球是否能过网？14．要在一个圆形广场中央修建一个音乐喷泉在广场中央竖直安装一根水管．在水管的顶点安一个喷水头使喷出的抛物线水柱在与广场中央的水平距离为1m 处达到最高且最高为3m水柱落地处离广场中央3m建立如图所示的直角坐标系．(1)求抛物线的解析式(2)求水管的长度(3)当音乐喷泉开始喷水时在广场中央有一身高为1.5m的男孩未及时跑到喷泉外问该男孩离广场中央的距离m的范围为多少时才不会淋湿衣裳？15．如图1是汝南北城古桥斑驳的桥面上书写着历史的痕迹．古桥拱截面OBA可视为抛OA 桥拱顶点B到水面的距离是4m．物线的一部分在某一时刻桥拱内的水面宽8m(1)按如图2所示建立平面直角坐标系求桥拱部分抛物线的函数表达式（无需写出取值范围）(2)一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时桥下水位刚好在OA 处有一名身高1.68m 的工人站立在打捞船正中间清理垃圾他的头顶是否会触碰到桥拱请说明理由（假设船底与水面齐平）．参考答案：1．(1)()444050100y x x =-+≤≤(2)3600W =最大值（元）．(3)销售单价x 的范围是：55100x ≤≤．2．(1)()243327y x =--+ (2)该女生在此项考试中没有得满分3．(1)212193y x x =-++． (2)小明站在绳子的正下方距离甲的距离不小于3303⎛ ⎝⎭米且不大于3303⎛+ ⎝⎭米时绳子能通过他的头顶．(3)此时绳子不能否顺利的甩过所有队员的头顶．4．(1)()214y x =--+ (2)应将喷头至少向上移动14米才能符合要求．5．(1)211616y x =-+ (2)①()85,4D - ()8,12E ①85168a << ①当7b =时不存在实数a 使得点E 为边B C ''的中点．6．(1)2cm t ()122cm t - 3cm t(2)当2s =t 或4s 时 PBQ 的面积是224cm(3)当t 为3s 时 PBQ 的面积最大最大面积是227cm7．(1)21(4)64y x =--+(2)小丽的判断是正确的(3)小明应该向前走(4-米才能命中篮筐中心8．(1)该抛物线的解析式为21233y x x =-++(2)工程车不能正常通过(3)钢架BAC 最大长度为9m9．(1)16万元(2)每辆A 型车的售价为19万元时可以获得最大利润且最大利润为98万元10．(1)10％(2)19元 250元11．(1)24(5)449y x =--+(2)该男生在此项考试中能得满分12．(1)2122=-S t t(2)截止到10年末企业累积利润可达30万元(3)第8年企业所获利是5.5万元．13．(1)2(2)能过网14．(1)()23134y x =--+(2)2.25米 (3)01m ≤<15．(1)2124y x x =-+ (2)工人不会碰到头。

中考数学复习《实际问题与二次函数》专项测试卷(含参考答案)

中考数学复习《实际问题与二次函数》专项测试卷(含参考答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、中考再现，品味真题1. （2023年·武汉中考）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x （单位：m ）以飞行高度y （单位：m ）随飞行时间t （单位：s ）变化的数据如下表．探究发现：x 与t ，y 与t 之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出x 关于t 的函数解析式和y 关于t 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．问题解决：如图，活动小组在水平安全线上A 处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．（1）若发射平台相对于安全线的高度为0m ，求飞机落到安全线时飞行的水平距离（2）在安全线上设置回收区域,125m,5m ==MN AM MN ．若飞机落到MN 内（不包括端点,M N ），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．2. （2022年·武汉中考）在一条笔直的滑道上有黑白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在黑球前面70cm处．小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm/s）运动距离y（单位：cm）随运动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表．小聪探究发现，黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系．(1)直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）(2)当黑球减速后运动距离为64cm时，求它此时的运动速度(3)若白球一直．．以2cm/s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．3.（2021年·武汉中考）在“乡村振兴”行动中某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品，A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg．生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒每涨价1元，每天少销售10盒．（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．4.（2020年·武汉中考）某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产品的总成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有函数关系y=ax2+bx+c，当x=10时，y=400当x=20时，y=1000．B城生产产品的每件成本为70万元．（1）求a，b的值（2）当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？（3）从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件，C地需要90件，D地需要10件，在（2）的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值（用含有m的式子表示）．二、模拟训练，冲刺中考1．某“精准扶贫”农平台为安康村农户销售苹果，平台的苹果销售运营成本为每千克3元，除去运营成本余下的收入都归农户所有，在销售过程中要求农户的保底收入为3元/千克，且售价不超过15元/千克．市场调查发现，每周的苹果销售量y（千克）与售价x（元/千克）（x为正整数）之间满足某种函数关系，如表记录的是某三周的销售数据：（1）请直接写出y与x之间符合哪种函数关系：，请在横线上写出y与x之间的函数关系式，并在括号中注明x的取值范围：，（）．（2）若某一周苹果的销售量不少于6000千克，求本周安康村农户获得的最大收入和苹果售价分别为多少元？（3）该平台制定新政策：每销售一千克苹果便向村福利院捐款a元．实施新政策后发现，农户每周的收入依然随售价的增大而增大．请直接写出a的最小值是元．2．某风景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，销售单价不低于15元/件．市场调查发现，该商品每天的销售量不少于10件，且销售量y（件）与销售单价x(元/件）之间的函数关系如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式(2)若某天的销售利润为144元，求销售单价(3)求这种纪念品每天销售的最低利润是多少元？3．一次足球训练中小华从球门正前方11m的A处射门，足球射向球门的运行路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．