圆的切线性质定理

求∠BIC的度数
B
C
（2）若∠A=68度，则∠BIC=
（3）若∠BIC=110度，则∠A=
（4） ∠BIC和∠A的关系
判断题：
1、三角形的内心到三角形各个 顶点的距离相等（ 错 ）
2、三角形的外心到三角形各边 的距离相等 （ 错 ）
3、等边三角形的内心和外心重 合； （ 对 ）
• 4、三角形的内心一定在三 角形的内部（ 对 ）
。
变式一：在△ABC中，AB=2，AC= ，以A为圆心，1为
半径的圆与边BC相切 ，则BC的长为
。
变式二：如图，点A是圆O外一点，OA=4，AB与圆相切于点
B，且AB=2 ，弦BC∥OA，则BC的长为
。
A
B
D CB
A C
O A
C
B
7、如图,AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切 线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分∠DAB。
（3）
2、如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,⊙A与BC相切于 点D,与AB相交于点E,则∠ADE等于___ _度.
3、如图,在△OAB中,OB：AB=3：2 , 0B=6，⊙O与AB相切
于点A, 则⊙O的直径为
。
4、如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B,且∠APB=50°, 点C是优弧上的一点,则∠ACB=___.
NM I
B
DC
定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内 切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交 点，叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外 切三角形。
1.三角形的内心到三角形各边的距离相等；
2.三角形的内心在三角形的角平分线上；
A
D
r
C
O
E F
B
A
1.如图1，△ABC是⊙O的 内接 三角形。
如图是一块三角形木料，木工师傅要 从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下
的圆的面积尽可能大呢？ A
B
C
A
B
C
A
D
r
C
O
E F
B
探 思考下列问题：
A
究
1．如图，若⊙O与∠ABC
： 的两边相切，那么圆心O的
M O
三 位置有什么特点？
角 形 内 切
圆心0在∠ABC的平分线上。 B 2．如图2，如果⊙O与 △ABC的内角∠ABC的两边 相切，且与内角∠ACB的两
DC A OB
D
C
AO
B
（7）
（8）
8、如图,AB为⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC 平行于弦AD，求证：CD是⊙O的切线。
1、确定一个圆的位置与大小的条件是什么？ 圆心与半径
2、角平分线的性质定理与判定定理
性质：在一个角的内部，角平分线上的点到这个角的两边的 距离相等。 判定：到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
切”相矛盾.
所以OA与CD垂直.
C
●O
D AM
议一议 7
切线的性质定理
驶向胜 利彼岸
• 参考小颖和小亮的说理过程,请你写出这个命题
• 定理 圆切直线垂直于过切点的半径. B 如图
∵CD是⊙O的切线,A是切点,OA
●O
是⊙O的半径,∴CD⊥OA.
老师提示:
C
A
D
切线的性质定理是证明两线垂直的重要根据;作
• 5、菱形一定有内切圆（ 对 ）
• 6、矩形一定有内切圆 （ 错）
• 探索：从一块三角形材料中, 能否剪下一个圆,使其与各边 都相切?
A
A
N
M
I
I
●●
●●
B
┓
C
B
┓
C
上右图就是三角形的内切圆作法： D
（1）作∠ABC、∠ACB的平分线BM和CN，交点为I.
（2）过点I作ID⊥BC，垂足为D.
（3）以I为圆心，ID为半径作⊙I， ⊙I就是所求
⊙ O是△ABC的 外接 圆， 点O叫△ABC的 外心 ， 它是三角形 三边中垂线 2.如图2，△DEF是⊙I的 外切
B
的交点。
三角形， D
．O C
图1
⊙I是△DEF的
圆，
点I是 △DEF的
内切 内
心，
．I
E
F
它是三角形
的交点。
三条角平分线
图2
3. 三角形的内切圆能作__1__个,圆的外切三角形有 无__数___ 个,三角形的内心在三角形的__内__部___.
切线的判定：
1、直线与圆公共点的个数：只有一个公共点。 2、圆心到直线的距离与半径的大小关系，即d=r。 3、经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
做一做 4
切线判定定理的应用
• 1.已知⊙O上有一点A,你能过点A点作出⊙O的切线吗?
