3.3.2 简单线性规划问题

3.3.2 简单线性规划问题第二十九课时

教学目标

1.掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;

2.运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.

教学重点 重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域.

教学难点 难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答.解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解.

课时安排 3课时

教学过程

导入新课

二元一次不等式a x+b y+c ＞0和a x+b y+c ＜0表示什么图形

（

答：表示直线a x+b y+c =0某一侧所有点组成的平面区域.

规律： ax+by+c ＞0（a ＞0）表示直线 ax+by+c=0的右侧区域，

ax+by+c ＜0（a ＞0）表示直线ax+by+c=0的左侧区域

记忆口诀：a 正大＞右，a 负小＜左。 a 为负时可化为正。

推进新课 ［合作探究］

在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题.

例如，某工厂用A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 产品耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B 产品耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天工作8小时计算，该厂所有可能的日生产安排是什么

解：设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，由已知条件可得二元一次不等式组：

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤≤≤+.

0,0,124,164,82y x y x y x z=2x+3y 如何将上述不等式组表示成平面上的区域 】 ［教师精讲］见教材 有关概念

1、线性约束条件：不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件。

2、线性目标函数.t=2x+y

3、线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，

4、可行解：满足线性约束条件的解（x,y)

5、可行域：由所有可行解组成的集合

6、最优解： ［知识拓展］再看下面的问题： 若设t=2x+y ，式中变量x 、y 满足下列条件⎪⎩

⎪⎨⎧≥≤+-≤-.1,2553,34x y x y x 求t 的最

大值和最小值.

—

解：做可行域ABC .

作直线l 0：2x+y=0上.平行移动直线l 0经过点B （5，2）的直线l 2所对应的t 最大，以经过点A （1，1）的直线l 1所对应的t 最小.所以t m a x =2×5+2=12, t min =2×1+3=3.

课堂小结 用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：

1.要根据线性约束条件画出可行域

2.设t=0，做出直线l 0.

3.平移直线l 0，从而找到最优解.

4.最后求得目标函数的最大值及最小值.

5.做答。

布置作业

1.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1 000元，运费500元，可得

产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400元，可得产品100千克，如果每月原

料的总成本不超过6 000元，运费不超过2 000元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品

解：设此工厂每月甲、乙两种原料各x 吨、y 吨，生产z 千克产品，则

￥

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥,2000400500,

600015001000,0,0y x y x y x z=90x+100y. 作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，如右图：

由⎩⎨⎧=+=+.2045,1232y x y x 得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧==.720,712y x 令90x+100y=t ，作直线:90x+100y=0，即

9x+10y=0的平行线90x+100y=t ，当90x+100y=t 过点M （712,7

20）时，直线90x+100y=t 中的截距最大. 由此得出t 的值也最大，z m a x =90×712+100×7

20=440. 答：工厂每月生产440千克产品.

2.某工厂家具车间造A 、B 型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A 、B 型

桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A 、B 型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工

每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A 、B 型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A 、B 型桌子各多少张，才能获得利润最大 解：设每天生产A 型桌子x 张，B 型桌子y 张，

则⎪⎩

⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,93,82y x y x y x 目标函数为z=2x+3y.作出可行域：

把直线l ：2x+3y=0向右上方平移至l′的位置时，直线经过可行域

上的点

M ，且与原点距离最大，此时z=2x+3y 取得最大值. 解方程⎩

⎨⎧=+=+,93,82y x y x 得M 的坐标为（2，3）. 答：每天应生产A 型桌子2张，B 型桌子3张才能获得最大利润.

【

3.课本106页习题3.3A 组2.

}

3.3.2 简单线性规划问题第三十课时

教学目标

1.掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;

2.运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.

教学重点 重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域.

教学难点 难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答.

教学过程

导入新课

,

1、前面我们学习了目标函数、线性目标函数、线性规划问题、可行解、可行域、最优解等概念.

解决简单的线性规划问题的基本步骤：

1.要根据线性约束条件画出可行域

2.设t=0，做出直线l 0.

3.平移直线l 0，从而找到最优解.

4.最后求得目标函数的最大值及最小值.

5.做答。

推进新课 【例1】 已知x 、y 满足不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+,

0,0,2502,3002y x y x y x 试求z=300x+900y 的最大值时的整点的坐标及相应的z 的最大值.

分析：先画出平面区域，然后在平面区域内寻找使z=300x+900y 取最大值时的整点.

解：如图所示平面区域A O BC ，点A （0，125），点B （150，0），点C 的坐标由方程组

⇒⎩⎨⎧=+=+25023002y x y x ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧==,3200,3350y x 得C （3350,3200）， . 令t=300x+900y ，即,90031

t x y +-=,

欲求z=300x+900y 的最大值，即转化为求截距t/900的最大值，从而可求t 的最大值，因直线

90031t x y +-=与直线x y 31-=平行，故作x y 3

1-=的平行线，当过点A （0，125）时，对应的直线的截距最大，所以此时整点A 使z 取最大值，z m a x =300×0+900×125=112 500.

【例2】 求z=600x+300y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件

3x+y≤300，x+2y≤250， x≥0,y≥0的整数值.

解：可行域如图所示.

四边形A O BC ，易求点A （0，126），B （100，0）,由方程组

⇒⎩⎨⎧=+=+25223003y x y x ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧==.5191,5369y x 得点C 的坐标为（5369,5191). 因题设条件要求整点（x,y)使z=600x+300y 取最大值，将点（69，91），（70，90）代入z=600x+300y ，可知当x=70,y=90时，z 取最大值为z m a x =600×70+300×900=69 000.