(1)求抛物线的函数解析式(2)若防守队员小明正在抛物线对称轴的左侧加强防守，他的最大起跳高度是2.25m ，小明需要站在离球门距离多远的地方才可能防守住这次射门？(3)在射门路线的形状最大高度均保持不变情况下，适当靠近球门进球的把握会更大，小华决定将足球向球门方向移动一定距离后再射门，他最多可以向球门移动__________．①2.3m ①2.4m ①2.5m ．（填序号即可√6.72≈2.5922）．4．某一抛物线形隧道，一侧建有垂直于地面的隔离墙，其横截面如图所示，并建立平面直角坐标系．已知抛物线经过(0，3) (1,143) (7,23)三点．(1)求抛物线的解析式（不考虑自变量的取值范围）(2)有一辆高5m 顶部宽4m 的工程车要通过该隧道该车能否正常通过？并说明理由(3)现准备在隧道上A 处安装一个直角形钢架BAC 对隧道进行维修．B C 两点分别在隔离墙和地面上且AB 与隔离墙垂直 AC 与地面垂直求钢架BAC 的最大长度．5．冻雨是湖北不常见的天气情况一旦遇上会对工作和生活带来不便甚至灾害．武汉市在二月份下了多次冻雨许多树木因为冻雨结冰发生折断我们对一无冰．．树枝置于武汉的2024年2月3日15点开始的冻雨下进行观察发现一段含冰树枝的重量y （千克）和时间x （小时）(0≤x ≤10)近似满足二次函数关系：y=−1x2+bx+c当x=2时该含冰树枝重9.75千克当x=6时该含冰树枝增重到15.75千克．16(1)求二次函数的解析式．(2)由经验可知当冻雨下含冰树枝的重量是未结冰时．．．．的3.5倍时树枝会发生折断请问树枝会折断吗？如果会何时断裂如果不会说明理由．(3)在（2）的树枝折发生折断的经验下从2月3日15时观察同一段树枝经过10小时后冻雨雨量开始增大平均每小时的重量额外增加n千克发现该段树枝在次日凌晨2:00到2:30之间折断请直接写出n的范围__________．6．某市新建了一座室内滑雪场该滑雪场地面积雪厚达40cm整个赛道长150m全天共可容纳约3300人滑雪嬉戏．小明和小华相约去体验滑雪小明从赛道顶端A处下滑测得小明离A处的距离s（单位：m）随运动时间x（单位：s）变化的数据整理得下表．经验证小明离A处的距离s与运动时间x之间是二次函数关系．小明出发的同时小华在距赛道终点30m的B处操控一个无人机沿着赛道方向以2m/s的速度飞向小明无人机离A处的距离y（单位：m）与运动时间x（单位：s）之间是一次函数关系．(1)直接写出s关于x的函数解析式和y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）(2)小明滑完整个赛道需要耗时多久？(3)小明出发多久后与无人机相遇？7．根据市场调查某公司计划投资销售A B两种商品．信息一：销售A商品x（吨）所获利润y A（万元）之间存在某种关系的部分对应值如下表：信息二：销售B商品x（吨）所获利润y B（万元）之间存在二次函数关系：y B=ax2+bx且销售2吨时获利润20万元销售4吨时可获利润32万元．(1)直接写出y A与x之间的关系式为______ 并求出y B与x的函数关系式(2)如果企业同时对A B两种产品共购进并销售10吨每吨产品购进成本为4万元请设计能获得最大利润的采购方案并求出最大利润(3)假设购买A商品的成本为3万元/吨购买B商品的成本为5万元/吨某公司准备投资44万元购进A B 两种商品并销售完毕要求A商品的数量不超过B商品数量的2倍且销售总利润不低于53万元直接写出B商品的销售数量x的取值范围是______．8．问题背景：为美化校园某学校计划在如图所示的正方形ABCD花坛内种植红蓝黄三种颜色的花卉在四个全等三角形（阴影部分）内种植红色花卉正方形IJKL内种植蓝色花卉剩下四个全等三角形内种植黄色花卉．AB的长为8m AE=LI．红蓝黄三种花卉的单价分别为40元/m2100元/m260元/m2．建立模型：设AE的长为xm购买花卉的总费用为W元．（1）用含x的式子分别写出红蓝黄三种颜色花卉的种植面积（2）求W与x之间的函数表达式方案决策：（3）当购买花卉的总费用最少时求EI的长．9．某宾馆有100个房间供游客居住当每个房间每天的定价是200元时房间会全部住满当每个房间每天的定价每增加5元时就会有一个房间空闲空闲的房间可以出租储存货物每个空闲房间每天储存货物可获得50元的利润如果游客居住房间宾馆需对每个房间每天额外支出40元的各种费用储存货物不需要额外支出费用设空闲房间有x间．(1)用含x的式子表示下列各量．①供游客居住的房间数是______间①每个房间每天的定价是______元①该宾馆每天的总利润w是______元(2)若游客居住每天带来的总利润不低于21600元时求空闲房间每天储存货物获得的最大总利润是多少元？(3)该宾馆计划接受130吨的货物存储每个房间最多可以存储3吨当每间房价定价为多少元时宾馆每天的总利润w最大最大利润是多少元？10．如图灌溉车为绿化带浇水喷水口H离地竖高度OH为1.2m．可以把灌溉车喷出水的上下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象把绿化带横截面抽象为矩形DEFG其水平宽度DE=2.5m竖直高度EF=0.7m H点是下边缘抛物线的最高点下边缘喷水的最大射程OB=2m上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m高出喷水口0.4m灌溉车到绿化带的距离OD为d（单位：m）．(1)直接写出上下边缘抛物线的函数解析式（不写自变量的取值范围）(2)此时距喷水口水平距离为6.5米的地方正好有一个行人经过试判断该行人是否会被洒水车淋到水？并写出你的判断过程(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带直接写出d（米）的取值范围．11．某食品公司通过网络平台直播对其代理的某品牌瓜子进行促销该公司每天拿出2000元现金作为红包发给购买者．已知该瓜子的成本价格为6元/kg每日销售y/(kg)与销售单价x（元/kg）满足关系式：y=kx+b部分数据如表：经销售发现销售单价不低于成本价格且不高于30元/kg设该食品公司销售这种瓜子的日获利为w（元）．(1)求y与x的函数关系式w与x的函数关系式．(2)当销售单价定为多少时销售这种瓜子日获利最大？最大利润为多少元？(3)网络平台将向食品公司可收取a元/kg（a<4）的相关费用若此时日获利的最大值为42100元直接写出a的值．m铅球运12．一名男生推铅球铅球在空中运行的路径可以看作是一条抛物线若铅球出手时的高度为53行时在4m处达到最大高度3m 建立如图所示的平面直角坐标系．(1)求铅球运行路径所对应的抛物线的解析式(2)求该男生推铅球的距离(3)若该男生向前进0.5m同时铅球的出手高度增加ℎm铅球运行的路线与（1）中抛物线形状相同最后)m则ℎ的值是______________．推铅球的距离增加了(2√10−11213．某商店销售一种水产品市场调查得数据如下表：通过分析发现该水产品每千克的销售成本是一个常数月销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足一次函数关系．(1)直接写出该产品每千克的销售成本并直接写出月销售量y与销售价格x之间的函数关系式（不要求写自变量取值范围）(2)要确保该产品月销售利润达到8000元并控制月销售成本不超过12000元销售价格应定为多少元/千克？(3)当该产品销售价格为多少元/千克时月销售利润最大？最大月销售利润是多少元？14．某俱乐部购进一台如图1的篮球发球机用于球员篮球训练．该发球机可以以不同力度发射出篮球篮球运行的路线都是抛物线．出球口离地面高1米以出球口为原点平行于地面的直线为x轴垂直于地面的直线为y轴建立平面直角坐标系．力度变化时抛物线的顶点在直线y=kx上移动从而产生一组不同的抛物线y=ax2+bx（如图2）．(1)若k=1．①发球机发射出的篮球运行到距发球机水平距离为6m时离地面的高度为1m．请直接写出该球在运行过程中离地面的最大高度①若发球机发射出的篮球在运行过程中离地面的最大高度为3m 求该球运行路线的解析式及此球落地点离发球机的水平距离(2)球员小刚训练时发现：当篮球运行到离地面高度为1m至2.2m之间（包含端点）是最佳接球区间若k=12直接写出当a满足什么条件时距发球机水平距离12m的小刚在前后不挪动位置的前提下能在最佳区间接到球．