●O
●O
●P
●A
2.已知⊙O外有一点P,你还能过点P点作出⊙O的切线吗?
老师提示:
根据“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的 切线”只要连结OA,过点A作OA的垂线即可.
练习与巩固：
1、如图，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B=70°， 则∠BAC等于（ ） A. 70° B. 35° C. 20° D. 10°
O
A
O
E
B
A
C
（1）
B
D
（2）
C
A
B
因此和△ABC三边都相切的
圆可以作出一个,并且只能
A
作一个.
FE I
B
D
C
定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内 切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三 角形叫做圆的外切三角形。
性质：1.三角形的内心到三角形各边的距离相等；

2.三角形的内心在三角形的角平分线上；
A
D
r
C
O
E F
B
分别作出锐角三角形,直角三 角形,钝角三角形的内切圆,并说
试一试:
你能画出一个三角形的内切圆吗?
作法：1、作∠B、∠C的平分线
BE和CF，交点为I。
2．过点I作ID⊥BC，垂足为D。 A
3．以I为圆心，ID为
半径作⊙I.
⊙I就是所求的圆。
FE I
•
B
这样的圆可以作出几个呢?为什么?.
D
C
∵直线BE和CF只有一个交点I, 并且点I到△ABC三边的距离相 等(为什么?),
C
A
D
老师期望: 圆的对称性已经在你心中落地生根.
议一议 6
探索切线性质
驶向胜利 的彼岸
• 小亮的理由是:OA与CD要么垂直,要么不垂直.
• 假设OA与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于 CD,垂足为M,
则OM<OA,即圆心到直线CD的距离
小于⊙O的半径,因此,CD与⊙O相
交.这与已知条件“直线与⊙O相
αd
┓α
C
A
D
• 你能写出一个命题来表述这个事实吗?
议一议 3
切线的判定定理
• 定理 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线
是圆的切线.
B
如图
∵OA是⊙O的半径,直线CD经过A 点,且CD⊥OA,
●O
∴ CD是⊙O的切线.
• 老师提示:
C
A
D
• 切线的判定定理是证明一条直线是否是圆的切线的根
据;作过切点的半径是常用经验辅助线之一.
探 思考下列问题：
A
究
1．如图，若⊙O与∠ABC
： 的两边相切，那么圆心O的
M O
三 位置有什么特点？
角 形 内 切
圆心0在∠ABC的平分线上。 B 2．如图2，如果⊙O与 △ABC的内角∠ABC的两边 相切，且与内角∠ACB的两
圆 边也相切，那么此⊙O的圆
NC
A
O
的 心在什么位置？
作
B
图2
C
法
圆心0在∠BAC,∠ABC与∠ACB的三个角 的角平分线的交点上。
复习回顾 1
直线与圆的位置关系量化揭密
r ●O ┐d
相交
r ●O
d ┐ 相切
• 直线和圆相交
d < r;
直线和圆相切
d = r;
直线和圆相离
d > r;
r ●O
d
┐ 相离
切线的性质：
1、圆的切线与圆只有一个公共点。 2、切线与圆心的距离等于半径(d=r)。
B
切线还有什么性质呢？
●O
A
C
C
O
P
A
O
BP
B （4）
（5）
5、如图，⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，过C点的切线 PC与AB的延长线交于P，PC=5，则⊙O的半径为（ ）
A. 5 3
3
B.
53 6
C. 10
D. 5
辅助线的作法：作过切点的半径
6、在△ABC中，AB=2，以A为圆心，1为半径的圆与边BC
相切于点D ，则BD的长为
r ●O
● ●● ● ● ●●● ● ●● ● ●● ●
B
C
2.一枚直径为d的硬币沿直线滚动一圈.圆心经过的距离 是多少?.
老师提示:硬币滚动一圈,圆心经过的路经是与直线平行的
一条线段,其长度等于圆的周长.
切线的判定：
1、直线与圆公共点的个数：只有一个公共点。 2、圆心到直线的距离与半径的大小关系，即d=r。
还有其它方法吗？
议一议 2
直线何时变为切线
• 如图,AB是⊙O的直径,直线CD经过点A,CD与AB的夹角