15．在投掷实心球的运动中实心球出手时水平向前的速度为a（单位：m/s）垂直向上的速度为b（单位：m/s）实心球在空中运动时其水平距离x（单位：m）与时间t的关系为x=at高度y（单位：m）与时间t的关系为y=−5t2+bt+2．(1)在小伟同学的一次投掷中测得a=6m/s b=3m/s①写出x与t的函数关系式为y与t的函数关系式为根据以上关系可得y与x的函数关系式为（不用写出x的取值范围）①求出本次实心球的投掷距离．(2)研究表明：在投掷力度一定时水平速度与垂直向上的速度越接近则实心球的投掷距离越远改进投掷方法后小伟投出了8m的最佳成绩若本次投掷中求实心球在投掷过程中的最大高度．16．如图1 一钢球P从斜面顶端A静止滚下斜面与水平面的夹角∠ABD为30°斜面顶端到水平线的距离AD为10dm．钢球P在斜面上滚动的路程S1是滚动时间t的二次函数部分对应值如下表钢球P在斜面上滚动的速度v(dm s⁄)是时间t(s)的正比例函数函数图像如图2所示．(1)求S1关于t的函数解析式(2)求钢球P滚至底端B的速度(3)钢球P滚动至有阻力的水平线BC上时滚动路程S(dm)与时间T(s)的关系式为S=−2T2+V0TV0(dm s⁄)指的是钢球P在点B的速度大小T指的是从B开始滚动的时间．若在水平线BC上的点M处（M 在B左侧）有另一钢球Q当钢球P从A出发时钢球Q同时从M开始向右滚动已知MB=92dm且钢球Q滚动的平均速度为16dm/s请直接写出两球出发后______秒相撞．（忽略两球半径大小）17．小红和小琪在玩沙包游戏某同学借此情境编制了一道数学题请解答这道题．如图在平面直角坐标系中一个单位长度代表1m．小红站在点D(6,0)处在点A(6,1.5)处将沙包（看作点）抛出其运动的路线为抛物线C1:y=a(x−3)2+2.5（a为常数a≠0）的一部分小琪恰在点B(0,c)处接住沙包然后跳起在点C处将沙包回传其运动的路线为抛物线C2:y=−18x2+n8x+c+1（n为常数）的一部分．(1)求a c的值(2)若小红在与点A的竖直距离不超过12m的范围内可以直接接到回传的沙包当n=3时小红能否接住沙包？请说明理由．(3)若小红可以接到回传的沙包的范围为与AD的水平距离不超过1m与点A的竖直距离不超过12m的矩形请直接写出n的取值范围．18．有一款自动热水壶其工作方式是：常规模式下热水壶自动加热到100°C时自动停止加热随后转入冷却阶段当水温降至60°C时热水壶又自动加热______ 重复上述过程若在冷却过程中按下“再沸腾”键则马上开始加热加热到100°C后又重复上述程序．如图是常规模式下冷却加热过程中水温y(°C)与时间x（min）之间的函数图象其中AB段是抛物线的一部分（B是该抛物线的顶点）表示冷却过程线段BC表示加热过程．(1)直接写出抛物线AB段线段BC分别对应的函数解析式(2)从100°C开始冷却其间按下“再沸腾”键马上加热到100°C．①若按下“再沸腾”键时水温是82.5°C求该冷却加热过程一共所用时间①若该冷却加热过程一共所用时间比常规模式缩短了22min 直接写出按下“再沸腾”键时的水温．19．某商品的进价为每件40元当售价为每件50元每月可卖出200件如果售价每上涨1元则每月少卖10件（每件售价不能高于65元）如果售价每下降1元则每月多卖12件（每件售价不低于48元）．设每件商品的售价为x元（x为正整数）每月的销售量为y件．(1)①当售价上涨时y与x的函数关系为______ 自变量x的取值范围是______①当售价下降时y与x的函数关系为______ 自变量x的取值范围是______(2)每件商品的售价x定为多少元时每月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？(3)商家发现：在售价上涨的情况下每件商品还有a(a>0)元的其他费用需要扣除当售价每件不低于60元时每月的利润随x的增大而减小请直接写出a的取值范围______．20．如图某公园的一组同步喷泉由间隔等距的若干个一样的喷泉组成呈抛物线形的水流从垂直于地面且高出湖面1m的喷头中向同一侧喷出每个喷头喷出的水流可看作同样的抛物线．若记水柱上某一位置与喷头的水平距离为xm喷出水流与湖面的垂直高度为ym．下表中记录了一个喷头喷出水柱时xm与ym的几组数据：(1)如图以喷泉与湖面的交点为原点建立如图平面直角坐标系求此抛物线的解析式(2)现有一个顶棚为矩形的单人皮划艇顶棚每一处离湖面的距离为1.75m．顶棚刚好接触到水柱求该皮划艇顶棚的宽度．(3)现公园管理方准备通过只调节喷头露出湖面的高度使得游船能从抛物线形水柱下方通过为避免游客被喷泉淋湿要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5m 已知游船顶棚宽度为2m 顶棚到湖面的高度为1.5m 那么公园应将喷头（喷头忽略不计）至少向上移动多少m 才能符合要求？（直接写出结果）参考答案与解析5. （2023年·武汉中考）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x （单位：m ）以飞行高度y （单位：m ）随飞行时间t （单位：s ）变化的数据如下表．探究发现：x 与t y 与t 之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出x 关于t 的函数解析式和y 关于t 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．问题解决：如图活动小组在水平安全线上A 处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．（1）若发射平台相对于安全线的高度为0m 求飞机落到安全线时飞行的水平距离（2）在安全线上设置回收区域,125m,5m ==MN AM MN ．若飞机落到MN 内（不包括端点,M N ）求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．【解析】探究发现：x 与t 是一次函数关系 y 与t 是二次函数关系设x kt = 2y ax bx =+由题意得：102k = 422216440a b a b +=⎧⎨+=⎩解得：15122k a b ==-=，， ∴215122x t y t t ==-+，．问题解决（1）解：依题总得211202-+=t t ．解得 10t =（舍） 224t =当24t =时 120x =．答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为120m ．（2）解：设发射平台相对于安全线的高度为m n 飞机相对于安全线的飞行高度21122'=-++y t t n ．125130x << 1255130t ∴<< 2526t ∴<<在21122'=++y t t n 中当25,0'==t y 时 12.5n =当26,0'==t y 时 26n =．12.526∴<<n ．答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5m 且小于26m ．6.（2022年·武汉中考）在一条笔直的滑道上有黑白两个小球同向运动黑球在A处开始减速此时白球在黑球前面70cm处．小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm/s）运动距离y（单位：cm）随运动时间t（单位：s）变化的数据整理得下表．小聪探究发现黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系．(1)直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）(2)当黑球减速后运动距离为64cm时求它此时的运动速度(3)若白球一直．．以2cm/s的速度匀速运动问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．【分析】（1）根据黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系设表达式为v=kt+b代入两组数值求解即可根据运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系设表达式为y=at2+bt+c代入三组数值求解即可（2）当黑球减速后运动距离为64cm时代入（1）式中y关于t的函数解析式求出时间t再将tt2−代入v关于t的函数解析式求得速度v即可（3）设黑白两球的距离为w cm得到w=70+2t−y=148t+70化简即可求出最小值于是得到结论．【详解】（1）根据黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系设表达式为v=kt+b代入（0 10）（1 9.5）得{10=b 9.5=k +b 解得{k =−12b =10①v =−12t +10根据运动距离y 与运动时间t 之间成二次函数关系设表达式为y =at 2+bt +c 代入（0 0）（1 9.75）（2 19）得{0=c 9.75=a +b 19=4a +2b 解得{a =−14b =10c =0①y =−14t 2+10t ;（2）依题意得−14t 2+10t =64 ①t 2−40t +256=0 解得 t 1=8 t 2=32当t 1=8时 v =6 当t 2=32时 v =−6（舍）答：黑球减速后运动64cm 时的速度为6cm/s ．（3）设黑白两球的距离为w cmw =70+2t −y =14t 2−8t +70=14(t −16)2+6 ①14>0 ①当t =16时 w 的值最小为6①黑白两球的最小距离为6cm 大于0 黑球不会碰到白球．【点睛】本题考查一次函数和二次函数的实际应用待定系数法求解析式解决本题的关键是明确题意求出函数表达式．7.（2021年·武汉中考）在“乡村振兴”行动中某村办企业以A B两种农作物为原料开发了一种有机产品A原料的单价是B原料单价的1.5倍若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg．生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时每天可以销售500盒每涨价1元每天少销售10盒．（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数）每天的利润是w元求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的常数且是整数）直接写出每天的最大利润．【详解】解：（1）设B原料单价为m元则A原料单价为1.5m元．依题意得900m −9001.5m=100．解得m=3 1.5m=4.5．经检验m=3是原方程的根．①每盒产品的成本为：4.5×2+4×3+9=30（元）．答：每盒产品的成本为30元．（2）w=(x−30)[500−10(x−60)]=−10x2+1400x−33000（3）①抛物线w=−10x2+1400x−33000的对称轴为x=70 开口向下①当a≥70时a=70时有最大利润此时w=16000 即每天的最大利润为16000元当60<a<70时每天的最大利润为(−10a2+1400a−33000)元．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用二次函数的应用等知识点正确理解题意列出分式方程和函数解析式成为解答本题的关键．8.（2020年·武汉中考）某公司分别在A B两城生产同种产品共100件．A城生产品的总成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有函数关系y=ax2+bx+c当x=10时y=400当x=20时y=1000．B城生产产品的每件成本为70万元．（1）求a b的值（2）当A B两城生产这批产品的总成本的和最少时求A B两城各生产多少件？（3）从A城把该产品运往C D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件从B城把该产品运往C D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件C地需要90件D地需要10件在（2）的条件下直接写出A B两城总运费的和的最小值（用含有m的式子表示）．【分析】（1）先根据题意得出产品数量为0时总成本y也为0 再利用待定系数法即可求出a b的值（2）先根据（1）的结论得出y与x的函数关系式从而可得出A B两城生产这批产品的总成本的和再根据二次函数的性质即可得（3）设从A城运往C地的产品数量为n件A B两城总运费的和为P先列出从A城运往D地的产品数量从B城运往C地的产品数量从B城运往D地的产品数量再求出n的取值范围然后根据题干运费信息列出P与n的函数关系式最后根据一次函数的性质求解即可得．【详解】（1）由题意得：当产品数量为0时总成本也为0 即x=0时则{c=0100a+10b+c=400400a+20b+c=1000解得{a=1b=30c=0故a=1b=30（2）由（1）得：y=x2+30x设A B两城生产这批产品的总成本的和为W则W=x2+30x+70(100−x)=x2−40x+7000。

中考数学总复习《实际问题与二次函数》专项提升练习题-带答案

中考数学总复习《实际问题与二次函数》专项提升练习题-带答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．一种进价为每件40元的T恤，若销售单价为60元，则每周可卖出300件，为提高利益，就对该T恤进行涨价销售，经过调查发现，每涨价1元，每周要少卖出10件，请确定该T恤涨价后每周销售利润y （元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大？2．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形养鸡场，设养鸡场的宽AB为xm，面积为ym2．（1）求y与x的函数关系，并写出x的取值范围；（2）当长方形的长、宽各为多少时，养鸡场的面积最大，最大面积是多少？3．有一个抛物线形的拱形桥洞，当桥洞的拱顶P（抛物线最高点）离水面的距离为4米时，水面的宽度OA为12米．现将它的截面图形放在如图所示的直角坐标系中．（1）求这条抛物线的解析式．（2）当洪水泛滥，水面上升，水面的宽度小于5米时，则必须马上采取紧急措施．某日涨水后，观察员测得桥洞的拱顶P到水面CD的距离只有1.5米，问：是否要采取紧急措施？并说明理由．4．某商家销售一款商品，该商品的进价为每件80元，现在的售价为每件145元，每天可销售40件商场规定每销售一件需支付给商场管理费5元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加2件若每件商品降价x元，每天的利润为y元，请完成以下问题的解答．（1）用含x的式子表示：①每件商品的售价为元；②每天的销售量为件；（2）求出y与x之间的函数关系式，并求出售价为多少时利润最大？最大利润是多少元？5．如图，已知抛物线y＝a（x﹣2）2﹣4（a≠0）与x轴交于原点O与点A，顶点为点B．（1）求抛物线的表达式以及点A的坐标；（2）已知点P（2，m）（m＞0），若△PAB的面积为6，求点P的坐标．6．某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润最大，公司应将最低销售单价调整为多少元（其它销售条件不变）？x2+x+2的一部分，7．体育测试时，初三一名高个学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线y=−112根据关系式回答：（1）该同学的出手最大高度是多少？（2）铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少？（3）该同学的成绩是多少？8．某合作社指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：①统计售价与需求量的数据，通过描点(图甲)，发现该蔬菜需求量y需求(吨)关于售价x(元/千克)的函数图象可以看成抛物线，其函数表达式为y需求=ax2+c，部分对应值如下表：售价x(元/千克) … 2.5 3 3.5 4 …需求量y需求(吨) …7.75 7.2 6.55 5.8 …②该蔬菜供给量y供给(吨)关于售价x(元/千克)的函数表达式为y供给=x-1，函数图象见图甲.③1～7月该蔬菜售价x售价(元/千克)、成本x成本(元/千克)关于月份t的函教表达式分别为x售价=12t+2，x成本=14t2−32t+3函数图象见图乙.请解答下列问题：（1）求a，c的值.（2）根据图乙，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大?并说明理由.（3）求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润.9．掷实心球是中学生体育考试的必考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为53，当水平距离为3m 时，实心球行进至最高点3m处．（1）求y关于x的函数表达式；（2）根据体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．二、综合题10．某工厂生产A型产品，每件成本为20元，销售A型产品的销售单价x元时，销售量为y万件，要求每件A型产品的售价不低于20元且不高于30元，y与x之间满足一次函数关系：当销售单价为23元时，销售量为34万件；当销售单价为25元时，销售量为30万件．（1）请直接写出y与x的函数关系式；（2）某次销售刚好获得182万元的利润，每件A型产品的售价是多少元？（3）设该工厂销售A型产品所获得的利润为w万元，将该产品销售单价定为多少元时，才能使销售该产品所获利润最大？最大利润是多少？11．某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐助给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y （单位：个）与销售单价x（单位：元/个）之间的对应关系如图所示：（1）y与x之间的函数关系是．（2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（单位：元）与销售单价x （单位：元/个）之间的函数关系式；（3）在（2）问的条件下，若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．12．上海世博会期间，嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施。

人教版九年级数学上册《22.3 实际问题与二次函数应用题》同步练习题-附带参考答案

人教版九年级数学上册《22.3 实际问题与二次函数应用题》同步练习题-附带参考答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？2．正常水位时，抛物线拱桥下的水面宽为20m，水面上升3m达到该地警戒水位时，桥下水面宽为10m．（1）在恰当的平面直角坐标系中求出水面到桥孔顶部的距离y（m）与水面宽x（m）之间的函数关系式；（2）如果水位以0.2m/h的速度持续上涨，那么达到警戒水位后，再过多长时间此桥孔将被淹没？3．某商场试销一种成本为30元的文化衫，经试销发现，若每件按34元的价格销售，每天能卖出36件；若每件按39元的价格销售，每天能卖出21件．假定每天销售件数y（件）是销售价格x(元)的一次函数．（1）直接写出y与x之间的函数关系式.（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，每件的销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？4．如图，二次函数y=-x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A(4，0)，与y轴交于点B．（1）求此二次函数的表达式，以及点B的坐标．（2）在x轴的正半轴上是否存在点P，使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．近年来国家倡导“电动车，上牌照，保安全，戴头盔”.某头盔专卖店购进一批单价为36元的头盔.在销售中，通过分析销售情况发现这种头盔的月销售量y（个）与售价x（元/个）（42≤x≤72）满足函数关系y=−2x+200.专卖店的优惠活动：若购买一个这种头盔，就赠送一个成本为6元的头盔面罩.（1）设专卖店在优惠活动期间，月销售利润为w元，求w与x之间的函数解析式；（2）嘉嘉说：“在优惠活动期间，该专卖店的月销售的最大利润能达到1700元.”请判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由.6．为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y （千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式．（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？7．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25米）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长40米的栅栏围成（如图），设绿化带的边BC长为x米，绿化带的面积为y 平方米.（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，满足条件的绿化带面积最大？最大面积是多少？8．某公司生产某种皮衣，每件成本为200元.据公司往年数据分析预测，今年12月份的日销售量s（件）与时间t（天）的关系如图.前20天每天的价格m1（元/件）与时间t（天）的函数关系式m1=2.5t+250(1≤t≤20且t为整数)，第21天到月底每天的价格m2（元/件）与时间t（天）的函数关系式m2=-5t+400(21≤t≤31且t为整数).（1）求s与t之间的函数关系式；（2）求预测12月份中哪一天的日销售利润最大，最大利润是多少?（3）根据疫情情况，在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件衣服就捐赠10a元(a<4)给红十字会.公司要求在前20天中，每天扣除捐款后的日销售利润随时间t(天)的增大而增大，问第10天时，日销售利润能不能超过3600元，请说明理由.9．某化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克价格为每千克30元物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元经市场调查发现：日销售量y(千克)是销售单价x(元)的一次函数，且当x=60时，y=80；x=50时，y=100在销售过程中，每天还要支付其他费用450元。

中考数学总复习《实际问题与二次函数》专项提升练习题(带有答案)

中考数学总复习《实际问题与二次函数》专项提升练习题（带有答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．水果店销售一种水果，该水果的进价为每千克6元，在试销售的过程中发现，每天销量y（千克）与销售单价x（元/千克）存在如下一次函数关系：单价x（元/千克）1015销量y（千克）3020销售单价定为多少元时，水果店每天能获得最大利润？2．一小球M从斜坡OA上的点O处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数13y x=刻画．若小球到达最高点的坐标为()3,6．(1)求抛物线的函数解析式（不写自变量x的取值范围）；(2)求小球在斜坡上的落点A的垂直高度；(3)若要在斜坡OA上的点B处竖直立一个高3.5米的广告牌，点B的横坐标为32，请判断小球M能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由．3．某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15米）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长40米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的BC边长为x米，花园的面积为y平方米．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)满足条件的花园面积能否达到150平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由；(3)当x是多少时，矩形场地面积y最大？最大面积是多少？4．由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某公司设计了一款新型汽车，现在对它的刹车性能进行测试，刹车距离s（单位：m）与车速v（单位：km/h）之间存在二次函数关系，测得部分数据如表：(1)直接写出刹车距离S与车速v之间的函数关系；(2)某路段实际行车的最高限速为80km/h ，若要求该型汽车的安全车距要大于最高限速时刹车距离的2倍，求安全车距应超过多少米？(3)在某路段上，若要求该型汽车的刹车距离不超过40m ，请问车速应该控制在什么范围内？5．某校一面墙RS （长度大于32m ）前有一块空地，校方准备用长32m 的栅栏()A B C D ---围成一个一面靠墙的长方形花圃，再将长方形ABCD 分割成六块（如图），已知MN AD ∥ EF GH AB ∥∥ 1MB BF CH CN ====m ，设AB x =m ．(1)当长方形EPQG 的面积等于962m 时，求AB 的长．(2)若在图15中的甲区域种植花卉，乙区域种植草坪，且种植花卉的成本为每平方米100元，种植草坪的成本为每平方米50元，则种植花卉与草坪的总费用最高是多少？并求此时花圃的宽AB 的值．6．如图是一座拱桥的截面图，拱桥桥洞的形状是抛物线．平时水面的宽度OA为4m，在离水面高1.5m处，有一条航运船舶限高杠杆PD，杠杆PD长2m．以O为原点，OA所在直线为x轴建立如图所示的直角坐标系．(1)求此抛物线的表达式．(2)因为上游水库泄洪，水面上涨了0.5m 1.73，结果精确到0.1m）7．某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于36元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间符合一次函数关系，如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？(3)设商场销售这种商品每天获利w（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？8．小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A ，D 在x 轴上，球网AB 与y 轴的水平距离3m 1.5m OA AB ==，，2m DA = 若在y 轴()0P c ，处吊球，羽毛球的飞行路线()211 3.2C y a x =-+：．小林分析此时羽毛球恰好落在点D 处；若在y 轴()01E c -，处吊球，羽毛球的飞行路线221177n C y x x c =-++-：(1)写出1C 的最高点坐标，并求a ，c 的值；(2)小林分析，若羽毛球沿路线2C 飞行落在AD 之间，求符合条件的n 的整数值．9．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件．(1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率；(2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件．①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？①现需按毛利润的10%交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？10．陕北窑洞，具有十分浓厚的民俗风情和土气息．如图所示，某窑洞口的下部近似为矩形 OABC ，上部近似为一条抛物线．已知 3OA =米，2AB =米，窑洞的最高点 M (抛物线的顶点)高地面 OA 的距离为 258米．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；(2)若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户DEFG ，使得点 D E 、在矩形 OABC 的边BC 上，点 F G 、在抛物线上，那么这个正方形窗户 DEFG 的边长为多少米？11．如图，在ABC 中，∠B=90°，AB=12cm ，BC=24cm ，动点P 以2cm/s 的速度从点A 开始沿边AB 向点B 移动，动点Q 以3cm/s 的速度从点B 开始沿边BC 向点C 移动，若P Q 、两点分别从A B ，两点同时出发，设运动时间为t ．(1)AP = ______，BP = ______，BQ = ______；（用含t 的式子表示）(2)t 为何值时，PBQ 的面积为224cm ？(3)t 为何值时，PBQ 的面积最大？最大面积是多少？12．某加工厂加工某海产品的成本为30元/千克．根据市场调查发现，该海产品批发价定为48元/千克的时候，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．(1)当每千克降价2元时，工厂每天的利润为多少元？(2)求出工厂每天的利润W 元与降价x 元之间的函数关系．当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大利润为多少元？(3)若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？13．如图，某长为800m 的隧道的横截面顶部为拋物线形，隧道的左侧是高为4m 的墙OA ，右侧是高为5m 的墙BC ，拱壁上某处离地面的高度()m y 与其离墙OA 的水平距离()m x 之间的关系满足216y x bx c =-++．现测得,OA BC 两墙体之间的水平距离为12m ．(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OC 的距离．(2)从隧道头到隧道尾，在拋物线形拱壁上安装若干排吊灯，每排吊灯与地面的距离都不低于203m 32，每相邻两排吊灯之间的水平距离为2m ，每排内相邻两盏吊灯之间的距离为10m ．求共需要多少盏吊灯？(3)如果隧道内设双向行车道，每条车道的宽为5m ，两条车道之间是宽为1m 的绿化带，一辆货车载一个长方体集装箱后高为5m 、宽为4m ，那么这辆货车无论从哪条车道都能安全通过吗？请说明理由．14．蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图1，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD 和抛物线AED 构成，其中3m AB =，4m BC = 取BC 中点O ，过点O 作线段BC 的垂直平分线OE 交抛物线AED 于点E ，若以O 点为原点，BC 所在直线为x 轴，OE 为y 轴建立如图所示平面直角坐标系．请回答下列问题：(1)如图2，抛物线AED 的顶点()0,4E ，求抛物线的解析式；(2)如图3，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT ，SMNR 若0.75m FL NR ==，求两个正方形装置的间距GM 的长；(3)如图4，在某一时刻，太阳光线透过A 点恰好照射到C 点，此时大棚截面的阴影为CK ，求CK 的长．15．垂柳是常见的树种之一，也是园林绿化中常用的行道树，观赏价值较高，成本低廉，深受各地绿化喜爱．如图①是某街道旁的一棵垂柳，这棵垂柳中某一枝的形状呈如图①所示的抛物线形状，它距离地面的高度y （单位：m ）与到树干的水平距离x （单位：m ）之间满足关系式2y x bx c =-++．已知这枝垂柳的始端到地面的距离5m OA =，末端B 恰好接触地面，且到始端的水平距离5m OB =．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)小明头顶距离地面1.8m ，他从点O 出发向点B 处走去，请计算小明走出多远时，头顶刚好碰到树枝？参考答案：1．当销售单价为15.5元时，水果店每天能获得最大利润．2．(1)()22363y x =--+； (2)小球在斜坡上的落点A 的垂直高度为116米； (3)小球M 能飞过广告牌3．(1)21202x y x -+= 015x <≤ (2)此花园面积能达到150平方米，此时10x =(3)当15x =时，矩形场地面积y 最大，最大面积是187.5平方米4．(1)20.0020.2s v v =+第 11 页共 12 页(2)57.6m(3)车速应该控制不超过100km/h 范围内5．(1)AB 的长为7m 或9m ；(2)种植花卉与草坪的总费用最高是7800元，此时花圃的宽AB 的值是8m ．6．(1)2122y x x =-+ (2)此时水面的宽度是3.5m7．(1)y 与x 之间的函数关系式为2120y x =-+(2)每件商品的销售价应定为30元(3)售价定36元/件时，每天最大利润为768元8．(1)()13.2， 0.2a =- 3c = (2)1-或0或1或29．(1)10%(2)①每件应张价5元；①每件涨价应为8元10．(1)()2132503228y x x ⎛⎫=--+≤≤ ⎪⎝⎭ (2)1米11．(1)2cm t ()122cm t - 3cm t(2)当2s =t 或4s 时，PBQ 的面积是224cm(3)当t 为3s 时，PBQ 的面积最大，最大面积是227cm12．(1)9600元(2)2504009000W x x =-++，降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元第 12 页共 12 页 (3)43元13．(1)212510096496y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 1009m 96 (2)486盏(3)货车无论从哪条车道都能安全通过14．(1)2144y x =-+ (2)1m 2(3)4912m 15．(1)该抛物线的函数解析式为245y x x =-++(2)小明走出2m ⎛ ⎝⎭远时，头顶刚好碰到树枝.。

九年级数学上册《第二十二章实际问题与二次函数》同步练习题附答案(人教版)

九年级数学上册《第二十二章实际问题与二次函数》同步练习题附答案(人教版)一、选择题：1．某企业是一家专门生产季节性产品的企业，当产品无利润时，企业会自动停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y （万元）和月份n 之间满足函数关系式y=﹣n 2+14n ﹣24，则企业停产的月份为（） A ．2月和12月 B ．2月至12月 C ．1月 D ．1月、2月和12月2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，若a+b ＝5，则Rt △ABC 的面积S 关于边长c 的函数关系式为（）A ．S ＝ 2254c -B ．S ＝ 2252c -C ．S ＝ 252c-D ．S ＝ 2254c +3．用一根长为30cm 的绳子围成一根长方形，长方形一边长为x ，则长方形的面积Scm 2与xcm 的函数关系式为S=﹣x 2+15x ，其中，自变量x 的取值范围是（） A ．x ＞0 B ．0＜x ＜15 C ．0＜x ＜30 D ．15＜x ＜304．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5m ，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m ，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（）A ．此抛物线的解析式是y=﹣15x 2+3.5 B ．篮圈中心的坐标是（4，3.05） C ．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0） D ．篮球出手时离地面的高度是2m5．某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管 OA 喷出， OA 长为 1.5m .水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B 到O 的距离为 3m .建立平面直角坐标系，水流喷出的高度 ()y m 与水平距离 ()x m 之间近似满足函数关系()20y ax x c a =++≠ ，则水流喷出的最大高度为（）A ．1mB ．32m C ．138m D ．2m6．三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）A．3米B．2米C．13米D．7米7．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力等因素，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：t 0 1 2 3 4 5 6 7 …h 0 8 14 18 20 20 18 14 …下列结论：①足球距离地面的最大高度大于20m；②足球飞行路线的对称轴是直线92t ；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11.25m，其中正确．．结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．如图，直线l的解析式为y=﹣x+4，它与x轴和y轴分别相交于A，B两点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动．它与x轴和y轴分别相交于C，D两点，运动时间为t秒（0≤t≤4），以CD为斜边作等腰直角三角形CDE（E，O两点分别在CD两侧）．若△CDE和△OAB 的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题：9．某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为元时，才能使每天所获销售利润最大．10．如图，有长为24米的篱笆，一边利用墙（墙的最大可用长度为3米），当花圃的宽AB为米时，围成的花圃面积最大，最大面积为平方米．11．如图，正方形EFGH 的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE=x ，正方形EFGH 的面积为y ，则y 与x 的函数关系为．12．如图是一座截面边缘为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面l 为4米，则当水面下降1米时，水面宽度增加米.13．校运会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度 y(m) 与水平距离 (m)x 之间的函数关系式为 21251233y x x =-++ ，小明这次试掷的成绩是．三、解答题：14．把一个抛物线形的拱形桥洞放在如图所示的直角坐标系中，桥洞离水面的最大高度为4m ，跨度为12m.（1）求这条抛物线的解析式.（2）一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？并说明理由.15．掷实心球是中考体育考试项目之一.如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是条抛物线，行进高度()y m 与水平距离()x m 之间的函数关系如图2所示.掷出时，起点处高度为95m .当水平距离为4m 时，实心球行进至最高点5m 处.（1）求y 关于x 的函数表达式；（2）根据中考体育考试评分标准（男生版），投据过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于9.7m 时，即可得满分10分.该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由.16．某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x 元时（x 为正整数），月销售利润为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围．（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？17．某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠已有的墙（墙长大于48m ），中间用一道墙隔开，正面开两个门，如图所示，已知每个门的宽度为1.5m ，计划中的建筑材料总长45m ，设两间饲养室的宽度为m x ，总占地面积为2m y .（1）求y 关于x 的函数表达式和自变量x 的取值范围.（2）求饲养室的宽度为多少m 时，饲养室最大面积多少2m ？（3）若要使两间饲养室合计占地总面积不低于2189m ，求饲养室的宽度m x 的范围.18．如图，一次函数y kx b =+与二次函数2y ax =的图象交于()1A m ，和()24B -，（1）直接写出两个函数的解析式；（2）点P 为直线AB 下方抛物线线上一个动点，过P 作PH y 轴与AB 交于H 点，当PH 为最大值时，求P 点坐标．参考答案：1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】D 8．【答案】C 9．【答案】11 10．【答案】7；21 11．【答案】y=2x 2﹣4x+4 12．【答案】264 13．【答案】10米14．【答案】（1）解：由图象可知抛物线的顶点坐标为（6，4）设抛物线的解析式为：y ＝a （x ﹣6）2+4 过点（12，0）则0＝a （12﹣6）2+4 解得a 19=-. 即这条抛物线的解析式为：y 19=-（x ﹣6）2+4. （2）解：货船能顺利通过此桥洞.理由：当x 12=（12﹣4）＝4时 y 19=-（4﹣6）2+4329=＞3 ∴货船能顺利通过此桥洞.15．【答案】（1）解：根据题意设y 关于x 的函数表达式为()245y a x =-+把9(0)5，代入解析式得，()290455a =-+，解得，15a =- ∴y 关于x 的函数表达式为()21455y x =--+，即：2189555y x x =-++.（2）解：不能得满分，理由如下根据题意，令0y =，且0x >∴21890555x x -++=，解方程得，19x =，21x =-（舍去） ∵99.7<∴不能得满分. 16．【答案】解：（1）根据题意得：y=（30+x ﹣20）（230﹣10x ）=﹣10x 2+130x+2300，自变量x 的取值范围是：0＜x ≤10且x 为正整数；（2）当y=2520时，得﹣10x 2+130x+2300=2520，解得x 1=2，x 2=11（不合题意，舍去）当x=2时，30+x=32（元）答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．（3）根据题意得：y=﹣10x 2+130x+2300=﹣10（x ﹣6.5）2+2722.5，∵a=﹣10＜0，∴当x=6.5时，y 有最大值为2722.5，∵0＜x ≤10且x 为正整数，∴当x=6时，30+x=36，y=2720（元），当x=7时，30+x=37，y=2720（元），答：每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元． 17．【答案】（1）解：设两间饲养室的宽度为m x ，则长为()()453 1.52=483m x x -+⨯- ∵0<483>0x x -， ∴016x <<由矩形的面积可得：()2483348y x x x x =-=-+∴()23480<<16y x x x =-+（2）解：∵()2234838192y x x x =-+=--+，30-<∴函数图象开口向下∴当8x =时，饲养室的宽度为8m 时，饲养室最大面积2192m（3）解：令189y =可得：()218938192x =--+，解得：9x =或7x = ∴要使两间饲养室合计占地总面积不低于2189m ，x 的取值范围为79x ≤≤ 18．【答案】（1）解：2y x =，2y x =-+ （2）解：设()2P m m ，，则()2H m m -+，根据题意得222192224PH m m m m m ⎛⎫=-+-=--+=-++⎪⎝⎭ 10a =-<∴当12m =-时，PH 有最大值∴1124P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，。

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实际问题与二次函数练习题（含答案）
基础导练
1.如图所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD ，其中AB 和BC 分别在两直角边上，设AB =x m ，长方形的面积为y m 2，要使长方形的面积最大，其边长x 应为( ) 5 m 12 m A B C
D
A.4
24 m B.6 m C.15 m D.25 m 2.二次函数y =x 2－4x +3的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，△ABC 的面积为( )
A.1
B.3
C.4
D.6
3.某乡镇企业现在年产值是15万元，如果每增加100元投资，一年增加250元产值，那么总产值y(万元)与新增加的投资额x(万元)之间函数关系为( )
A.y=25x+15
B.y=2.5x+1.5
C.y=2.5x+15
D.y=25x+1.5
能力提升
4.某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足关系：m =140－2x .
(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件的销售价x 间的函数关系式;
(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合
适？最大销售利润为多少？
5.如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x m.
(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m ？
(2)如果中间有n (n 是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少m ？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？ x
参考答案
1.D
2.B
3.C
4．解：(1)y =－2x 2+180x －2800.
(2)y =－2x 2+180x －2800
=－2(x 2－90x )－2800
=－2(x －45)2+1250.
当x =45时，y 最大=1250.
∴每件商品售价定为45元最合适，此销售利润最大，为1250元.
5.解：(1)依题意得鸡场面积y =.3
50312x x +- ∵y =－31x 2+350x =3
1-(x 2－50x ) =－31(x －25)2+3
625,
∴当x =25时，y 最大=3
625, 即鸡场的长度为25 m 时，其面积最大为
3625m 2. (2)如中间有n 道隔墙，则隔墙长为502x n -+m.
∴y =502x n -+·x =－12n +x 2+502n +x
=－12n +(x 2－50x ）=－12n +(x －25)2+625
2n +,
当x =25时，y 最大=6252n +,
即鸡场的长度为25 m 时，鸡场面积为6252n + m 2. 结论：无论鸡场中间有多少道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，其长都是25 m.。